2020年黑龙江省金太阳5月高三联考理科数学试题(含答案和解析)
2020年金太阳大联考数学试卷参考答案(理科)
!"!"!"#$%&'()*+,$-./01-
2&3-4567
#!)!89:;-<=>?@=-<ABC8DE!
!"
"*!#"&#!%#%+#""*!#"%####
+ &
"##$
"$$*!#"%###%#"!
!!(!89:;-<F2?GHAB-<ABC8DE! %%*##%-,,+#&%*# #% -, ,*%,#'%*,!
! #
%&
+6
"
;.*(!&.!$%!%!
*!#'!
#'!#+槡.&!#槡$+#!89:;-<K ?-<vwxPe2&AB?yoz{!
mn#vy"$-4%"#$#-#4# V#!"oa#y vo#
槡 !"0&"##$#%&. %"#L&. &#!%:#& #-$&. %! *% 槡!#"$#%&. %!R1*&. #'.1!%#"1-.
*"#!"1&###$1*.#1jk*+HlQ2* 槡#-1! * 槡#"!
!"!"!"#$%&'()*+,$-./01-2&3-45!6!# 78$79: 初高中数学学习资料的店
【联考命题】2020届高三5月联考数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．53．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（）A．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．46．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ）A ．(45+9√2)πB ．36πC ．63πD ．216+9π7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO 为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）A ．f(x)=sin5x2−x −2x B ．f(x)=cosx2x−2−x C ．f(x)=cos5x |2x −2−x |D ．f(x)=sin5x |2x −2−x |8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π49．若(ax x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．73210．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．2√33D ．16√3911．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2√7，b =4，A =120°，则△ABC 的面积为 ．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin 2α2= ．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 ．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．19．已知0＜m ＜2，动点M 到两定点F 1（﹣m ，0），F 2（m ，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹为曲线C ，若曲线C 过点N(√2，√22)．（1）求m 的值以及曲线C 的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =−1+√14cosφy =1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=3√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2x﹣1﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若方程f（x）＝x2+ax有两个不等实数根，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）【分析】先求出集合A，B，再利用补集的定义即可算出结果．解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁B A＝{x|﹣1＜x≤0}，故选：B．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．5【分析】z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，利用互为共轭复数的性质可得z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a．解：z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，∴5＝z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a＝1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵30.3＞30＝1，∴a ＞1， ∵0＜(12)π＜(12)1=12，∴0＜b ＜12，∵log 5√6＞log 5√5=12，且log 5√6＜log 55=1，∴12＜c ＜1，∴a ＞c ＞b ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ）A ．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B ．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C ．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D ．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【分析】据折线图分别判断ABCD 的正误即可．解：对于A ，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于32万元，A 错误．对于B ，甲门店的营业额的平均值为12+18+21+28+32+25+24+18+169=1949≈21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B 正确．对于C ，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C 正确． 对于D ，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题． 5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．解：由x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，作出可行域如图，由z ＝x ﹣2y ，得y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大．联立{3x −y +3=03x −5y −9=0，解得A （﹣2，﹣3）．∴目标函数z＝x﹣2y的最大值为﹣2+2×3＝4．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A．(45+9√2)πB．36πC．63πD．216+9π【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝V柱+V锥＝π•32•6+13π•32•3＝63π．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题．7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A．f(x)=sin5x2−x−2xB．f(x)=cosx2x−2−xC．f(x)=cos5x|2x−2−x|D．f(x)=sin5x|2x−2−x|【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．解：观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当x∈(0，π5)时，f（x）＜0，不合题意；故选：C ．【点评】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π4【分析】根据函数f （x ）的性质可知，相邻的与x 轴的两个交点距离是半个周期，由此可求得ω，然后π6是最值点，求出φ的值．解：因为函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，所以12⋅2πω=π4，解得ω＝4，故f （x ）＝sin （4x +φ），又因为∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，∴x =π6是f （x ）的一条对称轴，所以4×π6+φ=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=kπ−π6，k ∈Z ． 令k ＝1，得φ=5π6为最小值． 故选：B ．【点评】本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特殊线去求周期、ω、φ的值等，属于中档题．9．若(ax √x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．732【分析】先写出展开式的通项并化简，然后根据x 2的系数为358求出a 的值，然后再求x 5的系数．解：由已知得Tk+1=C8k a8−k x8−32k，k＝0，1，..，8，令8−3k2=2，解得k＝4，∴C84a4=358，解得a=±12．令8−3k2=5，得k＝2，故x5的系数为C82a6=716．故选：C．【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法，还考查了学生的运算能力，属于基础题．10．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为√3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则△PMN面积的最大值为（）A．√3B．2√3C．2√33D．16√39【分析】由题意可得直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长MN的值，设与直线l平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即△PMN 的面积最大，求出面积的最大值．解：由题意可知直线l的方程为：y=√3（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程可得3x2﹣10x+3＝0，x1+x2=10 3，由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p=103+2=163；设与直线l平行的直线为：y=√3x+m，代入抛物线的方程可得3x2+（2√3m﹣4）x+m2＝0，当直线：y=√3x+m与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以△＝（2√3m−4）2﹣4×3×m2＝0，解得m=√33，直线l与直线y=√3x+√33的距离d=2√33，所以△PMN 面积的最大值为12×163×2√33=16√39， 故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 11．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④【分析】①由线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面DAC ，再由线面垂直的性质定理可知BC ⊥AC ；②当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行运算即可得解；③当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，求出sin ∠CBD ，并与sin π3比较大小即可得解；④在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，外接球的直径为BD ，于是四面体ABCD 的体积不变．解：如图，当DA ⊥BC 时，∵BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面DAC ， ∵AC ⊂平面DAC ，∴BC ⊥AC ，即①正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，最大值为13×12×3×4×125=245，即②正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，而sin ∠CBD =CD BD =45＜√32=sin π3，∴BC 与平面ABD 所成角一定小于π3，即③错误；在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，斜边都是BD ，其外接球的球心永远是BD 的中点，外接球的直径为BD ， ∴四面体ABCD 的外接球的体积不变，即④正确． ∴正确的有①②④， 故选：C ．【点评】本题考查立体几何中的综合，涉及线面垂直的判定定理与性质定理、线面夹角、棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题．12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e【分析】不等式恒成立转化为函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数，则f ′（x ）=e x (x−1)−ax2≤0，即a ≥e x （x ﹣1），构造函数g （x ）＝e x （x ﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．解：对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，可知x 1＜x 2＜0，则x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立等价于x 2e x 1−x 1ex 2＞a （x 1﹣x 2），即e x 1+a x 1＞e x 2+a x 2，∴函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数， ∴f ′（x ）=e x (x−1)−ax 2≤0，∴a ≥e x （x ﹣1），设g （x ）＝e x （x ﹣1），x ∈[﹣2，0）， ∴g ′（x ）＝xe x ＜0，∴g （x ）在[﹣2，0）为减函数，∴g （x ）max ＝g （﹣2）=−3e 2， ∴a ≥−3e 2， 故选：A ．【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ 2 ．【分析】本题根据向量a →在b →方向上的投影公式为a →⋅b →|b →|，然后代入进行计算可解出m 的值，注意将m 的值代入进行检验得到正确的m 的值． 解：由题意，可知向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√42+m 2=√16+m 2=√5，两边平方，可得25m216+m=5，整理，得m2＝4，解得m＝﹣2，或m＝2，当m＝﹣2时，√16+m2=−√5，不符合题意，∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，方程思想，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√7，b=4，A=120°，则△ABC的面积为2√3．【分析】由已知利用余弦定理可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵a=2√7，b=4，A=120°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得28＝16+c2﹣2×4×c×(−12)，可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，∴S△ABC=12bc sin A=12×4×2×√32=2√3．故答案为：2√3．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin2α2=﹣2．【分析】由已知可得3sinα＝1﹣cosα，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．解：∵sinα1−cosα=13，∴3sin α＝1﹣cos α，∴2cosα+3sinα−2sin 2α2=2(2cosα+1−cosα−2)1−cosα=−2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为y 216−x 248=1 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 28 ．