(完整版)2020年上海崇明初三数学一模试卷及答案,推荐文档
2020年中考模拟上海市崇明区中考数学一模试卷 含解析
2020年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题） 1．下列各组图形一定相似的是( ) A ．两个菱形B ．两个矩形C ．两个直角梯形D ．两个正方形2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么B ∠的余切值为( ) A ．34B ．43 C ．35D ．453．抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--4．已知c 为非零向量，3a c =，2b c =-，那么下列结论中错误的是( ) A ．//a bB ．3||||2a b =C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反5．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M6．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且//DE BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是( )A ．AD ANAN AE=B ．DN BMNE CM=C ．DN AEBM EC=D ．DN NEMC BM=二、填空题（本大题共12题）7．已知23x y =，那么x y x+= ． 8．已知线段8AB cm =，点C 在线段AB 上，且2AC BC AB =，那么线段AC 的长 cm ． 9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50︒和60︒，那么另一个三角形的最大角为 度．10．小杰沿坡比为1:2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 11．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．12．如果将抛物线221y x x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 ．13．已知：二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是 ．x⋯ 1- 0 1 2 ⋯ y⋯343⋯14．正五边形的中心角的度数是 ．15．两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为 ． 16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 ．17．如图，在ABC ∆中，AC AB >，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF ．若四边形DCFE 和BDE ∆的面积都为3，则ABC ∆的面积为 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，则A A '= ．三、解答题（本大题共7题） 19．计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒+︒︒+-︒︒．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点O ，设AD a =，AB b =．（1）试用a 、b 的式子表示向量AO ；（2）在图中作出向量DO 在a 、b 方向上的分向量，并写出结论．21．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，联结BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O 的半径； （2）求OF 的长度．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC 、CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当150∠=︒时BCD台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？23．如图，ABC⊥，垂∆中，AD BC⊥，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DF BE足为F，且AE DF EF CD=，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）EAF DCF∠=∠；（2）AF BD AC DF=．24．如图，抛物线与x轴相交于点(3,0)B，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛A-、点(1,0)物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求ACB∠的正切值；（3）当AOE∆相似时，求点D的坐标．∆与ABC25．如图，在ABCBC=，点D为BC边上的一个动点（点D不与==，16AB AC∆中，10点B、点C重合）．以D为顶点作ADE B⊥∠=∠，射线DE交AC边于点E，过点A作AF AD 交射线DE于点F．（1）求证：AB CE BD CD=；（2）当DF平分ADC∠时，求AE的长；（3）当AEF∆是等腰三角形时，求BD的长．参考答案一、选择题（本大题共6题） 1．下列各组图形一定相似的是( ) A ．两个菱形B ．两个矩形C ．两个直角梯形D ．两个正方形【解答】解：A ．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；B ．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C ．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D ．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D ．2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么B ∠的余切值为( ) A ．34B ．43 C ．35D ．45【解答】解：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，63cot 84BC B AC ∴===， 故选：A ．3．抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--【解答】解：23(1)2y x =-++，∴顶点为(1,2)-，故选：C ．4．已知c 为非零向量，3a c =，2b c =-，那么下列结论中错误的是( ) A ．//a bB ．3||||2a b =C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【解答】解：3a c =，2b c =-，∴32a b =-，∴//a b ，3||||2a b =，a 与b 发方向相反， A ∴，B ，D 正确，故选：C ．5．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M【解答】解：连结BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于Q 点． 故选：B ．6．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且//DE BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是( )A ．AD ANAN AE=B ．DN BMNE CM=C ．DN AEBM EC=D ．DN NEMC BM=【解答】解：//DE BC ，ADN ABM ∴∆∆∽，ANE AMC ∆∆∽， ∴DN AN BM AM =，NE ANMC AM =， ∴DN NEBM MC =， 即DN BMNE CM=， 故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知23x y =，那么x y x +【解答】解：23x y =， 23x y ∴=， ∴253223y yx y x y ++==． 故答案为：52． 8．已知线段8AB cm =，点C 在线段AB 上，且2AC BC AB =，那么线段AC 的长 4- cm ．【解答】解：2AC BC AB =，∴点C 是线段AB 的黄金分割点，ACBC >，84)AC cm ∴===-， 故答案为：4-．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50︒和60︒，那么另一个三角形的最大角为 70 度．【解答】解：三角形的两个内角分别为50︒和60︒， ∴这个三角形的第三个内角为180506070︒-︒-︒=︒，根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为70︒． 故答案为70．10．小杰沿坡比为1:2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 50 米． 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x 米， 坡比为1:2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x 米，由勾股定理得，222(2.4)130x x +=，解得，50x =，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50．11．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 54 m ．【解答】解：设这栋楼的高度为hm ，在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为90m ， ∴1.8390h=，解得54()h m =． 故答案为：54．12．如果将抛物线221y x x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 (1,1) ． 【解答】解：2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线221y x x =+-的顶点坐标为(1,2)--，∴把点(1,2)--先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为(1,1)，即新抛物线的顶点坐标为(1,1)． 故答案为：(1,1)．13．已知：二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是 (3,0) ．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++经过(0,3)、(2,3)两点，∴对称轴0212x +==； 点(1,0)-关于对称轴对称点为(3,0)，因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是(3,0)． 故答案为：(3,0)．14．正五边形的中心角的度数是 72︒ ． 【解答】解：正五边形的中心角为：360725︒=︒． 故答案为：72︒．15．两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为 2 ． 【解答】解：设大圆的半径为R ，小圆的半径为r ，则有 :1:3r R =；又4R r +=， 解，得3R =，1r =，∴当它们内切时，圆心距312=-=．故答案为：2．16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 6 ．【解答】解：在梯形BCED 中，作AG BC ⊥于G ，交DE 于F ，如图所示：//DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽， ∴426AF AF DE AG AF BC ===+， 解得：4AF =，426AG AF GF ∴=+=+=．故答案为：6．17．如图，在ABC ∆中，AC AB >，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF ．若四边形DCFE 和BDE ∆的面积都为3，则ABC ∆的面积为 10 ．【解答】解：BD AB =，BE 是ABC ∠的平分线，AE DE ∴=，BDE ∴∆的面积与ABE ∆的面积均为3，又点F 是AC 的中点，EF ∴是ACD ∆的中位线，2EF CD ∴=，//EF DC ，AEF ADC ∴∆∆∽，4ACD AEF S S ∆∆∴=，四边形CDEF 的面积为3，ACD ∴∆的面积为4，ABC ∴∆的面积为33410++=．故答案为：10．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，则A A '= 2825或425 ．【解答】解：如图，作DF AB ⊥于F ，连接AA '．在Rt ACB ∆中，226BC AB AC =-=， DAF BAC ∠=∠，90AFD C ∠=∠=︒，AFD ACB ∴∆∆∽， ∴DF AD AF BC AB AC ==， ∴46108DF AF ==， 125DF ∴=，165AF =， A E AB '⊥，90AEA ∴∠'=︒，由翻折不变性可知：45AED ∠=︒，125EF DF ∴==， 121628555AE A E ∴='=+=， 2825AA ∴'=， 如图，作DF AB ⊥于F ，当EA AB '⊥时，同法可得16124555AE =-=，4225AA AE '==．2825425三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒+︒︒+-︒︒． 【解答】解：原式22332233(3)()1222+⨯=+-⨯ 1332=+-532=+． 20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点O ，设AD a =，AB b =．（1）试用a 、b 的式子表示向量AO ；（2）在图中作出向量DO 在a 、b 方向上的分向量，并写出结论．【解答】解：（1）//AD BC ，2BC AD =， ∴12AO AD OC BC == ∴13OA AC =，即13OA AC = AD a =，AB b =，BC 与AD 同向，∴2BC a =2AC AB BC b a =+=+∴1233AO b a =+． （2）如图所示：即为向量DO 在a 、b 方向上的分向量分别为13a -、13b ．21．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，联结BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O 的半径；（2）求OF 的长度．【解答】解：（1）连接OB ，设O 的半径为x ，则2OE x =-，OA BD ⊥， 142BE ED BD ∴===， 在Rt OEB ∆中，222OB OE BE =+，即222(2)4x x =-+， 解得，5x =，即O 的半径为5；（2）在Rt CEB ∆中，22228445BC CE BE =+=+=， OF BC ⊥，1252BF BC ∴==， 225OF OB BF ∴=-=．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC 、CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当150BCD ∠=︒时台灯光线最佳．求此时连杆端点D 离桌面l 的高度比原来降低了多少厘米？【解答】解：（1）如图2中，作BO DE ⊥于O ．90OEA BOE BAE ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，90OBA ∴∠=︒，1509060DBO ∴∠=︒-︒=︒，sin 60203()OD BD cm ∴=︒=，(2035)DE OD OE OD AB cm ∴=+=+=+；（2）过C 作CG BH ⊥，CK DE ⊥，由题意得，20BC CD m ==，CG KH =，∴在Rt CGB ∆中，3sin 202CGCGCBH BC ∠===103CG cm ∴=，103KH cm ∴=，906030BCG ∠=︒-︒=︒，150903030DCK ∴∠=︒-︒-︒=︒，在Rt DCK ∆中，1sin 202DK DK DCK DC ∠===， 10DK cm ∴=， (2035)(15103)10310∴+-+=-，答：比原来降低了(10310)-厘米．23．如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，E 是AD 边上一点，联结BE ，过点D 作DF BE ⊥，垂足为F ，且AE DF EF CD =，联结AF 、CF ，CF 与边AD 交于点O ． 求证：（1）EAF DCF ∠=∠；（2）AF BD AC DF =．【解答】证明：（1）AD BC ⊥，DF BE ⊥，90ADB DFE ∴∠=∠=︒，90DBE DEB ∴∠+∠=︒，90DBE BDF ∠+∠=︒，BED BDF ∴∠=∠，AEF CDF ∴∠=∠，AE DF EF CD =，∴AE EFCD DF=，又AEF CDF∠=∠，AEF CDF∴∆∆∽，EAF DCF∴∠=∠；（2）AEF CDF∆∆∽，EFA DFC∴∠=∠，90AFO EFD∴∠=∠=︒，90DFB∠=︒，BFD AFC∴∠=∠，EAF DCF∠=∠，AOF COD∠=∠，AOF COD∴∆∆∽，∴AO OF OC OD=，∴AO OCOF OD=，又ACF EDF∠=∠，AOC FOD∴∆∆∽，ACF EDF∴∠=∠，90 DBE BED FDE BED∠+∠=∠+∠=︒，DBE EDF∴∠=∠，ACF DBE∴∠=∠，又BFD AFO∠=∠，BFD CFA∴∆∆∽，∴AF ACDF BD=，即AF BD AC DF=．24．如图，抛物线与x轴相交于点(3,0)A-、点(1,0)B，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求ACB∠的正切值；（3）当AOE∆与ABC∆相似时，求点D的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：2y ax bx c =++，将点(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C 分别代入得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线解析式为：223y x x =--+．由于223(1)4y x x x =--+=-++，所以该抛物线的顶点坐标是(1,4)-；（2）如图1，过点B 作BH AC ⊥于点H ，90AOC ∠=︒，3OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，32AC =． 90BHA ∠=︒，90HAB HBA ∴∠+∠=︒．45HAB HBA ∴∠=∠=︒．在直角AHB ∆中，222AH BH AB +=，4AB =． 22AH BH ∴==．32222CH ∴=-=．90BHC ∠=︒，2222BH ACB CH ∴∠===；（3）如图2，过点D 作DK x ⊥轴于点K ，设2(,23)D x x x --+，则(,0)K x ．并由题意知点D 位于第二象限． 223DK x x ∴=--+，OK x =-．BAC ∠是公共角，∴当AOE ∆与ABC ∆相似时，有2种情况： ①AOD ABC ∠=∠．tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=．∴2233x x x --+=-，解得11132x -=21132x +=（舍去） 113(2D -∴31332-．②AOD ACB∠=∠．tan tan2AOD ACB∴∠=∠=．∴2232x xx--+=-，解得13x=-，23x=（舍去）(3D∴-，23)．综上所述，当AOE∆与ABC∆相似时，求点D的坐标是113(2-，3133)2-或(3-，23)．25．如图，在ABC∆中，10AB AC==，16BC=，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作ADE B∠=∠，射线DE交AC边于点E，过点A作AF AD⊥交射线DE于点F．（1）求证：AB CE BD CD=；（2）当DF平分ADC∠时，求AE的长；（3）当AEF∆是等腰三角形时，求BD的长．【解答】（1）证明：AB AC=，B C∴∠=∠，ADC BAD B∠=∠+∠，ADE B∠=∠，BAD CDE∴∠=∠，又B C∠=∠，BAD CDE∴∆∆∽，∴AB BDCD CE=，即AB CE BD CD=；（2）解：DF平分ADC∠，ADE CDE∴∠=∠，CDE BAD∠=∠，ADE BAD∴∠=∠，//DF AB∴，∴AE BD AC BC=，BAD ADE B ∠=∠=∠，BAD C ∴∠=∠，又B B ∠=∠，BDA BAC ∴∆∆∽， ∴BD BA BA BC =，即101016BD = 解得，254BD =， ∴2541016AE =， 解得，12532AE =； （3）解：作AH BC ⊥于H ，AB AC =，AH BC ⊥，182BH HC BC ∴===，由勾股定理得，6AH ===， 3tan 4AH B BH ∴==， 3tan 4AF ADF AD ∴∠==， 设3AF x =，则4AD x =，由勾股定理得，5DF x ==， BAD CDE ∆∆∽， ∴AD AB DE CD=， 当点F 在DE 的延长线上，FA FE =时，532DE x x x =-=， ∴1042x CD x=， 解得，5CD =，11BD BC CD ∴=-=，当EA EF =时， 2.5DE EF x ==， ∴1042.5x CD x=， 解得，254CD =，394BD BC CD ∴=-=； 当3AE AF x ==时，75DE x =， ∴10475x CD x =， 解得，72CD =， 252BD BC CD ∴=-=； 当点F 在线段DE 上时，AFE ∠为钝角， ∴只有3FA FE x ==，则8DE x =， ∴1048x CD x=， 解得，2016CD =>，不合题意， AEF ∴∆是等腰三角形时，BD 的长为11或394或252．。
