“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案A4

合集下载

数学周报_杯_2008年全国初中数学竞赛试题及解答

购物原价超过３００元；则第一次购物原价为９４．５÷０．９＝１０５（元）．所以小丽应付（３１６＋１０５－３００）×０．８＋３００×０．９＝３６２．８（元）．２０．（１）证明：如图，延长ＣＢ至点Ｇ，使得ＢＧ＝ＤＦ，连结ＡＧ．因为ＡＢＣＤ是正方形，所以在Ｒｔ△ＡＤＦ和Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＤ＝ＡＢ，∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＧ＝９０°，ＤＦ＝ＢＧ．∴Ｒｔ△ＡＤＦ≌Ｒｔ△ＡＢＧ（ＳＡＳ），∴ＡＦ＝ＡＧ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＧ．又∵ＡＥ是∠ＢＡＦ的平分线，∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＥ，∴∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＧ＋∠ＢＡＥ．即∠ＥＡＤ＝∠ＧＡＥ． ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＧＥＡ＝∠ＥＡＤ，∴∠ＧＥＡ＝∠ＧＡＥ，∴ＡＧ＝ＧＥ．即ＡＧ＝ＢＧ＋ＢＥ．∴ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，得证．（２）Ｓ＝Ｓ△ＡＤＦ＋Ｓ△ＡＢＥ＝１２ＤＦ·ＡＤ＋１２ＢＥ·ＡＢ．∵ＡＤ＝ＡＢ＝１，∴Ｓ＝１２（ＤＦ＋ＢＥ）．由（１）知，ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，所以Ｓ＝１２ＡＦ．在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＤ＝１，ＤＦ＝ｘ，∴ＡＦ＝ｘ２槡＋１，∴Ｓ＝１２ｘ２槡＋１．由上式可知，当ｘ２达到最大值时，Ｓ最大．而０≤ｘ≤１，所以，当ｘ＝１时，Ｓ最大值为１２ｘ２槡＋１＝１２槡２櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕毇毇毇毇．“《数学周报》杯”２００８年全国初中数学竞赛试题及解答一、选择题（共５小题，每小题６分，满分３０分．以下每道小题均给出了代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得０分）１．已知实数ｘ，ｙ满足４ｘ４－２ｘ２＝３，ｙ４＋ｙ２＝３，则４ｘ４＋ｙ４的值为（）．Ａ．７Ｂ．槡１＋１３２Ｃ．槡７＋１３２Ｄ．５【答】（Ａ）解：因为ｘ２＞０，ｙ２≥０，由已知条件得１ｘ２＝槡２＋４＋４×４×３８＝槡１＋１３４，ｙ２＝槡－１＋１＋４×３２＝槡－１＋３２，所以４ｘ４＋ｙ４＝２ｘ２＋３＋３－ｙ２＝２ｘ２－ｙ２＋６＝７．另解：由已知得（－２ｘ２）２＋（－２ｘ２）－３＝０，（ｙ２）２＋ｙ２－３＝０烅烄烆．显然－２ｘ２≠ｙ２，以－２ｘ２，ｙ２为根的一元二次方程为ｔ２＋ｔ－３＝０，所以（－２ｘ２）＋ｙ２＝－１，（－２ｘ２）×ｙ２＝－３．故４ｘ＋ｙ３＝［（－２ｘ２＋ｙ２）］２－２×（－２ｘ２）×ｙ２＝（－１）２－２×（－３）＝７．２．把一枚六个面编号分别为１，２，３，４，５，６的质地均匀的正方体骰子先后投掷２次，若两个正面朝上的编号分别为ｍ，ｎ，则二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｎ的图象与ｘ轴有两个不同交点的概率是（）．Ａ．５１２Ｂ．４９Ｃ．１７３６Ｄ．１２【答】（Ｃ）解：基本事件总数有６×６＝３６，即可以得到３６个二次函数．由题意知Δ＝ｍ２－４ｎ＞０，即ｍ２＞４ｎ．通过枚举知，满足条件的ｍ，ｎ有１７对．故Ｐ＝１７３６．３．有两个同心圆，大圆周上有４个不同的点，小圆周上有２个不同的点，则这６个点可以确定的不同直线最少有（）．Ａ．６条Ｂ．８条Ｃ．１０条Ｄ．１２条（第３题）【答】（Ｂ）解：如图，大圆周上有４个不同的点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，两两连线可以确定６条不同的直线；小圆周上的两个点Ｅ，Ｆ中，至少有一个不是四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ３４的交点，则它与Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的连线中，至少有两条不同于Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的两两连线．从而这６个点可以确定的直线不少于８条．当这６个点如图所示放置时，恰好可以确定８条直线．所以，满足条件的６个点可以确定的直线最少有８条．（第４题）４．已知ＡＢ是半径为１的圆Ｏ的一条弦，且ＡＢ＝ａ＜１．以ＡＢ为一边在圆Ｏ内作正△ＡＢＣ，点Ｄ为圆Ｏ上不同于点Ａ的一点，且ＤＢ＝ＡＢ＝ａ，ＤＣ的延长线交圆Ｏ于点Ｅ，则ＡＥ的长为（）．Ａ．槡５２ａＢ．１Ｃ．槡３２Ｄ．ａ【答】（Ｂ）解：如图，连接ＯＥ，ＯＡ，ＯＢ．设∠Ｄ＝α，则∠ＥＣＡ＝１２０°－α＝∠ＥＡＣ．又因为∠ＡＢＯ＝１２∠ＡＢＤ＝１２（６０°＋１８０°－２α）＝１２０°－α，所以△ＡＣＥ≌△ＡＢＯ，于是ＡＥ＝ＯＡ＝１．另解：如图，作直径ＥＦ，连结ＡＦ，以点Ｂ为圆心，ＡＢ为半径作⊙Ｂ．因为ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，则点Ａ，Ｃ，Ｄ都在⊙Ｂ上，由∠Ｆ＝∠ＥＤＡ＝１２∠ＣＢＡ＝１２×６０°＝３０°，所以ＡＥ＝ＥＦ×ｓｉｎ∠Ｆ＝２×ｓｉｎ３０°＝１．