【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于a ，b 的方程组，求解可得双曲线的标准方程；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8，利用双曲线的定义转化，再由A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，从而求得△PAF 的周长的最小值解：∵双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），∴{a 2b 2=13√a 2+b 2=8，解得a ＝4，b ＝4√3．∴双曲线的标准方程为y 216−x 248=1；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8， △PAF 的周长为|PF |+|PA |+|AF |＝|PF ′|+|PA |+|AF |+8．当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，最小值为|AF ′|＝10． 而|AF |＝10，故，△PAF 的周长的最小值为10+10+8＝28．故答案为：y 216−x 248=1；28．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的几何性质，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的定义和通项公式可得S n ，再由数列的递推式可得a n ，则a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，可得4a 2＝3a 1+a 3，即4×2q ＝3×2+2q 2，解得q ＝3（1舍去），则a n ＝2•3n ﹣1，n ∈N*；（2）由√S 1=√b 1=1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），可得{√S n }是首项和公差均为1的等差数列，可得√S n =1+n ﹣1＝n ，即S n ＝n 2，可得n ＝1时，b 1＝S 1＝1；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣（n ﹣1）2＝2n ﹣1，对n ＝1时，该式也成立，则b n ＝2n ﹣1，n ∈N*，可得a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，则T n ＝2[1•1+3•3+5•9+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1]，3T n ＝2[1•3+3•9+5•27+…+（2n ﹣1）•3n ]，上面两式相减可得﹣2T n ＝2[1+2（3+9+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•3n ] ＝2[1+2•3(1−3n−1)1−3−（2n ﹣1）•3n]，化简可得T n ＝2+2（n ﹣1）•3n ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．【分析】（1）推导出C 1E ∥AF ，D 1F ＝2FD ，设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ，推导出GN ∥平面AEC 1F ，GM ∥平面AEC 1F ，从而平面MNG ∥平面AEC 1F ，由此能证明MN ∥平面AEC 1F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值． 解：（1）证明：∵平面BB 1C 1C ∥平面AA 1D 1D ，平面AEC 1F ∩平面BB 1C 1C ＝EC 1，平面AEC 1F ∩平面AA 1D 1D ＝AF ， ∴C 1E ∥AF ，由题意得D 1F ＝2FD ， 设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ， ∵N 是棱C 1D 1的中点，∴GN ∥FC 1，∵GN ⊄平面AEC 1F ，FC 1⊂平面AEC 1F ，∴GN ∥平面AEC 1F ， ∵D 1F ＝2FD ，A 1M →=2MA →，∴GM ∥AF ，∵GM ⊄平面AEC 1F ，AF ⊂平面AEC 1F ，∴GM ∥平面AEC 1F ， ∵GN ∩GM ＝G ，∴平面MNG ∥平面AEC 1F ， ∵MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面AEC 1F ．（2）解：∵AB ＝1，DD 1＝3，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （1，0，0），C （0，1，0），F （0，0，1），E （1 1，2）， ∴AC →=（﹣1，1，0），AE →=（0，1，2），AF →=（﹣1，0，1）， 设平面ACE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−x +y =0m →⋅AE →=y +2z =0，取z ＝1，得m →=（﹣2，﹣2，1）， 设平面ACF 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅AC →=−a +b =0n →⋅AF →=−a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，1，1），设二面角E﹣AC﹣F的平面角为θ，由|cosθ|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=3×3=√33，∴sinθ=1−(33)2=√63，∴二面角E﹣AC﹣F的正弦值为√6 3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19．已知0＜m＜2，动点M到两定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之和为4，设点M的轨迹为曲线C，若曲线C过点N(√2，√22)．（1）求m的值以及曲线C的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l与曲线C交于A，B两点．证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点．【分析】（1）先利用定义法判断出点M的轨迹为椭圆，再利用题设条件求出方程即可；（2）设直线l：x＝ty+65，曲线C的右顶点为P，由直线l与曲线C的方程联立得到y1+y2与y1y2，再证PA→⊥PB→即可．解：（1）解：设M（x，y），因为|MF1|+|MF2|＝4＞2m，所以曲线C是以两定点F1，F2为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2．设椭圆C 的方程为x 24+y 2b =1（b ＞0），代入点N(√2，√22)得b 2＝1，由c 2＝a 2﹣b 2，得c 2＝3，所以m ＝c =√3，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：设直线l ：x ＝ty +65，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 椭圆的右顶点为P （2，0），联立方程组{x =ty +65x24+y 2=1消去x 得（t 2+4）y 2+125ty −6425=0．△＞0，y 1+y 2=−12t 5(t 2+4)，y 1y 2=−6425(t 2+4)， 所以PA →⋅PB →=（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2−45t （y 1+y 2）+1625=−64t 2−64+48t 2+16t 2+6425(t 2+4)=0，∴PA →⊥PB →，故点P 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．【分析】（1）由已知求得f ′（x ）=1x−t ，可得当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；（2）由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0．令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ．得到a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，把证x 1+x 22x 1x 2＞2−a 转化为证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），则g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，利用导数证明g （c ）＜0，即可得到x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=1x−t ， 当t ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1t，令f ′（x ）＜0，得x ＞1t．∴f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．综上所述，当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当t ＞0时，f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．（2）证明：由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0． 令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ． 即lnx 1+（a ﹣2）x 1＝lnx 2+（a ﹣2）x 2，∴a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，要证x 1+x 22x 1x 2＞2−a ，只需证x 1+x 2x 1x 2＞2（2﹣a ）=−2ln x2x 1x 1−x 2，即证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，∵g ′（c ）=2c −1−1c2=−(1c −1)2＜0．∴g （c ）在（1，+∞）上单调递减，则g （c ）＜g （1）＝0．故x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查数学转化思想方法，属难题．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列；（2）记M 1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，然后根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即可得解．解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，P（ξ＝﹣1）＝（1−23）×12=16，P（ξ＝0）=23×12+13×12=12，P（ξ＝1）=23×(1−12)=13，∴ξ的分布列为ξ﹣101P161213（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，P(M1)=[p(ξ=1)]2=(13)2=19，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，P(M2)=C21[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)=2×(13)2×12=19，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为C31⋅[P(ξ= 1)]2⋅[P(ξ=0)]2=112；第二类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为C21⋅P(ξ=−1)⋅[P(ξ=1)]3=181，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为C41⋅[P(ξ=0)]3⋅P(ξ= 1)=16；第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为A33⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=118；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为C21⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=154．故P(M3)=112+181+16+118+154=109324，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109 324=181 324．【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的分析能力和处理能力，属于中档题．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝14①．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．整理得ρ2＝4ρcos θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4②． 所以①②两个方程相减得：3x ﹣y ﹣6＝0．曲线C 3的极坐标方程为ρ=√1+8sin θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1．（2）直线l 与x 轴交于M （2，0）所以直线l 的参数方程为{x =2+√1010ty =3√1010t （t 为参数），代入x 29+y 2=1，得到：41t 2−2√10t −25=0．所以t 1+t 2=2√1041，t 1t 2=−2541故|1|MA|−1|MB||=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|═(2√1041)+41004122541=√45004122541=30√525=6√55． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根，求a 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后由f （x ）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据方程f （x ）＝x 2+ax ，可得a =−x 2+2x−|x−1|−1x，然后构造函数g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x，利用数形结合法求出a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|={3x −2，x ≤1x ，x ＞1，∵f （x ）＜3，∴{3x −2＜3x ≤1或{x ＜3x ＞1，∴x ≤1或1＜x ＜3，∴x ＜3， ∴不等式的解集为（﹣∞，3）；（2）方程f （x ）＝x 2+ax ，即2x ﹣1﹣|x ﹣1|＝x 2+ax ，显然x ＝0不是方程的根，故a =−x 2+2x−|x−1|−1x，令g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x ={1−x ，x ∈[1，+∞)−x −2x +3，x ∈(−∞，0)∪(0，1)， 当x ＜0时，−x −2x+3=(−x +2−x)+3＞2√2+3， 作出g （x ）的图象，如图所示：∵方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根， ∴由图象可知a ∈(−∞，0)∪(2√2+3，+∞)．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。
黑龙江省2020届高三5月联考数学试题(理科)