2019-2020学年上海市崇明区初三数学一模(试卷+参考答案)
崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各组图形一定相似的是（▲）(A)两个菱形；(B) 两个矩形；(C)两个直角梯形；(D) 两个正方形．2．在Rt△ABC中，∠C 90，如果AC8，BC6，那么∠B的余切值为（▲）(A)3；(B)4；(C)3；(D)4．4 35 53．抛物线y 3(x 1)22的顶点坐标是（▲）(A)(1,2)；(B)(1,2)；(C)(1,2)；(D)(1, 2)．4．已知c为非零向量，a 3c，b 2c，那么下列结论中错误的是（▲）．．(A)a∥b；(B) a 3b；(C)a与b方向相同；(D)a与b方向相反．25．如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（▲）(A)点P；(B) 点Q；(C)点R；(D) 点M．A··BA·C DEN·P Q ·R·M· B M C (第5题图)(第6题图)6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（▲）(A)AD AN；(B)DN BM；(C)DN AE；(D)DN NE．AN AE NE CM BM EC MC BM九年级数学共6页第1页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知x2，那么xy▲．y 3 x8．已知线段AB8cm ，点C 在线段AB 上，且AC 2BC AB ，那么线段AC 的长▲cm ．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50°和60°，那么另一个三角形的最大角为 ▲ 度．10．小杰沿坡比为 1︰2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 ▲米． 11．在某一时刻，测得一根高为 1.8米的竹竿影长为 3米，同时同地测得一栋楼的影长为 90米，那么这栋楼的高度为▲ 米．12．如果将抛物线 y x 22x 1先向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为▲ ． ．如果二次函数y ax 2bxc 图像上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示，那 13么它的图像与 x 轴的另一个交点坐标是 ▲ ．x⋯112 ⋯y ⋯ 0 3 4 3 ⋯14．一个正五边形的中心角的度数为 ▲ 度．15．两圆的半径之比为 3︰1，当它们外切时，圆心距为 4，那么当它们内切时，圆心距为▲．16．如果梯形两底分别为 4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是▲．17．如图，在△ABC 中，ACAB ，点D 在BC 上，且BDBA ，∠ABC 的平分线BE 交AD于点E ，点F 是AC 的中点，联结EF ．如果四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，那么△ABC 的面积为▲．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C 90，AB10，AC8，点D 是AC 的中点，点E 在边AB上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A 处，当AE AB 时，那么AA 的长为▲．ABE FB DC C· AD(第17题图)(第18题图)九年级数学共6页第2页三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：tan260cot602tan30 sin245．2sin3020．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2) 小题5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC 2AD，对角线AC、BD相交于点O，设AD a，ABb．（1）试用a、b的式子表示向量AO； A D（2）在图中作出向量DO在a、b方向上的分向量，并写出结论．OB C(第20题图)21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，AC是O的直径，弦BD AO于点E，联结BC，过点O作OF BC于点F，BD 8，AE 2．（1）求O的半径；（2）求OF的长度．(第21题图)九年级数学共6页第3页22．（本题满分10分，第(1)小题５分，第(2)小题５分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆 BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC 150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD 150时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？D· D·C C···B ·BEl ·l A A(图1) (图2) (图3)(第22题图)23．（本题满分12分，第(1) 小题6分，第(2) 小题6分）如图，△ABC中，AD BC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DF BE，垂足为F，且AEDFEF CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF ∠DCF；A （2）AFBD ACDF．EFOB CD(第23题图)九年级数学共6页第4页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x轴相交于点 A(3,0)、点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．(第24题图)（备用图）九年级数学共6页第5页25．（本题满分14分，第(1)小题4 分，第(2) 小题4分，第(3)小题6分）如图，在△ABC中，ABAC 10 ，BC 16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE ∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF AD交射线DE于点F．（1）求证：ABCEBDCD；A（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长． FEB CD(第25题图)AB DB C C(备用图)九年级数学共6页第6页崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考2020.1一、选择题（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分）1、D2、A3、C4、C5、B6、B二、填空题（本大题共 12题，每题 4分，满分48分）7、58、45 49、70 10、50211、 54 12、(1,1) 13、(3,0) 14、7215、 2 16、 617、10 18、282 或425 5三、解答题：（本大题共 7题，满分78分）3 2 3 219、解：原式=( 3) 2 3 3 ( ) 21 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 2 2 2 13 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 2 53 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 2 20、（1）∵AD ∥BC ，BC 2AD∴AO AD 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分OCBC 2∴AO1 即AO 1 AC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分AC3 3AD a ，BC 与 AD 同向 BC 2a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分∵ ∴ AC AB BC b 2a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∵ ∴ 1 b 2 a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AO3 3（ 2）略，画图正确得4分，结论正确得1分 21、（1）解：∵AC 是O 的直径，弦 BDAO ，BD8九年级数学共6页第7页∴BE DE 1BD 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分2联结OB ，设 O 的半径为x ，则OAOBx∵AE2∴OEx2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分 ∵在Rt △OEB 中，OE 2BE 2OB 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∴2 4 2 x 2 解得 x5(x2)∴O 的半径为 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 （2）∵在Rt △CEB 中，CE 2BE 2BC 2又∵CE 5 38，BE 4∴BC45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ∵OBOC ，OFBC∴BFCF 1BC 2 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分 2∵在Rt △OFB 中，OF 2BF 2OB 2∴OF25 205⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22、（1）解：过点B 作BHDE ，垂足为H 由题意可得：AB HE5cm ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 BD BCCD 40cm ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分∠ABH∠DHB90，∠DBH 150 9060⋯⋯1分∴在Rt △DHB 中，sin ∠DBHDHDH 3DB402∴DH 203cm ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∴DE20 3 5(cm)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 （2）解：过点C 作CG BH ，CK DE ，垂足分别为G 、K由题意可得：BC CD20cm ，CGKH九年级数学共6页第8页CG CG 3 103cm∴在Rt △CGB 中，sin ∠CBH 20∴CGBC2∴KH10 3cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∠BCG 90 6030∠DCK150 903030 ⋯⋯1 分 ∵∴DK DK 1∴在Rt △DCK 中，sin ∠DCK 202DC∴DK10cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴现在的高度为15 10 3厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分(20 3 5) (15 10 3)10 3 10∴比原来降低了103 10 厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分23、（1）证明：∵ADBC ，DFBE ∴∠ADB∠DFE90⋯⋯⋯1分 ∴∠DBE ∠BED 90 ，∠DBE∠BDF90∴∠BED∠BDF∴∠AEF ∠CDF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分∵AEDFCDEF∴AEEF △AEF ∽△CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分CD ∴DF∠EAF ∠DCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分∴（2）证明：∵△AEF ∽△CDF∠EFA ∠DFC∴ ∠AFO ∠EFD90∴90∠BFD ∠AFC∠DFB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分∵ ∴∠EAF ∠DCF，∠AOF ∠COD ∵∴△AOF ∽△COD∴AO OFOCOD九年级数学共6页第9页∴AO OC 又∵∠AOC ∠FODOF OD∴△AOC∽△FOD ∴∠ACF∠EDF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠DBE∠BED∠FDE∠BED90∠DBE ∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠ACF∠DBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠BFD ∠AFO △BFD∽△CFA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵∴∴AF AC ∴AFBD ACDF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分DF BD24、（1）解：设抛物线的解析式为y ax2bx c(a 0)∵抛物线y ax2bx c过点A( 3,0) 、B(1,0)、C(0,3)9a3b c0∴a b c0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分c 3a1解得b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分c3∴这条抛物线的解析式为y x22x3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分顶点坐标为( 1,4) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点B作BH AC，垂足为H∠AOC90，OAOC3∵∠OAC∠OCA 45，AC32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠BHA 90∠HAB ∠HBA 90 ∠HAB∠HBA45∵∴∴∵在Rt△AHB中，AH2BH2AB2，AB 4AH BH22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴九年级数学共6页第10页CH3 22 2 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∵∠BHC 90 ∴∠BH 22 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分tan ACB2CH（3）解：过点D作DK x轴，垂足为K设D(x,x22x3)，则K(x,0)，并由题意可得点D在第二象限∴DK x22x 3，OK x∠BAC是公共角△AOE与△ABC 相似时∵∴当存在以下两种可能1°∠AOD ∠ABC∴tan∠AOD tan∠ABC 3∴x 22x 3 3 解得x1 1 13 ，x2 1 13 （舍去）⋯⋯⋯1分x 2 2∴113 3 13 3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分D(2 ,22°∠AOD ∠ACBtan∠AOD tan∠ACB 2 ∴∴x 22x3 2 解得x13，x2 3 （舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x∴D( 3,2 3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分综上所述：当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标为(113,3 133)或( 3,2 3)．2 225、（1）证明：∵AB AC∠B ∠C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴∠ADC∠B ∠BAD即∠ADE∠CDE∠B ∠BAD∵九年级数学共6页第11页∵∠B ∴∠BAD ∠CDE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∠ADE△BDA∽△CED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∴AB BD ABCE BDCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分CD CE∴OF平分∠ADC ∠ADE ∠CDE（2）∵∴∠CDE∠BAD ∠ADE ∠BAD∵∴∴DF∥AB ∴AE BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AC BC∠ADE∠B∠C ∠BAD ∠C∵∴∠B是公共角△BDA∽△BAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵∴BD BA BD10∴BD 251分∴BC ∴16⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯BA 10 4AE 251254∴AE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴16 3210（3）过点A作AH BC，垂足为HAB AC，AH BC BH CH BC 8∵∴ 12 由勾股定理得出AH 6∴ 3tanB4∵，AF AD ∴AF 3∠ADE∠B tan∠ADF4AD设AF 3k ，则AD 4k，DF5k∵∴AD AB△BDA∽△CEDDE CD①点F在线段DE的延长线上，当△AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°FA FE3k，则DE 2k∴10 4k ∴CD 5 ∴BD 16 5 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分CD 2k2°EA EF 则DE 2.5k九年级数学共6页第12页∴10 4k ∴CD 25 ∴BD16 25 39 ⋯⋯⋯⋯⋯2分CD 2.5k 4 4 4AE AF3k则DE7k3°5∴10 4k ∴CD 7 ∴BD 16 7 25 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分CD 7 2 2 2k5②点F在线段DE上，当△AEF是等腰三角形时，∵90 ∠ADF ∴是一个钝角∠AFE∠AFE∴只存在FA FE3k这种可能，则DE 8k∴10 4k ∴CD 20＞16，不合题意，舍去CD 8k综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长11或39或25．4 2（做对1种情况2分，做对2种情况4分，做对3种情况但没有讨论在线段DE上的这种可能5分，做对3种情况并分类讨论出不存在的情况6分）九年级数学共6页第13页。
