2012年高考数学压轴题预测(一)_5
2012届高考数学压轴题预测 4、立体几何
2012届高考数学压轴题预测 专题4 立体几何 1. 如图, 在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，∴ AC 1//平面C D B 1；解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0） （1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），∴AC •1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1.（2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC DE =，∴DE ∥AC 1. 点评：2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。
2012年高考数学30道压轴题
2012年高考数学30道压轴题训习1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。
（1）时，求的表达式。
（2）证明是偶函数。
（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
当3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令。
是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。
（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
2012年高考数学压轴题19套
数学压轴题集1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立， 求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分 因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。
所以，12a≥，所以min 12a =.……10分 （3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分 因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111,化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a--=, 解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a ,若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2)(1,2)x ϕ∈。
2012届高考数学压轴题预测：3、解析几何
2012届高考数学压轴题预测专题3 解析几何考点一 曲线（轨迹）方程的求法 1. 设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx xy y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解析：本例（1）通过2e =，22b =，及,,a b c 之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。
答案：（1）2 2.1, 2.2c b b e a e aa=====⇒==椭圆的方程为1422=+xy（2）设AB 的方程为3+=kx y由41,4320132)4(1432212212222+-=+-=+=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k x x k k x x kx x k x y kx y 由已知43)(43)41()3)(3(410212122121221221++++=+++=+=x x k x x kkx kx x x a y y bx x ±=++-⋅++-+=k kk k kk 解得,4343243)41(442222（3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b42042)4(1422122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y bkx y 得到 442221+-=k b x x:04))((0421212121代入整理得=+++⇔==b kx b kx x x y y x x4222=+k b 41644|||4)(||21||||212222122121++-=-+=--=kb k b x x x x b x x b S1||242==b k所以三角形的面积为定值.点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
2012高考数学压轴题精炼一
2012高考数学压轴题精炼一1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: …（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+=+=+∴=-=++= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '''''∴=∴=-=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1131123222x DC AP CH a x a +∴===-=-+ ()()()22222221111211323-2344246222DH DC CH x y x a a x a a a DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+=-+⎣⎦⎣⎦'==-+=∴=== 当时,为定值; 的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}nb 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分） ()()()()()()27274275421,43527227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
2012年高考数学最新压轴题汇编
2012数学最新压轴题集汇编1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立， 求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分 因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。