黑龙江省2020届高三5月联考数学试题（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2{|2},|6M x x N x x =<=>，则M N =∩（ ）A ．(2)B ．(,-∞C ．(,2)-∞D ．(,-∞⋃2．设22(3)z i =+-，则z =（ ） A ．610i +B ．610i -C ．106i +D ．106i -3．已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，则12PF F △的面积为（ ）AB ．2C ．4D ．4．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天5．若函数2()3log (2)f x x x =+-，则10(5)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．24B ．25C ．26D ．276．函数()|12sin 2|f x x =+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π7．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．45AB AD -+u u ur u u u rB ．45AB AD -u u ur u u u rC ．45AB AD -+u u u r u u u rD ．34AB AD -+u u ur u u u r8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，且106a =，若32824mS S S =+，则m =（ ）A ．715B ．12C ．815D ．7169．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A，直线)y x a =+与C 的一条渐近线在第一象限相交于点P ，若PA 与x 轴垂直，则C 的离心率为（ ） ABC ．2D ．310．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩„若关于x的方程(()())0f x f x m -=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．(2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．[2,5){1}⋃11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．254πB ．643πC ．25πD ．32π12．已知定义域为R 的函数()f x 满足11,()4022f f x x ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式(sin )cos 20f x x -…的解集为（ ）A ．2,2,33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．2,2,66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZC ．22,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD ．52,2,66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．20的展开式的第2项的系数为___________．14．设,x y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪-≤⎩……则当2z x y =+取得最大值时，y =_______． 15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，若1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线1C E 与1BD 所成角的余弦值为_________．16．定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1,(93)2,(1714)3p p p ===．在等差数列{}n a 中，2109,25a a ==，则n a =___________，数列(){}n p a 的前100项和为__________．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．设,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边．已知cos cos a B b A c =+． （1）证明：ABC △是直角三角形．（2）若D 是AC 边上一点，且3,5,6CD BD BC ===，求ABD △的面积．18．甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和．若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18． （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD ．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ．（2）若60BAD ∠=︒，且平面PAB 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为7，求PCA ∠的大小． 20．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,M N 两点．（1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率；（2）若,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行．21．已知函数1()e2ln x f x x x -=-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---…． （二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+．（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|25||21|f x x x =--+． （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t ∈R 恒成立，求m 的取值范围．高三数学试卷参考答案1．B (,),(,N M N =-∞⋃+∞∴=-∞Q ∩． 2．C 因为286106z i i =+-=-，所以106z i =+．3．A 依题意可得222,321b c ==-=，则1b c ==，所以12PF F △的面积为122c b bc ⨯⨯==4．B 因为2234586107169161010124770x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天． 5．D 因为22104(5)15log 3,10log 33f f ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，所以210(5)25log 4272f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭． 6．B 由()f x 的图象可知，T π=．7．A 4444,,555CE ED CE CD BE BC CE AD CD AB AD =∴=∴=+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r Q ．8．C因为106a =，所以4q =32824mS S S =+，得()32824111m q q q -=-+-，即(116)1218m -=-+-，解得815m =． 9．C依题意，联立,,),2x a b y x a y x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩得b =，即223b a =，所以2223c a a -=，即224c a =，所以2ce a==． 10．D由[()()]0f x f x m -=，得()f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程()f x =3个实根，故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃．11．B 由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -，其中AB ⊥平面,2,4PAC PA PC AC AB ====．设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径3r =，则2221623R r =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==．12．D 令2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调递增．又2(sin )cos 2(sin )2sin 1f x x f x x -=+-，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故原不等式可转化为1(sin )2g x g ⎛⎫⎪⎝⎭…，所以1sin 2x …，解得522,66k x k k ππππ++∈Z 剟．13．20- 20的展开式的第2项的系数为120C (1)20⨯-=-． 14．4 作出不等式组表示的可行域（图略），当直线2z x y =+经过点(3,4)时，z 取得最大值．15．5因为1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，所以该正四棱柱为正方体．取11B C 的中点F ，连接1,BF D F （图略），则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角．设2AB =，则11BF D F BD ==1cos 5FBD ∠==． 16．25n +；227 因为2109,25a a ==，所以公差2592102d -==-，所以92(2)25n a n n =+-=+．因为11007,205a a ==，且n a 为奇数，所以当7,9,11,33,55,77,99,111n a =时，()1n p a =；当101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199n a =时，()2n p a =．在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为182(4017)3(10084017)227⨯+⨯++⨯---=．17．（1）证明：因为cos cos a B b A c =+，所以sin cos sin cos sin A B B A C =+． 又sin sin()C A B =+，所以2sin cos 0B A =．因为sin 0B >，所以cos 0A =， 则2A π=，故ABC △是直角三角形．（2）解：因为2221cos 215BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⨯， 所以1cos cos 15BDA BDC ∠=-∠=． 又2A π=，所以1cos 3AD BD BDA =∠=．因为1cos 15BDA ∠=，所以sin BDA ∠=故ABD △的面积为1sin 29AD BD BDA ⨯∠=． 18．解：（1）设甲的命中率为p ，则依题意可得20.18p p ⨯=， 解得0.3p =，故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.3，0.6，0.9． （2）X 的可能取值为0，1，2，3，则(0)(10.3)(10.6)(10.9)0.028P X ==-⨯-⨯-=，(1)0.3(10.6)(10.9)(10.3)0.6(10.9)(10.3)(10.6)0.90.306P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=， (2)0.30.6(10.9)(10.3)0.60.90.3(10.6)0.90.504P X ==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=， (3)0.30.60.90.162P X ==⨯⨯=，则X 的分布列为故00.02810.30620.50430.162 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（1）证明：因为底面ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥． 因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又AC PA A =∩，所以BD ⊥平面PAC ．因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC ．（2）解：设AC 与BD 交于点O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， 设2,(0)AB PA t t ==>，则(),((0,1,0),(0,1,0),P t A B D C -，则(0,0,),1,)PA t AB DC PD t =-===--u u u r u u u r u u u r u u u r．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m PA tz m AB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u r u u u r ur u u u r 令1x =，得(1,m =u r．设平面PCD 的法向量为(),,n x y z '''=r，则．0,0,n PD y tz n DC y ⎧'''⋅=--=⎪⎨''⋅=+=⎪⎩r u u u r r u u ur 令x t '=，得(,,n t =r．设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则||cos 7||||m n m n θ⋅===u r r u r r ， 解得2t =，则tan 3PCA ∠==，故30PCA ∠=︒．20．解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±， 所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭．由2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则21222k p px x k++=， 所以2121222||||||322p p k p pMN MF NF x x x x p p p k +=+=+++=++=+=，解得k =l的斜率为．（2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y x m M x y N x y =-+． 由2,2,y x m y px =-+⎧⎨=⎩得22(22)0x m p x m -++=， 则2121222,x x m p x x m +=+=．由22(22)40m p m ∆=+->，得2p m >-．又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l 在y 轴上的截距的取值范围为33,,222p p p ⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()()1221121212222222PM PN p p y p x y p x y p y pk k p p p p x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1221122222p p x m p x x m p x p p x x ⎛⎫⎛⎫-+--+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭来源：高中数学资料共享群 1073631656 ()2121212122()2(22)()2202222p p x x m x x p m p m m m p p m p p p p p x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+---+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以直线,PM PN 的斜率互补，从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行． 21．（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x-'=-+，易知12()e 1x f x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f '=． 令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)； 令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞．（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--． 令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >． 所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2f x f ==，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---…． 设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--， 设134()(),()e 6x q x p x q x x -''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增，则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增，从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增，则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增，所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---…， 从而3()(2)3(2)f x x x ---…得证． 22．解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+Q ，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=．22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=Q ，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=．（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心， 来源：高中数学资料共享群 10736316560k ∴>．当3x …时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，11则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞．23．解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩„或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩… 即12x -„或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++． 令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=…，所以min ()6h x =．而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++„，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞．。