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崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各组图形一定相似的是（▲）(A)两个菱形；(B)两个矩形；(C)两个直角梯形；(D)两个正方形． 2．在Rt △ABC 中，∠C90，如果AC8，BC6，那么∠B 的余切值为（▲）3 (A) 43．抛物线；(B)4；(C)3 352 y3(x1)2的顶点坐标是（▲）；(D)4 5． (A)(1,2)；(B)(1,2)；(C)(1,2)；(D)(1,2)．4．已知c 为非零向量，a3c ，b2c ，那么下列结论中错．误．的是（▲）(A)a ∥b ；(B)3 ab ；(C)a 与b 方向相同；(D)a 与b 方向相反．25．如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（▲）(A)点P ；(B)点Q ；(C)点R ；(D)点M ． AB··AP·Q ··R·CDE NM·B C M(第6题图)(第5题图)6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且DE ∥BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是（▲）(A)A DAN ANAE；(B)D NBM NECM；(C)D NAE BMEC；(D)D NNE MCBM．九年级数学共6页第1页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知xy23，那么x yx▲．8．已知线段A B8cm，点C在线段A B上，且2ACBCAB，那么线段A C的长▲cm．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为▲度．10．小杰沿坡比为1︰2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了▲米．11．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为90米，那么这栋楼的高度为▲米．12．如果将抛物线221yxx先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为▲．13．如果二次函数2yaxbxc图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是▲．x⋯1012⋯y⋯0343⋯14．一个正五边形的中心角的度数为▲度．15．两圆的半径之比为3︰1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为▲．16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是▲．17．如图，在△ABC中，ACAB，点D在BC上，且BDBA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，联结EF．如果四边形DCFE和△BDE的面积都为3，那么△ABC 的面积为▲．18．如图，在Rt△ABC中，∠C90，AB10，AC8，点D是AC的中点，点E在边AB 上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A处，当AEAB时，那么AA的长为▲．BAEFB DC C·DA (第17题图)(第18题图)九年级数学共6页第2页三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2cot602tan302tan60sin452sin30．20．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC2AD，对角线AC、BD相交于点O，设A D a，ABb．（1）试用a、b的式子表示向量AO；A D（2）在图中作出向量DO在a、b方向上的分向量，O 并写出结论．BC(第20题图)21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于点E，联结BC，过点O作OFBC于点F，BD8，AE2．（1）求O的半径；（2）求OF的长度．(第21题图)九年级数学共6页第3页22．（本题满分10分，第(1)小题５分，第(2)小题５分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD150时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？D· D·CC···B·BEA l·Al(图2)(图3)(图1)(第22题图)23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，△ABC中，ADBC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DFBE，垂足为F，且AEDFEFCD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF∠DCF；（2）AFBDACDF．AEFOBCD(第23题图)九年级数学共6页第4页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x轴相交于点A(3,0)、点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．(第24题图)（备用图）九年级数学共6页第5页25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，在△ABC中，ABAC10，BC16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于点F．（1）求证：ABCEBDCD；A（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；F（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．EBCD(第25题图)AB DCBC(备用图)崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考2020.1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、D2、A3、C4、C5、B6、B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、528、4549、7010、5011、5412、(1,1)13、(3,0)14、7215、216、617、1018、285 2 或452三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=33223322(3)()1222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3312⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分523 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分20、（1）∵AD∥BC，BC2ADAOAD ∴OCBC 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AO AC ∴13即1AOAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分3∵ADa，BC与AD同向∴BC2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵ACABBCb2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分12∴AOba⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分33（2）略，画图正确得4分，结论正确得1分21、（1）解：∵AC是O的直径，弦BDAO，BD8∴1BEDEBD4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2联结O B，设O的半径为x，则O AOBx∵AE2∴OEx2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵在Rt△OEB中，222OEBEOB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222∴(x2)4x解得x5∴O的半径为5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）∵在Rt△CEB中，222 CEBEBC又∵CE538，BE4∴BC45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵OBOC，OFBC∴1BFCFBC25⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2∵在Rt△OFB中，222 OFBFOB∴OF25205⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22、（1）解：过点B作BHDE，垂足为H由题意可得：ABHE5cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBCCD40cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∠ABH∠DHB90，∠DBH1509060⋯⋯1分∴在Rt△DHB中，sin∠DBH D HDH3 DB402∴DH203cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴DE2035(cm)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点C作CGBH，CKDE，垂足分别为G、K由题意可得：BCCD20cm，CGKH九年级数学共6页第8页∴在Rt△CGB中，C GCG3sin∠CBH∴CG103cm BC202∴KH103cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BCG906030∴∠DCK150903030⋯⋯1分∴在Rt△DCK中，sinDCK∠D KDK1 DC202∴DK10cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴现在的高度为15103厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴(2035)(15103)10310比原来降低了10310厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分23、（1）证明：∵ADBC，DFBE∴∠ADB∠DFE90⋯⋯⋯1分∴∠DBE∠BED90，∠DBE∠BDF90∴∠BED∠BDF∴∠AEF∠CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵AEDFCDEFAEEF∴CDDF∴△AEF∽△CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠EAF∠DCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）证明：∵△AEF∽△CDF∴∠EFA∠DFC∴∠AFO∠EFD90∵∠DFB90∴∠BFD∠AFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠EAF∠DCF，∠AOF∠COD∴△AOF∽△COD∴AOOFOCOD九年级数学共6页第9页AOOC∴OFOD又∵∠AOC∠FOD∴△AOC∽△FOD∴∠ACF∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠DBE∠BED∠FDE∠BED90∴∠DBE∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠ACF∠DBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵∠BFD∠AFO∴△BFD∽△CFA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AFAC∴DFBD∴AFBDACDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分24、（1）解：设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca∵抛物线2yaxbxc过点A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)9a3bc0∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分abc0c3a1b2解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分c3223 ∴这条抛物线的解析式为y xx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分顶点坐标为(1,4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点B作BHAC，垂足为H∵∠AOC90，OAOC3∴∠OAC∠OCA45，AC32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BHA90∴∠HAB∠HBA90∴∠HAB∠HBA45∵在Rt△AHB中，222 AHBHAB，AB4∴AHBH22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分九年级数学共6页第10页∴CH32222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BH22∵∠BHC90∴tanACB2∠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分CH2 （3）解：过点D作DKx轴，垂足为K2设(,23)Dxxx，则K(x,0)，并由题意可得点D在第二象限223∴DKxx，OKx∵∠BAC是公共角∴当△AOE与△ABC相似时存在以下两种可能1°∠AOD∠ABC∴tan∠AODtan∠ABC3∴223xxx3113113解得x1，x2（舍去）⋯⋯⋯1分221133133∴D(,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222°∠AOD∠ACB∴tan∠AODtan∠ACB2∴223xxx2 解得x13，x23（舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴D(3,23)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分综上所述：当△AOE与△ABC相似时，1133133点D的坐标为(,)22或(3,23)．25、（1）证明：∵ABAC∴∠B∠C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADC∠B∠BAD即∠ADE∠CDE∠B∠BAD九年级数学共6页第11页∵∠ADE∠B∴∠BAD∠CDE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴△BDA∽△CED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分ABBD∴CDCE∴ABCEBDCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）∵OF平分∠ADC∴∠ADE∠CDE∵∠CDE∠BAD∴∠ADE∠BADAEBDACBC∴DF∥AB∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADE∠B∠C∴∠BAD∠C又∵∠B是公共角∴△BDA∽△BAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBA ∴BABCBD10∴101625∴BD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分4254AE ∴1016125∴AE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分32（3）过点A作AHBC，垂足为H1 ∵ABAC，AHBC∴BHCHBC28由勾股定理得出AH6∴3tanB4∵∠ADE∠B，AFAD∴tanADF∠A FAD34ADAB设A F3k，则A D4k，DF5k∵△BDA∽△CED∴DECD ①点F在线段D E的延长线上，当△AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°FAFE3k，则D E2k104k∴CD2k∴CD5∴BD16511⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2°EAEF则D E2.5k九年级数学共6页第12页104k ∴CD2.5k252539∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯2分44473°AEAF3k则D Ek5104k∴75 CDk7725∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分222②点F在线段D E上，当△AEF是等腰三角形时，∵∠AFE90∠ADF∴∠AFE是一个钝角∴只存在FAFE3k这种可能，则D E8k104k∴CD8k∴CD20＞16，不合题意，舍去综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长11或394或252．（做对1种情况2分，做对2种情况4分，做对3种情况但没有讨论在线段D E上的这种可能5分，做对3种情况并分类讨论出不存在的情况6分）九年级数学共6页第13页。
上海市崇明县中考数学一模试卷含答案解析
