第4讲指数与指数函数
第4讲 指数、指数函数和幂函数
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1.幂函数 y＝xα(α 是常数)的图象( A．一定经过点(0,0) B．一定经过点(1,1) C．一定经过点(－1,1) D．一定经过点(1，－1) )
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【参考答案】B
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1 2.16－4＝( 1 A．2 C．2
x
x 4 － 2 － 由 2x＋λ· 2 x≤4， 所以 λ≤ －x ＝－(2x)2＋4· 2x＝－(2x－2)2＋4， 2
所以当 x＝0,2x＝1 时，λ≤3， 1 所以 λ∈[－2，3]．
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【变式题 3】 1 1 已知 x∈[－3,2]，求 f(x)＝4x－2x＋1 的最小值与最大值．
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【变式题 1】已知幂函数 f(x)经过点( 2，2 2)，则函数 f(x)的表达式为( 1 A．f(x)＝ x C．f(x)＝x3 ) B．f(x)＝x2 D．f(x)＝
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【参考答案】 C
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考向二：指数与指数幂的运算 【例 2】 (2010 年学考)已知函数 f(x)＝ax(a>0， 且 a≠1)， f(1)＝2，则函数 f(x)的解析式是( A．f(x)＝4 C．f(x)＝2
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1 1 【参考答案】解：f(x)＝4x－2x＋1 ＝4 －2 ＋1 12 3 ＝(2 －2) ＋4.
－x －x －x
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
(新课标)高考数学一轮复习-第二章 函数、导数及其应用 第4讲 指数与指数函数课件
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂 一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的 实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象 如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是 导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值 范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性 单调性 在R上_____递__减___
在R上____递__增____
指数及指数函数——导学案(高三一轮复习)
第4讲 指数与指数函数2023.9.14课标解读1. 通过认识有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3. 能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．必备知识 自主学习知|识|梳|理1．根式(1)如果x n ＝a ，那么 叫做a 的n 次方根．(2)式子n a 叫做 ，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(n a )n ＝ .当n 为奇数时，n a n ＝ ， 当n 为偶数时，n a n ＝ ＝ . 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，n m a＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂，n ma＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 0的正分数指数幂为 ,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝ ；(a r )s ＝ ；(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10＜a＜1图象定义域值域性质图象过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x＜0时，当x＜0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是16在(－∞，＋∞)上是17基|础|自|测1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.( )(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．( )(3)函数y＝2x－1是指数函数．( )(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )2．化简：÷（13a）(a>0)＝()A．6a B．－a C．－9a D．9a2 3．函数f(x)＝2x－1的值域为．命题点1 指数幂的运算 例1 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T (单位：小时h)与储藏的温度t (单位：℃)满足的函数关系为T ＝e kt ＋b (k ，b 为常数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h ，在10 ℃时的有效保存时间是120 h ，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为( )A ．15 hB ．30 hC ．40 hD ．60 h(2) 化简求值：＝ .(3) 已知a 2x ＝5，则a 3x －a －3x a x －a －x ＝ .针对训练1．(多选)下列运算正确的是( )A.(m n )7＝m 7·(m >0，n >0) B.12(－3)4＝1234＝33 C.4x 3＋y 3＝(x >0，y >0) D.39＝332．(2023·山西太原质检)计算：－(−17)−2＋－3－1＋(2－1)0＝ .命题点2 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．[母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．针对训练1．(2023·山东济南摸底)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝1，当x>1时，f(x)＝2x－1，则f(x－1)<2的解集是．2．若直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是．当堂小结课后作业：1、预习指数及指数函数的性质2、完成对应作业。
指数与指数函数图像及性质(学生版)
指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第4讲指数与指数函数习题
2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4讲 指数与指数函数习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列函数中值域为正实数的是导学号 25400277( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1 D ．y ＝3|x |[答案] B[解析] ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x的值域是正实数，∴y ＝(13)1－x的值域是正实数．2．(2015·山东德州第一中学10月月考)函数f (x )＝a x －1＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象一定过定点导学号 25400278( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,1)D ．(2,1)[答案] B[解析] 令x －1＝0得x ＝1，此时y ＝a 0＝1，所以点(1,2)与a 无关，所以函数f (x )＝a x －1＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,2)．3．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于导学号 25400279( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11[答案] B[解析] ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a＝3. ∴f (2a )＝22a＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.4．(2015·成都二诊)若函数f (x )＝(a ＋1e x－1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于导学号 25400280( )A ．－1B ．1C ．－12D ．12[答案] D[解析] ∵y ＝cos x 是偶函数而f (x )＝(a ＋1e －1)cos x 是奇函数，∴函数y ＝a ＋1e －1是奇函数，∴a ＋1e x －1＋a ＋1e －x －1＝0解得a ＝12，故选D ．5．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是导学号 25400281( )A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c[答案] D[解析] a ＞20＝1，b ＝1，c ＜(12)0＝1，∴a ＞b ＞c .6．(2015·济宁三模)已知函数f (x )＝|2x－1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是导学号 25400282( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a＜2cD ．2a＋2c＜2[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，结合图象知 0＜f (a )＜1，a ＜0，c ＞0，∴0＜2a＜1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a＜1，∴f (c )＜1，∴0＜c ＜1. ∴1＜2c ＜2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c－1， 又∵f (a )＞f (c )，∴1－2a ＞2c－1， ∴2a ＋2c＜2，故选D ． 