初三数学第3讲 一元二次方程的解法(2)-教师版
专题02一元二次方程及其解法(二)(解析版)-2021—2022学年九年级数学上学期
2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法(二)【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1.已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若方程的两个不相等的实数根是a ,b ,求111ab a -++的值. 【解析】解:(1)根据题意得△2240k =+>, 解得1k >-,k ∴的取值范围为1k >-; (2)由根与系数关系得2a b +=-,a b k =-,111111121a ab kb a ab a b k -+-===-+++++--+. 例2.已知α,β是方程2201710x x ++=的两个根,则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A .1 B .2C .3D .4【答案】D【解析】∵α,β是方程2201710x x ++=的两个根,2201710αα∴++=,2201710ββ++=,2017αβ+=-,1αβ=,22(12019)(12019)ααββ∴++++22(120172)(120172)αααβββ=++++++4αβ=4=.例3.阅读材料:已知方程210p p --=,210q q --=且1pq ≠,求1pq q+的值. 解:由210p p --=,及210q q --=,可知0p ≠,0q ≠.又1pq ≠,1p q∴≠. 210q q --=可变形为211()()10q q --=.根据210p p --=和211()()10q q--=的特征.p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根, 则11p q +=,即11pq q+=. 根据阅读材料所提供的方法,完成下面的解答. 已知:22510m m --=,21520n n+-=且m n ≠,求 (1)mn 的值;(2)2211m n +. 【解析】解:21520n n+-=, 22510n n ∴--=,根据22510m m --=和22510n n --=的特征, m ∴、n 是方程22510x x --=的两个不相等的实数根,52m n ∴+=,12mn =-, (1)12mn =-;(2)原式2222512()()242291()()2m n mn mn -⨯-+-===-. 变式训练:1.已知2210a a --=,2210b b +-=,且1ab ≠,则1ab b b++的值为 . 【答案】3【解析】2210b b +-=,0b ∴≠,方程两边同时除以2b ,再乘1-变形为211()210b b -⋅-=,1ab ≠,a ∴和1b 可看作方程2210x x --=的两根,12a b∴+=, ∴111213ab b a bb++=++=+=.2.已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=.(1)m 为何值时,方程有两个不相等的实数根;(2)若该方程有两根为1x ,2x ,且2123x x +=,求m 的值.【解析】解:(1)关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=有两个不相等的实数根,∴△2(1)412(1)0m =--⨯⨯+>,78m ∴<-.(2)1x ,2x 为一元二次方程22(1)0x x m -++=的两根,121x x ∴+=,2112(1)0x x m -++=.22121112()3x x x x x x +=-++=,即2(1)13m -++=,2m ∴=-.二、与一元二次方程有关的新定义问题例1.对于实数m ,n ,先定义一种新运算“⊗”如下:22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时,若(2)10x ⊗-=,则实数x 等于 A .3B .4-C .8D .3或8【答案】A【解析】解:当2x -时,2210x x +-=,解得:13x =,24x =-(不合题意,舍去);当2x <-时,2(2)210x -+-=,解得:8x =(不合题意,舍去);3x ∴=.例2.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程;②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,则22450m mn n ++=;③若p 、q 满足2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程;④若方程20ax bx c ++=是倍根方程,则必有229b ac =. A .1 B .2C .3D .4【答案】C【解析】①解方程220x x --=得,12x =,21x =-,得,122x x ≠,∴方程220x x --=不是倍根方程;故①不正确;②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,12x =,因此21x =或24x =,当21x =时,0m n +=,当24x =时,40m n +=,2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=,故②正确;③2pq =,则23(1)()0px x q px x q ++=++=,∴11x p =-,2x q =-,∴2122x q x p=-=-=, 因此是倍根方程,故③正确;④方程20ax bx c ++=的根为:1x 2x =若122x x =220=,∴0=,∴0b +,∴b -,229(4)b ac b ∴-=,229b ac ∴=.若122x x =2=,20=,∴0=,∴0b -+,∴b =229(4)b b ac ∴=-,229b ac ∴=.故④正确, ∴正确的有:②③④共3个.例3.转化是数学解题的一种极其重要的数学思想,实质是把新知识转化为旧知识,把未知转化为已知,把复杂的问题转化为简单的问题.例如,解方程42340x x --=时,我们就可以通过换元法,设2x y =,将原方程转化为2340y y --=,解方程得到11y =-,24y =,因为20x y =,所以1y =-舍去,所以得到24x =,所以12x =,22x =-.请参考例题解法,解方程:2320x x +=.y =,则223x x y +=.原方程可转化为:220y y --=.(2)(1)0y y ∴-+=.12y ∴=,21y =-.当2y =2,234x x ∴+=.即2340x x +-=.解这个方程得14x =-,21x =.20y x x =,1y ∴=-舍去.所以原方程的解为:14x =-,21x =.例4.阅读并回答问题:小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天他在解方程21x =-时,突发奇想:21x =-在实数范围内无解,如果存在一个数i ,使21i =-,那么当21x =-时,有x i =±,从而x i =±是方程21x =-的两个根. 据此可知:(1)i 可以运算,例如:321i i i i i ==-⨯=-,则4i = ,2011i = ,2012i = ; (2)方程2220x x -+=的两根为 (根用i 表示). 【解析】解:(1)21i =-,422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=;2011210051005()(1)i i i i i ==-=-;2012210061006()(1)i i i i i ==-=.