所以，12a≥，所以min 12a =.……10分 （3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分 因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111, 化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a --=,解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a , 若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2x ϕ∈。
2012年高考广东卷理科数学压轴题分析_何小亚
２０１２年高考广东卷理科数学压轴题分析何小亚 （华南师范大学数学科学学院 ５１０６３１） 今年，笔者有幸负责广东高考数学理科卷压轴题２０题的阅卷工作．下面就答卷中反映出的一些问题进行分析，以供广大的一线数学教师参考．１ 原题展示（本小题满分１４分）在平面直角坐标系ｘ Ｏｙ中，已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率ｅ＝２３槡，且椭圆Ｃ上的点到点Ｑ（０，２）的距离的最大值为３．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）在椭圆Ｃ上，是否存在点Ｍ（ｍ，ｎ），使得直线ｌ：ｍｘ＋ｎｙ＝１与圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝１相交于不同的两点Ａ，Ｂ，且△ＯＡＢ的面积最大？若存在，求出点Ｍ的坐标及对应的△ＯＡＢ的面积；若不存在，请说明理由．２ 解法分析２．１ 第１问的解法因为ｅ＝２３槡＝ｃａ＝ａ２－ｂ槡２ａ，所以ａ２＝３ｂ２，即椭圆Ｃ的方程为ｘ２３ｂ２＋ｙ２ｂ２＝１．设Ｐ（ｘ，ｙ）为椭圆Ｃ上任意给定的一点，则ＰＱ２＝ｘ２＋（ｙ－２）２＝－２（ｙ＋１）２＋６＋３ｂ２≤６＋３ｂ２，ｙ∈［－ｂ，ｂ］．方法１ １）若－１＜－ｂ，则０＜ｂ＜１，此时当ｙ＝－ｂ时，ＰＱ２ｍａｘ＝９，即－２ｂ２＋４ｂ＋３ｂ２＋４＝９，由此得ｂ＝－５或ｂ＝１（不合题意，舍去）．２）若－ｂ≤－１，则ｂ≥１，此时当ｙ＝－１时，ＰＱ２ｍａｘ＝９，解得ｂ２＝１，ａ２＝３．方法２ 由题设存在点Ｐ１满足Ｐ１Ｑ＝３，则９＝Ｐ１Ｑ２≤６＋３ｂ２，故ｂ≥１．当ｂ≥１时，由于ｙ＝－１∈［－ｂ，ｂ］时，ＰＱ２取得最大值６＋３ｂ２，故６＋３ｂ２＝９，解得ｂ２＝１，ａ２＝３．因此，所求椭圆Ｃ的方程为ｘ２３＋ｙ２＝１．２．２ 第２问的解法第２问的各种解法的区别本质上是面积的表达式与求最值的方法的区别．方法１ 假设点Ｍ（ｍ，ｎ）存在，则有ｍ２３＋ｎ２＝１①．设圆心到直线ｌ的距离为ｄ，则ｄ＝１ｍ２＋ｎ槡２＜１，即ｍ２＋ｎ２＞１．又因为ＡＢ＝２ １－１ｍ２＋ｎ２槡，所以Ｓ△ＯＡＢ＝１２ＡＢ·ｄ＝１ｍ２＋ｎ２１－１ｍ２＋ｎ２（）槡≤１２．当且仅当１ｍ２＋ｎ２＝１－１ｍ２＋ｎ２，即ｍ２＋ｎ２＝２②时，等号成立．由①②解得ｍ＝±槡６２，ｎ＝±槡２２，于是所求的点的坐标是槡６２，槡２２（），槡６２，－槡２２（），－槡６２，槡２２（），－槡６２，－槡２２（）．此时对应的诸三角形的面积均达到最大值１２．方法２ 假设点Ｍ（ｍ，ｎ）存在，则有ｍ２３＋ｎ２＝１．设圆心到直线的距离为ｄ，则ｄ＝１ｍ２＋ｎ槡２＜１，即ｍ２＋ｎ２＞１．因为ＡＢ２（）２＝１－ｄ２，所以ＡＢ＝２ １－ｄ槡２，于是Ｓ△ＯＡＢ＝１２ＡＢ·ｄ＝１－ｄ槡２·ｄ＝（１－ｄ２）·ｄ槡２≤１－ｄ２＋ｄ２２＝１２．当且仅当１－ｄ２＝ｄ２，即２ｄ２＝１时等号成立，故ｍ２＋ｎ２＝２．（下同方法１）方法３ 设∠ＡＯＢ＝α，Ｓ△ＯＡＢ＝＝１２×１２×ｓｉｎα．当ｓｉｎα＝１，即α＝９０°时，Ｓｍａｘ＝１２．此时，点Ｏ到直线ＡＢ的距离ｄ＝ＯＢｃｏｓ ４５°．而ｄ＝１ｍ２＋ｎ槡２，由此得ｍ２＋ｎ２＝２．（下同方法１）·６４· 中学数学月刊 ２０１３年第２期方法４ 由方法１得Ｓ△ＯＡＢ＝ｍ２＋ｎ２－槡１ｍ２＋ｎ２＝２－２ｎ槡２３－２ｎ２＝２－２ｎ槡２（槡２－２ｎ２）２＋１≤１２．当２－２ｎ槡２＝１③时，等号成立．由①③解得ｍ＝±槡６２，ｎ＝±槡２２．（下同方法１）方法５ Ｓ△ＯＡＢ＝ｍ２＋ｎ２ －槡１ｍ２＋ｎ２．因为ｍ２３＋ｎ２＝１，令ｍ＝槡３ｃｏｓα，ｎ＝ｓｉｎα烅烄烆（０≤α≤２π）．设ｔ＝ｍ２＋ｎ２＝３ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝２＋ｃｏｓ２α，则１≤ｔ≤３．于是Ｓ△ＯＡＢ＝ｔ－１ｔ２槡＝－１ｔ（）２＋１ｔ槡＝－１ｔ－１２（）２＋１４槡≤１２．当ｔ＝２时，等号成立．解得ｃｏｓα＝±槡２２，ｓｉｎα＝±槡２２．故所求的点坐标为槡６２，槡２２（），槡６２，－槡２２（），－槡６２，槡２２（），－槡６２，－槡２２（），此时对应的诸三角形的面积均达到最大值１２．方法６ 若点Ｍ（ｍ，ｎ）存在，则有ｍ２３＋ｎ２＝１．圆心Ｏ到直线ｌ的距离ｄ＝１ｍ２＋ｎ槡２＜１．假设直线ｌ：ｍｘ＋ｎｙ＝１与圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝１相交于不同的两点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则１）若ｎ＝０，由ｍｘ＋ｎｙ＝１得ｘ＝１ｍ；再由ｍ２３＋ｎ２＝１得ｍ±槡３．所以ｘ＝±槡３３，于是ｙ２＝１－１３＝２３，故ｙ＝槡６３，ＡＢ＝槡２ ６３．故Ｓ△ＯＡＢ＝１２ＡＢ·｜ｘ｜＝１２×槡２ ６３×槡３３＝２９槡＜１２．２）若ｎ≠０，由ｍｘ＋ｎｙ＝１得ｙ＝１ｎ（１－ｍｘ），代入ｘ２＋ｙ２＝１，消去ｙ，得（ｍ２＋ｎ２）ｘ２－２ｍｘ＋１－ｎ２＝０，由题设知ｘ１＋ｘ２＝２ｍｍ２＋ｎ２，ｘ１ｘ２＝１－ｎ２ｍ２＋ｎ２．于是ＡＢ＝（ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ１－ｙ２）槡２＝１＋ｍ２ｎ２槡｜ｘ２－ｘ１｜＝２ ｍ２＋ｎ２－槡１ｍ２＋ｎ２（下略）．方法７ 除了方法３之外，前面的方法都是利用均值不等式来讨论△ＯＡＢ面积的最大值问题．事实上，也可以用导数工具来求解△ＯＡＢ面积的最值问题，此处略．２．３ 考生解法讨论在全省３０余万理科考生中，本题满分是３５２人，对满分者进行抽样统计，第２问有５％的考生用方法１；有２２％的考生用方法２；有４％的考生用方法３；有６％的考生用方法６（韦达定理、直线交圆锥曲线的弦长公式）；有６０％的考生用方法４和５．方法１～３最简单，但满分者中只有３１％的考生会用．而有６９％的满分者使用了复杂的解法４～６．最简单的解法３，仅有４％的满分考生使用了此方法．可见运用恰当的数学方法解决问题的能力有待提高．第１问满分是７分，第２问能正确得出△ＯＡＢ面积的结果可以得２分．对得８分的考生进行抽样统计，有高达２７％的考生使用了韦达定理与弦长公式，但因运算量太大、太复杂而算不出△ＯＡＢ面积，丢掉了６分．使用韦达定理与弦长公式来求△ＯＡＢ面积是最笨的方法，简直是“杀鸡用牛刀且杀不死！”之所以出现如此之多的考生钟爱韦达定理，可能与教师平时训练韦达定理与弦长公式解题过多有关，形成了条件反射：“直线交曲线→弦长公式”．自从２００７年实施新课程高考以来，独立命题的广东卷严格执行不考察韦达定理的超纲试题，况且２００８年，笔者在文［１］就指出了韦达定理的“祸害”，但不知何故，中学数学教师尤其是高三的数学教师至今还对韦达定理、弦长公式念念不忘，又误导了这么多考生．