５．将１，２，３，４，５这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．Ａ．２种Ｂ．３种Ｃ．４种Ｄ．５种【答】（Ｄ）解：设ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５是１，２，３，４，５的一个满足要求的排列．首先，对于ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果ａｉ（１≤ｉ≤３）是偶数，ａｉ＋１是奇数，则ａｉ＋２是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下５种情形满足条件：２，１，３，４，５；２，３，５，４，１；２，５，１，４，３；４，３，１，２，５；４，５，３，２，１．二、填空题（共５小题，每小题６分，满分３０分）６．对于实数ｕ，ｖ，定义一种运算“＊”为：ｕ＊ｖ＝ｕｖ＋ｖ．若关于ｘ的方程ｘ＊（ａ＊ｘ）＝－１４有两个不同的实数根，则满足条件的实数ａ的取值范围是．【答】ａ＞０，或ａ＜－１．解：由ｘ＊（ａ＊ｘ）＝－１４，得（ａ＋１）ｘ２＋（ａ＋１）ｘ＋１４＝０．依题意有ａ＋１≠０，Δ＝（ａ＋１）２－（ａ＋１）＞０｛．解得　ａ＞０，或ａ＜－１．７．小王沿街匀速行走，发现每隔６分钟从背后驶过一辆１８路公交车，每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车．假设每辆１８路公交车行驶速度相同，而且１８路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】４．解：设１８路公交车的速度是ｘ米／分，小王行走的速度是ｙ米／分，同向行驶的相邻两车的间距为ｓ米．每隔６分钟从背后开过一辆１８路公交车，则６ｘ－６ｙ＝ｓ．①每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车，则３ｘ＋３ｙ＝ｓ．②由①，②可得ｓ＝４ｘ，所以ｓｘ＝４．即１８路公交车总站发车间隔的时间是４分钟．（第８题）８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＡＣ＝１１，点Ｍ是ＢＣ的中点，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，ＭＦ∥ＡＤ，则ＦＣ的长为．（第９题）【答】９．解：如图，设点Ｎ是ＡＣ的中点，连接ＭＮ，则ＭＮ∥ＡＢ．又ＭＦ∥ＡＤ，所以４４∠ＦＭＮ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＭＦＮ，所以ＦＮ＝ＭＮ＝１２ＡＢ．因此ＦＣ＝ＦＮ＋ＮＣ＝１２ＡＢ＋１２ＡＣ＝９．另解：如图，过点Ｃ作ＡＤ的平行线交ＢＡ的延长线为Ｅ，延长ＭＦ交ＡＥ于点Ｎ．则∠Ｅ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ．所以ＡＥ＝ＡＣ＝１１．又ＦＮ∥ＣＥ，所以四边形ＣＥＮＦ是等腰梯形，即ＣＦ＝ＥＮ＝１２ＢＥ＝１２×（７＋１１）＝９．９．△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝８，ＣＡ＝９，过△ＡＢＣ的内切圆圆心Ｉ作ＤＥ∥ＢＣ，分别与ＡＢ，ＡＣ相交于点Ｄ，Ｅ，则ＤＥ的长为．【答】１６３．（第９题）解：如图，设△ＡＢＣ的三边长为ａ，ｂ，ｃ，内切圆Ｉ的半径为ｒ，ＢＣ边上的高为ｈａ，则１２ａｈａ＝Ｓ△ＡＢＣ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒｈａ＝ａａ＋ｂ＋ｃ．因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，所以它们对应线段成比例，因此ｈａ－ｒｈａ＝ＤＥＢＣ，所以ＤＥ＝ｈａ－ｒｈａ·ａ＝（１－ｒｈａ）ａ＝（１－ａａ＋ｂ＋ｃ）ａ＝ａ（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂ＋ｃ，故ＤＥ＝８×（７＋９）８＋７＋９＝１６３．另解：∵Ｓ△ＡＢＣ＝ｒｐ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡）槡槡＝１２×４×３×５＝１２　５，（这里ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２）所以ｒ１２　＝槡５１２槡＝５，ｈａ＝２Ｓ△ＡＢＣａ２×１２　５８槡２　＝槡５．由△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，得ＤＥＢＣ＝ｈａ－ｒｈａ３　５－５槡３　＝槡槡５＝２３，即ＤＥ＝２３ＢＣ＝１６３．１０．关于ｘ，ｙ的方程ｘ２＋ｙ２＝２０８（ｘ－ｙ）的所有正整数解为．【答】ｘ＝４８，ｙ＝３２｛，　ｘ＝１６０，ｙ＝３２｛．解：因为２０８是４的倍数，偶数的平方数除以４所得的余数为０，奇数的平方数除以４所得的余数为１，所以ｘ，ｙ都是偶数．设ｘ＝２ａ，ｙ＝２ｂ，则ａ２＋ｂ２＝１０４（ａ－ｂ）．同上可知，ａ，ｂ都是偶数．设ａ＝２ｃ，ｂ＝２ｄ，则ｃ２＋ｄ２＝５２（ｃ－ｄ），所以，ｃ，ｄ都是偶数．设ｃ＝２ｓ，ｄ＝２ｔ，则ｓ２＋ｔ２＝２６（ｓ－ｔ），于是（ｓ－１３）２＋（ｔ＋１３）２＝２×１３２，其中ｓ，ｔ都是偶数．所以（ｓ－１３）２＝２×１３２－（ｔ＋１３）２≤２×１３２－１５２＜１１２．所以｜ｓ－１３｜可能为１，３，５，７，９，进而（ｔ＋１３）２为３３７，３２９，３１３，２８９，２５７，故只能是（ｔ＋１３）２＝２８９，从而｜ｓ－１３｜＝７．于是ｓ＝６，ｔ＝４｛；ｓ＝２０，ｔ＝４｛．因此ｘ＝４８，ｙ＝３２｛，ｘ＝１６０，ｔ＝３２｛．另解：因为（ｘ－１０４）２＋（ｙ＋１０４）２＝２×１０４２＝２１６３２，则有（ｙ＋１０４）２≤２１６３２．