(2)△2(2)4124=--⨯⨯=-,21i =-,∴△24i =,∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯,即1x i =+或1x i =-. 例5.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-,就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式,从而达到“降次”的目的;例如32()x x x x px q =⋅=-=,该方程变形为2x px q -=-,也可以实现“降次”目的,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式,请利用“降次法”解决下列问题:已知:2210x x --=,且0x >,求4323x x x --的值.【解析】解:方程2210x x --=的解为:1x ==±0x >.所以1x =+2210x x --=,221x x ∴-=,221x x ∴-=.4323x x x ∴--22(2)3x x x x =--23x x =-213x x =+-1x =-.当1x =1(1=-+=变式训练:1.阅读材料:解方程222(1)3(1)0x x ---=.我们可以将21x -视为一个整体,采用“换元法”求解,具体解法:设21x y -=,原方程化为230y y -=①解得10y =,23y =.当0y =时,210x -=.1x ∴=±,当3y =时,213x -=,2x ∴=±,∴原方程的解为11x =,21x =-,32x =,42x =-.请利用换元法解出方程220x -=的根.y =,221y x =-,原方程可变形为:2430y y -+=.(1)(3)0y y ∴--=.11y ∴=,23y =.当1y =1=, 两边平方,得22x =,1x ∴=2x =当3y =3, 两边平方,得210x =,3x ∴=4x =所以1x =2x =,3x =,4x =2.材料一:对称美不仅仅是图形之美,代数式中也有对称的结构之美,对称不仅仅给我们以美的体验,还能帮助我们解决问题.如:2310x x -+=中,因为左边代数式中三项系数依次为:1,3-,1,是呈对称结构的,于是我们可将它变形为130x x -+=,进而可以变形为13x x +=,以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=. 材料二:你知道我们为什么要因式分解吗?原因有二:一是化简,如220x x --=(x =-2)(1)x +中,我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积,次数降低了,式子也变简单了;二是增加了信息量,如220x x --=中,x 的取值信息不太明确,但是(2)(1)0x x -+=中,我们可以很快得到,2x =或者1x =-.利用上述材料解决下列问题: (1)材料一中,2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 . (2)为解系数对称的方程4310x x x --+=,陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=,显然110x x ++≠,则只能是120x x+-=,进而解得121x x ==,请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整. (3)运用材料一、材料二以及第(2)问的解题经验,解方程:432223x x x +-26x +⨯26+ 0=. 【解析】解:(1)由题意知:0x ≠. (2)4310x x x --+=.421(1)x x x ∴+=+.两边同时除以2x 得:2211x x x x+=+. ∴211()2x x x x +-=+.∴211()()20x x x x +-+-=.11(2)(1)0x x x x ∴+-++=.显然110x x ++≠.120x x∴+-=.解得121x x ==. (3)方程两边同时除以2x 得:2212362230x x x x +-++=.∴266()2()350x x x x+++-=.66(7)(5)0x x x x ∴+++-=.670x x ∴++=或650x x+-=. 当670x x++=时,2760x x ++=.(1)(6)0x x ∴++=.1x ∴=-或6x =-. 当650x x+-=时,2560x x -+=.(2)(3)0x x ∴--=.2x ∴=或3x =. 综上:方程的解为:1x =-或6-或2或3. 【针对练习】1.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根,则整数a 的最大值为A .1-B .0C .1D .2【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根,∴△2(2)8(1)1280a a =---=-且10a -≠,32a∴且1a ≠,∴整数a 的最大值为0. 2.下列一元二次方程中,没有实数根的是 A .220x x -= B .2210x x -+=C .2210x x --=D .2210x x -+=【答案】D【解析】解:(A )△4=,故选项A 有两个不同的实数根; (B )△440=-=,故选项B 有两个相同的实数根; (C )△1429=+⨯=,故选项C 有两个不同的实数根; (D )△187=-=-,故选项D 没有两个不同的实数根.3.关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1,则m n 的值为 A .8-B .8C .16D .16-【答案】C 【解析】关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1,12m ∴-=-,22n=-,2m ∴=,4n =-,2(4)16m n ∴=-=. 4.已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=,那么221x x -+的值为 A .5-或1 B .1-或5 C .1 D .5【答案】C【解析】设221y x x =-+,则2450y y +-=.整理,得(5)(1)0y y +-=.解得5y =-(舍去)或1y =.即221x x -+的值为1.5.如果1x ,2x 是两个不相等实数,且满足21121x x -=,22221x x -=,那么2212x x +等于A .2B .2-C .1-D .6【答案】D【解析】1x ,2x 是两个不相等实数,且满足21121x x -=,22221x x -=,1x ∴,2x 是方程2210x x --=的两个不相等的实数根,则122x x +=,121x x =-,2212x x ∴+21212()2x x x x =+-222(1)=-⨯-42=+6=.6.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =,则k = . 【答案】﹣1【解析】把1x =代入方程220x kx --=得120k --=,解得1k =-.7.若实数a ,b 满足()(221)1a b a b ++-=,则a b += .【答案】1或12-【解析】设a b x +=,则(21)1x x -=,2210x x --=,(1)(21)0x x -+=,解得11x =,12x =-,则1a b +=或12-.8.定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”,如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”,则m 的值 . 