二、填空题7．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝________.导学号 25400283 [答案]433[解析] 原式＝2log 43＋2－log 43＝3＋13＝433.8．(2015·北京)2－3,312 ，log 25三个数中最大的数是________.导学号 25400284[答案] log 25[解析] 因为2－3＝123＝18，312 ＝3≈1.732，而log 24＜log 25，即log 25＞2，所以三个数中最大的数是log 25.9．函数y ＝(12)x 2－2x ＋2的递增区间是________.导学号 25400285[答案] (－∞，1][解析] 因为y ＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1的递减区间是(－∞，1]，所以原函数的递增区间是(－∞，1]．10．已知函数f (x )＝(a －2)a x(a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，则a 的取值范围是________.导学号 25400286[答案] (0,1)∪(2，＋∞)[解析] 当0＜a ＜1时，a －2＜0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1＜a ＜2时，a －2＜0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a ＞2时，a －2＞0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．三、解答题11．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.导学号 25400287(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． [答案] (1)1 (2)[－5，＋∞) [解析] (1)当x ＜0时，f (x )＝0无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x－3·2x－2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1. (2)当t ∈[1,2]时，2t (22t－12)＋m (2t－12)≥0， 即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．12．(2015·山东枣庄第八中学上学期第二次阶段性检测)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a是奇函数.导学号 25400288 (1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并求其值域； (3)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0.[答案] (1)2 (2)减函数(－12，12) (3){t |t ＞1或t ＜－13}[解析] (1)∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)，即－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验，当a ＝2时，函数f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12＋2＝－12＋12＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．∵函数f (x )的定义域为R ，∴2x ＞0,2x＋1＞1， ∴0＜12x ＋1＜1，∴－12＜－12＋12x ＋1＜12，函数f (x )的值域为(－12，12)．(3)∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．∵f (x )是减函数，∴t 2－2t ＞－2t 2＋1，即3t 2－2t －1＞0，解不等式得{t |t ＞1或t ＜－13}．B 组 能力提升1．(2015·山东德州联考)若函数f (x )，g (x )分别为R 上的奇函数，偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有导学号 25400289( )A ．f (2)＜f (3)＜g (0)B ．g (0)＜f (3)＜f (2)C ．f (2)＜g (0)＜f (3)D ．g (0)＜f (2)＜f (3)[答案] D[解析] ∵f (x )－g (x )＝e x且f (x )，g (x )分别为R 上的奇函数，偶函数， ∴f (－x )－g (－x )＝e －x，即－f (x )－g (x )＝e －x， 解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e－x2.易知f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (3)＞f (2)＞f (0)＝0.又g (0)＝－1，∴g (0)＜f (2)＜f (3)，故选D ．2．已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，下列关于f (x )的性质：导学号 25400290 ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)＜2f (x 1＋x 22)；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是导学号 25400291( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④[答案] B[解析] 因为e ＞1，根据指数函数的性质可得f (x )＝e x为定义域内的增函数，故①正确；函数f (x )＝e x的反函数为y ＝ln x ，故②错误；f (x 1)＋f (x 2)＝e x1＋e x2＞2e x1e x2＝2e x1＋x2＝2f (x 1＋x 22)，故③错误；画出函数f (x )＝e x 和y ＝x 2的图象可知，两函数图象在(0，＋∞)内无交点，故④正确．结合选项可知，选B ．3．(2015·湖北鄂州统考)已知2a ＝5b＝10，则1a ＋1b＝________.导学号 25400292[答案] 2[解析] ∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2. 4．(2015·湖北十校联考)已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24).导学号 25400293(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．[答案] (1)f (x )＝3·2x(2)(－∞，56][解析] (1)∵f (x )的图象过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.∴a 2＝4.又a ＞0，∴a ＝2，∴b ＝3. ∴f (x )＝3·2x.(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，(12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x在x ∈(－∞，1]时恒成立． 又∵y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，∴y ＝(12)x ＋(13)x也是减函数，∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是(－∞，56]．5．(2015·湖南长沙模拟)已知奇函数f (x )的定义域为[－1,1]，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－(12)x.导学号 25400294(1)求函数f (x )在[0,1]上的值域；(2)若x ∈(0,1]，g (x )＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1的最小值为－2，求实数λ的值．[答案] (1)(1,2]∪{0} (2)4[解析] (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， ∴f (－x )＝－(12)－x ＝－2x.又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴当x ∈(0,1]时，f (x )＝－f (－x )＝2x， ∴f (x )∈(1,2]．又f (0)＝0，∴当x ∈[0,1]时，函数f (x )的值域为(1,2]∪{0}．(2)由(1)知，当x ∈(0,1]时，f (x )∈(1,2]，∴12f (x )∈(12，1]．令t ＝12f (x )，则12＜t ≤1，g (t )＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1＝t 2－λt ＋1＝(t －λ2)2＋1－λ24.①当λ2≤12，即λ≤1时，g (t )＞g (12)，无最小值．②当12＜λ2≤1，即1＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ2)＝1－λ24＝－2，解得λ＝±23(舍去)．③当λ2＞1，即λ＞2时，g (t )min ＝g (1)＝2－λ＝－2，解得λ＝4.综上所述λ＝4.。
指数与指数函数
指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。
根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。
a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。
ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。
例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
第2章 第4节 指数与指数函数-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
3.指数函数的图象与性质
y＝ax(a＞0 且 a≠1)
a＞1
图象
0＜a＜1
定义域 值域
R (_0_，__＋__∞__) 过定点_(_0_，__1_)_
性质
当x＞0时，_y_＞__1_； 当x＞0时，0_＜__y_＜__1_； 当x＜0时，_0_＜__y_＜__1_ 当x＜0时，__y_＞__1__
命题点 2 与指数函数有关的复合函数的单调性
[例 3－2] 若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19， 则 f(x)的单调递增区间是(_－__∞__，__－_.1]
[自主解答] 令 g(x)＝ax2＋2x＋3， 由于 f(x)的值域是0，19，所以 g(x)的值域是[2，＋∞).