2020届黑龙江省高三5月联考数学(理科)试题7
2020届黑龙江省高三5月联考数学（理科)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合{}2{|2},|6M x x N x x =<=>，则M N =I （ ）A ．(2)B ．(,-∞C ．(,2)-∞D ．(,-∞⋃2．设22(3)z i =+-，则z =（ ） A ．610i +B ．610i -C ．106i +D ．106i -3．已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，则12PF F △的面积为（ ）AB ．2C ．4D ．4．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天5．若函数2()3log (2)f x x x =+-，则10(5)()3f f +=（ ） A ．24B ．25C ．26D ．276．函数()|12sin 2|f x x =+的最小正周期为（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π7．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．45AB AD -+u u ur u u u rB ．45AB AD -u u ur u u u rC ．45AB AD -+u u u r u u u rD ．34AB AD -+u u ur u u u r8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且106a =，若32824mS S S =+，则m =（ ）A ．715B ．12C ．815D ．7169．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A，直线()2y x a =+与C 的一条渐近线在第一象限相交于点P ，若PA 与x 轴垂直，则C 的离心率为（ ） ABC ．2D ．310．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩„若关于x的方程(()())0f x f x m -=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．(2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．[2,5){1}⋃11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．254πB ．643πC ．25πD ．32π12．已知定义域为R 的函数()f x 满足11(),()4022f f x x '=+>，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式(sin )cos 20f x x -…的解集为（ ） A ．[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ B ．[2,2],66k k k Z ππππ-++∈C ．2[2,2],33k k k Z ππππ++∈ D ．5[2,2],66k k k Z ππππ++∈ 13．20的展开式的第2项的系数为___________. 14．设,x y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪-≤⎩……则当2z x y =+取得最大值时，y =_______. 15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，若1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线1C E 与1BD 所成角的余弦值为_________. 16．定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1,(93)2,(1714)3p p p ===.在等差数列{}n a 中，2109,25a a ==，则n a=___________，数列(){}n p a 的前100项和为__________.17．设,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.已知cos cos a B b A c =+. （1）证明：ABC V 是直角三角形.（2）若D 是AC 边上一点，且3,5,6CD BD BC ===，求ABD △的面积. 18．甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和.若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18.（1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC .（2）若60BAD ∠=︒，且平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为7，求PCA ∠的大小.20．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,M N 两点. （1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率； （2）若(,)2pP p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行.21．已知函数1()2ln x f x e x x -=-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---…. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+.（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围. 23．已知函数()|25||21|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】集合,M N 是数集，集合N 是一元二次不等式解的集合，求出解集，与M 集合的交集运算求出公共部分. 【详解】(,),(,N M N =-∞⋃+∞∴=-∞Q ∩.故选：B. 【点睛】本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算，. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算求出106z i =-，再求共轭复数 【详解】因为286106z i i =+-=-，所以106z i =+. 故选：C. 【点睛】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R Î＋，的形式，再根据题意求解． 3．A 【解析】 【分析】P 为短轴的一个端点，12PF F △中12F F 上的高为b =12=22F F c =，求出面积.【详解】依题意可得222,321b c ==-=，则1b c ==，所以12PF F △的面积为122c b bc ⨯⨯==故选：A. 【点睛】椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 4．B 【解析】 【分析】利用加权平均数公式计算平均值. 【详解】 因为2234586107169161010124770x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天. 故选：B. 【点睛】本题考查样本的数字特征平均数.如果有n 个数据12n x x x ，，，⋯，那么这n 个数的平均数12nx x x x n++⋯+=5．D 【解析】 【分析】把自变量代入解析式求值即可. 【详解】因为22104(5)15log 3,10log 33f f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以210(5)25log 4272f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数值. 把自变量代入解析式求值.若是分段函数求值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值． 6．B 【解析】 【分析】画出()12sin 2f x x =+图象，再利用图象翻折得到()|12sin 2|f x x =+观察图象可得周期. 【详解】由()f x 的图象可知，T π=.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数型的图像与性质.三角函数周期的求解公式法：sin ++()y A x t w j ＝或cos ++()y A x t w j ＝的最小正周期为2||πω，()y tan x ωϕ＝＋的最小正周期为||πω7．A 【解析】 【分析】由4,CE ED u u u r u u u r=得45CE CD u u u r u u u r =，在BEC △中，利用向量加法可得.【详解】44,,5CE ED CE CD u u u r u u u r u u u r u u u r Q =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 8．C 【解析】 【分析】由106a =求出4q =n 项和公式化简32824mS S S =+可得.【详解】因为106a，所以4q =由32824mS S S =+，得()32824111m q q q -=-+-，即(116)1218m -=-+-，解得815m =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列基本量.等比数列基本量涉及五个量：1n n a n S q a ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． 9．C 【解析】 【分析】利用PA 与x 轴垂直得x a =，与直线)y x a =+与渐近线方程b y x a =，联立求解得到,,a b c 关系可得离心率.【详解】依题意，联立)2x a b y x a y x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩得b =，即223b a =，所以2223c a a -=，即224c a =，所以2ce a==. 故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线离心率. 求双曲线离心率的三种方法:(1)直接求出,a c 来求解e 通过已知条件列方程组，解出,a c 的值．(2)构造,a c 的齐次式，解出e 由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用双曲线的离心率()1+e ，∈∞)进行根的取舍，否则将产生增根． 10．D 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，由[()()]0f x f x m -=得()f x =()f x m =，由图可得方程()f x m =有2个实根.求出m 的取值范围. 【详解】由[()()]0f x f x m --=，得()f x =()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程()f x =3个实根，故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃.故选：D 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解. 11．B 【解析】 【分析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB ⊥平面,PAC且2,4PA PC AC AB ====得到球心在过PAC V 外心且与AB 平行的线段上，且到底面的距离是AB 的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -，其中AB ⊥平面,2,4PAC PA PC AC AB ====.设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径r =，则2221623R r =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 12．D 【解析】构造函数2()()21g x f x x =+-，由题知 ()()40g x f x x ''=+>得到()g x 在R 上单调递增，(sin )cos 20f x x -…等价于1(sin )()2g x g …，利用单调性可解.【详解】令2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调递增.又2(sin )cos 2(sin )2sin 1f x x f x x -=+-，且1()02g =，故原不等式可转化为1(sin )()2g x g …，所以1sin 2x …，解得522,66k x k k ππππ++∈Z 剟. 故选：D. 【点睛】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)()()()()()f x g x F x f x g x >?＝－ )；(2)()()[()]xf x f x xf x ；(3)()()()[]f x xf x f x x；(4)()+()[()]x f x f x e f x ；(5) ()()()[]x f x f x f x e. 13．20- 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式5106120(1)r rr r T C x-+=- 求出第2项的系数.【详解】20的展开式的通项公式5106120(1)r r rr T C x -+=-；第2项的系数为120C (1)20⨯-=-. 故答案为：20-． 【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数． 14．4 【解析】 【分析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】由101100x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,0),A ∴-同理(3,4),B (3,4),C - 2C z ∴=，10B z =，2A z =- 10B z ∴=取最大值．此时4y =故答案为：4． 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.15．5【解析】 【分析】由题知正四棱柱为正方体，.取11B C 的中点F ，则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角，求出三角形1FBD 三边，用余弦定理求解可得. 【详解】因为1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 所以该正四棱柱为正方体.取11B C 的中点F ， 则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角. 设2AB =，则11BF D F BD ===故1cos FBD ∠==.．【点睛】本题考查利用集合法求异面直线所成角.两条异面直线所成角的求法:几何法：作、证、求进行求解，通常利用平行线把两条异面直线转换为共面直线.向量法：(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b r r，其夹角为θ，(3)代入公式cos sin a ba bj q ==r r g r r 求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16．25n + 227 【解析】 【分析】用())*(n m a a n m d n m N Î＝＋－，求公差，得到通项公式；利用25n a n =+为奇数，分类求出()1n p a =，()2n p a =，()3n p a =的个数，在相加可得. 【详解】因为2109,25a a ==，所以公差2592102d -==-，所以92(2)25n a n n =+-=+.