【答案】1或﹣9【解析】解方程220x x -=,得:10x =,22x =. ①若0x =是两个方程相同的实数根.将0x =代入方程2310x x m ++-=,得:10m -=,1m ∴=,此时原方程为230xx +=,解得:10x =,23x =-,符合题意,1m ∴=; ②若2x =是两个方程相同的实数根.将2x =代入方程2310x x m ++-=,得:4610m ++-=,9m ∴=-,此时原方程为23100x x +-=,解得:12x =,25x =-,符合题意,9m ∴=-.综上所述:m 的值为1或9-.9.若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>,当1m =、2、3、2020时,相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β,2α、2β,…,2020α、2020β,则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 .【答案】40402021【解析】2220x x m m +--=,1m =,2,3,⋯,2020,∴由根与系数的关系得:112αβ+=-,1112αβ=-⨯;222αβ+=-,2223αβ=-⨯;202020202αβ+=-,2020202120202021αβ=-⨯;∴原式3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=++++222212233420202021=++++⨯⨯⨯⨯1111111140402(1)2(1)223342020202120212021=⨯-+-+-++-=⨯-=. 10.已知关于x 的一元二次方程:21(21)4()02x k x k -++-=.(1)求证:这个方程总有两个实数根;(2)若等腰ABC ∆的一边长4a =,另两边长b 、c ,恰好是这个方程的两个实数根,求ABC ∆的周长. (3)若方程的两个实数根之差等于3,求k 的值.【解析】解:(1)△21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-,无论k 取何值,2(23)0k -,故这个方程总有两个实数根;(2)由求根公式得21(23)2k k x +±-=,121x k ∴=-,22x =.另两边长b 、c ,恰好是这个方程的两个实数根, 设21b k =-,2c =,当a ,b 为腰时,则4a b ==,即214k -=,计算得出52k =, 此时三角形周长为44210++=;当b ,c 为腰时,2b c ==,此时b c a +=,构不成三角形, 故此种情况不存在.综上所述,ABC ∆周长为10. (3)方程的两个实数根之差等于3,∴2123k --=,解得:0k =或3.11.已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围;(2)当k 取满足(1)中条件的最小整数时,设方程的两根为α和β,求代数式322017αββ+++的值.【解析】解:(1)根据题意得0k ≠且△(12)24(2)0k k k =--->,解得14k >-且0k ≠; (2)k 取满足(1)中条件的最小整数,1k ∴=.此时方程变为210x x --=,1αβ∴+=,1αβ=-,210αα--=,210ββ--=,21αα∴=+,21ββ=+,32121αααααα∴=+=++=+,322017αββ∴+++2112017αββ=+++++2()2019αβ=++212019=⨯+2021=.12.已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设1x ,2x 为方程的两个实数根,且12214x x +=,试求出方程的两个实数根和k 的值.【解析】解:(1)证明:在方程2260x x k --=中,△222(6)41()36436k k =--⨯⨯-=+,∴方程有两个不相等的实数根.(2)1x ,2x 为方程2260x x k --=的两个实数根,126x x ∴+=,12214x x +=,28x ∴=,12x =-.将8x =代入2260x x k --=中,得:264480k --=,解得:4k =±. 答:方程的两个实数根为2-和8,k 的值为4±. 13.阅读下面的例题:解方程2||20m m --=的过程如下:(1)当0m 时,原方程化为220m m --=,解得:12m =,21m =-(舍去).(2)当0m <时,原方程可化为220m m +-=,解得:12m =-,21m =(舍去).原方程的解:12m =,22m =-.请参照例题解方程:2|1|10m m ---=.【解析】解:当1m 时,原方程化为20m m -=,解得:11m =,20m =(舍去).当1m <时,原方程可化为220m m +-=,解得:12m =-,21m =(舍去).原方程的解:11m =,22m =-.14.如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程20x x +=的两个根是10x =,21x =-,则方程20x x +=是“邻根方程”.(1)通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”:①260x x --=;②2210x -+=.(2)已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数)是“邻根方程”,求m 的值;(3)若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数,0)a >是“邻根方程”,令28t a b =-,问:存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数?请说明理由.【解析】解:(1)①解方程得:(3)(2)0x x -+=,3x =或2x =-, 231≠-+,260x x ∴--=不是“邻根方程”;②x =,1=+,2210x ∴-+=是“邻根方程”;(2)解方程得:()(1)0x m x -+=, x m ∴=或1x =-,方程2(1)0(x m x m m ---=是常数)是“邻根方程”,11m ∴=-+或11m =--, 0m ∴=或2-;(3)解方程得,x =,关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数,0)a >是“邻根方程”,∴1=,224b a a ∴=+, 28t a b =-,22t a a a∴=-=--+,4(2)4a>,∴有最大值,最大值为4,tt为正整数,∴=或2或3或4,t1∴当a取7个值,b对应有14个值,∴存在14组a、b的值使得t为正整数.。
九年级数学一元二次方程的解法课件
三、一元二次方程的实例分析
实例1
通过详细的实例,演示一元二次 方程的解法和思考过程。
实例2
继续探索一元二次方程的实际问 题,并解决具体情境中的方程。
实例3
尝试更复杂和具有挑战性的一元 二次方程实例,提高解题能力。
四、一元二次方程习题解析
1 同步练习题
解答一些与课堂内容相关的练习题,巩固所学的一元二次方程解法。
2 模拟试题分析
通过详细的试题分析,了解如何应用所学的解题技巧解决实际问题。
五、注意事项及解题技巧
注意事项
了解解决一元二次方程时需要注意的常见错误和特殊情况。
解题技巧
掌握一些解题技巧,使解决一元二次方程更加高效和准确。
六、总结
本节课的收获总结
总结本节课学到的知识和技巧,强化对一元二次方程的理解。
九年级数学一元二次方程 的解法课件
欢迎来到九年级数学一元二次方程的解法课件。在这个课件中,我们将深入 探讨一元二次方程的定义、基本形式以及不同的求解方法。请跟随我们的步 骤进行学习,掌握解决一元二次方程的技巧和策略。
一、一元二次方程的定义及基本形式
什么是一元二次方程