a＞0， 因此有12a4－ a 4＝2，解得 a＝1， 这时 g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝13x2＋2x＋3. 由于 g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
核心考点·讲练互动
►考向一 指数幂的运算[自主练透] [例 1] 化简下列各式： (1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5； (2)（a14ba123）b234aa－b132b13(a＞0，b＞0).
[自主解答] (1)原式＝1＋14×4912－110012 ＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
关系是( C ) A.a＜b＜c
B.a＜c＜b
C.b＜a＜c
D.b＜c＜a
解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5 ＜0.60.6＜0.60＝1，而c＝1.50.6＞1，∴b＜a＜c.
6.函数y＝ex＋1的值域为_(0_，__＋__∞__). 解析 易知y＝ex＋1的定义域为R，令φ(x)＝x＋1， 则φ(x)∈R， 又由指数函数的性质知y＝ex＋1∈(0，＋∞).
指数与指数函数教案
指数与指数函数教案TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】指数与指数函数一、教学目标1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2．掌握指数函数的概念,图象和性质.二、重点、难点讲解1. 指数（1） 根式若x n =a(n>1,且*∈N n ),则x 叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，a 的n 次方根是n a .当n 为偶数时，若a>0，a 的n 次方根有2个，这两个方根互为相反数，即n a ±，其中正的一个n a 叫做a 的n 次算术根；若a=0，0的n 次方根只有一个，是0；若a<0，a 的n 次方根不存在（在实数范围内）.当n 为奇数时，a a n n =.当n 为偶数时，=n n a ⎩⎨⎧-a a(2)指数概念的推广① 零指数.若运用指数运算法则，0a a a a n n n n ==÷-，又有1=÷n n a a ，因此规定)0(10≠=a a .② 负整数指数.若运用指数运算法则，n n n n a a a a a --==÷=÷001，又有nn a a 11=÷，因此规定),0(1*-∈>=N n a aa n n . ③ 正分数指数.若运用指数运算法则，m n nm nnm a aa ==⋅)(，因此规定).1,,,0(>∈>=*n N n m a a an m nm且④ 负分数指数，若运用指数运算法则，nm nm nm nm a a aa a --==÷=÷001，又有nm nmaa 11=÷，因此规定)1,,,0(11>∈>==*-n N n m a a aanmnm nm 且且.⑤ 无理数指数，若a>0,p 是无理数，则a p 也表示一个实数（因知识的原因，教材中对具体的规定已省略）（3）指数运算法则若a>0,b>0,Q s r ∈,,则有下列指数运算法则：①s r s r a a a +=⋅；②rs s r a a =)(；③r r r b a ab =)(.实际上上述法则当r,s 为无理数时也成立.2．指数函数（1）形如y=a x)1,0(≠>a a 的函数叫做指数函数，因此x x y y π==,)31(都是指数函数，而x x y y 4,32-=⋅=均不能称为指数函数.（2）在y=a x 中，当0≤a 时a x 可能无意义，当a>0时x 可以取任何实数，当a=1时，)(1R x a x ∈=，无研究价值，且这时11==x y 不存在反函数，因此规定y=a x 中.1,0≠>a a 且（3）指数函数的图象和性质(4)指数函数y=a x的性质可以由x x x y y y )21(,2,10===的图像这三条曲线来记忆.由图可见，当a>1时，指数函数y=a x 的底数越大，它的图象在第一象限部分越“靠近y “靠近x 轴”.又因函数y=a x和x ay )1(=实际上x x a ay -==)1(,因此当0<a<1越小，它的图像在第二象限部分越“靠近y 轴”，在第一象限部分越“靠近x 轴”.(5)函数值的变化特征：注意：a 值的变化与图像的位置关系（详见图形）二．经典例题题型1：根式与分数指数幂的运算例1．（1）34383316154168515--+；（2）3232+-（3）32ab （4）42)(a - 题型2：指数式的化简求值例2（1）计算:;)13()32(10008.0)416(25.00132211-+-⨯-⨯⨯---（2）计算:21210112])21[()12()35(42-++⨯+-÷-++n n（3）化简：3163)278(--b a （4）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--例3．（1）已知31=+-a a ，求22-+a a 与33-+a a 的值（2）已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值题型3：指数比较大小问题例4（1）6351,9,2===c b a 试比较c b a ,,的大小。
第4章 幂函数、指数函数、对数函数
第四章：幂函数、指数函数和对数函数4、1 幂函数的图像与性质1、幂函数的概念一般地，函数(k y x k =为常数，k Q ∈）叫做幂函数。
思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。
2y x =、y x =、1y x=、0y x =、12y x =⋅⋅⋅(2)下列函数是否为幂函数： （1）2y x =； （2）17(2)y x -=；（3）13(2)y x =-； （4）y =。
2、幂函数的图像 画幂函数图像分两步：（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。
例1、分别画出下列幂函数的大致图像。
（1）43y x =； （2）12y x -=； （3）13y x =； （4）0y x =；（5）2y x-=； （6）12y x =； （7）32y x =； （8）23y x =（9）53y x =； （10）y x =； （11）13y x -=。
3、幂函数()ky x k Q =∈的性质：（1）幂函数的图像恒过点(1,1)；（2）当0k >时，幂函数在区间[0,)+∞是上增函数； 当0k <时，幂函数在区间(0,)+∞上是减函数。
例2、已知幂函数21(732)35(1)()t t y t t xt Z +-=-+∈是偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调增函数。
求整数t 的值，并作出相应幂函数的大致图像。
解：0t =（舍去），或1t =±，图像略。
例3、分别画出下列函数的大致图像。
（1）y = （2）3(1)y x =+；（3）y = （4）()231y x -=-。
例4、设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1mnkr之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
解：在同一坐标系内作出函数,,,a b c dy x y x y x y x ====与直线(01)y p p =<<相交，得交点的横坐标分别为,,,n r k m 可以得出：1n r k m <<<<。
高考数学一轮复习课件：第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图象
指数函数的图象是经过原点的 一条单调曲线，其形状由底数 $a$ 的值决定。
当 $a > 1$ 时，图象位于第一 象限和第四象限；当 $0 < a < 1$ 时，图象位于第一象限和第 二象限。
指数函数在数学建模中的应用
生态种群模型
在生态学中，指数函数常 用于描述种群数量的增长 或减少。
经济模型
在经济学中，指数函数常 用于描述经济增长、消费 、投资等经济活动。
传染病模型
在流行病学中，指数函数 用于描述疾病的传播过程 。
指数函数与其他数学知识的综合应用
与导数结合
指数函数与导数结合，可以研究 函数的单调性、极值等问题。
基础习题2
已知$2^{x} = 4$，求$x$的值。
基础习题3
已知$x^{2} = 4$，求$x$的值。
提高习题
提高习题1
已知$a^{m} = 2$，$a^{n} = 8$ ，求$frac{a^{m + n}}{a^{m}}$ 的值。
提高习题2
已知$2^{x} = 4$，求$log_{2}4$ 的值。
已知$2^{x} = 4$，$log_{2}4 = y$， 求$x$和$y$的值。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
总结与回顾
本讲重点回顾
指数函数的定义与性质
指数函数是形如$y=a^x$ (其中 $a>0$且$aneq1$)的函数，具有增 长或减少的特性。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
指数与指数函数讲义
