【配套K12】2018届高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第六节直接证明与间接证明教师用书理

第六节直接证明与间接证明

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

自|主|排|查

1．直接证明

Q⇐P1→P1⇐P2→

…→得到一个明显成立的条件

反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

微点提醒

1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件。

2．综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法。

3．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况。然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。

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一、走进教材

1．(选修2－2P89练习T2改编)若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q 的大小关系是( )

A．P>Q B．P＝Q

C．P

【解析】假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2a＋a＋>2a＋13＋2a＋a＋，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40。因为42>40成立，所以P>Q成立。故选A。

【答案】 A

2．(选修2－2P90例5改编)用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除

【解析】“a，b至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”。故选B。

【答案】 B

二、双基查验

1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的( )

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件。故选B。

【答案】 B

2．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是( ) A ．a >b >0 B ．a

C ．a >b

D ．a ≥0，b ≥0，且a ≠b

【解析】 ∵(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝(a －b )(a －b )>0，∴a ≥0，b ≥0，且a ≠b 。故选D 。

【答案】 D

3．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1

a

三个数( )

A ．都大于2

B ．都小于2

C ．至少有一个不大于2

D ．至少有一个不小于2

【解析】 因为⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝

⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝

⎛⎭

⎪⎫c ＋1a

＝⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝

⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝

⎛⎭

⎪⎫c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，

所以三个数中至少有一个不小于2。故选D 。 【答案】 D

4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°。 正确顺序的序号排列为________。

【解析】 由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②。故填③①②。

【答案】 ③①②

5．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2

＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明时应假设________。

【解析】 a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1，或b ≠－1。故填a ≠－1，或b ≠－1。

【答案】 a ≠－1，或b ≠－1

【典例1】 已知函数f (x )＝3x

－2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f x 1＋f x 2

2

≥f ⎝

⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 22。

【证明】 要证明

f x 1＋f x 2

2

≥f ⎝

⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 22，即证明

x 1－2x 1＋

x 2－2x 2

2

≥3

x 1＋x 2

2

－2·

x 1＋x 2

2

，

因此只要证明

3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 2

2－(x 1＋x 2)， 即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22

，

因此只要证明3x 1＋3x 2

2≥3x 1·3x 2，

由于x 1，x 2∈R ，所以3x 1＞0,3x 2＞0，

由基本不等式知3x 1＋3x 2

2

≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立。

反思归纳 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。

【变式训练】 已知a >0，求证： a 2

＋1a 2－2≥a ＋1a

－2。

【证明】 要证 a 2

＋1a 2－2≥a ＋1a

－2，

只要证 a 2＋1

a 2＋2≥a ＋1

a

＋2。

∵a >0， 故只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2

＋1

a 2＋22≥⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22

，

即a 2

＋1a

2＋4

a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1

a 2＋22⎝ ⎛

⎭⎪⎫

a ＋1a ＋2， 从而只要证2

a 2＋1

a 2≥2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

a ＋1a ， 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2＋2＋1a

2，即a 2

＋1a

2≥2，

而上述不等式显然成立，故原不等式成立。