山西省大同市2020届高三下学期3月模拟考试数学(理)试卷解析

山西省大同市2020届高三下学期3月模拟考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 取值范围为( ) A ．(1,3)
B ．[1,3]
C ．[1,)+∞
D ．(,3]-∞
2.若复数z 满足1(z i i =为虚数单位)，则复数z 的最大值为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．31+
3.已知0.1
2tan 5a π⎛
⎫= ⎪⎝⎭，3log 2b =
，23πlog cos 7c ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，则( )
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c >a >b
D ．a c b >> 4.下列图象中，不可能是函数
的图象的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示．金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数．所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”．如图2所示的天元式表示方程
，其中，
11,,,n n a a a -L 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记
一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂．
试根据上述数学史料，判断图3所示的天元式表示的方程是( ) A ． B ． C ．
D ．
6.执行如图所示的程序框图，输出结果( )
A ．-50
B ．-60
C ．-72
D ．60
7.已知单位向量,a b 的夹角为θ，且1
tan 2
θ=，若向量3m b =-，则m =( ) A ．
B ．
C ．
D ．或26
8.已知()7
2b x a x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中的系数是42，则常数,a b 应当满足的条件是( )
A ．R,1a b ∈=
B ．R,1a b ∈=-
C ．R,1a b ∈=±
D ．1,R a b =∈
9.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．ππ2π-,2π()66k k k Z ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦
B ．π2π2π,2π()33k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
C ．2ππ2π,2π()33k k k Z ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ． π5π2π,2π()66k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
10.已知M 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右
焦点，线段FA 的垂直平分线过点6,0MFA M ∠=︒，则C 的离心率为( ) A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
11.设定义在R 上的函数满足
，且当[)1,0x ∈-时，
．若对
任意
，不等式()3
4
f x ≤
恒成立，则实数λ的最小值是（ ）
A ．178
-
B ．94
-
C ．114
-
D ．238
-
二、填空题 12.已知数列
是等差数列，是其前n 项和．若369113,22a a a S +==，则=_____.
13.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，
则52f ⎛⎫
⎪⎝⎭
__________.
14.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（当一人先赢3局时获胜，比赛结束）．棋局以红
棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为
2
3
，执黑棋时取胜的概率为
1
2
，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以
3:2获胜的概率为________．
15.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其形体上面平而下面斜，一面与地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其体积．如图所示的五面体ABCDEF 是一个羡除，两个梯形侧面ABCD 与CDEF 相互垂直，．若1,2,3AB EF CD ===,梯形ABCD 与
CDEF 的高分别为
和，则该羡除的体积
________；由此归纳出求羡除体积的一般
公式为________．
三、解答题
16.在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2
sin sin cos 2
C A B =，()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-．
（1）求A ∠和B ∠的大小；
（2）若ABC △BC 边上中线AM 的长．
17.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112,30,AB AC AA BC A CA BC ====∠=︒=．
（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AA C C ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值．
18.甲、乙两名运动员共参加3次百米赛跑预赛，赢2次以上者（包含2次）获得决赛资格．每次
A
B
C A 1
B 1
C 1
预赛通过摸球的方法决定赛道，规则如下：裁判员从装有n 个红球和2个白球的口袋中不
放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲在第一赛道，否则乙在第一赛道（每次赛道确定后，再将取出的两个球放回袋中）．假设甲获得决赛资格的概率为，每次预赛结果互相独立，且
无相同成绩．
（1）当口袋中放入红球的个数n 为多少时，3次比赛中甲恰有2次在第一赛道的概率最大; （2）若在3次比赛中，运动员每赢一次记1分，否则记-1分，求甲得分X 的分布列和数学期望．
19.已知双曲线22
221(0,0:)
x y a b a b C -=>>的右焦点为F ，半焦距，点F
到右准线2
a x c
=
的距离为
1
2