老师们，该醒醒了！３ 典型错误（１）看到离心率ｅ＝ｃａ＝２３槡，有不少考生就认为ｃ＝槡２，ａ＝槡３，从而得出答案．（２）有很多考生凭直观，认为下顶点或左右端点是取得最大值点而得出答案．（３）绝大多数的考生忘了讨论－１＜－ｂ，或没有证明ｂ≥１的情况．·７４·２０１３年第２期 中学数学月刊 （４）得出方程ｘ２３ｂ２＋ｙ２ｂ２＝１后，设点Ｐ（ｘ，ｙ）是椭圆上的点，则由ｘ２３ｂ２＋ｙ２ｂ２＝１，ｘ２＋（ｙ－２）２＝９烅烄烆消去ｘ，得２ｙ２＋４ｙ＋５－３ｂ２＝０．由Δ＝０解得ｂ＝１．故所求方程为ｘ２３＋ｙ２＝１．注意 二次曲线与二次曲线相交、相切、相离与对应的判别式Δ的符号没有必然关系．例如，由ｘ２＋ｙ２＝１与ｙ＝４ｘ２－１消去ｘ后得到４ｙ２＋ｙ－３＝０，此时有Δ＝４９＞０，但是此抛物线与单位圆相切于原点，又相交于另外的两点．（５）相当多的考生因使用韦达定理而求不出△ＯＡＢ的面积．（６）在方法６中，由ｍｘ＋ｎｙ＝１得ｙ＝１ｎ（１－ｍｘ）时，没有讨论ｎ＝０的情况．事实上，由ｍｘ＋ｎｙ＝１与ｘ２＋ｙ２＝１可以直接消去ｙ，没必要写出ｙ＝１ｎ（１－ｍｘ），这样就可以避免讨论ｎ＝０的情况．４ 教学反思作为压轴题，一方面，本题是探究性问题，但事实上探究味不浓，只是一个简单的二次函数是否有最值的问题；另一方面，此题较常规，比考生平时训练的压轴题简单得多，但考生实际的答题效果很差．在前面几乎没有难题的情况下，此题全省的平均分只有１．９３分．说明目前的教学仍然存在严重的问题．笔者在此重申：·机械的题海训练难以使学生真正理解数学．·训练过度，学生都练傻了，哪里还会问题解决呢？·学生掌握了一些没有思想灵魂的各种解题之“术”，自然一进考场就想“大显身手”，哪里还会问题解决呢？·新中考、新高考就是要我们回归基础，老老实实教点数学，不要总是把做题、讲题当成是教数学．·新课程、新中考、新高考就是要以理解、问题解决和数学探究为价值取向．·新中考、新高考考什么？考数学理解，数学问题解决，数学探究．·猜题，押题，套题，搞信息题该停止了！·回归课本，回归基础是正确的方向！·理解数学概念本质，抓住数学原理结构，学会数学问题解决是数学教学的核心！·让我们的学生学会以不变应万变吧！参考文献［１］ 何小亚．数学新课程下广东高考压轴题之透视［Ｊ］．广东教育，２００９（２）：３７－３８．檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶（上接第３９页）五花八门”了，但概括起来无非三类，即反映单值对应的题目、判断两函数是否相等的题目、求函数定义域和值域的题目；同时，苏教版课后练习的呈现方式也是多种多样的，如第１题是关于“学号与成绩对应”的问题，第２题是关于“学生购票”的问题，题目要求学生以“输入—输出”的模式作答，如“儿童身高ｈ为输入值，相应的购票钱款为输出值，则１．０→ ”．（３）从题目难度看，可谓大同小异，只是苏教版常用“→”这种符号表示函数，可能会使初学者感到不习惯，如第４道题目“判断ｔ→ｓ，其中ｓ＝ｔ２，ｔ∈Ｒ，ｓ∈Ｒ是否为函数”等．分析比较 首先，函数的本质是一种对应，而对应的概念对于初学者来说可能不容易理解，因此，无论是在正文还是课后练习中，苏教版教材都不失时机地以各种方式强调这种“对应”关系，这样处理有助于强化学生对核心概念的理解；其次，抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此，在函数概念学习中，让学生对生活中具体的函数实例进行操作练习，可以促进其对函数本质的理解，强化学生的建模意识．显然，苏教版的课后练习设置较符合这一理念．以上是笔者进行的一些粗浅的比较研究，当然，我们可以选择从不同角度对同一教学内容进行比较研究，这种研究无疑是很有意义的，不仅为我们积累了丰富的教学素材，而且开阔了我们教学设计的思路，提升了我们的专业发展水平．·８４· 中学数学月刊 ２０１３年第２期。
2012年大纲版高考压轴卷 数学理试题.pdf
数学（理）试题 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．，∈N}，B={}，则A∩B等于 ( ) A．{1，4} B．{1，6} C．{4，6} D．{1，4，6} 2．复数（ ） A．B． C．D． 3．若是等差数列，，则使前项和成立的最大正数是（ ）A. 48B.47C.46D.45 4．在区间[－，]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为（ ） A. B. C. D. 6．的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于 （ ） A．9B．9C．3 D．0 7. 已知x、y使方程x2+y2-2x -4y + 4=0，则的最小值是 （ ） A. B. C. 2 D.3 8. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 9. 过原点与曲线相切的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 已知 则是q的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要充分不条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 11. 若实数满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a的值是（ ）A.-2B.0C.1D.2 12. 设a，b为大于1的正数，并且，如果的最小值为m，则满足的整点的个数为（ ）A.5B.7C.9D.11 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13. 设l为平面上过点（0，l）的直线，l的斜率等可能地取、、、0、、、用ξ表示坐标原点到直线l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_________. 14. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为 ． 15. 设a，b，c依次是的角A、B、C所对的边，若，且，则m=________________. 16． 在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为_________； （2）点集所表示的区域的面积为_________ . 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，分别为角所对的三边，已知． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的长． 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点． （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 19．