指数与指数函数讲义一、知识梳理1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定-mna＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数注意：1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，)1,1(a-. 2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘．( )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( ) 题组二：教材改编2．[]化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________.3．]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P )21,2(，则f (－1)＝________.4．已知a ＝133()5-，b ＝143()5-，c ＝343()2-，则a ，b ，c 的大小关系是________．题组三：易错自纠5．计算：133()2-×0)67(-＋148×42－________. 6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 7．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．三、典型例题题型一：指数幂的运算1．计算：2327()8--＋120.002-－10(5－2)－1＋π0＝________. 2．化简：41233322338(4a a b ab a--÷-+＝________.( a >0)思维升华：(1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二：指数函数的图象及应用典例 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．2a ＋2c ＜2思维升华：(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练 (1)已知实数a ，b 满足等式2 018a ＝2 019b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________． 题型三：指数函数的性质及应用 命题点1：指数函数单调性的应用典例 (1)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝147()9-，b ＝159()7，则f (a )，f (b )的大小关系是________．命题点2：与指数函数有关的复合函数的单调性 典例 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________；(2)函数f (x )＝2211()2xx -++的单调减区间为____________．(3)函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________．命题点3：指数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝2431()3axx -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．思维升华：(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练(1)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )＞f (c x )D ．与x 有关，不确定四、反馈练习1．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 2．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．273．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b4．设a ＝log 213，b ＝12e -，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b ＜a ＜c5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是7．若“m ＞a ”是“函数f (x )＝x )31(＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 8．不等式222x x－＋>4)21(+x 的解集为________．9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式xa)1(＋xb)1(－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．14．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-课件 高一数学(北师大版2019必修第一册)
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
《指数与指数函数》课件
2 特殊性质
e的值是无理数，e的倒数为0.3678… 。。
自然对数函数的定义
自然对数函数y=lnx是以常数e（约为2.7 18 2 8 ）为底数的对数函数。
自然对数函数的图像和性质
图像
性质
1 无界限性
自然对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(∞,+∞)。
2 单调递增
自然对数函数具有单调递增性质，x越大， 自然对数的值越大。
对数和指数的关系
对数和指数是互为反函数的函数，可以用来互相转化，例如e^ (ln x)=x。
对数函数的图像和性质
图像
性质
1 穿过y轴
当x=1时，y=0，因此，对于任何底数a （a>0且a≠1），对数函数y=logax都穿过点 （1，0）。
2 单调递增
底数大于1时，对数函数单调递增；底数小 于1时函数单调递减。
对数函数的定义
对数函数是指数函数的反函数，其定义为y=logax，其中a>0且a≠1，x>0。
对数的性质
对于任意的a>0，a≠1，m 和n是正数，则有：
对数乘法公式
loga(m ·n)=logam +logan。
对数除法公式
loga(m /n)=logam −logan。
对数幂运算公式
loga(m ^ n)=nlogam 。
指数函数y=e^ x的图像是一条通过点(0,1)，从左往右逐渐增长的曲线。
指数函数的图像和性质
图像
性质
1 在零点处穿过y轴
e^ 0=1，因此该函数穿过y轴（0,1）。
2 单调递增
指数函数的导数恒大于0，因此函数单调递 增。
3 无零点
指数函数无论x取多少值，其函数值都不为0。
第4讲 指数与指数函数教案 理 新人教版
第4讲指数与指数函数【2013年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用．3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小．【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为〒na(a＞0)．③⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n＝a . ④当n 为奇数时，na n ＝a ；当n 为偶数时，na n＝ |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n ＝n a m(a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)；⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a mn ＝1n a m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q ) ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域R 值域 (0，＋≦) 性质过定点(0,1)x ＜0时，0＜y ＜1x ＜0时，y ＞1. 在(－≦，＋≦)上是减函数当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1； 在(－≦，＋≦)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .双基自测1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 32．(2012·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－≦，＋≦)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值4．(2011·天津)已知4.3log 25=a 6.3l o g 45=b 3.0l o g 351⎪⎭⎫⎝⎛=c 则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b5．(2012·天津一中月考)已知32121=+-a a ，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)653221-1-3221-abba b a ； (2)2133212314213.65⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-----b a b a b a . [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键． 解 (1)原式=656131212131ba ba b a --⋅ ＝653121612131-+---⋅ba＝ 1a.(2)原式＝－52a －16b －3〔(4a 23·b －3)12＝－54a－16b－3〔⎝⎛⎭⎪⎫a13b－32＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．【训练1】计算：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎪⎫27912－()2－10；(2)⎝⎛⎭⎪⎫14－12·4ab－130.1－2a3b－312.