了解一元二次方程的概念和特征,它在数学中的作用和应用。
一元二次方程的基本形式
掌握一元二次方程的标准形式,了解方程中各项的含义和关系。
二、一元二次方程的求解方法
1
直接代入求解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习使用代入法解决一元二次方程,掌握求解步骤和技巧。
2
因式分解法
了解使用因式分解法解决一元二次方程,找到方程的根和因数。
3
公式法
掌握使用一元二次方程公式求解的方法,简化解题过程。
下一步的学习计划
第3讲一元二次方程的解法(公式法)和根与系数的关系(原卷版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)
第03讲一元二次方程的解法(公式法)和根与系数的关系【人教版】·模块一根的判别式·模块二公式法解一元二次方程·模块三根与系数的关系·模块四课后作业一元二次方程根的判别式b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b 2-4ac △>0,方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根△=0,方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根△<0,方程ax 2+bx+c=0(a≠0)无实数根【考点1根据判别式判断方程根的情况】【例1.1】关于一元二次方程2+3=4根的情况,下列说法中正确的是()A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .无法确定【例1.2】已知实数k ,现甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程B 2−(+2)+14=0讨论如下.甲:该方程一定是关于x 的一元二次方程乙:该方程有可能是关于x 的一元二次方程丙:当≥−1时,该方程有实数根丁:只有当≥−1且≠0时,该方程有实数根则下列判断正确的是()A .甲和丙说的对B .甲和丁说的对C .乙和丙说的对D .乙和丁说的对【例1.3】若=1是一元二次方程B 2−B +2=0(≠0)的一个根,那么方程B 2+B +2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有一个根是J−1C.没有实数根D.有两个相等的实数根【变式1.1】已知a为实数,下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是()A.2−2B+2+1=0B.2−2B+22+1=0 C.2+2−1−2=0D.2+2+1+2=0【变式1.2】对于实数a,b定义运算“⊗”为⊗=2−B,例如3⊗2=22−3×2=−2,则关于x的方程+2⊗=1−的根的情况,下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【变式1.3】对于一元二次方程B2+B+=0(≠0),有下列说法:①若方程B2+=0有两个不相等的实数根,则方程B2+B+=0(≠0)必有两个不相等的实数根;②若方程B2+B+=0(≠0)有两个实数根,则方程B2+B+=0一定有两个实数根;③若c是方程B2+B+=0(≠0)的一个根,则一定有B++1=0成立;④若0是一元二次方程B2+B+=0(≠0)的根,则2−4B=(2B0−p2其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点2已知根的情况确定字母的值或取值范围】【例2.1】若关于的方程2−+=0有两个实数根,则的取值范围是()A.≥14B.<14C.≤14D.≤14且≠0【例2.2】关于的方程B2−3+2=0有实数根,则的值不可能是()A.−1B.0C.1D.2【例2.3】若一元二次方程B2+B+1=0有两个相同的实数根,则2−2+5的最小值为()A.5B.1C.−9D.−1【变式2.1】关于x的方程2−+−2=0有两个不相等的实数根,则实数a可取的最大整数为()A.2B.3C.4D.5【变式2.2】在实数范围内,存在2个不同的的值,使代数式2−3+与代数式+2值相等,则的取值范围是___________.【变式2.3】关于x的一元二次方程2−+3++2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值.【变式2.4】如果关于x的方程(+p(+p+(+p(+p+(+p(+p=0(其中,,均为正数)有两个相等的实数根,证明:以,,为长的线段能够组成一个三角形,并指出三角形的特征.公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的实数根可写为:=做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。
北师版九上数学专题3 一元二次方程的解法 课件
第二章
专题3
一元二次方程
一元二次方程的解法
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
专题解读
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
0 1
专题解读
数学 九年级上册 BS版
◎问题综述
一元二次方程常与几何图形及实际应用问题等结合考查,
在考试中出现得比较频繁,所以如何在考试中提高解题效率就
其中配方法与公式法是通法.
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数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
类型一 用配方法、公式法解一元二次方程
(1)用配方法解下列方程:
① x2+2 x -143=0;
②3 x2+3 x -1=0.
【思路导航】①先移项,再在两边都加上1,即可配方;②先移
项,然后把两边都除以3,再在两边都加上一次项系数一半的平
.
4
4
(3)7 x2+9=6 x2-26 x -160.
解: x1= x2=-13.
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数学 九年级上册 BS版
类型二 用因式分解法、换元法解方程
(1)用因式分解法解下列方程:
①(4 x +1)2- x2=0;
②( x -4)2-2 x +8=0.
返回目录
数学 九年级上册 BS版
【思路导航】①先用平方差公式进行因式分解,再解方程;②
即
1 2
1
1 2
= +
,
2
3
2
1 2
7
+
= .
2
12
1
21
开方,得 x + =±
.
2
6
最新人教版九年级全一册数学第二十一章一元二次方程 第3课时 一元二次方程的解法(2)——配方法
= ±5
,
∴方程的解是x1= 2
,x2= -8 .
小结:
(1)像上面那样,通过配成完全平方公式来解一元二次方程的
方法,叫做配方法;
(2)配方的目的:把一元二次方程转化为(mx+n)2=p(m,n,p为
已知数,其中m≠0)的形式,利用直接开平方法转化为一元一次
方程.
返回
数学
2.用配方法解方程:
数学
第二十章
第3课时
数据的分析
一元二次方程的解法(2)——
配方法
返回
数学
目
录
01
学习目标
02
知识要点
03
对点训练
04
精典范例
05
变式练习
返回
数学
学习目标
数
感
符号意识
运算能力
模型思想
1.(课标)理解配方法,能用配方法解数字系数的一元二次方程.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤,体会转化的数学思想.
返回
数学
知识要点
知识点一:配方的概念
a2±2ab+ b2
=(a± b
)2.
关键:添加适当的项,把一个二次三项式配成一个完全平方式.