因为11007,205a a ==，且n a 为奇数，所以当7,9,11,33,55,77,99,111n a =时，()1n p a =；当101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199n a =时，()2n p a =.在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为182(4017)3(10084017)227⨯+⨯++⨯---=.故答案为：25n + ；227 ． 【点睛】本题考查解决等差数列基本量求通项公式.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式1(1)n a a n d =+-和前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n dS na +-==+，在两个公式中共涉及五个量：1n n a d n a S ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．17．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】(1)用正弦定理化简cos cos a B b A c =+可得.（2）用余弦定理求出 ,利用已知数据和利用三角形面积公式. 【详解】（1）证明：因为cos cos a B b A c =+，所以sin cos sin cos sin A B B A C =+. 又sin sin()C A B =+， 所以2sin cos 0B A =.因为sin 0B >，所以cos 0A =， 则2A π=，故ABC V 是直角三角形.（2）解：因为2221cos 215BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⨯，所以1cos cos 15BDA BDC ∠=-∠=. 又2A π=，所以1cos 3AD BD BDA =∠=.因为1cos 15BDA ∠=，所以sin 15BDA ∠=故ABD △的面积为1sin 2AD BD BDA ⨯∠=. 【点睛】本题考查三角形正弦定理、余弦定理和面积公式. 判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C p ++＝这个结论．18．（1）甲0.3，乙0.6，丙0.9；（2）分布列见解析，1.8 【解析】 【分析】（1）乙的命中率是甲的2倍, 设甲的命中率为p ,甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18.即20.18p p ⨯=求出可得.（2）列出X 的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，可得分布列及数学期望. 【详解】解：（1）设甲的命中率为p ，则依题意可得20.18p p ⨯=， 解得0.3p =，故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.3，0.6，0.9. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，则(0)(10.3)(10.6)(10.9)0.028P X ==-⨯-⨯-=，(1)0.3(10.6)(10.9)(10.3)0.6(10.9)(10.3)(10.6)0.90.306P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，(2)0.30.6(10.9)(10.3)0.60.90.3(10.6)0.90.504P X ==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=， (3)0.30.60.90.162P X ==⨯⨯=，则X 的分布列为故00.02810.30620.50430.162 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求相互独立事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果． 19．（1）证明见解析；（2）30° 【解析】 【分析】（1） ABCD 为菱形证BD AC ⊥，PA ⊥底面ABCD 证PA BD ⊥可得；（2） 以菱形的中心建立空间直角坐标系，设2,(0)AB PA t t ==>使用空间向量求二面角的平面角的公式建立锐二面角的余弦值为7的方程求出PA t =的值即可. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥.因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA BD ⊥.又AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC .（2）解：设AC 与BD 交于点O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2,(0)AB PA t t ==>，则(),((0,1,0),(0,1,0),P t A B D C -，则(0,0,),1,)PA t AB DC PD t =-===--u u u r u u u r u u u r u u u r.设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m PA tz m AB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u uv v 令1x =，得(1,m =u r.设平面PCD 的法向量为(),,n x y z '''=r，则.0,0,n PD y tz n DC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=''''+=⎩'⎪u u u v v u u uv v 令x t '=，得(,,n t =r.设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则||cos 7||||m n m n θ⋅===u r r u r r ，解得2t =，则tan 3PCA ∠==，故30∠=︒PCA .【点睛】本题考查面面垂直判定及利用二面角大小.求线面角 面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理()a a b a a b ^剔^，在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 20．（1）；（2）33(,)(,)222p p p-⋃+∞，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为()(0)2py k x k =-≠与抛物线方程联立求解，得到12x x +，12x x ， 利用||3MN p =转化求k 即可.（2）直线l 的方程为,y x m =-+与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得y 轴上的截距的取值范围；要证明MPN ∠的平分线与y 轴平行，则只需要直线,PM PN 的斜率互补，即证明0PM PN k k +=. 【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±， 所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设()()1122,,,M x y N x y ，则21222k p px x k ++=，所以2121222||||||322p p k p pMN MF NF x x x x p p p k +=+=+++=++=+=，解得k =l的斜率为.（2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y x m M x y N x y =-+.由2,2,y x m y px =-+⎧⎨=⎩得22(22)0x m p x m -++=， 则2121222,x x m p x x m +=+=.由22(22)40m p m ∆=+->，得2p m >-.又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l 在y 轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222p p p-⋃+∞. ()()1221121212()()22()()2222PM PN p py p x y p x y p y p k k p p p p x x x x --+----+=+=---- ()()111222()()22()()22p px m p x x m p x p p x x -+--+-+--=-- 2121221122()()()2()(22)()220()()()()2222p px x m x x p m p m m m p p m p p p p p x x x x -+-+---+-+--===----， 所以直线,PM PN 的斜率互补，从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行. 【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．21．（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用(1)=0f '，解()0f x '<函数单调减区间. 解()0f x '>得单调递增区间.（2）先求出3()(2)3(2)g x x x =---在03x <≤的极大值为2，由min ()(1)2==f x f 得在03x <≤成立；再设13()()()e 2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->利用导数法研究函数()h x 在(3,+)¥ 内单调性进行证明()0h x >. 【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x -'=-+， 12()e 1x f x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增，且()01f '=.令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)； 令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--.令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >. 所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2==f x f ，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---…. 设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--， 设134()(),()e 6x q x p x q x x -''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增，则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增， 从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增，则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增，所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---…， 从而3()(2)3(2)f x x x ---…得证. 【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式. 导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤：(1)求()f x '；(2)确定()f x '在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．利用导数证明不等式()()f x g x >的基本方法：(1)若()f x 与()g x )的最值易求出，可直接转化为证明()()min max f x g x >；(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x -＝ ，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >22．（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞【解析】【分析】（1）化简276(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再用极直互化公式求解直角坐标方程.（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x …时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围.【详解】解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+Q ，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=Q ，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心，0k ∴>.当3x …时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】【分析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集 ()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++„得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩„或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩… 即12x -„或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++. 令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=…，所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++…，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。
2020届金太阳高三数学试卷(理科)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．若 xy2 1 ，则 4x y2 的最小值为__________．
n
14．在数列 an 中， a4 4 ，且 an2 2an ，则 a2i __________． i 1
15． (
x
1 3x
3
18．（12 分） 已知函数 f (x) x 3 4 ln x ． x
（1）求 f x 的单调区间； （2）判断 f x 的零点的个数，并说明理由．
19．（12 分） 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA 底面 ABCD ． （1）证明：平面 PBD 平面 PAC ． （2）若 BAD 60 ，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 2 7 ，求 PCA 7 的大小．
各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列 an ， a1 4 斤，则
a2
A．2.5 斤
B．2.75 斤
5．函数 f (x) |1 2sin 2x | 的最小正周期为
C．3 斤
D．3.5 斤
1
A． π 2
B． π
C． 3π 2
D． 2π
6．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
A． 25π 4
B． 64π 3
C． 25π
D． 32π
12．已知函数
f
(x)
1 2
x
x m ， g(x) x4 2x3 x2 2x 3 ，若 x R ， x2 0,1 ，
2
f x2 g x1 ，则 m 的取值范围为
A．
,
5 2
2020届高三联考数学理科试题(含答案)
2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
黑龙江省部分学校2020届高三5月联考试题 数学(理科)