，过点F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦AB CD ,，设AB CD ,的中点分别为M N ,． （1）求双曲线C 的标准方程；
（2）证明： 直线MN 必过定点，并求出此定点坐标． 20.已知函数2113
()ln 424
f x x ax x =+-+．
（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：
1212()()1
24
f x f x a x x ->--．
21.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (x y θ
θθ=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数)，直线l 的参数方程为2(1x m t
t y t =-⎧⎨
=+⎩
为参数)． （1）若，求曲线C 与直线l 的两个交点之间的距离；
（2）若曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为，求m 的值．
22.已知()11f x x ax a =++-+．
（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若1x ≥时，不等式()2f x x +≥恒成立，求a 的取值范围．
四、证明题
23.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15， …．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， …）．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总
共球的个数为( )
A．55 B．220 C．285 D．385
参考答案
1.答案：B
解：2{|log (1)1}{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<，
{|2}{|22}{|22}B x x a x x a x a x a =-<=-<-<=-<<+， 因为A B ⊆，所以21
23a a -⎧⎨+⎩
≤≥，解得13a ≤≤．
2.答案：C 解：设，由可得，即复数在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数形结合知，
的最大值为
()
2
23
113++=．
3.答案：A 解：0.1
2π2πtan tan 55a ⎛
⎫⎛
⎫=> ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭，()3223πlog 20,1,log cos log 10
7b c ⎛⎫=∈=<= ⎪⎝⎭．
4.答案：A
解：函数()()
()()
sin 0πx x
f x e e x ϕϕ-=++≤≤为非单调函
数，排除B ，C ，D ． 5.答案：C
解：对照图1，可知图3中的数字从上到下依次为1，286，1743．又“元”在286旁，故286为一次项系数，1743为二次项系数，1为常数项． 6.答案：D 解：输出时，
，所以
．
7.答案：A
解：由1tan 2
θ=，为的夹角，故为锐角，所以求得2
25cos 2m θ=
⋅=，所以
．
8.答案：C
解：7
b x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭的通项公式为7217r r r
r T C b x -+=，其中的系数
为，展开式中没有含
的项，所以()7
2b x a x x ⎛
⎫++ ⎪
⎝
⎭中4x 的系数为
，所以
，而．
9.答案：B
解：π()cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
，最小正周期2π2π,1T ωω=
=∴=， π()2sin 6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，由πππ2π2π,262k x k k Z --+∈≤≤，得π2π2π2π,33k x k k Z -+∈≤≤．
所以()f x 的单调递增区间是π2π2π,2π()33k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦．
10.答案：B
解：为方便运算，不妨设1a =，则(1,0),(,0)A F c -，因为AFM △是正三角形，
所以12c M ⎛- ⎝⎭，将其代入22
211y x c -=-，得222(1)3(1)144(1)c c c -+-=-，即2(1)3(1)
144(1)
c c c -+-=-， 所以3(1)3(1)4(1)c c c --+=-，
∴2(1)(23)3(1)c c x c ---=+240c c -=， ∴4c =，所以离心率4c
e a
==． 11.答案：B 解：由已知，当
时，
可得，
当时，； 当
时，
；
画出函数草图，令
，化简得
， 解得，由图可知，当时，不等式恒成立．
12.答案：4 解：由，得．又，解得．所以．
13.答案：1
8
-
解：()f x 关于(0,0)对称，关于直线1x =-对称，所以3
5511122228f f
f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. 14.答案：
13
54
解：甲以3:2获胜，则第5局甲获胜，前四局为平局，甲两胜两负．根据规则，甲执红棋开局，则前四局甲执棋顺序是“红黑红黑”，第5局甲执红棋．前四局甲取胜可能的情况是 ①甲2次执红棋取胜； ②甲2次执黑棋取胜；
③甲1次执红棋和1次执黑棋取胜． 故概率为
．
15.答案：3;
()121
6
AB CD EF h h ++ 解： 在平面内，过两点分别作的垂线，
垂足分别为
，在平面
内，过,G H 两点分别作的垂线，垂足分别为
．
由平面
与平面
相互垂直知，
，
又，易证平面平面，且平面，
所以几何体为直棱柱．
将羡除
分割为两个四棱锥
和一个直棱柱
．
所以所求几何体体积
ABCDEF AGM BHN A DEMG HNFC V V V V ---=++直棱柱四棱锥四棱锥B 11
33
AGM DEMG HNFC S GH S AG S BH ∆=⋅+⋅+⋅四边形四边形
．
从以上求解过程可归纳出求羡除体积的一般公式为．
16.答案：(1)
因为()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-
，所以()()()c c a b a b =+-，
所以222a b c =+
，即cos A =30A =︒， 因为2
sin sin cos
2C A B =，所以1cos sin sin 2
C A B +=，即sin 1cos B C =+， 因为150B C +=︒，所以sin 1cos(150)1cos150cos sin150sin B B B B =+︒-=+︒+︒，
即()1sin sin 6012B B B +=+︒=，所以30B =︒．
(2),120a b C ==︒
，因为21sin 2ABC S ab C ===△2a b ==，
在ACM △中，222