（本小题满分12分） 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别北京上海天津八一人数4635 （Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知函数（，实数，为常数）． （Ⅰ）若，求在处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性． 21．( 本小题满分12分) 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值． 22. ( 本小题满分12分) 已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合． 参考答案 一．选择题：每小题5分，满分60分． 题 号123456789101112答 案DCCBCBBAADA二．填空题：每小题5分，满分20分． 13. 4 提示：显然本程序框图反映的是统计产量大于950件的车间个数的一个算法流程图，故答案为4. 14. ∵直线l的方程分别为： y=x +1、y=x +1、y=x +1、y=1、y=x+1、y=x+1、y=x+1，∴原点到它们的距离分别为、、、1、、、所以随机变量ξ的分布列为： ξ1P 所以Eξ=×+×+×+×1=15．2011 提示：由已知 即，亦即 由正余弦定理有 即，将代入 得，于是 16．π；18+π 提示：已知点集A表示以原点为圆心，半径为1的圆的边界及其内部，点集B表示以点0（0，0），M（4，0），N（4，3）为顶点的三角形及其内部， （1）本题相当于把点集A中的圆向右平移3个单位，向上平移1个单位，因此其面积不变，为π. （2）相当于把点集A沿点集B扩大如图所示： 其面积为： 三．解答题： 17．本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理，考查三角基础知识和基本运算能力．满分10分． 〖解析〗（Ⅰ） ， ………………3分 ∴ …………………………………………………………5分 （Ⅱ）在中，， ， ∴ ………………………………………7分 由正弦定理知： ∴．…………………………………………9分 ∴ ……………………………………………………………………10分 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论证、二面角的计算等基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分． 〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系， , ，，，．…………1分 （Ⅰ）证明： ∵，， ∴, ∵平面，且平面， ∴//平面．………………………………4分 （Ⅱ）证明： ，，， ， 又， ∴平面． ………………………………………………8分 （Ⅲ）设平面的法向量为, 因为，， 则取 又因为平面的法向量为 所以 所以二面角的大小为．…………………………………12分 19．本小题主要考查概率统计的概念，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，以及利用概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分12分． 〖解析〗 （Ⅰ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A， 则. ………………………………………5分 （Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2. …………………………………………………7分 ∵，，， ∴的分布列为： 012P ……………………10分 ∴. ……………………………12分 20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法，考查运用基本概念进行论证和计算的能力．满分12分． 〖解析〗 （Ⅰ）因为，所以函数， 又，………………………………………………2分 所以 即在处的切线方程为…………………………………5分 （Ⅱ）因为，所以，则 令，得，．……………………………………………7分 （1）当，即时，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为；…………………………………………8分 （2）当，即时，，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为；…………………………9分 （3）当，即时，函数的单调递增区间为；………10分 （4）当，即时，，的变化情况如下表： 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为；……………………………………11分 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．…………………………12分 21．本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分． 〖解析〗（Ⅰ）， ， ∴，， ∴ ………………………………………………4分 （Ⅱ）设直线BD的方程为 ………………………① ………………………② ， 设为点到直线BD：的距离， ∴ ∴ ，当且仅当时取等号. 因为，所以当时，的面积最大，最大值为………9分 （Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则=…………………………（*） 将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得=0， 即0………………………………………………………………12分 22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分． 〖解析〗 (Ⅰ) 证明：依题意有，又， 因此． 可得． 所以． 即． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得． 又，可得，因此． 同理，可知． 又，可得， 所以均成立． 当时，取，则， 可知． 又当时，． 所以． ……………………………………………………8分 （Ⅲ）解：对于任意，， 由可知， ，即． 因此，只需对，成立即可． 因为；；；， 因此可设；；；；． 由，可得，取． 由，可得，取． 由，可得，取． 由，可得，取． 所以满足条件的一个集合．……………12分 其它解法，请酌情给分.。
名校2012年领航高考数学预测试卷及参考答案