黑龙江省部分学校2020届高三5月联考试题 高三数学试卷(理科)考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M ＝{x|x<2}，N ＝{x|x 2>6}，则M ∩N ＝A.(－6，2)B.(－∞，－6)C.(－∞，2)D.(－∞，－6)∪(2，6)2.设z ＝2＋(3－i)2，则z ＝A.6＋10iB.6－10iC.10＋6iD.10－6i3.已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点，F 1，F 2是该椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的面积为A.2B.2C.4D.224.2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为(精确到个位数)A.6天B.7天C.8天D.9天5.若函数f(x)＝3x ＋log 2(x －2)，则f(5)＋f(103)＝ A.24 B.25 C.26 D.276.函数f(x)＝|1＋2sin2x|的最小正周期为A.2π B.π C.32π D.2π 7.在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE u u u r ＝A.45AB AD -+u u u r u uu rB.45AB AD-u u u r u u u rC.45AB AD-+u u u r u u u rD.34AB AD-+u u u r u u u r8.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a10＝2a6，若mS32＝S8＋S24，则m＝A.715B.12C.815D.7169.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点为A，直线y＝32(x＋a)与C的一条渐近线在第一象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C的离心率为A.2B.3C.2D.310.已知函数f(x)＝2410220xx x xx---+≤-⎪>⎧⎪⎨⎩，，，若关于x的方程(f(x)－2)(f(x)－m)＝0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为A.(1，2)B.(2，5)∪{1}C.{1，5}D.[2，5)∪{1}11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为A.254πB.643πC.25πD.32π12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(12)＝12，f'(x)＋4x>0，其中f'(x)为f(x)的导函数，则不等式，f(sinx)－cos2x≥0的解集为A.[－3π＋2kπ，3π＋2kπ]，k∈Z B.[－6π＋2kπ，6π＋2kπ]，k∈ZC.[3π＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z D.[6π＋2kπ，56π＋2kπ]，k∈Z第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届金太阳理科数学试卷答案(1)
第6页,共7页
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
第7页,共7页
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
第1页,共7页
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
第2页,共7页
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
第3页,共7页初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店
第4页,共7页
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
第5页,共7页
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
2020届金大联考高三5月质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届金大联考高三5月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足2i i z z -=，记i z ω=+，则ω=（ ）．A ．2 BCD 【答案】D【解析】根据复数的除法运算计算可得1z i =-+，根据复数的加法运算计算可得12i ω=-+，根据复数的模长公式可得结果.【详解】 由()()()()2i 1i 21i 2i1i 1i 1i 1i 2z +-+====-+-+-，则12i ω=-+，ω==故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．已知集合{}2144A x x =<<，{}8129B x x =-<<，则AB =（ ）．A ．131,,124⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．211,,1322⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2113,,3224⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．2131,,324⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】先利用一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法化简集合，再利用交集的运算求解. 【详解】因为112A x x ⎧=-<<-⎨⎩或112x ⎫<<⎬⎭，2334B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以2132A B x x ⎧⋂==-<<-⎨⎩或1324x ⎫<<⎬⎭， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为0.618时是最美的，如果某人的这个比值与0.618相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准.若某女性的身高170厘米，下肢部分之长为103厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高度最适合的为（ ）. A ．5.4厘米 B ．5.8厘米C ．4.9厘米D ．4.5厘米【答案】A【解析】人最美时下肢长与上身长之比是不变的，也就是说下肢长与上身长之比的比值是一定的，即两种量成正比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可． 【详解】设该女性选择高跟鞋的高度为x ， 由题意有1030.618170x x +=+，解得 5.4x ≈厘米.故选：A 【点睛】本题考查了黄金分割，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.4．若{}0,1,2a ∈，{}2,1,2b ∈-，则方程20x ax b ++=有解的概率为（ ）． A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B【解析】,a b 的取值共有339⨯=种，满足方程20x ax b ++=有解的,a b 的取值共有4种，由古典概型的概率公式计算可得答案. 【详解】因为a 的取值有3种情况，b 的取值有3种情况，所以,a b 的取值共有339⨯=种， 由24a b ∆=-知，①当0a =时，40b ∆=-≥得0b ≤，此时2b =-符合； ②当1a =时，140b ∆=-≥得14b ≤，此时2b =-符合； ③当2a =时，440b ∆=-≥得1b ≤，此时2b =-或1符合． 所以满足方程20x ax b ++=有解的,a b 的取值共有4种，根据古典概型的概率公式可得方程20x ax b ++=有解的概率为49． 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.5．函数()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）.A ．B ．12C D 【答案】D【解析】先利用两角和与差的三角函数，将函数转化为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求解. 【详解】()11cos cos sin 2222f x x x x x =-+-，)sin cos x x =+，π4x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为（ ）. A ．115 B ．118C ．120D ．128【答案】C【解析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和. 【详解】21113a aλλ=+=+=，则2λ=，可得121n na a+=+，可化为()1121n na a++=+，有12nna+=，得21nna=-，则数列{}n a前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-.故选：C【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式以及求数列前n项和，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由函数()πsin2xf x=，可求周期为4，()(1)(2)(3)40+++=f f f f，由题意可知()(1)(2)(2021)=2021(1)1=+++==S f f f f f【详解】由函数()πsin2xf x=的周期为2π4π2T==，()π1sin12f==，()2π2sin02f==，()3π3sin12f==-，()4π4sin02f==，()(1)(2)(3)40+++=f f f f()(1)(2)(2021)=2021(1)1∴=+++==S f f f f f .故选：C 【点睛】本题考查了程序框图求和，正弦型三角函数的周期等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.8．某企业召开优秀员工表彰大会，准备从含有甲、乙的6名优秀员工中选取4人作为代表发言．若甲、乙同时被选作代表发言时，甲在乙的前面发言，且甲、乙发言的顺序不相邻．则不同的发言顺序种数为（ ）． A ．252 B ．254 C ．256 D ．258【答案】A【解析】分四名代表中没有甲、乙，只有甲，只有乙，同时有甲、乙四种情况讨论求解，然后求和即可. 【详解】①四名代表中没有甲、乙时，不同的发言顺序种数为4443224A =⨯⨯=； ②四名代表中只有甲时，不同的发言顺序种数为3444443296C A =⨯⨯⨯=； ③四名代表中只有乙时，不同的发言顺序种数为3444443296C A =⨯⨯⨯=；④四名代表中同时有甲、乙时，不同的发言顺序种数为()()222422264236C A A +=⨯+=．故不同的发言顺序种数为24969636252+++=． 故选：A 【点睛】本题主要考查排列与组合实际问题以及分类加法计数原理，还考查了分类讨论的思想，属于中档题. 9．函数()2sin 1x xf x x +=+在[]π,π-的图象大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】可知函数为奇函数，通过构造函数()()sin 0πg x x x x =-<≤，可得sin x x >，进一步可得21sin +>+x x x ，即()1f x <，结合图象可得结果.【详解】 由()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x -+-+-==-=-+-+，可得函数()f x 是奇函数. 令()()sin 0πg x x x x =-<≤，()1cos 0g x x '=-≥， 可得函数()g x 单调递增，可得()0g x >，sin x x ∴>， 2sin ∴>+x x x 又212+≥x x （当且仅当1x =时取等号）， 22sin 1sin 11+∴+>+⇒<+x xx x x x即()1f x <，所以D 正确故选：D 【点睛】本题考查了通过函数解析式求函数图象，函数的奇偶性、利用导数证明不等式和基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.10．已知在等差数列{}n a 中，2222251448a a a a +=++，2120a a =>，记()12n n n b a a =+，则下列关于数列{}n b 的前n 项和n S 的说法错误的是（ ）．A ．415S =B ．22n nS n =+C ．14n S <D ．18n S ≥【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可求出12a d ==，得到2n a n =，求出()111122241n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求出n S 判断选项即可.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，有()()()112222111124348a d a a d a d a a d +=⎧⎪⎨+++=+++⎪⎩， 解得12a d ==，2n a n =，()111122241n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，111111111111,42231414484n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫=-+-++-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎣⎦， 故B 错误，C D 正确. 则4414445S ==⨯+，故A 正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项相消法求和的问题.属于较易题. 11．已知函数()12x f x +=可以表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之差，若()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题干条件构造方程组解出函数()g x 和()h x 的解析式，再用分离参数法将()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦对x ∈R 恒成立转化为()52222x x x x a --≥-++对x ∈R 恒成立，进而求得实数a 的取值范围. 【详解】由()()()12x f x g x h x +=-=，有()()()()()22xf xg xh x g x h x -=---=+=， 解得()22xxg x -=+，()22xx h x -=-，()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦可化为()()222221x x x x a ---++≥，有()()442221x x x xa --+-++≥，有()()2225220xx x x a --+-++≥，得()52222x xx xa --≥-++，又由222x x -+≥，有51222a ≥-=. 故选：C 【点睛】本题考查函数奇偶性、求函数解析式等知识点以及对恒成立问题的处理，属于中档题.12．如图，椭圆C 的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 、Q是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为（ ）.A ．[)2,4B ．[)3,4C ．[)1,4D ．()1.5,4【答案】B【解析】延长射线1PF 、2QF 分别与椭圆C 相交于M 、N 两点，由椭圆的对称性，则1211=PF QF PF MF ++，若直线1PF 的斜率不存在易得；若直线1PF 的斜率存在，设直线1PF 的方程为()()10y k x k =+≠，与椭圆方程联立， 利用两点间的距离公式结合韦达定理建立12PF QF +23343k =++求解.【详解】如图，延长射线1PF 、2QF 分别与椭圆C 相交于M 、N 两点，由椭圆的对称性可知12PF NF =，12MF QF =， 设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ， 则点Q 的坐标为()22,x y --.①若直线1PF 的斜率不存在，则点P 、Q 的坐标分别为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2⎛⎫⎪⎝⎭， 有123PF QF +=②若直线1PF 的斜率存在，设直线1PF 的方程为()()10y k x k =+≠，联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 后整理为()22224384120k x k x k +++-=， 有2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+， ()()22222111111111311111324224422PF x y x x x x x x =++=++-=+++=+，12122MF x =+， ()()()2221212222121343314442434343k k k PF QF x x k k k ++++=++=-==+++， ()2333,443k =+∈+， 则12PF QF +的取值范围为[)3,4. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的对称性以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.二、填空题13．已知单位向量a ，b 的夹角为2π3，记2x a b =-，2y a b =+，则x y ⋅=______． 【答案】32【解析】先求出12a b ⋅=-，再利用平面向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】因为2π11||||cos11()322a b a b ⋅==⨯⨯-=-， 所以2213(2)(2)23223()222x y a b a b a a b b ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯--=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了利用平面向量数量积的定义求数量积，属于基础题. 