返回
数学
对点训练
1.(人教9上P9改编、北师9上P36改编)填空:
(1)x2-2x+1=(x- 1 )2;
(2)x2+6x+ 9 =(x+ 3
(3)x2-x+
1
4
1
=(x- 2 )2.
(1)x2-2x-6=0;
(1)x=1± 7
(2)(人教9上P6)x2+6x+4=0;
(2)x=-3± 5
(3)x2-x-1=0.
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇:配方法解一元二次方程的教案第二篇:一元二次方程复习教案(正式)第三篇:4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇:教案一元二次方程的应用第五篇:一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇:配方法解一元二次方程的教案配方法解一元二次方程的教案教学内容:本节内容是:人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。
一、教学目标(一)知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
(二)能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
(三)情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程(一)复习引入1、复习:解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1。
2、引入:二次根式的意义:若x2=a(a为非负数),则x叫做a的平方根,即x=±√a。
实际上,x2 =a(a为非负数)就是关于x的一元二次方程,求x的平方根就是解一元二次方程。
(二)新课探究通过实际问题的解答,引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力,引发学生思考。
问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来,具体解题步骤:2解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6xdm2列出方程:60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值,所以x=5即:正方体的棱长为5dm。
一元二次方程的解法教学设计优秀2篇
一元二次方程的解法教学设计优秀2篇《一元二次方程》教案篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点:重点:1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点:一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例:剪一块面积是150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析:1.要解决这个问题,就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程(x(x十5)=150)深入引导:方程x(x十5)=150有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗?二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉:在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题,但有些方程我们解不了,但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够,从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢?现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程,就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程,但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的。
最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程.(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?(1)3x十2=5x—3:(2)x2=4(2)(x十3)(3x·4)=(x十2)2;(4)(x—1)(x—2)=x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2.4.一元二次方程概念的延伸提问:一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?引导学生回顾一元二次方程的定义,分析一元二次方程项的情况,启发学生运用字母,找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)1).提问a=0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a=0、b≠就成了一元一次方程了)。
1.1+一元二次方程的解法(2)-配方法(1)课件 2024—2025学年苏科版数学九年级上册
讲授新知
x2 - 4x - 5 = 0的步骤
过程展示:
解:移项得:x2 - 4x = 5
配方得:x2 - 4x + 22 = 5 + 22
配方时注意:
两边同时加上
整理得:(x-2)2 = 9
一次项系数
开方得:(x-2) = ±
一半的平方
即:
x = ±+2
∴
x1 = 5
x2 = -1
点拨: 把一个一元二次方程变形为(x+h)2 =k (h、k为常数)的形式,当k
(1)x2 - 2x - 3=0;
(2)x2 - 3x -1 = 0 .
过程展示:
过程展示:
解:移项得:x2
解:移项得:x2 - 3x = 1
- 2x = 3
配方得:x2 - 2x + 12 = 3 + 12 配方得:x2 -3x+()2 = 1+()2
整理得:(x-1)2 = 4
2
≥0时,运用直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
牛刀小试
填空:
1、x2 - 2x +
2、x2 + 10x +
= (x -
= (x +
)2
)2
3、y2 - 7y +
= (y -
)2
4、x2 + 2x +
= (x +
)2
5、x2
-
x
+
= (x -
)2
例题讲解
例1:用配方法解一元二次方程.
1.1 一元二次方程的解法(2)
数学_公式法解一元二次方程_课件
22
4
x1
1 2
,x2
=4
九年级数学名师课程
1 用公式法解一元二次方程
练一练:方程2x2+5x-3=0的解是( C )
A.x=3 B.x=-3
1 C.x1=-3,x2= 2
1 D.x=
2
九年级数学名师课程
随堂练习 解方程:
(1)x2 +7x – 18 = 0; 解 ∵ a=1,b=7,c=-18. b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
b2 4ac .
2a
就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根
公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,由
求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
九年级数学名师课程
想一想:若b2-4ac <0,那么方程有实数根吗?
∵a 0, 4a2 0, 当b2-4ac <0时,
x
b 2a
2
b2
x 3 1 = 3 1
2 1
2
∴x1=-1 ,x2=-2
初三数学名师课程
1 用公式法解一元二次方程
例 解下列方程:
(2)2(x2-2)=7x 解: 把方程化成一般形式,得2x2-7x-4=0 ∵a=2,b=-7,c=-4.
b2-4ac=(-7)2-4×2×(-4)=81>0.
x 7 81 = 7 9
4ac 4a2
<0.
而x取任何实数都不能使上式成立. 因此,方程无实数根.
九年级数学名师课程
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由
方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,
可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ,当b2-
北师大版九年级数学一元二次方程的解法
学生 学 校 年 级 教师授课日期授课时段课题重点 难点重点:认识一元二次方程会利用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 难点:解含有字母系数的方程,灵活应用合适的方法解一元二次方程教学步骤及教学内容【一元二次方程的认识】1.一元二次方程的概念:只含有一个未知数x ,并且可以化为ax 2+bx +c=0(a 、b 、c 为常数,a ≠0)的形式的整式方程是一元二次方程【例】 试判断:关于x 的方程(2a —4)x 2-2bx +a=0, (1)何时为一元二次方程? (2)何时为一元一次方程?【练习】m 为何值时,关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:把ax 2+bx +c =0(a ,b ,c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax 2,bx ,c 分别称为二次项、一次项和常数项,a,b 分别称为二次项系数和一次项系数. 【例】把下列方程变为一般形式(1)(8-2x)(5-2x)=18 (2)(x+6)2+72=102【一元二次方程的解法】一、开平方法:对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法:当0>n 时,n x ±=;当0=n 时,021==x x ;当0<n 时,方程无实数根。
(1)012552=-x (2)289)3(1692=-x (3)03612=+y(4)0)31(2=-m (5)85)13(22=+x二、配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程,再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤:①移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边; ②“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1; ③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为n m x =+2)(的形式; ④求解:若0≥n 时,方程的解为n m x ±-=,若0<n 时,方程无实数解。
九年级23单元③一元二次方程解法(二
新知应用:
用配方法解方程:
x2 mx n 0 m2 4n .