又ｙ正整数，所以１≤ｙ≤４３．令ａ＝｜ｘ－１０４｜，ｂ＝｜ｙ＋１０４｜，则ａ２＋ｂ２＝２１６３２．因为任何完全平方数的个位数为：１，４，５，６，９，由ａ２＋ｂ２＝２１６３２知ａ２，ｂ２的个位数只能是１和１或６和６．当ａ２，ｂ２的个位数是１和１时，则ａ，ｂ的个位数字可以为１或９．但个位数为１和９的数的平方数的十位数字为偶数，与ａ２＋ｂ２的十位数字为３矛盾．当ａ２，ｂ２的个位数是６和６时，则ａ，ｂ的个位数字可以为４或６．由１０５≤ｂ≤１４７，取ｂ＝１０６，１１４，１１６，１２４，１２６，１３４，１３６，１４４，１４６代入ａ２＋ｂ２＝２１６３２得，只有当ｂ＝５４１３６时，ａ＝５６，即｜ｘ－１０４｜＝５６，｜ｙ＋１０４｜＝１３６｛．解得ｘ＝４８，ｙ＝３２｛；　ｘ＝１６０，ｙ＝３２｛．三、解答题（共４题，每题１５分，满分６０分）１１．在直角坐标系ｘＯｙ中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与ｘ轴，ｙ轴的正半轴分别交于Ａ，Ｂ两点，且使得△ＯＡＢ的面积值等于｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＋３．（１）用ｂ表示ｋ；（２）求△ＯＡＢ面积的最小值．解：（１）令ｘ＝０，得ｙ＝ｂ，ｂ＞０；令ｙ＝０，得ｘ＝－ｂｋ＞０，ｋ＜０．所以Ａ，Ｂ两点的坐标分别为Ａ（－ｂｋ，０），Ｂ（０，ｂ），于是，△ＯＡＢ的面积为Ｓ＝１２ｂ·（－ｂｋ）．由题意，有１２ｂ·（－ｂｋ）＝－ｂｋ＋ｂ＋３．解得　ｋ＝２ｂ－ｂ２２（ｂ＋３），ｂ＞２．（２）由（１）知Ｓ＝１２ｂ·（－ｂｋ）＝ｂ（ｂ＋３）ｂ－２＝（ｂ－２）２＋７（ｂ－２）＋１０ｂ－２＝ｂ－２＋１０ｂ－２＋７＝（ｂ槡－２－１０ｂ槡－２）２槡＋７＋２　１０≥槡７＋２　１０．当且仅当ｂ－２＝１０ｂ－２时，有Ｓ槡＝７＋２　１０，即当ｂ槡＝２＋１０，ｋ＝－１时，不等式中的等号成立．所以，△ＡＢＣ面积的最小值为槡７＋２　１０．１２．是否存在质数ｐ，ｑ，使得关于ｘ的一元二次方程ｐｘ２－ｑｘ＋ｐ＝０有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令Δ＝ｑ２－４ｐ２＝ｎ２，其中ｎ是一个非负整数．则（ｑ－ｎ）（ｑ＋ｎ）＝４ｐ２．由于１≤ｑ－ｎ≤ｑ＋ｎ，且ｑ－ｎ与ｑ＋ｎ同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：ｑ－ｎ＝２，ｑ＋ｎ＝２ｐ２｛，　ｑ－ｎ＝４，ｑ＋ｎ＝ｐ２｛，　ｑ－ｎ＝ｐ，ｑ＋ｎ＝４ｐ｛．ｑ－ｎ＝２ｐ，ｑ＋ｎ＝２ｐ｛，　ｑ－ｎ＝ｐ２，ｑ＋ｎ｛＝４消去ｎ，解得ｑ＝ｑ２＋１，ｑ＝２＋ｐ２２，ｑ＝５ｐ２，ｑ＝２ｐ，ｑ＝２＋ｐ２２．对于第１，３种情形，ｐ＝２，从而ｑ＝５；对于第２，５种情形，ｐ＝２，从而ｑ＝４（不合题意，舍去）；对于第４种情形，ｑ是合数（不合题意，舍去）．又当ｐ＝２，ｑ＝５时，方程为２ｘ２－５ｘ＋２＝０，它的根为ｘ１＝１２，ｘ２＝２它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．★１２．已知ａ，ｂ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２－２ａｘ＋ｂ＝０的两个实数根为ｘ１，ｘ２，关于ｙ的方程ｙ２＋２ａｙ＋ｂ＝０的两个实数根为ｙ１，ｙ２，且满足ｘ１·ｙ１－ｘ２·ｙ２＝２００８．求ｂ的最小值．解：由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝２ａ，ｘ１·ｘ２＝ｂ；ｙ１＋ｙ２＝－２ａ，ｙ１·ｙ２＝ｂ，即ｙ１＋ｙ２＝－２ａ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝（－ｘ１）＋（－ｘ２），ｙ１·ｙ２＝ｂ＝（－ｘ１）·（－ｘ２）｛．解得　ｙ１＝－ｘ１，ｙ２＝－ｘ２｛；　或ｙ１＝－ｘ２，ｙ２＝－ｘ１｛．把ｙ１，ｙ２的值分别代入ｘ１·ｙ１－ｘ２·ｙ２＝２００８得ｘ１·（－ｘ１）－ｘ２·（－ｘ２）＝２００．或ｘ１·（－ｘ２）－ｘ２·（－ｘ１）＝２００８（不成立）．即ｘ２２－ｘ２１＝２００８，（ｘ２＋ｘ１）（ｘ２－ｘ１）＝２００８．因为ｘ１＋ｘ２＝２ａ＞０，ｘ１·ｘ２＝ｂ＞０，所以ｘ１＞０，ｘ２＞０．于是有２ａ·４ａ２－４槡ｂ＝２００８．即ａ·ａ２　－槡ｂ＝５０２＝１×５０２＝２×２５１．因为ａ，ｂ都是正整数，所以ａ＝１，ａ２－ｂ＝５０２｛２或ａ＝５０５，ａ２－ｂ｛＝１或ａ＝２，ａ２－ｂ＝２５１｛２或ａ＝２５１，ａ２－ｂ＝４｛．分别解得：ａ＝１，ｂ＝１－５０２｛２或ａ＝５０２，ｂ＝５０２２｛－１或ａ＝２，ｂ＝２－２５１｛２或ａ＝２５１，ｂ＝２５１２－４｛．经检验只有：ａ＝５０２ｂ＝５０２２｛－１，ａ＝２５１ｂ＝２５１２｛－４符合题意．所以ｂ的最小值为：ｂ最小值＝２５１２－４＝６２９９７．６４１３．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角２倍的△ＡＢＣ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ＡＢＣ的三边长分别为ａ＝６，ｂ＝４，ｃ＝５时，∠Ａ＝２∠Ｂ．（第１３（Ａ）题答案）如图，当∠Ａ＝２∠Ｂ时，延长ＢＡ至点Ｄ，使ＡＤ＝ＡＣ＝ｂ．连接ＣＤ，则△ＡＣＤ为等腰三角形．因为∠ＢＡＣ为△ＡＣＤ的一个外角，所以∠ＢＡＣ＝２∠Ｄ．由已知，∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．所以△ＣＢＤ为等腰三角形．又∠Ｄ为△ＡＣＤ与△ＣＢＤ的一个公共角，有△ＡＣＤ∽△ＣＢＤ，于是ＡＤＣＤ＝ＣＤＢＤ，　即ｂａ＝ａｂ＋ｃ，所以　ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ）．