14．曲线()xf x e x =-过原点()0,0O 的切线方程为______.【答案】()e 1y x =-【解析】求出导函数()'f x ，设切点为(),mm e m -，写出切线方程，由切线过原点求出m 值，得切线方程． 【详解】设切点为(),mm e m -，()1x f x e '=-，()1mf m e '=-，所求切线方程为()()()1mmy e m e x m --=--，代入点()0,0可得m m m e m me -=-，得1m =，所求切线方程为()()()111y e e x --=--，整理得(1)y e x =-. 故答案为：(1)y e x =-． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题时要注意在求曲线在某点处的切线还是求过某点的切线，在某点处切线，该点是切线，该点导数值即为切线斜率，而过某点的切线，则需设出切点坐标，写出切线方程，由切线所过点求出切点坐标后得结论．15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，AP =则三棱锥P ABC -的外接球的体积为______.【答案】9π2【解析】将三棱锥P ABC -放在长方体中，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，球的直径为长方体的体对角线的长求解. 【详解】 如图所示：将三棱锥P ABC -放在长方体ACBD PGEF -中，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，球的直径是PB ，球的半径135422r =+=， 属于三棱锥P ABC -的外接球的体积为2439ππ322⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：9π2【点睛】本题主要考查几何体的外接球的体积，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.16．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q两点，若以线段PQ 为直径的圆过定点M ，则MF =______． 【答案】3【解析】当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-，此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=，过定点A （-1,0）；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程()2y k x =-，与双曲线方程联立，然后结合韦达定理，论证0AP AQ ⋅=即可.【详解】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩， ()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系以及圆过定点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin 0a B b A +=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2c =，求ABC 周长的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2π3B =；（Ⅱ）()4,+∞. 【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简sin 2sin 0a B b A +=即得2π3B =； （Ⅱ）求出1tan2a b C+=-，再根据C 的范围和正切函数的图象和性质求出三角形周长的取值范围. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin 2sin sin 0A B B A +=，又因为sin 0A >，得sin 2sin 0B B +=，有2sin cos sin 0B B B +=， 因为sin 0B >，得1cos 2B =-， ∵B 为ABC 的一个内角，有2π3B =． （Ⅱ）由π3AC =-，有π03C <<， 由正弦定理有sin sin sin a b cA B C==， 有22πsin sin sin 3a b A C ==，得2sin sin A a C =，b =，π2sin 2sin 3sin sin sin sin C A a b C C C C⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+()3cos13cos sin31sin sin sinCC CC C C+-=+=-223cos3cos3221112sin cos sin tan2222C CC C C=-=-=-，由π26C<<，有30tan23C<<，可得2a b+>，故ABC周长的取值范围为()4,+∞．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为边长为3的正方形，6AP=，3PD=，平面APD⊥平面ABCD，E为AP的中点，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：//EF平面PBC；（Ⅱ）求二面角A BP C--的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）66.【解析】（Ⅰ）取BP的中点G，连EG，CG，证明四边形CFEG为平行四边形，得//EF CG得证．（Ⅱ）过点P作OP AD⊥，证明PO⊥平面ABCD．以点O为原点，与向量DC同向方向为x轴，向量OD方向为y轴，向量OP方向为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：如图，取BP 的中点G ，连EG ，CG ，∵AE EP =，BG=PG ，∴//EG AB 且2EG AB =． ∵//AB CD ，2CF CD =，∴//EG CF 且EG CF =， ∴四边形CFEG 为平行四边形，得//EF CG ．∵CG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴//EF 平面PBC ． （Ⅱ）如图，过点P 作OP AD ⊥，垂足为O ， 在APD △中，2229AP PD AD +==， 可得AP PD ⊥，632AP PD OP AD ⨯⨯===22622AO AP OP -=-=，22321DO DP OP -=-=．∵OP AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，∴PO ⊥平面ABCD ．如图，以点O 为原点，与向量DC 同向方向为x 轴，向量OD 方向为y 轴，向量OP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系．点O 的坐标为(0,0,0)，点D 的坐标为(0,1,0)，点C 的坐标为(3,1,0)， 点A 的坐标为(0,2,0)-，点B 的坐标为(3,2,0)-，点P 的坐标为2)． 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，(0,2)AP =，(3,0,0)AB =，22030m AP y z m AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取0x =，1y =，2z =-(0,1,2)m =， 设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =，(0,3,0)BC =，(3,2)BP =-，303220n BC b n BP a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2a =0b =，3c =，可得(2,0,3)n =， 有32m n ⋅=-，3m =，11n =，3266cos ,33m n <>==， 故二面角A BP C --的余弦值为66． 【点睛】本题考查空间线面平行及利用空间向量求二面角余弦值.属于中档题.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且22PF =，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【解析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =可得||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==，解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =， ()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++()22111123044b b b b b =--++=+=， 得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.20．已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e-⎡+∞⎣有且仅有一个零点．【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，增区间为(),ae +∞，减区间为()0,ae ；当0a >时，增区间为()0,a 、(),ae +∞，减区间为(),aa e；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求得化简得到()()()4ln f x x a x a '=--，根据函数()f x 的定义域为()0,∞+，分0a ≤，0a >讨论求解。
2020年黑龙江省高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (含答案解析)
2020年黑龙江省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x 2>4}，N ={−3,−2,2，3，4}，则M ∩N =( )A. {3,4}B. {−3,3，4}C. {−2,3，4}D. {−3,−2,2，3，4}2. 已知复数z =−1−2i(1+i)2，则z −=( )A. −34+14iB. −14+34iC. −1+12iD. −1−12i3. 设F 1，F 2为椭圆的两焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，若△BF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √32D. 24. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图，假设该月最低气温的中位数为m c ，众数为m 0，平均数为x −，则( )A. m c =m 0=x −B. m c =m 0<x −C. m c <m 0<x −D. m 0<m c <x −5. 设函数f(x)={log 12(3−x ),(x ≤0)f (x −3)+1,(x >0)，则f(20)=( )A. 3B. 4C. 5D. log 1217 6. 函数f(x)=cos(2x +π4)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π7. 在平行四边形ABCD 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x −y =( ) A. −1 B. 0 C. 1D. 28. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若64a 4+a 7=0，则S4S 2=( )A. 17B. 5C. −3D. −59. 已知双曲线C:y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±√5xD. y =±23x10. 函数f(x)={2−x −1,(x ≤0)f(x −1),(x >0)，若方程f(x)=x +a 恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. [0,1)C. (−∞,1)D. [0,+∞)11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A. 16+2√2πB. 24+2πC. 5+2√2πD. 4+2(1+√2)π12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R 上恒成立，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为( )A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(2x 2−√x )5的展开式中的第______项为常数项． 14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 15. 在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若AA 1=2AB ，则异面直线BD 1与CC 1所成角的正切值为__________．16. 等差数列{a n }中，a 1>0，S n 是前n 项和且S 9=S 18，则当n =__________时，S n 最大． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，2(a 2−b 2)=2accosB +bc ．(1)求A ；(2)若D 是BC 边上一点，且BD =3DC ，∠DAB =π2，求tan C ．18.假定某人在规定区域投篮命中的概率为2，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．3(1)求连续命中2次的概率；(2)设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．19.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=120°，PB=PD，PA⊥PC，AB=2√3，PC=2√6．(I)证明：平面PAC丄平面ABCD;(II)求二面角B−AP−D的正切值．20.已知抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1).(Ⅰ)求抛物线的方程和焦点坐标；(Ⅱ)过点A(0,−4)的直线l与抛物线交于两点M,N，点M关于y轴的对称点为T，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明．21.已知函数f(x)=1+lnx−ax2．(1)讨论函数f(x)的单调区间；⋅e x+x−ax3．(2)证明：xf(x)<2e222.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，求曲线C的直角坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤x+3；(2)若不等式|m|·f(x)≥|m+2|−|3m−2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合M ={x|x 2>4}={x|(x +2)(x −2)>0}=(−∞,−2)∪(2,+∞)， ∵N =N ={−3,−2,2，3，4}， ∴M ∩N ={−3,3，4}， 故选：B ．求出M 中不等式的解集，确定出M ，求出M 与N 的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：复数z =−1−2i(1+i)2=−1−2i 2i=(1+2i)⋅i −2i⋅i =−2+i 2=−1+12i ，则z −=−1−12i. 故选：D ．3.答案：A解析：解：由题意，设椭圆的半焦距长为c ，则 ∵△BF 1F 2为正三角形， ∴b =√3c ∴a 2−c 2=3c 2 ∴a =2c ∴e =ca =12 故选：A ．利用△BF 1F 2为正三角形，确定几何量之间的关系，进而可求椭圆的离心率． 本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查中位数，众数，平均数的求法，考查条形统计图，属于简单题．由统计图分别求出该月每一天的最低气温的中位数，众数，平均数，由此能求出结果． 解：由统计图得：最低气温在3−5之间的频数为15，最低气温在6−10之间的频数也为15， 故该月最低气温的中位数为m c =5+62=5.5，众数为m 0=5，平均数为x −=130×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97． ∴m 0<m c <x −． 故选：D ．5.答案：C解析：本题考查分段函数，对数函数，属于基础题．根据函数的解析式将f(20)逐步转化为f(−1)+7后，代入解析式由对数的运算性质求值． 解：由题可得：f(20)=f(17)+1=f(14)+2=f(11)+3=···=f(2)+6=f(−1)+7=log 124+7=5，故选C ．6.答案：B解析：解：根据复合三角函数的周期公式T =2π|ω|得， 函数f(x)=cos(2x +π4)的最小正周期是π， 故选：B ．