解:移项,得x2 mx n.
配方,得x2 mx m 2 n m 2 .
2
2
整理,得
动手尝试:
解方程: x2 6x 8 0
解:移项,得x2 6x 8. 配方,得x2 6x 9 8 9.
整理,得x 32 1.
用直接开平方法解,得 x 3 1. x1 4,x2 2.
概括:
我们把一元二次方程变形成x m2 n,
它的左边是一个完全平方式,右边是一个非负 数,这时我们可以用直接开平方法求解.这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
配方法解方程一般有哪些步骤:
1.移项,把常数项移到方程的右边; 2.化二次项系数为1; 3.配方,方程两边同时加上一次项系数一 半的平方; 4.整理,左边是一个完全平方式; 5.若右边是非负数,可用直接开平方法求 解.
小结:
1.通过本节课的学习,我们又获得了 哪些新的知识?
2.在本节课的学习中,我们用到了哪 些数学思想方法?
3.你能简单叙述一下配方法解一元二 次方程的一般步骤吗?
x
m
2
m2
4n
.
2
4
因为m2 4n,所以 m2 4n 0. 4
m m2 4n
x
.
2
拓展提高:
用配方法解方程:
ax2 bx c 0a 0.
解:
化二次项系数为1,得x2 b x c 0. aa
九年级数学23.2 一元二次方程的解法华东师大版知识精讲
初三数学23.2 一元二次方程的解法华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容:23.2 一元二次方程的解法二. 重点、难点: 1. 重点:(1)理解一元二次方程解法中的降次思想;(2)会用直接开平方法、因式分解法、公式法、•配方法解一元二次方程.探索一元二次方程的解法过程,体验从不同角度寻求解决问题的策略;(3)知道一元二次方程根的判别式的概念,会用一元二次方程根的判别式判别根的情况.2. 难点:理解配方法,会用配方法推导一元二次方程的求根公式;三. 知识梳理: 1. 直接开平方法直接开平方法的概念:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.(1)形如2(0)x m m =≥的方程.方程的解是:x =当m =0时,方程有两个相等的实数根.(2)形如2()(0)x n m m -=≥的方程.方程的解是:x n =.(3)形如2()(0,0)a x n m ma a -=≥≠的方程.方程的解是:x n =. 总之,如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方,另一边是一个非负数,那么就可以用直接开平方法求解.温故知新: 平方根的意义:(1)文字语言表示:如果一个数的平方等于a ,这个数叫a 的平方根.(2)用式子表示:若x 2=a ,则x 叫做a 的平方根. 2. 因式分解法(1)因式分解法的概念:当一元二次方程的一边为0时,将方程的另一边分解成两个一次因式的积,进而分成两个一元一次方程来求解,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(2)因式分解法的理论依据是:两个因式的积等于0,则这两个因式至少有一个等于0.用式子表示为:若0b a =⋅,则a =0或b =0.(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤是:①将方程化为20ax bx c ++=(a ≠0) 的形式; ②将方程的左边分解为两个一次因式的积;③令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程,它们的解就是方程的解. 点拨:(1)分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法;(2)如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积;(3)等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,是一个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方式,将它写成平方形式,便实现了因式分解. 3. 配方法配方法的含义:把方程的一边化为一个完全平方式,另一边化为非负数,然后利用开平方求解的方法叫做配方法.归纳:用配方法解一元二次方程的一般步骤是:(1)如果一元二次方程的二次项系数不是1,就先在方程的两边同时除以二次项系数,把二次项系数化为1;(2)把含未知数的项移到左边,常数项移到右边;(3)然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,这样使方程的左边变成一个完全平方式,右边是一个非负数的形式;(4)最后用直接开平方法解这个一元二次方程. 4. 公式法(1)二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的求根公式为:x =(240b ac -≥),其中公式中的a 、b 、c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法.(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是: ①首先把一元二次方程化为一般形式; ②确定公式中a 、b 、c 的值;③求出24b ac -的值;④若24b ac -≥0,则把a 、b 、c 及24b ac -24b ac -<0时,此时方程无实数解. 说明:①求根公式是专指一元二次方程的求根公式,只有方程为一元二次方程时,方可运用求根公式,即20ax bx c ++=中a ≠0.②公式中的“24b ac -≥0”是公式成立的一个前提条件.5. 一元二次方程根的判别式(1)判别式的含义:在一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的求根公式的推导过程中,我们已经知道,一元二次方程是否有实数根,关键是由24b ac -24b ac -叫做一元二次方程根的判别式,且常用符号“△”表示,即△=24b ac -.(2)一元二次方程根的判别:(1)当24b ac ->0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当24b ac -=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当24b ac -<0时,方程没有实数根.反之也成立.(3)一元二次方程根的判别式的应用: ①不解方程判别根的情况;②根据方程解的情况确定系数的取值X 围; ③求解与根有关的综合题. 6. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展,解题过程也分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、答六步.其中审题过程最为重要,通过认真分析题意,弄清已知量和未知量、以及量与量之间的关系,才能找出等量关系,列出方程.最后注意检验方程的解是否符合题意以及在实际问题中是否有意义.【典型例题】例1. 