考向二指数函数的性质【例2】►已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x－1＋12·x3(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解(1)由于a x－1≠0，且a x≠1，所以x≠0.≨函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意x，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )，≨f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对x ＞0，由指数函数的性质知a x ＞1， ≨a x－1＞0，1a x －1＋12＞0.又x ＞0时，x 3＞0，≨x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＞0，即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立． 综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋1x 32a x －1.当x ＞0时，1＞a x ＞0，a x ＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意； 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )〒f (x )，f x f －x 来判断．(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 【训练2】 设f (x )＝e －xa＋a e －x是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋≦)的单调性．考向三 指数函数图象的应用【例3】►(2009·山东)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性． 解析 y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x －1＞0且随着x 的增大而增大，故y＝1＋2e 2x －1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋≦)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y ＝e x －e －x2，y ＝lg(10x －1)等．【训练3】 已知方程10x ＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】► (2011·福建五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－≦，＋≦)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≥K ，K ，f x ＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x ，若对任意的x ∈(－≦，＋≦)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x－a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≤f 2x ，f 2x ，f 1x ＞f 2x ，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值范围是________．一、选择题1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x 2．(2012·杭州月考)函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )3．设y 1＝40.9，y 2＝80.44，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 24．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9] D ．[1，＋≦)5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数 二、填空题6．814〓42＋(32〓3)6＝________.7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．三、解答题8．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．9．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3〓4x的最值．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．双基自测1. 解析 由题意有3a＝9，则a ＝2，≨tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2. 解析f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <1，答案 B3.解析 设y ＝f (x )，t ＝2x＋1， 则y ＝1t，t ＝2x ＋1，x ∈(－≦，＋≦)t ＝2x ＋1在(－≦，＋≦)上递增，值域为(1，＋≦)． 因此y ＝1t在(1，＋≦)上递减，值域为(0,1)． 答案 A4.解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1，又log 23.4＞log 2103＞log 3 103，≨log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6又≧y ＝5x 是增函数，≨a ＞c ＞b . 答案 C5.解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 47【训练1】1. 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.【训练2】 2解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，≨f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x)＝0，即a ＋1a＝0，即a 2＋1＝0显然无解．≨f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x)＝0， 又≧对任意x ∈R 都成立，≨有a －1a＝0，得a ＝〒1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋≦)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－ e x 2－e －x 2 ＝e x 1－e x 2e x 1＋x 2－1e x 1＋x 2，≧x 1，x 2∈(0，＋≦)且x 1＜x 2，≨e x 1＋x 2＞1，e x 1－e x 2＜0，≨e x 1＋x 2－1＞0， ≨f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ≨函数f (x )＝e －xa＋ae －x， 当a ＝1时在(0，＋≦)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋≦)为减函数．【训练3】解析 作函数y ＝f (x )＝10x ，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，≨它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，≨y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．≨α＋β2＝5，即α＋β＝10. 答案 10 课时作业1. 解析：≧1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数集，≨y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集． 答案：B2. 解析：y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x ≥0，a －x x ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图象相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案：B3. 解析：利用幂的运算性质可得y 1＝21.8，y 2＝21.32，y 3＝21.5，再由y ＝2x 是增函数可知选D. 答案：D4. 解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，可知C 正确． 答案：C5. 解析：令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数， ≧当x >2时，f (x )>1，≨当t <0时，a t >1.≨0<a <1.≨f (x )在R 上是增函数．答案：A6. 解析：原式＝234〓214＋⎝⎛⎭⎫213〓3126＝2＋22〓33＝2＋4〓27＝110. 答案：1107. 解析：≧a 2－2a －3＝0，≨a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n . 答案：m >n 8. 解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ≨a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.