上海市崇明县中考数学一模试卷一.选择题1．已知=，那么的值为（）A．B．C．D．2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinB的值是（）A．B．C．D．3．将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣34．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（）A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB5．已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．内含6．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张二.填空题7．化简： =．8．如果在比例1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离为2.4厘米，那么A、B两地的实际距离为千米．9．抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，那么a的取值范围是．10．一斜面的坡度i=1：0.75，一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，那么这个物体升高了米．11．如果一个正多边形的一个外角是36°，那么该正多边形的边数为．12．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=8，CD=6，那么OE=．13．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距米．14．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．15．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F 是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为．17．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC的长为．18．如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为．三.解答题19．计算：﹣cot30°．20．已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且DE=3EC，AC与BE交于点F；（1）如果，，那么请用、来表示；（2）在原图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．22．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）23．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，求证：CD2=DE•DG．24．如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC=4OA；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于点M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．25．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H；（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE=x，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．上海市崇明县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题1．已知=，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据=，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵ =，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．【点评】本题考查了比例的性质，根据=，正确设出未知数是本题的关键．2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AC===4，则sinB==．故选C．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．3．将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（2，﹣3），所以，所得图象的解析式为y=（x﹣2）2﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（）A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，而∠A公共，由此可以得到△ABC∽△AED，然后利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，而∠A公共，∴△ABC∽△AED，∴AB：AE=AC：AD，∴AB•AD=AC•AE．故选A．【点评】此题主要考查了相似三角形的下着雨判定，解题的关键是证明两个三角形相似即可解决问题．5．已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．内含【考点】圆与圆的位置关系．【分析】先计算两圆的半径之差，然后根据圆和圆的位置关系的判定方法可确定这两圆的位置关系．【解答】解：∵5﹣3=2＞1，即圆心距小于两半径之差，∴这两圆内含．故选D．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，：当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．6．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张【考点】相似三角形的应用．【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x=3，所以另一段长为18﹣3=15，因为15÷3=5，所以是第5张．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．二.填空题7．化简： =﹣﹣7．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解： =2﹣4﹣3﹣3=﹣﹣7．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键．8．如果在比例1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离为2.4厘米，那么A、B两地的实际距离为24千米．【考点】比例线段．【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，2.4÷=2400000厘米=24千米．即实际距离是24千米．故答案为：24．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．9．抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，那么a的取值范围是a＜﹣2．【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．10．一斜面的坡度i=1：0.75，一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，那么这个物体升高了16米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据一斜面的坡度i=1：0.75，可以设出一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米时对应的竖直高度和水平距离，然后根据勾股定理可以解答此题．【解答】解：设一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米时，对应的竖直高度为x，则此时的水平距离为0.75x，根据勾股定理，得x2+（0.75x）2=202解得x1=16，x2=﹣16（舍去），即一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，此时这个物体升高了16米．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度，坡度是竖直高度与水平距离的比值．11．如果一个正多边形的一个外角是36°，那么该正多边形的边数为10．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用外角和360°除以外角的度数36°可得正多边形的边数．【解答】解：360÷36=10，故答案为：10．【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形外角和为360°．12．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=8，CD=6，那么OE=．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，在△OEC中，根据勾股定理求出OE即可．【解答】解：连接OC．如图所示：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=3，OC=OB=AB=4，在△OCE中，由勾股定理得：OE===；故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理；关键是构造直角三角形，求出CE的长，用的数学思想是方程思想，把OE当作一个未知数，题目较好．13．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距1米．【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．【解答】解：设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：x=1．故答案为1．【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．14．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据正切等于对边比邻边列式求解即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形是利用正切列式的关键，需要熟记正切=对边：邻边．15．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为12．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】求出CE=3DE，AB=2DE，求出=， =，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，推出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，求出=（）2=， =（）2=，求出△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，得出四边形BCDF的面积是8，即可得出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵CD=2DE，∴CE=3DE，AB=2DE，∴=， =，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴=（）2=， =（）2=，∵△DEF的面积为1，∴△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，∴四边形BCDF的面积是9﹣1=8，∴平行四边形ABCD的面积是8+4=12，故答案为：12．【点评】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F 是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．【分析】连接CE交BF于H，连接BE，根据矩形的性质求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．【解答】解：连接CE交BF于H，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，∴AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，由勾股定理得：AE==4，DE=5﹣4=1，由勾股定理得：CE==，由垂径定理得：CH=EH=CE=，在Rt△BFC中，由勾股定理得：BH==，所以tan∠FBC===．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，能正确作出辅助线并构造出直角三角形是解此题的关键．17．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC的长为2．【考点】三角形的重心；勾股定理．【专题】计算题；三角形．【分析】根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=2，再由勾股定理得到结果．【解答】解：如图，连接EF，∵AF、BE是中线，∴EF是△CAB的中位线，可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴===，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE中，∴AE=，∴AC=2，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．18．如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明AM：AN的值．【解答】解：∵BD：DC=1：3，∴设BD=a，则CD=3a，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AM=DM，AN=DN，∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，∴∠NDC=∠BMD，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△BMD∽△CDN，∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，即AM：AN=5：7，故答案为．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．19．计算：﹣cot30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣=﹣==2．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且DE=3EC，AC与BE交于点F；（1）如果，，那么请用、来表示；（2）在原图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形法则，易得，再由三角形法则，可求得，又由DE=3EC，CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可得，继而求得答案；（2）首先过点F作FM∥AD，FN∥AB，根据平行四边形法则即可求得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD=BC，CD∥AB且CD=AB，∴，又∵，∴，∴DC=4EC，又∵AB=CD，∴AB=4EC，∵CD∥AB，∴，∴，∴，∴；（2）如图，过点F作FM∥AD，FN∥AB，则，分别是向量在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．【考点】平行线分线段成比例．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC 的长；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，∴BC=14﹣4=10；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．22．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【解答】解：此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∴车速为m/s．∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴此车没有超速．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．23．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，求证：CD2=DE•DG．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC=∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠ACD=∠B，由于∠ADC=∠CDB，即可得到结论；（2）根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD2=AD•BD，根据AF⊥BG，GD⊥AB，证得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到结论．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，又∵∠ADC=∠CDB，∴△ACD∽△CBD；（2）∵AF⊥BG，∴∠AFB=90°，∴∠FAB+∠GBA=90°，∵∠GDB=90°，∴∠G+∠GBA=90°，∴∠G=∠FAB，又∵∠ADE=∠GDB=90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD•BD=DE•DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD•BD，∴CD2=DE•DG．【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC=4OA；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于点M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据OA与OC的关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据锐角三角函数，可得PH的长，根据相似三角形的性质，可得MC的长，根据三角形的面积，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵C（0，4），O（0，0），∴OC=4．∵OC=4OA，∴OA=1．∵点A在x轴的负半轴上，∴A（﹣1，0）．设这条抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过点 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，4）∴，解得，∴这条抛物线的解析式为y=﹣x+x+4，它的顶点坐标为（1，）；（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H．∵P点在x轴的正半轴上，∴设P（x，0）．∵A（﹣1，0），∴PA=x+1．∵在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2又∵OA=1，OC=4，∴AC===，∵∠AOC=90°，∴sin∠CAO===∵∠PHA=90°，∴sin∠CAO===∴PH=．∵PM∥BC，∴=∵B（3，0），P（x，0）①点P在点B的左侧时，BP=3﹣x∴=，∴CM=．∵S△PCM=2，∴CM•PH=2，∴••=2．解得x=1．∴P（1，0）；②点P在点B的右侧时，BP=x﹣3∴=，∴CM=，∵S△PCM=2，∴CM•PH=2，∴••=2．解得x1=1+2，x2=1﹣2（不合题意，舍去）∴P（，0）．综上所述，P的坐标为（1，0）或（，0）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用锐角三角函数得出PH 的长是解题关键，又利用相似三角形的性质得出CM的长，利用三角形的面积得出关于x的方程．25．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H；（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE=x，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）由矩形的四个角为直角，得到∠ABC为直角，再由BG垂直于AC，AE垂直于EF，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用外角性质得到另一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；（2）延长BG，交AD于点K，利用两角相等的三角形相似得到三角形ABK与三角形ABC相似，由相似得比例求出AK的长，由AK与BE平行，得到三角形AHK与三角形BHE相似，表示出EH，由第一问的结论，利用相似三角形对应边成比例表示出，即可确定出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）当△BHE为等腰三角形时，分三种情况考虑：①当BH=BE时，利用等腰三角形的性质，角平分线定义及锐角三角函数定义求出BE的长；②当HB=HE时，利用等腰三角形的性质及锐角三角函数定义求出BE的长；③当EB=EH时，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出BE的长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，即∠ABG+∠CBG=90°，∵EF⊥AE，BG⊥AC，∴∠AEF=∠BGA=90°，∴∠AEF=∠ABC，∠ACB+∠CBG=90°，∴∠ABG=∠ACB，∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，即∠AEF+∠CEF=∠ABC+∠BAE，∴∠BAE=∠CEF，又∵∠ABG=∠ACB，∴△ABH∽△ECM；（2）解：延长BG交AD于点K，∵∠ABG=∠ACB，又∵在矩形ABCD中，∠BAK=∠ABC=90°，∴△ABK∽△BCA，∴=，即=，∴AK=，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，且BE=x，∴==，∴EH=•AH，∵△ABH∽△ECM，∴==，∵=y，∴y==•=•=（0＜x＜8）；（3）解：当△BHE为等腰三角形时，存在以下三种情况：①当BH=BE时，则有∠BHE=∠BEH，∵∠BHE=∠AHG，∴∠BEH=∠AHG，∵∠ABC=∠BGA=90°，∴∠BEH+∠BAE=∠AHG+∠EAM=90°，∴∠BAE=∠EAM，即AE为∠BAC的平分线，过点E作EQ⊥AC，垂足为Q，如图2所示，则EQ=EB=x，CE=8﹣x，∵sin∠ACB===，∴x=3，即BE=3；②当HB=HE时，则有∠HBE=∠HEB，∵∠ABC=∠BGC=90°，∴∠BAE+∠HEB=∠BCG+∠HBE=90°，∴∠BAE=∠BCG，∴tan∠BAE=tan∠BCA==，∴x=，即BE=；③当EB=EH时，则有∠EHB=∠EBH，又∵∠EHB=∠AHG，∴∠AHG=∠EBH，∵∠BGA=∠BGC=90°，∴∠CAE+∠AHG=∠BCG+∠EBH=90°，∴∠CAE=∠BCG，∴EA=EC=8﹣x，∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即62+x2=（8﹣x）2，解得：x=，即BE=，综上所述，当△BHE是等腰三角形时，BE的长为3或或．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线等分线段定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。