用直接开平方法解下列方程:(1)(x +1)2-4=0;(2)12(2-x )2-9=0.分析:对于形如x 2=a (a ≥0)或(mx -n )2=a (m ≠0, a ≥0)的方程,可根据平方根的意义,用直接开平方的方法求解.解:(1)原方程可以变形为(x +1)2=4, 直接开平方,得x +1=±2,即x +1=2或 x +1=-2. 所以原方程的解是x 1=1,x 2=-3.(2)原方程可以变形为()4322=-x , 直接开平方,得232±=-x ,即232=-x 或232-=-x . 所以原方程的解是232,23221+=-=x x .例2. 用配方法解下列方程:(1)x 2-6x -7=0;(2)2x 2+3=5x .分析:根据用配方法解一元二次方程的一般步骤求解.解:(1)移项,得x 2-6x =7方程左边配方,得x 2-2∙x ∙3+32=7+32即 (x -3)2=16. 所以x -3=±4.原方程的解是x 1=7,x 2=-1.(2)移项,得:2x 2-5x +3=0,把方程的各项都除以2,得023252=+-x x ,配方,得22245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x ,即161452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,所以4145±=-x ,原方程的解是12321==x x ,.例3. 用配方法解方程:x 2+px +q =0(p 2-4q ≥0)分析:将字母p 和q 看成已知数,根据配方法的步骤即可求解.解:移项,得x 2+px =-q ,方程左边配方,得2222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+p q p p x x 即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 当p 2-4q ≥0时,得2422qp p x -±=+原方程的解是24242221q p p ,x q p p x ---=-+-=点拨:在配方时方程两边一定要同时加上“一次项系数一半的平方”.例4. 用公式法解下列方程:(1)2x 2+x -6=0;(2)x 2+4x =2;分析:用公式法解一元二次方程的一般步骤是: ①把一元二次方程化为一般形式;②确定a 、b 、c 的值.③求出b 2-4ac 的值;④若b 2-4ac ≥0,则利用公式x=-b±b 2-4ac 2a 求出原方程的根;若b 2-4ac <0,则方程无实数解.解:(1)因为 a =2,b =1,c =-6。
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质PPT
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2; a2 -b2=(a +b)(a -b).
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
用因式分解法求解一元二次方程
课后作业:
新知探索
完成课本P47 习题2.7 第1题、第2题
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
想一想
1. 例2中主要用到了因式分解的什么方法?
公式法
2. 初中阶段主要用到的因式分解公式有哪些? 完全平方公式: a22abb2(ab)2 平方差公式: a2b2(ab)(ab)
新知探索
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用因式分解法求解一元二次方程
当堂练习
① x2-3x+1=0 ; ② 3x2-1=0 ;
③ -3t2+t=0 ; ④ x2-4x=2 ;
⑤ 2x2-x=0; ⑥ 5(m+2)2=8;
用因式分解法求解一元二次方程
课堂练习
1. 完成P47随堂练习 第1题、第2题 2. 解下列方程:
(1)(3x2)2 4(3x2) (2)3(x2)2x24
(3)2x28x8x2 (4)(x2)(x3)12
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一元二次方程的解法(2)辅导教案
1.用配方法解下列方程,配方错误的是( ) A .x 2+2x -99=0化为(x+1)2=100 B .t 2-7t -4=0化为(t -
27)2=465 C .x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D .3x 2-4x -2=0化为(x -
32)2=9
10
3.方程x(x+1)(x -2)=0的根是( )
A .-1,2
B .1,-2
C .0,-1,2
D .0,1,2 4.已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x -
25 )2=4
6
的形式,则q 的值为( ) A .46
B .425
C . 419
D . -4
19
5.已知y=x 2-6x+9,当x=______时,y 的值为0;当x=_____时,y 的值等于9. 6.用合适方法解下列方程:
(1)2x 2+1=3x ; (2)3y 2-y -2=0;
(3) 3(1)2(1)x x x -=- (4) 2(1)250x +-=
(5)x²+12x-15=0 (6) 2x²+1=3x
(7) 3x²+6x-4=0 (8)4x²-6x-3=0
【目标导学】
(1)认识如何判断一元二次方程根的个数
(2)体会一元二次方程的公式法
(3)理解一元二次方程根与系数的关系
【自主学习】
活动一:认真阅读课本P9-P11页的内容,时间要求5分钟
学生思考:(1)根判别式的依据是什么?
(2)求根公式适用于所有方程么?相对于其它方法有什么优缺点?活动二:认真阅读课本P15-P16页的内容,时间要求3分钟
学生思考:(1)当方程无根时,系数与根的关系式还存在么?
(2)当方程有两个相等的实数根时,系数与根的关系有什么变化?
【例题剖析】
(1)剖析课本P11的例题2,并根据学生的理解提出对应问题
(2)剖析课本P16的例题4,并根据学生的理解提出对应问题
【习题过关】
(1)请学生在10min中内完成课本P12练习1
(2)请学生在3min中内完成课本P16练习
【总结反思】
1.一元二次方程中, 叫做一元二次方程
的根的判别式,通常用“ ”来表示,即
1)ac b 42
- 0 ⇔ 方程有 实数根 2)ac b 42- 0 ⇔ 方程有 实数根 3)ac b 42- 0 ⇔ 方程有 实数根
2.当ac b 42-≥0,方程的实数根可写为 的形式,这个式子叫做一元二次方程的
3.解一个具体的一元二次方程时,把各个系数直接代入求根公式,可以直接求出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做
4.一元二次方程中的两根之和等于 两根的积等于 即系:=+21x x ;=•21x x 【达标运用】
1.若关于x 的一元二次方程方程(k ﹣1)x 2+4x+1=0有实数根,求k 的取值范围.
2.若方程x 2+px+2=0的一个根2,则它的另一个根和p 的大小.