≨a ＝0(舍)或a ＝32>1.≨a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ≨a －a 2＝a2.≨a (2a －1)＝0，≨a ＝0(舍)或a ＝12.≨a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32.9. 解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，≨M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3〓(2x )2＋2x＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.≧x ＞3或x ＜1，≨2x ＞8或0＜2x ＜2， ≨当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．10. 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－≦，－2)上单调递增，在[－2，＋≦)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－≦，－2)上单调递减，在[－2，＋≦)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是[－2，＋≦)，递减区间是(－≦，－2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。
指数与指数函数讲义
指数与指数函数课前双击巩固1.根式n 次方根概念如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*性质当n是时,a的n次方根为x= √a n 当n是时,正数a的n次方根为x=±√a n,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作√0n=0根式概念式子√an叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,√a nn=当n为偶数时,√a nn=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:a mn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质① a r a s=(a>0,r,s∈Q);②(a r)s=(a>0,r,s∈Q);③ (ab )r = (a>0,b>0,r ∈Q ). 3.指数函数的图像与性质y=a x(a>0且 a ≠1)a>10<a<1图像定义域 R 值域性质过定点当x>0时, ;当x<0时, 当x>0时, ;当x<0时, 在R 上是在R 上是常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a ≠1)的图像恒过定点(0,1+b). 2. 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图像以x 轴为渐近线. 题组一 常识题1. 若x+x -1=3,则x 2-x -2= .2. 已知2x-1<23-x,则x 的取值范围是 .3. 函数y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图像恒过定点 . 4.下列所给函数中值域为(0,+∞)的是 .(填序号) ①y=-5x,②y=(13)1−x,③y=√(12)x-1,④y=√1−2x .题组二 常错题◆索引:忽略n 的范围导致式子√a n n(a ∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算√(1+√2)33+√(1-√2)44= .6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f (x )=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f (x )=ax 2+bx+c (a>0)满足f (1-x )=f (1+x ),则f (2x)与f (3x)的大小关系是 .课堂考点探究探究点一 指数幂的化简与求值例题1 (1) 已知a-1a =3(a>0),则a 2+a+a -2+a -1的值为 ( )A.13-√11B.11-√13C.13+√11D.11+√13(2)计算0.02713+2560.75-(41727)-13-72916= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 变式题 (1)计算:(19)-3×27-23+3π0= .(2)已知a ,b 是方程x 2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则√a -√b√a+√b= .探究点二 指数函数的图像及应用 例题2 (1)函数y=1-e |x|的图像大致是 ( )图2-8-1(2)已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思](1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解. 变式题(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是( )图2-8-2(2)已知函数y=(12a-4)x的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为( )A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小例题3 (1)已知a=243,b=425,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,a 13,a 3的大小关系是 (用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小. 考向2 解简单的指数方程或不等式例题4 (1)已知函数f (x )={2x -1,x >1,1,x ≤1,则不等式f (x )<f (2x )的解集是 .(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .[总结反思] (1)a f (x)=a g (x)⇔f (x )=g (x ).(2)a f (x)>a g (x),当a>1时,等价于f (x )>g (x );当0<a<1时,等价于f (x )<g (x ).考向3 指数函数性质的综合问题 例题5 (1)函数f (x )=a+be x +1(a ,b ∈R )是奇函数,且图像经过点ln 3,12,则函数f (x )的值域为( )A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化. 强化演练1.【考向1】已知a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x 使2x(x-a )<1成立,则a 的取值范围是 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D .(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a ≠1,函数f (x )={4x ,x ≥0,2a -x ,x <0, 若f (1-a )=f (a-1),则a 的值为 .4.【考向2】若偶函数f (x )满足f (x )=2x-4(x ≥0),则不等式f (x-2)>0的解集为 .5.【考向3】已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常数且a>0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).若不等式(1a )x +(1b)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数m 的取值范围为 .参考答案1.n 次方根 奇数 偶数 没有意义 根式 根指数 被开方数 a {a(a ≥0),-a(a <0)2.(1)0 没有意义 (2)a r+sa rsa rb r3.(0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数1.±3√5 [解析] 把x+x -1=3两边平方,可得x 2+x -2=7,则(x-x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以x-x -1=±√5,所以x 2-x -2=(x+x -1)(x-x -1)=±3√5.2.(-∞,2) [解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x ,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2).3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a 0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3). 4.② [解析] 对于②,∵1-x ∈R ,∴y=(13)1−x的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2√2 [解析] √(1+√2)33+√(1-√2)44=1+√2+|1-√2|=2√2. 6.2 [解析] 由指数函数的定义可得{a 2-3=1,a >0,a ≠1,解得a=2.7.2或12[解析] 若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=12.8.f (3x)≥f (2x) [解析] ∵f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称.