上海市崇明区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷答案
24、（1）解：设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c(a 0)
∵抛物线 y = ax2 + bx + c 过点 A(−3, 0) 、 B(1,0) 、 C(0,3)
∵ AE DF = CD EF
∴ AE = EF CD DF
∴△AEF∽△CDF ………………………………3 分
∴∠EAF =∠DCF …………………………………………………………1 分
（2）证明：∵ △AEF∽△CDF
∴∠EFA =∠DFC
∴∠AFO =∠EFD = 90
∵∠DFB = 90 ∴∠BFD =∠AFC
由题意可得： BC = CD = 20cm ， CG = KH
∴在 Rt△CGB 中， sin∠CBH = CG = CG = 3 ∴ CG = 10 3cm BC 20 2
∴ KH = 10 3cm ……………………………………………………1 分 ∵∠BCG = 90 − 60 = 30 ∴∠DCK = 150 − 90 − 30 = 30 ……1 分
……………………………1 分
∵∠EAF =∠DCF ，∠AOF =∠COD
∴ △AOF∽△COD
∴ AO = OF OC OD
∴ AO = OC 又∵∠AOC =∠FOD OF OD
∴△AOC∽△FOD ∴∠ACF =∠EDF
…………………………1 分
∵∠DBE +∠BED =∠FDE +∠BED = 90
9、 70 13、 (3, 0)
15、 2
16、 6
17、10
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
10、 50
14、 72
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模) 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.若四条不相等的线段a，b，c，d满足ab =cd，则下列式子中，成立的是()A. ba =cdB. ab=c+md+m(m>0)C. a−bb =d−cdD. a+cb+d=cd2.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是()A. 2B. 1.5C. 53D. 53.已知非零向量，a⃗,b⃗ ,c⃗，下列条件中，不能判定a⃗//b⃗ 的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. a⃗=−b⃗C. a⃗//c⃗,b⃗ //c⃗D. a⃗=2c⃗,b⃗ =4c⃗4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，AO与y轴正半轴所成的夹角为α，则sinα的值为()A. 3B. 13C. √1010D. 3√10105.已知a，b，c为常数，点P(a,c)是第四象限内的一点，则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为()A. 一个B. 没有交点C. 两个D. 无法确定6.已知正六边形的边心距是2√6，则正六边形的边长是()A. 4√2B. 4√6C. 6√2D. 8√2二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 已知x 2=y 3=z 4≠0，则x−y+zx+2y−z = ______ ． 8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且较长的线段AP 的长等于10厘米，那么较短的线段BP 的长为______厘米． 9. 如图，AB ，CD 相交于O 点，△AOC∽△BOD ，OC ：CD =1：3，AC =2，则BD 的长为______．10. 如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，如BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ , BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 11. 如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α=23°，两树间的坡面距离AB =10m ，则这两棵树的水平距离约为______m.(结果精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)12. 如图，点P 在线段BC 上，AB ⊥BC ，DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，如果BC =10，AB =2，tanC =12，那么DP 的长是______ ．13. 若二次函数y =x 2+2x +m 的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是______．14. 将抛物线y =2x 2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______．15.如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=10，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．16.已知两圆的半径分别为3cm和5cm，且两圆的圆心距为2cm，那么这两圆的位置关系是．17.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则n−m=______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F，则BF的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）)−2+(√3−√7)0−2cos60°−|3−π|19.(1)计算：(12(2)分解因式：6(a−b)2+3(a−b)20.如图，已知△ABC，依据作图痕迹回答下面的问题：(1)AC和MN的位置关系是______；(2)若AB=3，BC=5时，求△ABE的周长；(3)若AE=AB，∠B=60°，求∠BAC的度数．21.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=4．3求：(1)∠DBC的余弦值；(2)DE的长．22.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设M，N为该岛的东西两端点)最近距离为12海里(即MC=12海里).在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，(其中N，M，C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．23.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点E，使得AE=AD，连接DE、OE，OE交AD于F.请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程.①BE=DE；②EF=BD；③EF=√2DF.你选择的条件是______ ，结论是______ .(填序号)24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x=−2交x轴于点C，直线l过点N(0,−2)，且与x轴平行，过点P作PM⊥l于点M，△AOB的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠MPN=∠BAC时，求P点坐标；(3)①求证PM=PC；②若点Q坐标为(0,2)，直接写出PQ+PC的最小值．25.如图1，点P是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AP、PB为边在线段AB的同旁做等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD交PC于点M，连接BC交PC于点N，连接MN．(1)求证：AD=BC．(2)求∠DQB的度数．(3)如图2所示，△APC和△PBD仍为等边三角形，但PA和PB不在同一条直线上，AD=BC是否成立，∠DQB的度数与图1是否相等，请直接写出结论．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、∵ab =cd，∴ba=dc；故本选项错误；B、∵ab =cd，m>0，∴ab≠c+md+m；故本选项错误；C、∵ab =cd，∴a−bb=−d−cd；故本选项错误；D、∵ab =cd，∴a+cb+d=cd；故本选项正确．故选：D．根据比例的性质变形，再进行判断．本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．2.答案：C解析：解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴OAOD =21，CD=BD，∴S△ACD=S△ABD=12S△ABC=12×10=5，∴S△OCD=13S△ACD=13×5=53，故选：C．根据三角形的中线得出OAOD =21，CD=BD，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ACD的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了三角形的重心和三角形的面积，能知道等底等高的三角形的面积相等和等高的三角形的面积比等于底边之比是解此题的关键．3.答案：A解析：解：A、|a⃗|=|b⃗ |，两个向量的模相等，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；B、a⃗=−b⃗ ，两个向量模相等，方向相反，互相平行，故本选项错误；C、a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，则a⃗与b⃗ 都与c⃗平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；D、a⃗=2c⃗，b⃗ =4c⃗，则a⃗与b⃗ 都与c⃗平行，三个向量都互相平行，故本选项错误．故选A．根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．4.答案：C解析：解：过A向x轴作垂线，垂足为B，因为A(1,3)，即OB=1，AB=3，所以OA=√AB2+OB2=√12+32=√10，由锐角三角函数的定义可知，cos∠1=OBOA =1√10=√1010，因为∠1+∠α=90°，所以sinα=cos∠1=√1010．故选C．过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据互余两角的三角函数值求出sinα的值即可．此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义及互余两角三角函数值的关系．5.答案：C解析：解：∵点P(a,c)是第四象限内的一点，∴a>0，c<0，∴△=b2−4ac>0，∴二次函数y=ax2+bx+c与x轴有2个交点．故选：C．利用第四象限内点的坐标特征得到a>0，c<0，则可判断△=b2−4ac>0，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．6.答案：A解析：解：∵正六边形的边心距为2√6，∴OB=2√6，∠OAB=60°，∴AB=OBtan60∘=2√6√3=2√2，∴AC=2AB=4√2．故选：A．运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．7.答案：34解析：解：设x2=y3=z4=k≠0，则x=2k，y=3k，z=4k，x−y+z x+2y−z =2k−3k+4k2k+6k−4k=34；故答案为：34．设x2=y3=z4=k≠0，得出x=2k，y=3k，z=4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确利用同一未知数表示出各数是解题关键．8.答案：5√5−5解析：解：设线段AB的长为x，∵点P是线段AB的黄金分割点，较长的线段AP的长等于10厘米，∴√5−12x=10，解得，x=5√5+5，∴较短的线段BP的长=5√5+5−10=5√5−5(厘米)，故答案为：5√5−5．根据黄金比值是√5−12计算，得到答案．本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键．9.答案：4解析：解：∵OC：CD=1：3，∴OC：OD=1：2，∵△AOC∽△BOD，∴ACBD =OCOD，即2BD =12，解得：BD=4，故答案为：4．根据OC：CD=1：3，求得OC：OD=1：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．10.答案：34b ⃗ −14a ⃗ 解析：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OB =OD ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∵点E 是OD 的中点，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +14b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −(14a ⃗ +14b ⃗ )=34b ⃗ −14a ⃗ ． 故答案为：34b ⃗ −14a ⃗ ． 由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形法则，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，然后由三角形法则，求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由点E 是OD 的中点，可求得ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由三角形法则求得答案．此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用． 11.答案：9.2解析：解：过点A 作水平面的平行线AC ，过点B 作BC ⊥AC 于C ，由题意得：AB =10m ，∠BAC =23°，则AC =AB ⋅cos∠BAC ≈10×0.921≈9.2(米)，故答案为：9.2．过点A 作水平面的平行线AC ，过点B 作BC ⊥AC 于C ，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12.答案：65√5解析：解：∵DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，∴AP//CD ，∴∠C =∠APB ，∵AB ⊥BC ，∴tan∠APB =AB BP ，∵tanC =12，∴2BP =12，∴BP=4，∴PC=BC−BP=10−4=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD=√PC2−DP2=√62−DP2，∴√62−DP2=12，解得：DP=65√5或DP=−65√5(不合题意舍去)，故答案为：65√5．由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP//CD，则∠C=∠APB，由tan∠APB=ABBP，求得BP=4，PC=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD ，CD=√62−DP2，得出√62−DP2=12，即可得出结果．本题考查了三角函数定义、勾股定理、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．13.答案：m<1且m≠0解析：解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22−4m>0，∴m<1．∴m<1且m≠0．故答案为m<1且m≠0．由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△>0可求出m的取值范围，此题得解．本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△>0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．14.答案：(−1,−3)解析：解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y=2(x+1)2−3，∴顶点坐标为(−1,−3)，故答案为：(−1,−3)．根据左→加，右→减，上→加，下→减的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标．本题考查了二次函数的平移变换，二次函数平移后二次项系数不变，熟练掌握平称原则是关键；注意左右与上下平移的不同，二次函数的顶点式为：y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)．15.答案：5+√41解析：解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，∵∠MON=90°，MN=5，∴Rt△MON中，OE=12又∵∠MQP=90°，MN=10，PN=4，NE=5，∴Rt△PNE中，PE=√PN2+NE2=√42+52=√41，又∵OP≤PE+OE=5+√41，∴OP的最大值为5+√41，即点P到原点O距离的最大值是5+√41，故答案为：5+√41．