而６２＝４×（４＋５），所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．说明：满足条件的三角形是唯一的．若∠Ａ＝２∠Ｂ，可得ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ）．有如下三种情形：（ⅰ）当ａ＞ｃ＞ｂ时，设ａ＝ｎ＋１，ｃ＝ｎ，ｂ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得（ｎ＋１）２＝（ｎ－１）（２ｎ－１）．解得ｎ＝５，有ａ＝６，ｂ＝４，ｃ＝５；（ⅱ）当ｃ＞ａ＞ｂ时，设ｃ＝ｎ＋１，ａ＝ｎ，ｂ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得ｎ２＝（ｎ－１）·２ｎ．解得ｎ＝２，有ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝３，此时不能构成三角形；（ⅲ）当ａ＞ｂ＞ｃ时，设ａ＝ｎ＋１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得（ｎ＋１）２＝ｎ（２ｎ－１），即ｎ２－３ｎ－１＝０，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的２倍的三角形存在，而且只有三边长分别为４，５，６构成的三角形满足条件．★１３．如图，△ＡＢＣ的三边长ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ都是整数，且ａ，ｂ的最大公约数是２．点Ｇ和点Ｉ分别为△ＡＢＣ的重心和内心，且∠ＧＩＣ＝９０°，求△ＡＢＣ的周长．解：如图，连结ＧＡ，ＧＢ．过Ｇ，Ｉ作直线交ＢＣ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，作△ＡＢＣ的内切圆Ｉ，切ＢＣ边于点Ｄ．记△ＡＢＣ的半周长为Ｐ，内切圆半径为ｒ，ＢＣ，ＡＣ边上的高线长为ｈａ，ｈｂ．∵Ｓ△ＡＢＣ＝ｒｐ＝ｐ（ｐ－ｑ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡），∴ｒ＝（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）槡ｐ．易知：ＣＤ＝ｐ－ｃ，在Ｒｔ△ＣＩＥ中，ＤＥ＝ｒ２ｐ－ｃ，即ＤＥ＝（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）ｐ．∴ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝（ｐ－ｃ）＋（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）ｐ＝ａｂｐ．又∵ＣＩ⊥ＥＦ，ＣＩ平分∠ＡＣＢ，所以ＣＥ＝ＣＦ．由Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＧ＋Ｓ△ＢＥＧ＋Ｓ△ＡＦＧ＋Ｓ△ＦＥＣ，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ３＋１２×（ａ－ａｂｐ）×ｈａ３＋１２×（ｂ－ａｂｐ）×ｈｂ３＋２×１２×ａｂｐ×ｒ，即　Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ３＋（１２×ａ×ｈａ）×ｐ－ｂ３ｐ＋（１２×ｂ×ｈｂ）×ｐ－ａ３ｐ＋ａｂｐ２×ｒｐ．整理得２ｐ２－ｃｐ＝３ａｂ，即３ａｂ＝２ｐ２－ｃｐ＝ｐ（２ｐ－ｃ）＝ｐ（ａ＋ｂ）．设△ＡＢＣ的周长为ｍ，则ｍ＝２ｐ＝６ａｂａ＋ｂ为整数．由已知（ａ，ｂ）＝２，设ａ＝２ｓ，ｂ＝２ｔ，且（ｓ，ｔ）＝１，ｓ，ｔ都是正整数，代入上式，得ｍ＝１２ｓｔｓ＋ｔ．∵（ｓ，ｓ＋ｔ）＝１，（ｔ，ｓ＋１）－１，∴ｓ＋ｔ是１２的约数，即ｓ＋ｔ＝１，２，３，４，６，１２．不妨设ｓ≥１，则（ｓ，ｔ）＝１，得ｓ＝１，ｔ＝１，ｍ＝６烅烄烆；　ｓ＝２，ｔ＝１，ｍ＝８烅烄烆；　ｓ＝３，ｔ＝１，ｍ＝９烅烄烆；ｓ＝５，ｔ＝１，ｍ＝１０烅烄烆；　ｓ＝１１，ｔ＝１，ｍ＝１１烅烄烆；　ｓ＝７，ｔ＝５，ｍ＝３５烅烄烆．经检验，只有　ｓ＝７，ｔ＝５，ｍ＝３５烅烄烆．　符合题意，所以　ａ＝１４，ｂ＝１０，ｃ＝１０或ａ＝１０，ｂ＝１４，ｃ＝１１，即所求△ＡＢＣ的周长为３５．７４１４．从１，２，…，９中任取ｎ个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被１０整除，求ｎ的最小值．解：当ｎ＝４时，数１，３，５，８中没有若干个数的和能被１０整除．当ｎ＝５时，设ａ１，ａ２，…，ａ５是１，２，…，９中的５个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被１０整除，则ａ１，ａ２，…，ａ５中不可能同时出现１和９；２和８；３和７；４和６．于是ａ１，ａ２，…，ａ５中必定有一个数是５．若ａ１，ａ２，…，ａ５中含１，则不含９．于是不含４（４＋１＋５＝１０），故含６；于是不含３（３＋６＋１＝１０），故含７；于是不含２（２＋１＋７＝１０），故含８．但是５＋７＋８＝２０是１０的倍数，矛盾．若ａ１，ａ２，…，ａ５中含９，则不含１．于是不含６（６＋９＋５＝２０），故含４；于是不含７（７＋４＋９＝２０），故含３；于是不含８（８＋９＋３＝１０），故含２．但是５＋３＋２＝１０是１０的倍数，矛盾．综上所述，ｎ的最小值为５．★★１４．已知有６个互不相同的正整数ａ１，ａ２，…，ａ６，且ａ１＜ａ２＜…＜ａ６，从这６个数中任意取出３个数，分别设为ａｉ，ａｊ，ａｋ，其中ｉ＜ｊ＜ｋ．记ｆ（ｉ，ｊ，ｋ）＝１ａｉ＋２ａｊ＋３ａｋ．证明：一定存在３个不同的数组（ｉ，ｊ，ｋ），其中１≤ｉ＜ｊ＜ｋ≤６，使得对应着的３个ｆ（ｉ，ｊ，ｋ）两两之差的绝对值都小于０．５．（征求答案獉獉獉獉）。