由a>0知,f (x )图像的开口向上.当x<0时,2x <1,3x <1,2x >3x ,且f (x )为减函数,故f (2x )<f (3x);当x>0时,2x >1,3x >1,3x >2x ,且f (x )为增函数,故f (3x )>f (2x );当x=0时,f (3x )=f (2x ).故f (3x )≥f (2x).【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用完全平方公式找到a-1a,a 2+1a2,a+1a之间的关系即可求解;(2)根据分数指数幂的运算法则进行计算.(1)D (2)60.7 [解析] (1)由a-1a =3,得a-1a 2=9,即a 2+1a 2-2=9,故a 2+a -2=11.又(a+a -1)2=a 2+a -2+2=11+2=13,且a>0,所以a+a -1=√13.于是a 2+a+a -2+a -1=11+√13,故选D.(2)原式=0.3+(44)34-(12527)-13-(36)16=0.3+43-35-3=60.7.变式题 (1)84 (2)√55 [解析] (1) 原式=(3-2)-3×(33)-23+3=3-2×(-3)×33×(−23)+3=36×3-2+3=36-2+3=34+3=84.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以(√a -√b√a+√b)2=2√ab a+b+2√ab =√46+24=15. 因为a>b>0,所以√a >√b ,所以√a -√b a+√b =√55. 例2 [思路点拨] (1)结合解析式和图像,分析奇偶性和值域可得结论;(2)作出函数f (x )的图像,再重点分析a 与c 的情况.(1)A (2)D [解析] (1)将函数解析式与图像对比分析,函数y=1-e |x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A 选项满足上述两个性质,故选A.(2)作出函数f (x )=|2x-1|的图像,如图所示,因为a<b<c ,且有f (a )>f (c )>f (b ),所以必有a<0,0<c<1,且|2a -1|>|2c -1|,所以1-2a >2c -1,则2a +2c <2,且2a +2c>1.故选D.变式题 (1)C (2)C [解析] (1)若a>1,则1-a<0,函数y=a x单调递增,y=(1-a )x 单调递减;若0<a<1,则1-a>0,函数y=a x 单调递减,y=(1-a )x 单调递增.所以y=a x与y=(1-a )x 单调性相反,排除A ,D ;又y=a x的图像过定点(0,1),所以排除B.故选C.(2)由两函数的图像关于y 轴对称,可知12a -4与a 互为倒数,即a2a -4=1,解得a=4.例3 [思路点拨] (1)化为同底指数式,结合指数函数的单调性比较;(2)先将底数在a>0且a ≠1范围内进行转化,再结合指数函数的单调性比较.(1)A (2)3a>a 3>a 13 [解析] (1)由a 15=(243)15=220,b 15=(245)15=212,c 15=255>220,可知b 15<a 15<c 15,所以b<a<c.(2)易知3a>0,a 13<0,a 3<0,又由-1<a<0得0<-a<1,所以(-a )3<(-a )13,即-a 3<-a 13,所以a 3>a 13,因此3a >a 3>a 13.例4 [思路点拨] (1)结合函数的单调性,分x ≥2,1<x<2,0<x ≤1,x<0四种情况求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)(0,√2) (2) x=log 23 [解析] (1)当x ≥2时,2x ≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<2x <2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f (2x )得x<2x ,得1<x<√2;当0<x ≤1时,2x ≥2,不等式恒成立;当x<0时,2x <0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f (2x )的解集是(0,√2).(2)当x ≤0时,1-2x≥0,原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+√412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x<0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log 23.故原方程的解为x=log 23.例5 [思路点拨] (1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的值域确定函数f (x )的值域;(2)分离参数,根据指数函数单调性和不等式恒成立得出关于a 的不等式,解之即可. (1)A (2)(-34,+∞) [解析] (1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+b2=0,①函数图像过点ln 3,12,则f (ln 3)=a+b 4=12.②结合①②可得a=1,b=-2,则f (x )=1-2e x +1.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<2e x +1<2,所以-1<1-2e x +1<1,即函数f (x )的值域为(-1,1).(2)从已知不等式中分离出实数a ,得a>-[(14)x+(12)x].∵函数y=(14)x 和y=(12)x在R 上都是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,(14)x≥14,(12)x≥12,∴(14)x +(12)x≥14+12=34,从而得-(14)x +(12)x≤-34.故实数a 的取值范围为a>-34. 强化演练1.D [解析] ∵y=(25)x在R 上为减函数,35>25,∴b<c.又∵y=x 25在(0,+∞)上为增函数,35>25,∴a>c ,∴b<c<a.2.D [解析] 因为2x>0,所以由2x(x-a )<1得a>x-(12)x .令f (x )=x-(12)x,则函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (x )>f (0)=0-(12)0=-1,所以a>-1.3.12 [解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=12;当a>1时,代入可知不成立.所以a 的值为12.4.{x|x>4或x<0} [解析] f (x )为偶函数,当x<0时,-x>0,f (x )=f (-x )=2-x-4,所以f (x )={2x -4,x ≥0,2-x -4,x <0. 当f (x-2)>0时,有{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.5.(-∞,56] [解析] 把(1,6),(3,24)代入f (x )=b ·a x,得{6=ab,24=b·a 3, 结合a>0且a ≠1,解得{a =2,b =3,所以f (x )=3·2x.要使(12)x +(13)x ≥m 在x ∈(-∞,1]时恒成立,只需函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=(12)x+(13)x取得最小值56,所以只需m ≤56即可,即m 的取值范围为-∞,56.。
高考数学(人教a版,理科)题库：指数与指数函数(含答案)
第4讲 指数与指数函数一、选择题1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )解析 y ＝a |x |＝⎩⎨⎧ a x x ≥0，a －x x ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x ，x >02x x ≤0，则f (9)＋f (0)＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析 f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1，∴f (9)＋f (0)＝3.答案 D3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为 ( )． A ．R B ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案 C5．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( ) A. 6B ．2或－2C ．－2D ．2解析 (a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4.又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2.答案 D6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的 ( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 8．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ， ∵函数的图象不经过第一象限，∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案 (－∞，－2]9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)10．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1. (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎨⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围(－∞，56] 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