取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．16.答案：内切解析：试题分析：由两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．∵两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，又∵5−3=2，∴两圆的位置关系是：内切．故答案为：内切．17.答案：−7解析：解：由题意得：m−3=7，n=3，解得m=10，n=3，∴n−m=3−10=−7．故答案为：−7．根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可得m、n的值，再代入所求式子计算即可．此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式．18.答案：254解析：解：∵AD//BC，∴∠ADB=∠FBD，由折叠的性质可知，∠FDB=∠ADB，∴∠FDB=∠FBD，∴FB=FD，在Rt△DFC中，DF2=CF2+CD2，即BF2=(8−BF)2+62，，解得，BF=254．故答案为：254根据矩形的性质得到AD//BC，得到∠ADB=∠FBD，根据翻转变换的性质得到∠FDB=∠ADB，证明FB=FD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．−(π−3)19.答案：解：(1)原式=4+1−2×12=5−1−π+3=7−π；(2)6(a−b)2+3(a−b)=3(a−b)[2(a−b)+1]=3(a−b)(2a−2b+1)．解析：(1)直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案；(2)直接提取公因式3(a−b)，进而分解因式得出答案．此题主要考查了实数运算以及提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．20.答案：垂直解析：解：(1)根据作图痕迹可知：MN是AD的垂直平分线，所以AC和MN的位置关系是垂直，故答案为垂直；(2)AB=3，BC=5，∵MN是AC的垂直平分线，∴EA=EC∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+EC+BE=AB+BC=3+5=8；答：△ABE的周长为8．(3)∵AE=AB，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°∵AE=CE∴∠C=∠CAE=30°，∴∠BAC=90°．答：∠BAC的度数为90°．(1)根据作图痕迹可得AC和MN的位置关系是垂直；(2)根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，AB=3，BC=5时，即可求△ABE的周长；(3)根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，根据AE=AB，∠B=60°得三角形ABE是等边三角形，进而可求∠BAC的度数．本题考查了作图−基本作图，勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．21.答案：解：(1)∵Rt△ABD中，cot∠ADB=ADAB，∴43=AD12，则AD=16，∴BD=√AB2+AD2=√122+162=20，∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB=ADBD =1620=45；(2)在Rt△BCD中，cos∠DBC=BDBC ，即45=20BC，解得：BC=25，∵AD//BC，∴DEBE =ADBC=1625，∴DEBD =1641，∴DE=1641×BD=1641×20=32041．解析：(1)根据cot∠ADB=43，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；(2)在Rt△BDC中，由(1)的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．22.答案：解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，则AC=CM=12(海里)，∴BC=AC−AB=12−4=8(海里)，直角△BCN中，CN=BC⋅tan∠CBN=√3BC=8√3(海里)，∴MN=CN−CM=8√3−12(海里)．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是8√3−12海里．解析：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN−CM即可求解．23.答案：②①解析：解：选择的条件是②，结论是①．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠EAF=90°，DO=OB，在Rt△DAB和Rt△EAF中，{AE=ADEF=DB，∴Rt△DAB≌Rt△EAF(HL)，∴∠ADB=∠AEF，∵∠DFO=∠EFA，∴∠DOF=∠EAF=90°，即EO⊥BD，∵DO=BO，∴EO是线段BD的垂直平分线，∴BE =DE ．故答案为：②；①．利用HL 证明△DAB≌△EAF ，再证得EO 是线段BD 的垂直平分线，即可证明结论．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△DAB≌△EAF 解答．24.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点，且对称轴为x =−2，∴c =0，OA =4，又△AOB 的面积为2，∴BC =1，即顶点B 的坐标为(−2,−1)，∴−b 2a =−2，−b 24a =−1，解得a =14，b =1， ∴抛物线的解析式为y =14x 2+x ；(2)∵BC =1，AC =2，∴tan∠BAC =12，设P 点坐标为(x,14x 2+x)，如图1，当点P 在y 轴右侧，PM =14x 2+x −(−2)=14x 2+x +2，MN =x ，∴tan∠MPN =MN PM =x 14x 2+x+2=12，即x 2−4x +8=0，此方程无解；如图2，当点P 在y 轴左侧，此时PM =14x 2+x +2，MN =−x ，∴tan∠MPN =MNPM =−x 14x 2+x+2=12， 即x 2+12x +8=0，解得x 1=−6+2√7，x 2=−6−2√7，则y 1=10−4√7，y 2=10+4√7，∴点P 坐标为(−6+2√7,10−4√7)或(−6−2√7,10+4√7)；(3)①如图3，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，则PD =x +2，DC =14x 2+x ，由(2)知PM =14x 2+x +2，在Rt △PCD 中，PC 2=(x +2)2+(14x 2+x)2=116x 4+12x 3+2x 2+4x +4=PM 2，∴PM =PC ；②由①知，PM =PC ，∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4．∴PQ+PC的最小值为4．解析：(1)根据抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x=−2，可得c=0，OA=4，再由△AOB 的面积为2，可得BC=1，即得到顶点B的坐标，即可求得抛物线解析式；(2)设P点坐标为(x,14x2+x)，分点P在y轴右侧或y轴左侧两种情形进行讨论，即可求得点P的坐标；(3)①过点P作PD⊥BC于点D，在Rt△PCD中，应用勾股定理可求得PC2，与(2)中PM2比较可得PM= PC；②当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4.即PQ+PC的最小值为4．本题是中考压轴题，涉及知识点多，难度大，主要考查了二次函数图象和性质，顶点和对称轴，相似三角形判定和性质，线段和的最小值问题等，分类讨论和方程思想是本题解题关键．25.答案：(1)证明：如图1中，∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴∠APC=∠DPB=60°，PA=PC，PD=PB，∴∠APD=∠CPD，在△APD和△CPB中，{PA=PC∠APD=∠CPB PD=PB，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC．(2)解：如图1中，设AD交PC于点J．∵△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠AJP=∠CJQ，∴∠AQJ=∠APJ=60°，∴∠DQB=∠AQC=60°．(3)解：如图2中，结论不变，理由如下：设AD交PC于点J．∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴∠APC=∠DPB=60°，PA=PC，PD=PB，∴∠APD=∠CPD，在△APD和△CPB中，{PA=PC∠APD=∠CPB PD=PB，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC，∠PAD=∠PCB，∵∠AJP=∠CJQ，∴∠AQJ=∠APJ=60°，∴∠DQB=∠AQC=60°．解析：(1)如图1中，证明△APD≌△CPB(SAS)，可得结论．(2)设AD交PC于点J.由△APD≌△CPB，推出∠PAD=∠PCB，利用“8字型”的性质即可解决问题．(3)结论不变，证明方法类似(1)(2)．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
上海市崇明县2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市崇明县2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列计算正确的是（ ） A ．a 4+a 5=a 9 B ．（2a 2b 3）2=4a 4b 6C ．﹣2a （a+3）=﹣2a 2+6aD ．（2a ﹣b ）2=4a 2﹣b 22．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为6，则GE+FH 的最大值为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．123．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．25°D ．30°4．如图，已知11(,)3A y ，2(3,)B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)3B ．4(,0)3C ．8(,0)3D ．10(,0)35．小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤3a b 2=． 你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个6．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣2x的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a7．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为40km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是( )A．甲的速度是10km/h B．乙的速度是20km/hC．乙出发13h后与甲相遇D．甲比乙晚到B地2h8．某班选举班干部，全班有1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，1．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令1,,0,ii ja ji j第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选⎧=⎨⎩其中i＝1，2，…，1；j＝1，2，…，1．则a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a1，1a1，2表示的实际意义是（）A．同意第1号或者第2号同学当选的人数B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数D．不同意第1号和第2号同学当选的人数9．如果关于x的不等式组2030x ax b-≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x=、3x=，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(,)a b共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（）A．30和20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.511．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外离D．内含12．如图，直线y=x+3交x 轴于A 点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M 、N 恰落在直线y=x+3上，若N 点在第二象限内，则tan ∠AON 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是_____．14．甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是_____． 15．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．16．已知同一个反比例函数图象上的两点()111P x ,y 、()222P x ,y ，若21x x 2=+，且21111y y 2=+，则这个反比例函数的解析式为______．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、y 轴上，∠APO ＝30°．先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到线段PC ，连接BC ．若点A 的坐标为（﹣1，0），则线段BC 的长为_____．18．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M 、N 、K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ．若∠MKN ＝40°，则∠P 的度数为___三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=x 2平移，使平移后的抛物线经过点A （–3，0）、B （1，0）．(1)求平移后的抛物线的表达式．(2)设平移后的抛物线交y 轴于点C ，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P ，当BP 与CP 之和最小时，P 点坐标是多少？(3)若y=x 2与平移后的抛物线对称轴交于D 点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M ，使得以M 、O 、D 为顶点的三角形△BOD 相似？若存在，求点M 坐标；若不存在，说明理由．20．（6分） “食品安全”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（4）若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．21．（6分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，CD 是AB 边的中线，DE BC ⊥于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果30A ∠=o ①如图1，DCB ∠=o②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60o ，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且()090A αα∠=<<o o，连结DP ，将线段DP 绕点逆时针旋转2α得到线段DF ，连结BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者的数量关系（不需证明） 22．（8分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．被随机抽取的学生共有多少名？在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？23．（8分）已知：如图.D 是ABC V 的边AB 上一点，//CN AB ，DN 交AC 于点M ，MA MC =. （1）求证：CD AN =；（2）若2AMD MCD ∠=∠，试判断四边形ADCN 的形状，并说明理由.24．（10分）（2016湖南省株洲市）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？25．（10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，若2OA OB OC OD====AB，求证：四边形ABCD 是正方形26．（12分）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元．（1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？27．（12分）数学兴趣小组为了研究中小学男生身高y（cm）和年龄x（岁）的关系，从某市官网上得到了该市2017年统计的中小学男生各年龄组的平均身高，见下表：如图已经在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，并发现前5个点大致位于直线AB上，后7个点大致位于直线CD上．年龄组x7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17男生平均身高y115.2 118.3 122.2 126.5 129.6 135.6 140.4 146.1 154.8 162.9 168.2（1）该市男学生的平均身高从岁开始增加特别迅速．（2）求直线AB所对应的函数表达式．（3）直接写出直线CD所对应的函数表达式，假设17岁后该市男生身高增长速度大致符合直线CD所对应的函数关系，请你预测该市18岁男生年龄组的平均身高大约是多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；故选：B．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．B【解析】【分析】首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．【详解】解：如图，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为6，∴AB=OA=OB=6，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=3，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．故选：B．【点睛】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键. 3．C【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．4．D【解析】【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 【详解】Q 把11(,)3Ay ，2(3,)B y 代入反比例函数1y x= ，得：13y =，213y =，11(,3),(3,)33A B ∴，Q 在ABP ∆中，由三角形的三边关系定理得：AP BP AB -<，∴延长AB 交x 轴于P'，当P 在P'点时，PA PB AB -=，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y kx b =+，把A ，B 的坐标代入得：133133k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：101,3k b =-=， 1215x ->∴直线AB 的解析式是103y x =-+， 当0y =时，103x =，即10(,0)3P ，故选D. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 5．D 【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a ＜1． ∵对称轴x b 12a 3=-=-，∴2b a 3=-＜1．∴ab ＞1．故①正确． ②如图，当x=1时，y ＜1，即a+b+c ＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞1，∴2a ﹣2b+2c ＞1，即3b ﹣2b+2c ＞1．∴b+2c ＞1．故③正确． ④如图，当x=﹣1时，y ＞1，即a ﹣b+c ＞1， ∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞1．∵b ＜1，∴c ﹣b ＞1．∴（a ﹣b+c ）+（c ﹣b ）+2c ＞1，即a ﹣2b+4c ＞1．故④正确． ⑤如图，对称轴b 12a 3=-=-，则3a b 2=．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ． 6．A 【解析】解：∵2y x =-，∴反比例函数2y x=-的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵点A （2，a ）、B （3，b ）在反比例函数2y x=-的图象上，∴a ＜b ＜0，故选A ．7．B 【解析】由图可知，甲用4小时走完全程40km ，可得速度为10km/h ； 乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为40km/h ． 故选B 8．B 【解析】 【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加． 【详解】第1，2，3，……，1名同学是否同意第1号同学当选依次由a 1，1，a 2，1，a 3，1，…，a 1，1来确定， 是否同意第2号同学当选依次由a 1，2，a 2，2，a 3，2，…，a 1，2来确定，∴a 1，1a 1，2+a 2，1a 2，2+a 3，1a 3，2+…+a 1，1a 1，2表示的实际意义是同时同意第1号和第2号同学当选的人数， 故选B ． 【点睛】本题考查了推理应用题，题目比较新颖，是基础题． 9．D 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜2a ≤2、3≤3b＜4，求出2＜a≤4、9≤b ＜12，即可得出答案． 【详解】解不等式2x−a≥0，得：x≥2a，解不等式3x−b≤0，得：x≤3b ， ∵不等式组的整数解仅有x ＝2、x ＝3， 则1＜2a ≤2、3≤3b＜4， 解得：2＜a≤4、9≤b ＜12， 则a ＝3时，b ＝9、10、11； 当a ＝4时，b ＝9、10、11；所以适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有6个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a 、b 的值． 10．C 【解析】 【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得． 【详解】将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30， 所以该组数据的众数为30、中位数为=22.5，故选：C ． 【点睛】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 11．A 【解析】试题分析：∵⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距O 1O 2=4cm ，5﹣3＜4＜5+3， ∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O 1与⊙O 2相交． 故选A ．考点：圆与圆的位置关系． 12．A 【解析】 【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，∵N在直线y=x+3上，∴设N的坐标是（x，x+3），则DN=x+3，OD=-x，y=x+3，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-4，∴A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，∴3×4=5OC，OC=，∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，∴∠MNO=45°，∴sin45°=，∴ON=，在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，即（x+3）2+（-x）2=()2，解得：x1=-，x2=，∵N在第二象限，∴x只能是-，x+3=，即ND=，OD=，tan∠AON=．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2 5【解析】【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是25．故答案为：25． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=.m n14．13【解析】列举出所有情况，看甲排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率． 根据题意，列出甲、乙、丙三个同学排成一排拍照的所有可能： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况， 只有2种甲在中间，所以甲排在中间的概率是26=13． 故答案为13； 点睛：本题主要考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是列举出同等可能的所有情况． 15．xy （x ﹣1）1 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式=xy （x 1-1x+1）=xy （x-1）1． 故答案为：xy （x-1）1 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16．y=4x【解析】解：设这个反比例函数的表达式为y=kx．∵P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是同一个反比例函数图象上的两点，∴x 1y 1=x 2y 2=k ，∴11y =121x k y ，=2211112x k y y =+Q ．，∴21y ﹣11y =12，∴21x x k k -=12，∴21x x k -=12，∴k=2（x 2﹣x 1）．∵x 2=x 1+2，∴x 2﹣x 1=2，∴k=2×2=4，∴这个反比例函数的解析式为：y=4x．故答案为y=4x． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形． 17．2【解析】 【分析】只要证明△PBC 是等腰直角三角形即可解决问题. 【详解】解：∵∠APO ＝∠BPO ＝30°， ∴∠APB ＝60°，∵PA ＝PC ＝PB ，∠APC ＝30°， ∴∠BPC ＝90°，∴△PBC 是等腰直角三角形， ∵OA ＝1，∠APO ＝30°， ∴PA ＝2OA ＝2， ∴BC ＝PC ＝2，故答案为2．【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC 是等腰直角三角形． 18．100° 【解析】 【分析】由条件可证明△AMK ≌△BKN ，再结合外角的性质可求得∠A ＝∠MKN ，再利用三角形内角和可求得∠P ． 【详解】 解：∵PA ＝PB ， ∴∠A ＝∠B ，在△AMK 和△BKN 中，AM BK A B AK BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMK ≌△BKN （SAS ）， ∴∠AMK ＝∠BKN ，∵∠A+∠AMK ＝∠MKN+∠BKN ，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为100°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=x2+2x﹣3；（2）点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．【解析】【分析】（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1）．由题意可知平后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，从而可求得a的值，于是可求得平移后抛物线的表达式；（2）先根据平移后抛物线解析式求得其对称轴，从而得出点C关于对称轴的对称点C′坐标，连接BC′，与对称轴交点即为所求点P，再求得直线BC′解析式，联立方程组求解可得；（3）先求得点D的坐标，由点O、B、E、D的坐标可求得OB、OE、DE、BD的长，从而可得到△EDO为等腰三角直角三角形，从而可得到∠MDO=∠BOD=135°，故此当DM ODDO OB=或DM OBDO OD=时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．由比例式可求得MD的长，于是可求得点M的坐标．【详解】（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x﹣1），∵由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，∴平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，∴平移后抛物线的二次项系数为1，即a=1，∴平移后抛物线的表达式为y=（x+3）（x﹣1），整理得：y=x2+2x﹣3；（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），如图1，连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，则1 {1y xx=-=-，解得12 xy=-⎧⎨=-⎩，所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）如图2，由2{1y xx==-得11xy=-=⎧⎨⎩，即D（﹣1，1），则DE=OD=1，∴△DOE为等腰直角三角形，∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，2，∵BO=1，∴5∵∠BOD=135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD=∠ODM=135°，∴当DM ODDO OB=或DM OBDO OD=时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，①若DM ODDO OB=，则212=，解得DM=2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若DM OBDO OD=，则22=，解得DM=1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平移的性质、翻折的性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定，证得∠ODM=∠BOD=135°是解题的关键．20．（1）60，90°；（2）补图见解析；（3）300；（4）2 3 .【解析】分析：（1）根据了解很少的人数除以了解很少的人数所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以“了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例，即可求出达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（4）根据题意列出表格，再根据概率公式即可得出答案．详解：（1）60；90°.（2）补全的条形统计图如图所示.（3）对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”的学生所占比例为1551603+=，由样本估计总体，该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1 9003003⨯=.（4）列表法如表所示，所有等可能的情况一共12种，其中选中1个男生和1个女生的情况有8种，所以恰好选中1个男生和1个女生的概率是82123P ==. 点睛：本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，根据题意求出总人数是解题的关键；注意运用概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）①60；②CP BF =．理由见解析；（2）2tan BF BP DE α-=⋅，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合30A ∠=o ，只要证明CDB ∆是等边三角形即可； ②根据全等三角形的判定推出DCP DBF ∆≅∆，根据全等的性质得出CP BF =，（2）如图2，求出DC DB AD ==，DE AC P ，求出2FDB CDP PDB α∠=∠=+∠，DP DF =，根据全等三角形的判定得出DCP DBF ∆≅∆，求出CP BF =，推出BF BP BC -=，解直角三角形求出tan CE DE α=即可．【详解】解：（1）①∵30A ∠=o ，90ACB ∠=o ， ∴60B ∠=o ， ∵AD DB =， ∴CD AD DB ==， ∴CDB ∆是等边三角形， ∴60DCB ∠=o ． 故答案为60.②如图1，结论：CP BF =．理由如下：∵90ACB ∠=o ，D 是AB 的中点，DE BC ⊥，A α∠=， ∴DC DB AD ==，DE AC P ，∴A ACD α∠=∠=，EDB A α∠=∠=，2BC CE =， ∴2BDC A ACD α∠=∠+∠=， ∵2PDF α∠=，∴2FDB CDP PDB α∠=∠=-∠，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP DF =， 在DCP ∆和DBF ∆中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DCP DBF ∆≅∆， ∴CP BF =．（2）结论：2tan BF BP DE α-=⋅．理由：∵90ACB ∠=o ，D 是AB 的中点，DE BC ⊥，A α∠=， ∴DC DB AD ==，DE AC P ，∴A ACD α∠=∠=，EDB A α∠=∠=，2BC CE =， ∴2BDC A ACD α∠=∠+∠=， ∵2PDF α∠=，∴2FDB CDP PDB α∠=∠=+∠，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP DF =， 在DCP ∆和DBF ∆中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DCP DBF ∆≅∆，∴CP BF =，而CP BC BP =+，∴BF BP BC -=，在Rt CDE ∆中，90DEC ∠=o ， ∴tan DE DCE CE∠=， ∴tan CE DE α=，∴22tan BC CE DE α==，即2tan BF BP DE α-=．【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出DCP DBF ∆≅∆是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．22．（1）被随机抽取的学生共有50人；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角为72°，（3）参与了4项或5项活动的学生共有720人．【解析】分析：（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．详解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%=50（人）；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角=1050×360°=72°， 活动数为5项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12=6，如图所示：（3）参与了4项或5项活动的学生共有12+650×2000=720（人）． 点睛：本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）四边形ADCN是矩形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平行得出∠DAM＝∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD＝CN，推出四边形ADCN 是平行四边形即可；（2）根据∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC求出∠MCD＝∠MDC，推出MD＝MC，求出MD＝MN＝MA＝MC，推出AC＝DN，根据矩形的判定得出即可．【详解】证明：（1）∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，∵在△AMD和△CMN中，∠DAM＝∠NCMMA＝MC∠DMA＝∠NMC，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；（2）解：四边形ADCN是矩形，理由如下：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由（1）知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．24．（1）孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）不可能；（3）他的测试成绩应该至少为1分．【解析】试题分析：（1）分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案；（2）利用测试成绩占80%，平时成绩占20%，进而得出答案；（3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值．试题解析：（1）设孔明同学测试成绩为x 分，平时成绩为y 分，依题意得：185{80%20%91x y x y +=+=，解之得：90{95x y ==．答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）由题意可得：80﹣70×80%=24，24÷20%=120＞100，故不可能． （3）设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%=20，设测试成绩为a 分，根据题意可得：20+80%a≥80，解得：a≥1．答：他的测试成绩应该至少为1分．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．25．详见解析.【解析】【分析】四边形ABCD 是正方形，利用已知条件先证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明四边形ABCD 是矩形，再根据对角线垂直的矩形是正方形即可证明四边形ABCD 是正方形．【详解】证明：在四边形ABCD 中，OA=OC,OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OA=OB=OC=OD ，又∵AC=AO+OC,BD=OB+DO ，∴AC=BD ，∴平行四边形是矩形，在△AOB 中，AO AB =，BO AB = 222221122AO BO AB AB AB +=+= ∴△AOB 是直角三角形，即AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的运用和勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强．26．（1）一个足球需要50元，一个篮球需要80元；（2）1个.【解析】【分析】（1）设购买一个足球需要x 元，则购买一个排球也需要x 元，购买一个篮球y 元，根据购买2个足球和3个篮球共需340元，4个排球和5个篮球共需600元，可得出方程组，解出即可；【详解】（1）设购买一个足球需要x 元，则购买一个排球也需要x 元，购买一个篮球y 元， 由题意得：， 解得：．答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；（2）设该中学购买篮球m 个，由题意得：80m+50（100﹣m ）≤6000，解得：m≤1，∵m 是整数，∴m 最大可取1．答：这所中学最多可以购买篮球1个．【点睛】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系及不等关系，难度一般．27．（1）11；（2）y ＝3.6x+90；（3）该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm 左右．【解析】【分析】（1）根据统计图仔细观察即可得出结果（2）先设函数表达式，选取两个点带入求值即可（3）先设函数表达式，选取两个点带入求值，把x 18＝带入预测即可.【详解】解：（1）由统计图可得，该市男学生的平均身高从 11 岁开始增加特别迅速，故答案为：11；（2）设直线AB 所对应的函数表达式y kx b ＝，。