2008年《数学周报》试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7 （B）（C）（D）5【答】（A）解：因为，≥0，由已知条件得，，所以 7．另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以故＝2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）【答】（C）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知＝＞0，即＞4.通过枚举知，满足条件的有17对. 故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A 的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1 （C）（D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB．设，则．又因为，所以≌，于是．另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上，由所以5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．【答】，或．解：由，得，依题意有解得，，或．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则．②由①，②可得，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．【答】9．解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．又，所以，所以．因此9．另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交AE于点N.则所以.又，所以四边形是等腰梯形，即9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．【答】．解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，所以．因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此，所以，故．另解：＝（这里）所以，由△ADE∽△ABC，得，即10．关于x，y的方程的所有正整数解为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则，同上可知，a，b都是偶数．设，则，所以，c，d都是偶数．设，则，于是＝，其中s，t都是偶数．所以≤．所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是因此另解：因为则有又y正整数，所以令因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由知的个位数只能是1和1或6和6；当的个位数是1和1时，则的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与的十位数字为3矛盾。

2008年全国初中数学竞赛试题

2008年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分）1.已知实数x ，y 满足42423x x -=，423y y +=，则444y x +的值为（） A.7 B.1132+ C.7132+ D.52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（）A.512B.49C.1736D.123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（）A.6条B.8条C.10条D.12条4．如图所示，已知AB 是半径为1的O 的一条弦，且1AB a =<.以AB 为一边在O 内作正ABC ∆，点D 为O 上不同于点A 的一点，且OB AB a ==，DC 的延长线交O 于点E ，则AE 的长为（）A.52aB.1C.32D.a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）A.2种B.3种C.4种D.5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：*u v uv v =+.若关于x 的方程()1**4x a x =-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是______.7.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是______分钟.8.如图所示，在ABC ∆中，7AB =，11AC =，点M 是BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，FM AD ∥，则FC 的长为______.9.如图所示，在ABC ∆中，7AB =，8BC =，9CA =，过ABC ∆的内切圆圆心I 作DE BC ∥，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______.10.关于x ，y 的方程()22208x y x y +=-的所有正整数解为______.三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11.在直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得OAB ∆的面积值等于3OA OB ++.（1）用b 表示k ；（2）求OAB ∆面积的最小值.12.已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+.是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图像经过点()5,2-，且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值1y ，2y ，3y 都有132y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，试说明理由.13.是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？14.已知a ，b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为1x ，2x ，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为1y ，2y ，且满足11222008x y x y -=.求b 的最小值.15.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC ∆？证明你的结论.16.如图所示，ABC ∆的三边长BC a =，CA b =，AB c =，a ，b ，c 都是整数，且a ，b 的最大公约数为2.点G 和点I 分别为ABC ∆的重心和内心，且90GIC ∠=︒.求ABC ∆的周长.17.从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值.18.已知有6个互不相同的正整数1a ，2a ，…，6a ，且126a a a <<<.从这6个数中任意取出3个数，分别设为i a ，j a ，k a ，其中i j k <<，记()123,,i j kf i j k a a a =++. 证明：一定存在3个不同的数组(),,i j k ，其中16i j k ≤<<≤，使得对应着的3个(),,f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5.。

全国初中数学联赛试题及答案(2008年).doc

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ B ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.提示：,a b 是方程2310x x -+=两个不同根，故3,1a b ab +==.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ D ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 提示：AEF ABC ∆∆，可得185AE =，故AEB ∆中由勾股定理得245BE = 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ C ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 提示：卡片一共有20种取法，其中123,15246,459+=+=+=+=，满足条件的有428⨯=种.4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ B ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.提示：,BCM BCN ∆∆都是等腰三角形.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ B ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是986．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232x y -+3x3y -2007-的值为（ D ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.提示：y x y x =-=，同理x y -=x y ==.二、填空题1．设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-_________.-2 提示：210a a +-=2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________.25 提示：DNA ABM ∆∆3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=__________. 提示：22111,,444b mn y x x y x =≤=++=-满足条件. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.第二试（A ）一、已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解：设)()1)(1()(bx x b bx ax x x a x f ------=，则)1()1()1()(2222x x b bx x x a x a x f --+---==)1()()1(2222x x b a bx x a -+-+-=)1()1(22x x bx x a --+-当0=x 时，0)0(≥=a f ，当1=x 时，0)1(≥=b f ，故0,0≥≥b a .若0=a ，则1=b ，x x x f -=22)(，不恒大于等于0，故,0≠a 即0>a ，同理0>b .当10<<x 时，)1()12(])1([)(2x x ab x b x a x f --+--= （1）当x b x a =-)1(，即)1,0(∈+=b a ax 时，0)1()12()(≥--=x x ab x f ，故012≥-ab ，即41≥ab . （2）当41≥ab ，即012≥-ab 时， 0)1()12(])1([)(2≥--+--=x x ab x b x a x f综上所述，ab 最小值是41，此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=426426b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=426426b a . 二、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解：(1)连接OC OB OA ,,，则OC OB OA ==，又AC AB =，故等腰BCO ABO ∆≅∆，CBO ABO ∠=∠.由于BC 为圆D 的切线，故弦切角ABC ∠所夹劣弧长为OBC ∠所夹劣弧长的2倍，即半径BO 所在直径通过弧AB 的中点，即点O 在圆D 上.（2）连接BD AD ,，则AB BD AD r ≥+=2，故AC AB AB r ⋅=≥224，又S AC AB 2≥⋅，故S r 242≥，即22S r ≥，且当AB 为圆D 的直径时可以取等号，故r 的最小值是22S.三、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值.解：将原等式整理为关于b 的一元二次方程： 0509436)51150936(922=⨯-+⨯-+a a b a b ，由于b 为正整数，则方程判别式)72511(509)509436(94)51150936(2222a a a a -=⨯-⨯⨯-⨯-=∆是完全平方数，即a 725112-为完全平方数，设)(7251122N t t a ∈=-，则a t 7251122=-，即a t t 72)511)(511(=+-，由于1022)511()511(=++-t t ，故)511(),511(t t +-同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当2=a 时，检验得2725112⨯-不是完全平方数当3=a 时，检验得3725112⨯-不是完全平方数当5≥a 时，由上面分析可知18436218436272⨯=⨯=⨯=⨯=a a a a a 共4种分解方式可能满足条件.当⎩⎨⎧=+=-a t t 365112511时，385=a 不是整数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 185114511时，9509=a 不是整数，当⎩⎨⎧=+=-365112511t a t 或⎩⎨⎧=+=-at t 251136511时，2917493⨯==a 不是质数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 451118511时，251=a 是质数，此时只有7=b 满足条件，综上所述，251=a ，7=b . 附：一。