名校2012年领航高考数学预测试卷及参考答案名校2012年领航高考数学预测试卷（6）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．1．设函数的定义域为，集合，则等于（）A．B．C．D．2．已知，为虚数单位，若，则的值等于（）A．－6B．-2C．2D．63．已知函数则是（）A．单调递增函数B．单调递减函数C．奇函数D．偶函数4．若数列满足（为正常数，）,则称为“等方差数列”.甲：数列为等方差数列；乙：数列为等差数列，则甲是乙的（）A．充分不必条件B．必不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．是不同的直线，是不重合的平面．下列命题为真命题的是（）A．若∥，，则B．若C．若则D．若，则6．若函数的图象在处的切线与圆相离，则与圆的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不能确定7．已知函数，则的值为（）A．B．C．D．8．已知抛物线上一点，，是其焦点，若，则的范围是（）A．B．C．D．9．设则下列结论正确的是（）A．B．C．M10．函数和的图象在内的所有交点中，能确定的不同直线的条数是（）A．28B．18C．16D．611．已知函数，方程有6个不同的实根．则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：l，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列的前l2项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则等于（）A．1003B．1005C．1006D．2012二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．已知某个几何体的三视图如图所示．根据图中标出的尺寸（单位：cm）．可得这个几何体的体积是．14．若函数则.15．阅读左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是16．在不等式组所表示的平面区域内,求点（）落在∈1，2]区域内的概率是．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本题满分12）已知,其中.若图象中相邻的对称轴间的距离不小于.（1）求的取值范围（2）在中，分别为角的对边．且，当最大时．求面积．18．（本题满分12分）如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱，经平面所截后得到的图形．其中，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（本题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组数据中的含义；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望. 20．（本题满分12分）设椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：x3—24y0—4-（1）求的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点且，请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21．（本题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的最小值；（2）不等式的解集为，若且求实数的取值范围；（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．22．选修4—1：几何证明选讲如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D 作，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证:。
2012年湖南省高考压轴卷数学理试卷.pdf
绝密★启用前 2012年湖南省高考压轴卷 数学理 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟，满分150分。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
1、已知集合A={x∈Rx2）=0.2 B．设回归直线方程为=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位 C．已知命题：x∈R，tanx=1；命题q：x∈R，x+1>0．则命题“q”是 D．已知直线：3y-1=0,l2：+1=0，则l2的充要条件是=3 6、给出30个数：1，2，4，7，，……其规律是 1， ， 2， 3，…… 30个数的和，现已给出了该问题 框②处应分别填入( ) A．i≤30=p+i-1 B．i≤29=p+i+1 C．i≤3：=p+i D．i≤30=p+i 7．已知定义在上的奇函数满足，且在上递增， 记，，则的大小关系为 A． B． C． D．8．已知，直线l：与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为，若，则实数的取值范围为A． B． C．D．、已知曲线C的极坐标方程是，直线的参数方程 (t为参数).设直线与x轴的交点是M，是曲线 10、如图，中，直径AB和弦DE互相C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，CFE=()，则11.（不等式选讲）若，则的最小值为 .、虚数单位，复数是 13、若实数x，满足，则的最小值为 14、已知()展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和、已知数列{}的前项，且满足160,0<)的最小正周期为，. (1)求的值； (2)若 18.(本小题满分12分) 在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点. （1）求证：平面； (2)若//平面，试确定点的位置， 并给出证明； (3)求二面角的余弦值. 19、(本小题满分1分(以下简称活动)．该校合唱团共有00名学生，他们参加活动的 (1)求合唱团学生参加活动的人均次数； (2)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等 (3)从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之的分布列及数学期望E ． 20.（本小题满分13分）设椭圆C1：的左.右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C2：与轴的交点为B，且经过F1，F2点。
2012年高考数学解答题临考押题训练数学理1