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第4讲 指数与指数函数【2013年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用． 2．考查指数函数求值．3．在函数与导数的解答题中，指数函数作为试题中函数解析式的组成部分，考查指数函数的求导、函数单调性的讨论等． 【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本节复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)． ③⎝⎛⎭⎫n a n ＝a . ④当n 为奇数时，na n ＝a .当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n＝a·a·…·an个(n∈N*)．②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝1a p(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：a mn＝na m(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)．②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)．③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)续表(3)过定点(0,1)(4)当x＞0时，y＞1；性质x＜0时，0＜y＜1(5)当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个注意(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 双基自测1．(人教A 版教材习题改编)(π－4)2等于( )．A ．π－4B ．4－πC ．π＋4D ．±(π－4) 解析(π－4)2＝|π－4|＝4－π.答案 B2．已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．A ．(1,5)B ．(1,4)C ．(0,4)D ．(4,0) 解析 当x ＝1时，f (1)＝5. 答案 A3．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( )． A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析 由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0. 答案 A4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )． A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3， ∴2a ＋2－a ＝3，f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7. 答案 B5．(2011·西安模拟)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析 ∵a ＝5－12∈(0,1)，则f (x )＝a x 为R 上的减函数．∵a m ＞a n ，∴m ＜n . 答案 m＜n考向一 指数式与根式的计算【例1】►计算下列各式：(1)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323； (2)a 43－8a 13ba 23＋23ab ＋4b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a . [审题视点] 先化为分数指数幂，再进行运算．解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋(23)14×214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫213×3126－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋4×27＝110.(2)令a 13＝m ，b 13＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n ＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a . 化简结果：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示； ③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【训练1】 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23·b －1－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . (2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16·b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab4ab 2.考向二 指数函数的图象及应用【例2】►(2011·合肥模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是( )．A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0[审题视点] 先由函数的增减趋势确定a 的范围，再由图象在y 轴上的截距所在范围求b .解析 由图象呈下降趋势可知0＜a ＜1，又由图象在y 轴上的截距小于1可知a－b＜1，即－b ＞0，∴b ＜0.答案 D抓住指数函数的图象，不仅可以直观准确地把握指数函数的性质，而且利用指数函数的图象的形象直观，还可以使有些问题得到简捷的解法． 【训练2】 函数y ＝12π·(2a －3)－x 23的部分图象大致如图中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )．A.12B.32 C ．2 D ．4解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图象只能是③，再根据图象先增后减的特征可知2a －3＞1，即a ＞2，符合条件的只有D 选项． 答案 D考向三 指数函数的性质及应用【例3】►设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．[审题视点] 换元令t ＝a x ，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解． 解 令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.指数函数问题一般常与其它函数复合．本题利用换元法将原函数化为二次函数，结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．【训练3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3.(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )＞0.(1)解 由2x －1≠0，可解得x ≠0， ∴定义域为{x |x ≠0}．(2)解 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·(－x )3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x ＋12·x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2x －1－12·x 3＝2·2x －2x ＋12(2x －1)·x 3＝2x ＋12(2x －1)·x 3＝2x －1＋22(2x －1)·x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12·x 3＝f (x )．∴f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数．(3)证明 当x ＞0时，2x－1＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3＞0， 即f (x )＞0.又∵f (x )是偶函数，∴当x ＜0时f (x )＝f (－x )＞0， ∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒大于零．难点突破4——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】► (2011·福建五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥K ，K ，f (x )＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x ，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )＞f 2(x )，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值范围是________．。