2008年数学周报试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）424424的值为（满足），则．1．已知实数y?3?y，y???3y，x424xxx 1?137?13（C）（D）5 （A）7 （B）22 A）【答】（22y，，由已知条件得因为0≥解：0?x13?3?1???3113?1?1?4412??4?42???y?，，2284x24224227．所以??y6?3?3?y???y?422xxx22?2(?)?(?)?3?022?2222为根的一元二次方另解：由已知得：，以，显然y,?y??xx?22xx?22?3y?(y0)??222220??t?3t程为，所以3?y? (??)?)?y??1,(22xx42242222y?＝故?2?][(??(?1)2??(?3)?7)?yy?()?422xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先2?mx?ny?x的图象与m后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为，n，则二次函数x轴有两个不同交点的概率是（）．54171 （A）（B）（C）（D）923612．C）【答】（ . 由题意知，即可以得到36个二次函数解：基本事件总数有6×6＝3622.＞0，即＝4＞mn?4mn?17. 对. 故17通过枚举知，满足条件的有?Pnm，36个点6个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这3．有两个同心圆，大圆周上有4 ．)可以确定的不同直线最少有(条）12 （D （C）10条 6 （A）条（B）8条）（B【答】，两两连线DC，个不同的点A，B，解：如图，大圆周上有4中，至少有一FE，可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点，CB，BD的交点，则它与A，个不是四边形ABCD的对角线AC与的两两连线．从而这DC，A，B，D的连线中，至少有两条不同于条．个点可以确定的直线不少于86 3题）（第条直线．个点如图所示放置时，恰好可以确定8当这6 8条．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有内作正△．以为一边在圆4．已知是半径为1的圆的一条弦，且O?1OAB?aABAB，则的延长线交圆于点A的一点，且，，点为圆上不同于点ODCDB?ABABC?OaED）．的长为（AE35a D）a1 （C（A））（（B）22（B）【答】?设，则OA，OB．解：如图，连接OE，?D??．EAC?120????ECA?4题）（第11????又因为，2180?????ABO?ABD??60???12022≌所以，于是．1?AE?ACE△OA△ABO AFAB为半径，以点B为圆心，另解：如图，作直径EF，连结FO上，，则点＝BC＝BDA，C，D都在⊙B ，因为作⊙BAB ECD11??60?30??EDA??CBA???F由22AB1??30??AE?EFsim?F2?sim所以3，4，，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续，．将512 ．）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（．5种（D）种（C）4种（A）2种（B）3 D）【答】（5的一个满足要求的排列．，4，是1，2，3解：设aa，，a，a，a51432，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，首先，对于a，a，a，a4123与已知条件矛盾．是奇数，这说明一个偶数后面一定要是奇数，则≤3）是偶数，又如果（1≤i aaa2ii?1i?接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．种情形满足条件：所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5a，a，a，a，a54213；1，4，3；2，5，，，，1，34，5；2，3，5，41 2 ．，1，3，25；4，54，3，1，2，30分）6二、填空题（共5小题，每小题分，满分1的方程x*”为：．若关于．对于实数u，v，定义一种运算“6??a?x)x?(vu?v?uv?4．有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是【答】，或．1a?0?a?112，解：由，得0?1)x??(a?1)x??(a?x?(a?x)44，01?a??依题意有?2，?0(?a?1)??(a?1)?，或．解得，1a??a?0分钟从迎路公交车，每隔36分钟从背后驶过一辆187．小王沿街匀速行走，发现每隔路公交车总站每隔路公交车行驶速度相同，而且1818路公交车．假设每辆18面驶来一辆分钟．固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是．【答】4y x分，同向行驶的相邻两车/路公交车的速度是米米/分，小王行走的速度是解：设18s的间距为米．①．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s6xy??6②．分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3每隔sy3x?3?s4?，所以由①，②可得．xs?4x分钟．418即路公交车总站发车间隔的时间是题）8（第BC的中点，，点M是．如图，在△中，AB=7，AC=118ABC FC的长为AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则．9．【答】AB，则MN∥如图，设点N是AC的中点，连接MN解：．又，所以MFN????BAD?MF//AD?DAC?FMN，1．所以?FNAB?MN2 8题答案）（第119．因此?NC?AB?AC?FC?FN E22交BA的延长线为E，延长MF另解：如图，过点C作AD的平行线交N.于点AE N则ACE??DAC???E??BAD A F CENF//CEAE?AC?11FN是等腰梯形，，所以四边形所以.又11B911)??BE?(7CF?EN??C即MD22，分别与DE∥BC的内切圆圆心CA＝9，过△ABCI作．△9ABC中，AB＝7，BC＝8，．，则AB，AC相交于点D，EDE的长为16【答】．3 r，b，c，内切圆I的半径为解：如图，设△ABC的三边长为a，h，则BC边上的高为a11，r?c)?ahS?(a?b ABCa△22（第9题答案）ar?．所以cah?b?a r?hDE a?，，所以它们对应线段成比例，因此因为△ADE∽△ABC BCh a rh?)?ca(bar a)a?(?1??a?DE?(1a)?，所以c?b?ahhc?b?a aa619?（7?）8?DE?．故37?9?812?4?3?5?125另解：＝cb?a?125S25?122?p5?r?△ABC???35h所以（这里，）a2128a r?h25DE35?a，得ADE∽△ABC，由△???3BCh a216即?DE??BC3322的所有正整数解为．关于x，y的方程．10)?y?208(xx?y x?48，x?160，??【答】??y?32，y?32.??解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则b?2?2a,yx22，)?b?104(aa?b同上可知，a，b都是偶数．设，则d?22c,ba?22，)d?52(cc??d所以，c，d都是偶数．设，则t2s,d?c?222?26(st?ts)?，22213)??((s?13)t，＝于是132?其中s，t都是偶数．所以22222213)13??(s(?13)t?2?．≤11?1315?2?213?s13)?(t为337，329，进而，313，289，257所以，故只能，可能为1，3，57，9s?6，s?20，??2s?1313)t?(＝7．于是，从而＝289是??t?4；t?4，??，x?16，0x?48??因此??，y?32.y?32?? 2222?104)21632,y?210421632?(?104)y104)x(??(??则有因为另解：又y正整数，所以43?y?1．22令21632by?104|,则a???a|x?104|,b?|95，6，因为任何完全平方数的个位数为：1，4，2222 6和6；的个位数只能是1和由1或知ba,21632a??b229的个位数字可以为1当或和的个位数是11时，则ba,ba,22的十位数字为但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与3矛盾。

2008年全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5B ．7C ．9D ．11.【答案】B【解析】由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====．故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（） A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=．在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（） A ．BM CN > B ．BM CN =EFDCBAC ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】∵12ABC ∠=，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=．又180********BCM ACB ∠=-∠=-=，∴180844848BMC ∠=--=， ∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠168(13224)=-+12ABC ==∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．6．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】∵(2008x y=，∴xy=y x=由以上两式可得x y =．所以(22008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设a ，则5432322a a a a a a a +---+=- ．【答案】 2- 【解析】∵221a a ==-⎝⎭，∴21a a +=，∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD所在直线上的两点，且AM 135MAN ∠=，则四边形AMCN 的面积为．【答案】 52【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，AO OB =MO∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠45MAB AMB =-∠=∠，所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而1AD DN BA MB =⋅=．根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△．3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +=≤≤．22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；O MNDCBA22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是．【答案】1 【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位； 210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位； 232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位； 2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试（A ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a 或2a =．又因为0a ≥，所以a 或a ，于是方程组③的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a，b和a =，b =．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值．【解析】⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠．因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=．因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ② 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③ 由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：C E OA BD①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==．第二试（B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a或2a =，又因为0a ≥，所以a或a ．于是方程组③的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为a =，b和a，b = 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①② 求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c +-+-⎛⎫=⎪⎝⎭，设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况： ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解．④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =．⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-．代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。

2008年全国数学奥赛

2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x-=，423y y +=，则444y x +的值为（）。

A 、7 B 、1132+ C 、7132+ D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得212444311344x ++⨯⨯+==，2114311322y -++⨯-+==，所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+=2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）。