2012届高考数学理科解答题临考押题训练（1）1．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足)2cos cos cos b A c A a C =+ （1） 求A 的大小；（2） 若2a =，c =，且c b >求ABC ∆的面积． 解：（1）由)2cos cos cos b A c A a C =+运用正弦定理得：)2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+（2分）即：2sin cos )B A A C B =+=（4分）所以cos 6A A π==（6分） （2）由余弦定理：22222cos 680a b c bc A b b =+-⇒-+=,又c b >得 4=b所以1sin 2S bc A ==12分） 也可利用正弦定理2．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA = 过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示 的几何体111ABCD AC D -。
（1）求几何体111ABCD AC D -的体积。
（2）求直线1BD 与面11A BC 所成的角。
解（1）111111*********433ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V A A A A ---=-=-=（5分）（2）方法一（空间向量）解以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．由题意：()0,2,2B ,()4,0,01D ,()4,0,21A ,()4,201，C , （7分） ()4,221--=，BD ,()4,201-=，A ,()0,2211，-=C A ,设面11A BC 的法向量是()w v u ,,=，则⎩⎨⎧=+-=-022042v u w v取2=v 得()1,2,2= （10分）ABCD1A 1C 1D设n 与1BD 的夹角为ϕ，则cos ϕ=设直线1BD 与面11A BC 所成的角为θ，则=θsin cos 9ϕ=（12分）得直线1BD 与面11A BC 所成的角为arcsin9（13分）方法二（几何法）找角，解三角形求直线1BD 与面11A BC 所成的角为arcsin9酌情给分3．已知动点M 到定点()0,1F 的距离与到定直线：1-=x 的距离相等，点C 在直线上。
数学- 2012高考数学压轴题集选(江苏)【2012高考复习必备】
1 1 S n an ． 2 4
Tn , (n 2) ， Tn 1
∴数列 bn 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴ bn 2 ( n 1) n 1 ，∴ Tn
1 1 1 ，∴ a n 1 Tn 1 bn n 1 (20 21 22 2k 2 ) 2
当 k=10 时，其和是 55 210 2 1077 2011 当 k=11 时，其和是 66 211 2 2112 2011 又因为 2011-1077=934=467 2，是 2 的倍数
3 / 44
又∵ a2 3 ， ∴( 10 分
p 2 ) 1 3 ， ∴ p 4， ∴ an 2n 1 p2
……………………………
（3）由（2）得 bn log 2 2n ，即 bn n,(n N * ) ， 数列 {Cn } 中， bk （含 bk 项）前的所有项的和是：
/
1 1 a ． 1 a a
/
当 0 a 1 时， g ( a ) 0 ，在（0，1）上单调递增；当 a>1 时， g ( a ) 0 ， 在 (1, ) 上单调递减. g max ( a ) g (1) 0 ， g ( a ) =0 只有唯一解 a=1．
2 / 44
当 a 0 时，x (0, a ) 时， f ( x) 0 ，
/
在 (0, ) 上单调递增； 当 a 0 时， f ( x) 0 ，
/
在上单调递减； x ( a, ) 时， f ( x) 0 ，在 ( a , ) 上单调递增． 综上所述，当 a 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ； 当 a 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为 ( a , ) ，单调递减区间为 (0, a ) ． （2）充分性：a=1 时，由（1）知，在 x=1 处有极小值也是最小值， 即 f min ( x) f (1) 0 .而（0，1）在上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 在 (0, ) 上由唯一的一个零点 x=1． 必要性： f ( x ) =0 在 (0, ) 上有唯一解，且 a>0, 由（1）知，在 x=a 处有极小值也是 最小值 f(a)， f(a)=0,即 ln a a 1 0 ． 令 g ( a ) ln a a 1 ， g / ( a )
2012年高考广东卷理科数学压轴题分析
点的坐标是 （ ， － ５ ） ， （ ， 一 ） ， （ 一 ２ ， ） ， （ 一 ， 一 ） ． 此 时 对 应 的 诸 三 角
形 的面积 均达 到最大值 ．
存在 ， 请说 明理 由．
２ 解 法分 析
２ ． １ 第 １问的解 法
因 为 ｅ ＝ √ 一 詈 一
１ பைடு நூலகம்
‘
于是 Ａ Ｂ 一 ￣ ／ （ ｚ ２ 一ｚ １ ） ＋ （ １ 一 ２ ） 。一
当￣ ／
一１③ 时， 等号成立． 由 ①③ 解
１ ＋ ｌ ｚ 一 Ｘ ｌ ｌ 一 ｍ十 掣 （ 下 略 ） ．
方法 ７ 除 了方 法 ３之 外 ， 前 面 的方 法都 是 利用 均值 不等式 来讨 论 ／ Ｘ Ｏ ＡＢ 面 积 的最 大值 问
—
因 为 （ 等） 。 一 １ 一 ， 所 以 Ａ Ｂ 一 ２ ￣ ／ ，
于 是
９ ， 由此得 ｂ 一一５或 ｂ 一１ （ 不合题 意 ， 舍去） ．
２ ） 若 一ｂ ≤一１ ， 则ｂ ≥１ ， 此 时 当 Ｙ一一１ 时，
Ｐ Ｑ 一９ ， 解得 ｂ 一 １ ， ａ 。 一３ ．
± ， 于是所求 的
直线 Ｚ ： ｍｘ ４ － ｎ ｙ一 １ 与 圆 ０： ４ － ｙ 。 一１ 相 交 于 不
由 ①② 解 得 ＝ ＝ ＝ ± 一
同的两 点 Ａ， Ｂ， 且 △Ｏ ＡＢ 的面 积最 大？若 存 在 ， 求 出点 Ｍ 的坐标 及 对应 的 △ Ｏ ＡＢ 的面 积 ； 若 不
Ｖ １－
＜ １ ， 即
＋ ＞ １ ．
中， 已知椭 圆 Ｃ： 十 一１ （ ｎ＞ ｂ ＞０ ） 的离心 率
ｅ 一
2012年名校领航高考数学预测试卷(5)及答案