由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式T =2π|ω|求解．本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式T =2π|ω|应用，属于基础题．7.答案：D解析：解：在平行四边形ABCD 中， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得：x =1，y =−1， 故x −y =2， 故选：D ．根据向量加法的平行四边形法则可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出x ，y ，可得答案． 本题考查的知识点是平面向量的基本定理，难度中档．8.答案：A解析：本题考查了等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式，属于基础题．根据题意，结合等比数列的通项公式可求出公比q ，利用等比数列的求和公式，可得S4S 2=1+q 2，由此可求出答案．解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为64a 4+a 7=0， 所以64×a 1q 3+a 1q 6=0， 所以q =−4， 所以S 4S 2=a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q=1+q 2=17．故选A ．9.答案：B解析：此题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.由题意得ca =√5，可得b 2a 2=4，由此可得答案；解：由双曲线y 2a2−x 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，可得ca =√5， 即a 2+b 2a 2=5，可得b 2a 2=4，则该双曲线的渐近线方程为：y =±ab x =±12x ． 故选B ．10.答案：C解析：解：由函数f(x)={2−x −1,(x ≤0)f(x −1),(x >0)，可得f(x)的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点， 如图所示：故有a <1， 故选C ．由题意可得f(x)的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点，结合图象，求出a 的取值范围． 本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想、数形结合的数学思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．11.答案：B解析：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个圆柱得到的组合体，正方体的棱长为2，故表面积为：6×2×2=24，圆柱的底面直径为2，故底面半径为1，底面面积为：π，底面周长为：2π，侧面面积为：4π，故组合体的表面积S=24−2×π+4π=24+2π，故选：B由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个圆柱得到的组合体，求出正方体的表面积，圆柱的侧面积和底面积，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.答案：D解析：解：定义在R上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R上恒成立，可知函数f(x)是减函数，函数y=f(|x|)是偶函数，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得x<−1，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：D．利用函数的导数判断函数的单调性，结合不等式转化求解即可．本题考查函数的导数判断函数的单调性，不等式的解法，考查计算能力．13.答案：5解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解：二项式(2x2−1√x )5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x10−5r2，令10−5r2=0，求得r=4，故展开式中的第5项为常数项，故答案为5．14.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72．15.答案：√22解析：本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．由CC 1//BB 1，知∠B 1BD 1是异面直线BD 1与CC 1所成角(或其补角)，由此能求出异面直线BD 1与CC 1所成角的正切值．解：∵在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CC 1//BB 1，∴∠B 1BD 1是异面直线BD 1与CC 1所成角(或其补角)，设AA 1=2AB =2，则B 1D 1=√2，BB 1=2，∴tan∠B 1BD 1=B 1D 1BB 1=√22． ∴异面直线BD 1与CC 1所成角的正切值为√22． 故答案为√22． 16.答案：13或14解析：由S 9=S 18，可知9a 1+9×82d =18a 1+18×172d ，整理得a 1=−13d.所以S n =d 2n 2+(a 1+d 2)n =d 2(n −272)−7298d.又因为a 1>0，所以d <0，且n ∈N ∗，故当n =13或14时，S n 最大．17.答案：解：(1)因为2accosB =a 2+c 2−b 2，所以2(a 2−b 2)=a 2+c 2−b 2+bc ． 整理得a 2=b 2+c 2+bc ，所以cosA =−12，即A =2π3． (2)因为∠DAB =π2，所以AD =BD ⋅sinB ，∠DAC =π6．在△ACD 中，有AD sinC =CD sin∠DAC ，又因为BD =3CD ，所以3sinB =2sinC ，由B =π3−C 得3√32cosC −32sinC =2sinC ， 整理得tanC =3√37．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．(1)由余弦定理可得2accosB =a 2+c 2−b 2，代入已知等式整理得cosA =−12，即可求得A ．(2)由已知可求∠DAC =π6，由正弦定理有AD sinC =CD sin∠DAC ，又BD =3CD ，可得3sinB =2sinC ，由B =π3−C 化简即可得解．18.答案：解：(1)设A i (i =1,2,3)表示第i 次投篮命中，A i 表示第i 次投篮不中，设投篮连续命中2次为事件A ，则连续命中2次的概率：P(A)=P(A 1A 2A 3+A 1A 2A 3)=23×23×13+13×23×23=827(2)命中的次数X 可取0，1，2，3，P(X =0)=(1−23)3=127， P(X =1)=C 31(23)(1−23)2=29，P(X =2)=C 32(23)2(1−23)=49， P(X =3)=(23)3=827，∴X 的分布列为：E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2．解析：本题考查离散型随机变量的概率期望及方差．(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式求连续命中2次的概率；(2)设命中的次数为X，X可取0，1，2，3，分别求出相应概率再求求X的分布列和数学期望E(X)．19.答案：(I)证明：如图连接AC.BD.焦点为O，由四边形ABCD为菱形知，．又PB=PD，OB=OD，所以．而OP∩AC=O，所以．又，所以平面．(II)由四边形ABCD为菱形，，AB=2√3，得AC=6由平面，过点P作，垂足为E，则．又，PC=2√6，AB=2√3则PA=2√3，PE=2√2，AE=2．如图所示，以O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0，0)，A(0,−3,0)，B(√3,0,0)，C(0,3，0)，D(−√3,0,0)，P(0,−1,2√2)设平面ABP 法向量为n 1=(x,y,z)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√2)， 则{n 1⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{√3x +3y =02y +2√2z =0, 令z = 1，则x =√6，y =−√2，所以n 1=(√6,−√2,1)，同理可求，平面ADP 的法向量n 2=(√6,√2,−1)，因此，， 求得， 所以二面角B −AP −D 的正切值为2√2．解析：本题考查面面垂直的判定定理，空间向量法求二面角，属于基础题目．(1)由四边形ABCD 为菱形得到AC ⊥BD ，再由PB = PD ，OB = OD ，得到即可由线面垂直的判定定理得到； (2)以O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量垂直求出平面法向量，由向量的夹角公式求得二面角．20.答案：解：(Ⅰ)因为抛物线x 2=2py(p >0)过点P(2,1)，所以2p =4所以抛物线方程为x 2=4y ，焦点坐标为(0,1)(Ⅱ)由题意可知直线斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y =kx −4，由{y =kx −4x 2=4y，消y 整理得x 2−4kx +16=0， 则△=16k 2−64>0，即|k|>2设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)则T(−x 1,y 1)且x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16．直线TN ：y −y 2=y 2−y1x 2+x 1(x −x 2)， ∴y =y 2−y 1x 2+x 1(x −x 2)+y 2， ∴y =x 22−x 124(x 1+x 2)(x −x 2)+14x 22， ∴y =x 2−x 14x −x 22−x 1x 24+14x 22， ∴y =x 2−x 14x +x 1x 24， 即y =x 2−x 14x +4所以，直线TN 恒过定点(0,4)．解析：本题考查抛物线方程的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． (Ⅰ)因为抛物线x 2=2py(p >0)过点P(2,1)，求出p ，得到抛物线方程然后求解焦点坐标．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =kx −4，由{y =kx −4x 2=4y，消y 整理得x 2−4kx +16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)则T(−x 1,y 1)利用韦达定理转化求解直线方程，推出恒过的定点即可．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1−2ax 2x ，故a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，当a >0时，令f′(x)=0，解得：x =√2a 2a， 故f(x)在(0,√2a 2a)递增，在(√2a 2a ,+∞)递减； (2)证明：要证xf(x)<2e 2⋅e x +x −ax 3，即证xlnx <2e 2⋅e x ，也即证lnx x <2e xe 2x 2， 令g(x)=2e 2⋅e x x 2(x >0)，则g′(x)=2e2⋅e x(x−2)x3，故g(x)在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，故g(x)最小值=g(2)=12，令k(x)=lnxx ，则k′(x)=1−lnxx2，故k(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，故k(x)最大值=k(e)=1e，∵1e <12，故k(x)<ℎ(x)，即lnx<2e x−2x，故xf(x)<2e2⋅e x+x−ax3．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证lnxx <2e xe2x2，令g(x)=2e2⋅e xx2(x>0)，令k(x)=lnxx，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证明结论．22.答案：解：将曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，两边同乘以一个ρ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，故曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．解析：本题考查极坐标与直角坐标的转化，将曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，两边同乘以一个ρ，得ρ2=2ρsinθ，利用极坐标与直角坐标的互化，求解即可．23.答案：解：(1)∵f(x)≤x +3，∴|x −1|+|x −2|≤x +3，①当x ≥2时，， ②当1<x <2时，， ③当x ≤1时，， 由①②③可得x ∈[0,6]；(2)①当m =0时，0≥0，∴x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立，|2m +1|−|2m −3|≤|(2m +1)−(2m −3)|=4， 当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号，∴f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72；1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀；x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12；综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．解析：(1)分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；(2)讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市2020届高三下学期5月模拟复课联考试题 理科数学【含解析】
（2）根据题意完善2×2列联表，如下；
超过1小时
不超过1小时
合计
男生
20
8
28
女生
12
8
20
合计
32
16
48
计算 ，
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；
（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为 ，
用频率估计概率，从该校学生中随机调査60名学生，则X～B（60， ），
黑龙江省哈尔滨市
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.Байду номын сангаас每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合A，再求出集合B的补集，然后求 即可.
【详解】解：由 ，得 ， ，
所以 ，
因为 ，所以
所以 .
故选：A
5.已知函数 ，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2
C. 的图像关于 轴对称D. 在区间 上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.
【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，
∴函数的最小正周期T＝π，
∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），
（2）若M为棱 的中点，求平面 与底面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由底面 是菱形可证 ，由线面垂直的性质定理可知 ，最后由线面垂直的判定定理得证结论；
黑龙江省哈尔滨市2020届高三数学5月模拟复课联考试题理(PDF)
题的是
........................ 优质文档..........................
A. pz A pz
B.仏 V （「pz）
C. p-\ A p3
D.久 A （「）
10,把方程+
- 1 表示的曲线作为函数>=/（x）的图象，则下列结论正确的是
R ① 八了）在 上单调递减
Ze
e
o
12.已知双曲线 C：弓- * = l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为 Fi ,码，过 F,的直线 I 与双曲线 a o
C 的左支交于 A、B 两点.若|AB| = |AFz I，匕 BAF'2 = 12O°,则双曲线 C 的渐近线方程为 A ・ y= 士寻 1
1
B ・ y=±^j?
C.y=±(V3-V2)x
超过 1 小时
不超过 1 小时
男
20
8
女
12
m
(1) 求 ms； (2) 能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关？ (3) 从该校学生中随机调查 60 名学生，一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数记为 X,以