A 、512B 、49C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（）。

A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）。

2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会数学周报杯 2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓 ______________得 ______________一、选择题共5小题小题6 满 30 以道小题均给出了代号为A B C D 的四个选项其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题的括号里填、多填或错填都得01 已知实数x y 满足 4x 4 2x23 y4 y 2 3 则4x4 y 4的值为A 7B 1 132C 7 132D 5 2 把一枚个面编号别为1 2 3 4 5 6的质地均匀的正方体骰子先投掷2次若两个正面朝的编号别为m n 则二次函数y x 2 mx n 的图象 x 轴有两个交点的概率是A 512B 49C 1736D 123 有两个心圆大圆周有4个的点小圆周有2个的点则这6个点可确定的直线最少有A 6条B 8条C 10条D 124 已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦且AB a 1 以AB 为一边在圆O 内作正△ABC 点D 为圆O 于点A 的一点且DB AB a DC 的延长线交圆O 于点E 则AE 的长为A52a B 1C32D a5 将1 2 3 4 5这五个数排成一排最一个数是奇数且使得其中任意连续个数之和都能被这个数中的第一个数整除那满足要求的排法有A 2种B 3种C 4种D 5种二、填空题共5小题小题6 满 306 对于实数u v 定一种运算 * 为 u *v uv v 若关于x 的方程x * a *x14有两个的实数根则满足条件的实数a 的取值范围是_______ 7 小王沿街匀速行走发现隔6 钟从背驶过一辆18路交车隔3 钟从迎面驶来一辆18路交车假设辆18路交车行驶速度相而且18路交车总站隔固定时间发一辆车那发车间隔的时间是_____ 钟 8 如图在△ABC 中 AB 7 AC 11 点M 是BC 的中点 AD 是∠BAC 的线 MF ∥AD 则FC 的长为______ 9 △ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 过△ABC 的内圆圆心I 作DE ∥BC 别 AB AC 相交于点D E 则DE 的长为______10 关于x y 的方程x 2 y 2 208(x y )的所有正整数解为________FMCBA三、解答题共4题题15 满 6011 在直角坐标系xOy中一次函数y kx b k≠0 的图象 x轴、y轴的正半轴别交于A B两点且使得△OAB的面积值等于｜OA｜｜OB｜ 3 1 用b表示k 2 求△OAB面积的最小值12 是否在质数p q 使得关于x的一元二次方程px2 qx p 0有有理数根13 是否在一个边长恰是个连续正整数且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC 证明你的结论14 从1 2 … 9中任取n个数其中一定可以找到若个数至少一个也可以是全部它们的和能被10整除求n的最小值简答一选择题 ACBBD二填空题 6. a 0 或 a 1 7. 4 8. 9 9.16310. x 48 x 160 32 y 32 解答题 11. 1 k 2b b 22(b 3) b 2 2 当 b 2 10 k 1时 △OAB 面积的最小值为7 210 12. 在满足题设条件的质数p q . 当p 2 q 5时方程2x 2 5x 2 0 的两根为 x 1 12 x 2 2. 它们都是有理数 13. 在满足条件的角形. △ABC 的边 a 6 b 4 c 5 且∠A 2∠B 证明略. 14. n 的最小值是5 证明略。

2008年全国初中数学联赛(含答案)

12008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11.【答案】B【解析】由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====．故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（）EFDCBA2A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=．在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=o ，132ACB ∠=o ，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）3A ．BM CN >B ．BM CN =C ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】 ∵12ABC ∠=o ，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=o o o．又180********BCM ACB ∠=-∠=-=o o o o ，∴180844848BMC ∠=--=o o o o ，∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=o o o o，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠o o o 168(13224)=-+o o o12ABC ==∠o ，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为4()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 6．已知实数x ，y 满足(22200820082008x x y y --=，则223233x y x y -+-2007-的值为（）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】 ∵(22200820082008x x y y --=，∴222200820082008x x y y y y -=---222200820082008y y x x x x -=---由以上两式可得x y =．所以(2220082008x x -=，解得22008x =，所以522222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -，则5432322a a a a a a a +---+=- ．【答案】 2-【解析】 ∵2251351a a --==-⎝⎭，∴21a a +=， ∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM 135MAN ∠=o ，则四边形AMCN 的面积为．【答案】 52【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB = ()222223252MO AM AO ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭O MND CBA6∴2MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=o ，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠o o 45MAB AMB =-∠=∠o ，所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而212AD DN BA MB =⋅=．根据对称性可知，四边形AMCN 的面积1122522222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△． 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m nb +=≤≤． 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．7所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是．【答案】 1【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试（A ）一．（本题满分20分）8已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=．又因为0a ≥，所以62a -或62a +，9于是方程组③的解为6262a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为 62a -，62b +和62a +=，62b -=．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值．【解析】 ⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠．因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠o o ，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知CE OABD10BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=．因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即2S r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 2S三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ②故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．11不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==．第二试（B ）12一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥ ②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=，13又因为0a ≥，所以62a -或62a +．于是方程组③的解为6262ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为62a -=，62b +和62a +，62b -= 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①②14求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c+-+-⎛⎫=⎪⎝⎭，设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③ 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．15⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-．代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试1、【答】B .解由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2、【答】D .解因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．【答】C .解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4．【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒， ∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．【答】 B .解容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r的最小值为44498()()91010()988()()1010i n ii n iaa+---⋅⋅=⋅⋅. 故选B.6．【答】D.解∵(2008 x y-=，∴x y==y x==+由以上两式可得x y=.所以2(2008x=，解得22008x=，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x-+--=-+--=-=. 故选D.1．解∵2213()122a a===-，∴21a a+=，∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a aa a a a a+---++--++=-⋅-33332221211(1)(11)2(1)1a a a aa aa a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则A O B D⊥，AO OB==2MO===,∴MB MO OB=-又135ABM NDA∠=∠=︒，13590NAD MAN DAB MAB MAB∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB∠=∠，所以△ADN∽△MBA，故AD DNMB BA=，从而12ADDN BAMB=⋅==.根据对称性可知，四边形AMCN的面积115222(22222MANS S MN AO==⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=△.3．解根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1. 第二试（A ）一．（本题满分20分）解整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=. 又因为0a ≥，所以4a =或4a =，于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为44a b ==和a b == 二．（本题满分25分）解（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△O B C ，从而O B A O B C ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC，所以BD BO AB AC =，即2r a l y=，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 的最小值为2 三．（本题满分25分）解（1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2）故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试（B ）一．（本题满分20分解由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=，又因为0a ≥，所以4a =或a =. 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 第二试（C ）三．（本题满分25分）解（1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3）故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

2008年全国初中数学联赛试题及标准答案(修正版)