2012年名校领航高考数学预测试卷（5）及答案名校2012年领航高考数学预测试卷（5）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知复数，则的共轭复数是A.B.C.D.2.正项等比数列中，若，则等于A.-16B.10C.16D.2563.已知随机变量，若，则等于A.0.1B.0.2C.0.3Ｄ.0.44.若，且,则实数的值为Ａ.1或3Ｂ.-3C.1Ｄ.1或-35．设都是非零向量，那么命题“与共线”是命题“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6.实数、满足则=的取值范围是A.－1,0]B.－∞,0]C.－1,+∞D.－1,17.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于A．10B．8C．6D．48．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．9.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为A．B．C．D．10.设函数则函数的零点个数为A.4个B.3个C.2个D.1个11．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．－1B．0C．1D．212.如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为A.18个B.256个C.512个D.1024个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费（万元），有如下的统计资料使用年限23456维修费用2.23.85.56.57.0若由资料可知和呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的=，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是万元.（参考公式：，）14.一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是.15.设函数()，若，，则=.16.已知集合,有下列命题①若则；②若则；③若则的图象关于原点对称；④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．18．（本小题满分12分）如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：（Ⅰ）求两点间的距离；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）某种食品是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）正式生产前先试生产袋食品，求这２袋食品都为废品的概率；（Ⅱ）设为加工工序中产品合格的次数，求的分布列和数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆:的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；（ⅱ）求△面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）数列满足：，且,记数列的前n项和为，且.（ⅰ）求数列的通项公式；并判断是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.（ⅱ）设为首项是,公差的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数，使”22．（本小题满分10分）选修4—1几何证明选讲在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.求证:23．（本小题满分10分）选修4—4参数方程与极坐标求圆被直线（是参数截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5不等式证明选讲已知是不相等的正实数，求证：参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1.A2.C3.C4.D5．B6.D7.B8．D9.D10.B11．A12.C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.13.12.3814.315.16.②③三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）………3分因为函数在上的最大值为，所以故…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：把函数的图象向右平移个单位，可得函数…………………………………………8分又在上为增函数的周期即所以的最大值为…………………………12分18．解：（Ⅰ）取的中点，连接，由，得：就是二面角的平面角，在中，（Ⅱ）由，，又平面．（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角．方法二：设点到平面的距离为，∵于是与平面所成角的正弦为．方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则． (10)分设平面的法向量为n，则n，n，取，则n，于是与平面所成角的正弦即．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）２袋食品都为废品的情况为①２袋食品的三道工序都不合格……………2分②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格……………4分③两袋都有两道工序不合格所以2袋食品都为废品的概率为……………6分（Ⅱ）………8分………10分………12分20．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.满分13分解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以，解得所以椭圆的标准方程为.…（4分）（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：.记，，，.由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），得，即.所以即定点（1，0）.（ii）由（i）中判别式，解得.可知直线过定点(1,0).所以得,令记，得，当时，.在上为增函数.所以，得.故△OA1B的面积取值范围是.21.本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识，考查运用合理的推理证明解决问题的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想.满分14分.解：（Ⅰ）因为，所以.（i）当时，.（ii）当时，由，得到，知在上.（iii）当时，由，得到，知在上.综上，当时，递增区间为；当时,递增区间为.（Ⅱ）（i）因为，所以，即，，即.……………………………………（6分）因为，当时，，当时，，所以.又因为，所以令，则得到与矛盾，所以不在数列中.………（9分）（ii）充分性：若存在整数，使.设为数列中不同的两项，则.又且,所以.即是数列的第项.必要性：若数列中任意不同两项之和仍为数列中的项，则，，（，为互不相同的正整数）则，令，得到，所以，令整数，所以.……（11分）下证整数.若设整数则.令，由题设取使即，所以即与相矛盾，所以.综上,数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使.22．选修4—1几何证明选讲证明:作于为直径,）四点共圆,四点共圆.（6分）(1)+(2)得（9分）即（10分）23．选修4—4参数方程与极坐标将极坐标方程转化成直角坐标方程：即：，即；（4分）即：（7分）所以圆心到直线的距离，即直线经过圆心，（9分）所以直线截得的弦长为.（10分）24．选修4—5不等式证明选讲因为是正实数，所以（当且仅当即时，等号成立）；（3分）同理：（当且仅当即时，等号成立）；（6分）所以：（当且仅当即时，等号成立）；（8分）因为：，所以：（10分）。