12cos1204121272AM AC CM AC CM ⎛⎫=+-⨯︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以AM = 解：
17.答案：（1）记1
1AC AC O =I ，连结BO ． 因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥．
由题意知1ACC △
为正三角形，求得CO ， 在1ABC △
中求得BO
BC ， 所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥． 因为1CO AC O =I ，所以BO ⊥平面11AA C C ．
A
B
C
M
因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AA C C ． （2）建立空间直角坐标系，
则11(0,1,0),(0,1,0),(A C C B --，
1(0,2,0),AC AB =-=-u u u r u u u u r
． 因为BO ⊥平面11AA C C ，
所以平面11AA C C
的法向量为m =u r
． 设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =r ，
则12020n AC y n AB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，取1x =，则0,1y z ==-， 所以(1,0,1)n =-r
．
所以cos ,m n m n m n
⋅===⋅u r r
u r r u r r ， 因为所求二面角的平面角为钝角， 所以所求二面角11B AC C --
的余弦值为． 解：
18.答案：(1)设每次比赛甲在第一赛道的概率为， 则3次比赛中，甲恰有2次在第一赛道的概率为，
则．
当
时，
单调递增；
当时，单调递减．
所以当时，取得最大值．
而由摸球的规则知，，解得或．
故当口袋中放入一个红球或两个红球时，3次比赛中甲恰有2次分在第一赛道的概率最大． (2)设甲在每次比赛中胜出的概率为，
由已知甲在比赛中最终获胜的概率为，
即甲在3次比赛中有2次胜出或3次胜出的概率为，
所以．化简得
，
即
，所以
，
解得1
3
λ=或
（舍去），
所以甲在每次比赛中胜出的概率为． 由题意知，甲得分X 的所有可能取值为
．
，
()()2
3
1
3
1121111,3339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-⨯==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
故甲得分的分布列为：
所以随机变量的数学期望．
解：
19.答案：（1）由题设可得，
所以
．
所以双曲线的标准方程为．
（2）证明：点坐标为，设过点的弦所在的直线方程为，
则有
．
联立得．
因为弦与双曲线有两个交点，所以
，
所以．所以
．
当
时，点即是点，此时，直线
为轴．
当时，将上式点坐标中的换成
，同理可得22262,3131k k N k k ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭
．
①当直线不垂直于x 轴时，直线的斜率，
将点代入方程得，
化简得，所以直线过定点；
②当直线MN 垂直轴时，， 此时，
，直线
也过定点
． 综上所述，直线必过定点()
3,0P ．
解：
20.答案：(1)当1a =-时，2113
()ln 424
f x x x x =--+，(1)0f =．
21112(2)(1)
()2222x x x x f x x x x x
+-+-'=--=-=-．
当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>． 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．
(2)因为2113()ln 424f x x ax x =+-+，所以21112
()222ax x f x ax x x
-+'=+-=．
因为()f x 存在两个极值点，所以220ax x -+=在(0,)+∞有两根． 所以0180
a a >⎧⎨∆=->⎩，所以108a <<，且121212
,x x x x a a +==．
因为22
121212121212121211(ln ln )()()
()()ln ln 1424
x x a x x x x f x f x x x x x x x x x -+-----==-
--- 要证
1212()()1
24
f x f x a x x ->--，
只需证121212
ln ln 2
2x x a x x x x ->=-+，
即证12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令
121x t x =>，只需证2(1)ln 1
t t t ->+．
令2(1)
()ln ,(1)01
t g t t g t -=-
=+， 所以2
214(1)()0(1)(1)
t g t t t t t -'=-
=++≥， 所以()g t 在(1,)+∞单调递增， 因为1t >，所以()(1)g t g >，即2(1)
ln 01
t t t -->+． 所以，1212()()1
24
f x f x a x x ->--．
解：
21.答案：(1)若1,m l =的参数方程为12(1x t
t y t =-⎧⎨
=+⎩
为参数)． 即25
1(51x t t y t ⎧'=-
⎪⎪'⎨
⎪'=+⎪⎩
为参数)，与曲线联立得， ，则
所以曲线与直线的两交点间的距离为．
(2)直线的普通方程为，
故曲线上的点
到直线l 的距离
．
当时，的最大值为，由题设得，解得；
当时，d 的最大值为
，由题设得，所以．
综上，4m =或
．
解：
22.答案：（1）当1a =时，不等式()3f x ≥化为13x x ++≥． 当1x <-时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤≤时，13,13x x +-≥≥，无解； 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥． 所以不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞U ．
（2）当1x ≥时，不等式()2f x x +≥化为112x ax a x ++-++≥，即．11ax a -+≥
由11ax a -+≥，得11ax a -+-≤或11ax a -+≥， 即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥．
当1x ≥时，不等式(1)2a x --≤不恒成立；
当1x ≥时，若不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥． 所以所求a 的取值范围为[0,)+∞． 解： 23.答案：B 解：
前项和()()()
()112111362
12
4
n n n n n n n n S ++++=++++
=
+L ,当时，
10220S =．。