2008年全国初中数学联赛试卷（第一试)一、选择题1．设a２+1=3a，b2＋1=３b,且a≠b，则代数式＼f(1,a2)＋＼ｆ(１,ｂ2)的值为(）(Ａ） 5. (B)7.(C) 9．(D)11．2.如图，设AD，BＥ,ＣF为三角形ＡＢC的三条高,若AＢ＝６,BＣ＝5,EＦ＝3，则线段ＢＥ的长为（）(A)185. (Ｂ) 4. (C）错误!. (D) 错误!.3.从分别写有数字1,２，3，４，5的５张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( ）(A）错误!. (B) 错误!.(Ｃ) 错误!. （D) 1２.4．在△ABＣ中，∠AＢＣ=12°，∠ACＢ=132°，BM和ＣN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则()(Ａ）ＢM>CN. (B) BM＝ＣN.(C) ＢM<CN.（D) ＢM和CN的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价１0%或２0%,若干天后,这５种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( ）(A）(错误!）3．(Ｂ) (错误!）4. (C) (错误!)5. （Ｄ) 98.6.已知实数x,y满足(x-错误!)(y－错误!)=2008，则3x2－2ｙ2＋３x－3y-2007的值为（）(Ａ) -200８.(B) 2０08. (C）-1.(D)1.二、填空题1.设a=错误!,则错误!＝ ___＿_____.2.如图,正方形AＢＣD的边长为１,Ｍ,Ｎ为BD所在直线上的两点,且AＭ＝错误!，∠ＭＡN=135°,则四边形AMCＮ的面积为_＿＿_____＿__.３.已知二次函数y＝ｘ2＋ａx＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为ｍ，n，且│m│＋│n│＜1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q，则│ｐ│+│q│＝_＿____＿__＿.4．依次将正整数1,2,3，…的平方数排成一串:149162536４９64811001211４4…,排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是６，排在第10个位置的数字是4,排在第２008个位置的数字是__＿＿_______.第二试一、已知a2＋ｂ2＝1，对于满足条件0≤x≤１的一切实数x,不等式ａ(1－ｘ) (1－ｘ－aｘ）-ｂｘ(b-x-bｘ)≥０恒成立.当乘积ab取最小值时，求a,b的值.二、如图,圆O与圆D相交于Ａ,B两点,BＣ为圆D的切线,点Ｃ在圆O上，且AB=BC．（１）证明:点Ｏ在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径ｒ的最小值．三、设a为质数，b为正整数,且9(2ａ＋b)2=509(４ａ+511b)求a，b的值．。

《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛.

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛天津赛区复赛试卷( 4月6日上午 9∶30～11∶30 )一、选择题（本题共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里）（1）已知实数x y ，满足42424233y y x x -=+=，，则444y x +的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 （2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12 （3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条（第（8）题）（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C（D ）a （5）将5,4,3,2,1这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（本题共5小题，每小题6分，满分30分．把答案填在题中横线上）（6）对于实数v u ,，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．（8）如图，在△ABC 中，7=AB ，11=AC ，点M 是BC 的中点， AD 是BAC ∠的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．（9）△ABC 中，9,8,7===CA BC AB ，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AC AB ,相交于点D ,E ，则DE 的长为．（10）关于y x ,的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．三、解答题（本题共4小题，每小题15分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（11）（本小题满分15分）在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A ,两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（Ⅰ）用b 表示k ；（Ⅱ）求△OAB 面积的最小值．（12）（本小题满分15分）已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+．是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点（－5，2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值1y ，2y ，3y ，都有1y ≤3y ≤2y 成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．(13)（本小题满分15分）是否存在质数q p ,，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？(14)（本小题满分15分）如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．。

2008年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

初中数学94

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．FMDCBA三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160， y ＝32； y ＝32．三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2；（2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．北京初二物理家教北京初二物理家教辅导老师NO.1:暑期在校大学生，有丰富的时间和精力，擅长高中数学和高中物理家教，善于与人交流，性格开朗，有良好的学习方法，高中数学，物理等成绩优异，曾获全国中学生物理竞赛三等奖。

初中数学12

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．FMDCBA三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160， y ＝32； y ＝32．三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2；（2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．北京大学生数学家教北京大学生数学家教辅导老师NO.1:15年教龄，高级职称。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（第3题）“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分） 1．已知实数x y ，满足42424233y y xx-=+=，，则444yx+的值为（）．（A ）7（B ）12+（C ）72+（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x++==，21122y -+-+==，所以444y x+=22233yx++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得，2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以222222()1,()3y y xx-+=--⨯=- 故444yx+＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y xx-+-⨯-⨯=--⨯-=　2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x m x n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知A B 是半径为1的圆O 的一条弦，且1A B a =<．以A B 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且D B AB a ==，D C 的延长线交圆O 于点E ，则A E 的长为（）．（A）2a（B ）1（C）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则120EC A EAC α∠=︒-=∠．又因为（第4题）()1160180222A B O A B D α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以A C E △≌A B O △，于是1A E O A ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F ED A C BA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以4=x s ．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【9】解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//M F AD ，所以 F M N B A D D A C M F N ∠=∠=∠=∠，所以 12F N M N A B==．因此 1122F C F N N C A B A C =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交AE 于点N.则E B A D D A C A C E ∠=∠=∠=∠所以11A E A C ==. 又//F N C E ，所以四边形C E N F 是等腰梯形，即11(711)922C F E N B E ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a A B C ah S abc r==++△，所以a r a h abc =++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a ah rD E h BC-=，所以(1)(1)a aah r r a D E a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c+=++，故879168793D E ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==，228ABCa S h a⨯===△由△ADE ∽△ABC，得23a ah r D E BCh --===，即21633D E B C ===。

10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此，481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯=，则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤。

令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

当22,a b 的个位数是6和6时，则,a b 的个位数字可以为4或6。

由105147b ≤≤，取b ＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入2221632a b +=得，只有当b ＝136时，a =56，即|104|56|104|136x y -=⎧⎨+=⎩，解得48160,3232x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩。

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．⑴用b 表示k ；⑵求△OAB 面积的最小值．解：⑴令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00b x k k=-><，．所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b A B b k-（，，，，于是，△OAB 的面积为)(21k b b S -⋅=．由题意，有3)(21++-=-⋅b kb kb b ，解得)3(222+-=b bb k ，2b >．…… 5分⑵由⑴知，21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b kb b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有7S =，即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△ABC 面积的最小值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩，消去n ，解得22251222222pp pq p q q q p q =+=+===+，，，，．… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数……………… 15分★12、已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y ，y ，且满足11222008x y x y -= .求b 的最小值.另解：由韦达定理，得 12122,x x a x x b +== ；12122,y y a y y b +=-= 即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=-=-+=-+-⎧⎨==--⎩ 解得：11122221y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或把12,y y 的值分别代入11222008x y x y -= ，得 1122()()2008x x x x ---= 或1221()()2008x x x x ---= （不成立）即22212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=aC因为121220,0x x a x x b +=>=> ，所以120,0x x >>　于是有 22008a = 即50215022251a ==⨯=⨯ 因为a ，b 都是正整数，所以 2222221505225150212514a a a a ab a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或分别解得：2222150222511502502122512514a a a ab b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或经检验只有：2250225150212514a ab b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意. 所以b 的最小值为：2251462997b =-最小值＝ 13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．……… 5分如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2B A C D ∠=∠．由已知，2B A C B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形．又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是BDCD CDAD =，即cb a a b +=，所以()c b b a +=2．而264(45)=⨯+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形． …… 15分（说明：满足条件的三角形是唯一的．）若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1-=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=--，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1-=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅-=，解得 2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1-=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()1212-=+n n n ，即 0132=--n n ，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件． ★13、如图，△ABC 的三边长,,,,,B C a A C b A B c a === 都是整数，且,a b 的最大公约数是2。