高考数学压轴题
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2012年高考数学压轴题预测（一）
1．椭圆的中心是原点O
，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过
点
A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0OP OQ ⋅=
，求直线PQ 的方程；
（3）设AP AQ λ= （1λ>）
，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-
. (14分)
2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。
（1）
)](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。
（2） 证明
)(x f 是偶函数。
（3） 试问方程01
log )(4
=+x
x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
当
3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22
=-+y x。
（1） 若动点M 到点F
（2） 过点F 的直线g 交轨迹（3） 过轨迹E 上一点P
4.以椭圆2
22y a
x +＝1（a
5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.
参考答案：
1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为(22
212
x y a a +
=>。
由已知得,
().
222
22a c a c c c ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩
解得2a c ==
所以椭圆的方程为22162x y +=
，离心率e =。
（2）解：由（1）可得A （3，0）。
设直线PQ 的方程为()3y k x =-。
由方程组,()22
162
3x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得()2
22231182760k
x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->
，得33
k -
<<。
设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122276
31
k x x k -=+。
②
由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。
于是
()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。
③
∵0OP OQ ⋅=
，∴12120x x y y +=。
④ 由①②③④得2
51k
=
，从而(533
k =。
所以直线PQ
的方程为30x -=
或30x -=
（3，理工类考生做）证明：(,),(,)112233AP x y AQ x y =-=-。
由已知得方程组 (),,
,
.
121
222
1122
223316
216
2x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩ 注意1λ>，解得2
51
2x λλ
-=
因(,),(,)1120F M x y -，故
(,)((),)1121231FM x y x y λ=--=-+- (,)(,)121122y y λλλλ
--=-=-。
而(,)(,)222122FQ x y y λλ
-=-= ，所以FM FQ λ=- 。
2 ①f(x)=
12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根
3 ①x 2
=4y ②x 1x 2=-4 ⑶P(±2,1) S MIN =
7
4 .解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）
设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0） 则AB ∶y ＝－
k
1x ＋1
把BC 方程代入椭圆， 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0
∴|BC |＝
2
222
121k a k
a k
++，同理|AB |＝
2
22
2
21a k a k
++
由|AB |＝|BC |，得 k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0 （k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0
当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4 由Δ＜0，得1＜a ＜3
由Δ＝0，得a ＝
3，此时，k ＝1
故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解
由Δ＞0即a ＞
3时有三解
5 解：依题意，知a 、b ≠0
∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0
（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ）， 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*） Δ＝4（b 2－ac ）
∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0 ∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知
|A 1B 1|2
＝2
2224)(444a ac
c a a ac b -+=-
22
2
4()a c ac a =
++ 24()1(**)c
c a
a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
∵0
20a b c a c a b ++=⎧⇒+>⎨
>⎩，而a ＞0，∴
2c
a
>- ∵020a b c a c c b
++=⎧⇒+<⎨
<⎩，∴
12
c a <- ∴1
22c a -<<- ∴4［（a c ）2＋a
c ＋1］∈（3，12）
∴|A 1B 1|∈（
3，23）。