问题1 对应知识点:
(1)一元二次方程根的判别式 (2)一元二次方程各项系数 (3)一元一次不等式的解法
(4)一元二次方程二次项系数的限制条件
)0(02
≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax ac b 42-=∆
问题2 对应知识点:
(1)一元二次方程根与系数的关系式 (2)一元二次方程各项系数 (3)一元一次方程的解法
【精准突破1】
学习目标:利用根判别式求系数的取值范围 目标分解:(1)理解一元二次方程各项系数 (2)掌握实数根的个数与判别式的关系 教学过程:
老师提问1:找出关于x 的一元二次方程p q nx mx nx mx -=++-2
2
()0≠+n m 的各项系数
老师提问2:根的判别式取值与根的个数有什么关系? 老师提问3:一元二次方程有实数根表示有几个根?
老师提问4:一元二次方程有实数根,用根的判别式如何去表示?
老师提问5:当一元二次方程中遇到求各项系数或常数项的取值范围时,通常需要什么条件?
特别注意:求二次项系数的取值范围时候,二次项系数不能取0 第1题【参考答案】
因为方程有实数根,所以△≥0, 即系ac b 42
-≥0
()()01442≥--k
解得:k≤0
【精准突破2
学习目标:运用根与系数的关系式求根的大小 目标分解:(1)掌握一元二次方程各项的系数 (2)掌握根与系数关系式 (3)运用根与系数的关系式求根 教学过程
老师提问1:找下下列各式的系数
(1)x 2-3x -1=0 (2)2x 2+3x -5=0 (3)21
203
x x -= 老师提问2:求下列各式的两根之和及两根之积
(1)x 2-3x -1=0 (2)2x 2+3x -5=0 (3)21203
x x -= 老师提问3:若方程x 2-2x -3=0 其中一个根为3,求另外一个根?有多少种求法?哪种更简单?
老师提问4:若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x 1与x 2,只要知道a 、b 、c 、x 1、x 2中的任意三个条件,能否求其它条件? 第1题【参考答案】 因为a b x x -21=+,a
x x c 21=• 所以1
222=•x 解得x 1=1 所以1+2=-p 解得p=-3
1.关于x 的一元二次方程kx 2+3x ﹣1=0有实数根,求k 的取值范围
2.在解方程x 2+px+q=0时,甲同学看错了p ,解得方程根为x=1与x=-3;乙同学看错了q ,解得方程的根为x=4与x=-2,你认为方程中的p= ,q= .
【查漏补缺】
1.关于x 的一元二次方程x 2-2x +2k =0有实数根,则k 得范围是( )
A .k <
21 B .k >21 C . k≤21 D . k≥2
1 2.若方程x 2+px+q=0的两根中只有一个为0,那么 ( )
A . p=q=0
B . P=0,q≠0
C .p≠0,q=0
D . p≠0, q≠0
【举一反三】
1.若x 1,x 2是方程x 2-2x -1=0的两根,求(x 1+1)(x 2+1)的值
2.已知关于x 的方程x 2+mx+m ﹣2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值;
(2)求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
【方法总结】 1.根的判别式:
1)042
>ac b - ⇔ 方程有两个不等的实数根 2)042=-ac b ⇔ 方程有两个相等的实数根 3)042<ac b - ⇔ 方程没有实数根 4)042≥-ac b ⇔ 方程有实数根 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是: △把方程化为一般形式,确定a 、b 、c 的值;
△求出b 2-4ac 的值;
△若b 2-4ac ≥0,则把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式x =-b ±b 2-4ac
2a
,求出x 1、x 2,若b 2-4ac <0,则方程没有实数根.
3.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是
,那么,
1.不解方程,判断方程根的情况。
(1)x 2+2x -8=0; (2)3x 2=4x -1; (3)x (3x -2)-6x 2=0; (4)x 2+(3+1)x =0; (5)x (x +8)=16; (6)(x +2)(x -5)=1; 2.下列关于x 的方程有实数根的是( ) A .x 2﹣x+1=0
B .x 2+2x+2=0
C .(x ﹣1)2+1=0
D .(x ﹣1)(x+2)=0
3.下列选项中,能使关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x+c=0一定有实数根的是( ) A .a >0 B .a=0
C .c >0
D .c=0
4.已知方程031m 2-2
2
=+-m x x )(的两个根是互为相反数,则m 的值是( )
A .m=±1
B .m=﹣1
C .m=1
D .m=0
5.若0和-3是方程的x 2+px+q=0两根,则p+q= __ 6.若实数a 、b 满足a 2-7a+2=0和b 2-7b+2=0,则式子b
a
a b +的值是 . 7.用公式法解答一元二次方程.
(1) 14x 32
+=x (2)x x 85)42(x -=-
8.m 取什么值时,关于x 的方程x 2-(2m +2)x +m 2-2m -2=0没有实数根?
)0(02
≠=++a c bx ax 21x x ,a b x x -=+21a
c
x x =21
9.已知关于x 的方程x 2﹣(2k+1)x+4(k ﹣
2
1)=0 (1)求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC 的一边长a=4,另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.
第1天作业
1.已知一元二次方程x 2﹣x ﹣3=0的较大根为x 2,则下面对x 2的估计正确的是( ) A .﹣2<x 2<﹣1 B .﹣1<x 2<0
C .2<x 2<3
D .1<x 2<2
2.如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是( ) A .b 2﹣4ac≥0 B .b 2﹣4ac≤0 C .b 2﹣4ac >0 D .b 2﹣4ac <0 3.设x 1,x 2是方程035x 2
=-+x 的两个根,则的值是( ) A .19 B .25
C .31
D .30
4.用公式法解方程:2x 2﹣9x+8=0.
5.已知关于x 的方程x 2+px+q=0根的判别式的值为0,且x=1是方程的一个根,求p 和q 的值.
11。