上海市崇明县2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
上海市崇明县2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm22．估计26的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间3．2-的相反数是（）A．2-B．2 C．12D．12-4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．菱形C．平行四边形D．正五边形5．如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=1447．我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）8 9 10户数 2 6 2则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．方差是4 B．极差是2 C．平均数是9 D．众数是98．许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿应为（ ）A ．1915.15×108B ．19.155×1010C ．1.9155×1011D ．1.9155×10129．如图，在平行线l 1、l 2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线l 1、l 2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°10．﹣2018的绝对值是（ ）A ．±2018B ．﹣2018C ．﹣12018D ．201811．在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（ ）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差12．如图，点A 是反比例函数y=k x的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．6D ．﹣6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．圆锥的底面半径为4cm ，高为5cm ，则它的表面积为______ cm 1．14．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________．15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，它的最小边的长是2cm ，则它的最大边的长是_____cm ． 16．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.17．如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n 个图形的周长是___．18．分解因式：244m m ++＝___________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．20．（6分）计算：（12）﹣2﹣327+（﹣2）0+|2﹣8| 21．（6分）先化简，再求值：22111m m m ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭，其中m ＝2. 22．（8分）如图，在直角三角形ABC 中，（1）过点A 作AB 的垂线与∠B 的平分线相交于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠A=30°，AB=2，则△ABD 的面积为 ．23．（8分）如图，已知一次函数y 1=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，与坐标轴交于M 、N 两点．且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出y 1＞y 1时x 的取值范围．24．（10分）某地一路段修建，甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做5天，再由甲、乙两队合作9天，共完成这项工程的三分之一．（1）求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？（2）若甲队的工作效率提高20%，乙队工作效率提高50%，甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2.5万元，现由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分，在完成此项工程的工程款不超过190万元的条件下要求尽早完成此项工程，则甲、乙两队至多要合作多少天？25．（10分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下．成绩/分120﹣111 110﹣101 100﹣91 90以下成绩等级 A B C D请根据以上信息解答下列问题：（1）这次统计共抽取了名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有多少人？（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A等级学生数可提高40%，B等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生可达多少人？26．（12分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：()1这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______； ()2将条形统计图补充完整；()3该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名.27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 C 分别在x 轴和 y 轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以 OA ，OC 为邻边作矩形 OABC ， 动点 M ，N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点 A 、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作NP ⊥BC ，交 OB 于点 P ，连接 MP ．（1）直接写出点 B 的坐标为 ，直线 OB 的函数表达式为 ;（2）记△OMP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式()06t <<；并求 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则AB BD DF DC设DF=xcm，得到：68 = x6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．2．D【解析】【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36252636＜＜5266＜＜，故选择D.【点睛】本题考查了二次根式的相关定义.3．B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.4．B【解析】【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别判断各选项即可解答.【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.5．B【解析】【分析】俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可．【详解】由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，得拿掉第一排的小正方形，拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是，故选B．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形．6．D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．7．A【解析】分析：根据极差=最大值-最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，以及方差公式S 2=1n [（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，分别进行计算可得答案．详解：极差：10-8=2，平均数：（8×2+9×6+10×2）÷10=9， 众数为9，方差：S 2=110[（8-9）2×2+（9-9）2×6+（10-9）2×2]=0.4， 故选A ．点睛：此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法．8．C【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】用科学记数法表示1915.5亿应为1.9155×1011， 故选C ．【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.9．A【解析】【分析】如图，过点C 作CD ∥a ，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C 作CD ∥a ，则∠1=∠ACD ，∵a ∥b ，∴CD ∥b ，∴∠2=∠DCB ，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．10．D【解析】分析：根据绝对值的定义解答即可，数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.-=．详解：﹣2018的绝对值是2018，即20182018故选D．点睛：本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.11．B【解析】【分析】【详解】解：11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．故选B．【点睛】本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键．12．D【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．16)π【解析】【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长,则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径的平方+底面周长×母线长÷1. 【详解】底面半径为4cm,则底面周长=8πcm,底面面积=16πcm 1;由勾股定理得,母线长,圆锥的侧面面积2182π⨯,∴它的表面积 )cm 1=()16π cm 1 ,故答案为:()16π. 【点睛】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(1)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.14．2x =或x=-1【解析】【分析】由点A 的坐标及AB 的长度可得出点B 的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．【详解】∵点A 的坐标为（-2，0），线段AB 的长为8，∴点B 的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，∴抛物线的对称轴为直线x=262-+=2或x=2102--=-1． 故答案为x=2或x=-1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x 轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．15．1．【解析】【分析】根据在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，三角形内角和等于180°可得∠A ，∠B ，∠C 的度数，它的最小边的长是2cm，从而可以求得最大边的长．【详解】∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∵最小边的长是2cm，∴a=2.∴c=2a=1cm.故答案为：1.【点睛】考查含30度角的直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键. 16．1.【解析】试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=1（尺）．故答案为1．考点：平面展开最短路径问题17．2n+1【解析】观察摆放的一系列图形，可得到依次的周长分别是3，4，5，6，7，…，从中得到规律，根据规律写出第n个图形的周长．解：由已知一系列图形观察图形依次的周长分别是：（1）2+1=3，（2）2+2=4，（3）2+3=5，（4）2+4=6，（5）2+5=7，…，所以第n个图形的周长为：2+n．故答案为2+n ．此题考查的是图形数字的变化类问题，关键是通过观察分析得出规律，根据规律求解．18．()22m +【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：244m m ++=()22m +，故答案为()22m +.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．13【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝26＝13． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．20．2【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+1+22﹣2＝22．【点睛】本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要掌握这些知识点．21．1m m-+，原式23=-. 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值.【详解】原式()()21111m m m m m mm -⋅=-+-+， 当m ＝2时，原式23=-. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.22．（1）见解析（2）233 【解析】【分析】（1）分别作∠ABC 的平分线和过点A 作AB 的垂线，它们的交点为D 点；（2）利用角平分线定义得到∠ABD=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=3AB=23，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：（1）如图，点D 为所作；（2）∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．∵BD 为角平分线，∴∠ABD=30°．∵DA⊥AB，∴∠DAB=90°．在Rt△ABD中，AD=33AB=233，∴△ABD的面积=12×2×233=233．故答案为23．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形面积公式．23．（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4【解析】试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y1=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣1，m）B（n，﹣1）代入反比例函数y1=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣1，4）、B（4，﹣1）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；,（1）在一次函数y1=﹣x+1中，当x=0时，y=1，即N（0，1）；当y=0时，x=1，即M（1，0）∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6；（3）根据图象可得，当y1＞y1时，x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜4考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积24．（1）甲、乙两队合作完成这项工程需要36天；（2）甲、乙两队至多要合作7天【解析】【分析】（1）设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天，根据条件：甲队先做5天，再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的，列方程求解即可；（2）设甲、乙两队最多合作元天，先求出甲、乙两队合作一天完成工程的多少，再根据完成此项工程的工程款不超过190万元，列出不等式，求解即可得出答案．【详解】（1）设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天根据题意得，，解得x=36，经检验x=36是分式方程的解，答：甲、乙两队合作完成这项工程需要36天，（2）设甲、乙需要合作y天，根据题意得，，解得y≤7答：甲、乙两队至多要合作7天．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25．（1）1人；补图见解析；（2）10人；（3）610名.【解析】【分析】（1）用总人数乘以A 所占的百分比，即可得到总人数；再用总人数乘以A 等级人数所占比例可得其人数，继而根据各等级人数之和等于总人数可得D 等级人数，据此可补全条形图；（2）用总人数乘以（A 的百分比+B 的百分比），即可解答；（3）先计算出提高后A ，B 所占的百分比，再乘以总人数，即可解答．【详解】解：（1）本次调查抽取的总人数为15÷108360=1（人）， 则A 等级人数为1×72360=10（人），D 等级人数为1﹣（10+15+5）=20（人）， 补全直方图如下：故答案为1．（2）估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有1000×101550=10（人）； （3）∵A 级学生数可提高40%，B 级学生数可提高10%，∴B 级学生所占的百分比为：30%×（1+10%）=33%，A 级学生所占的百分比为：20%×（1+40%）=28%， ∴1000×（33%+28%）=610（人），∴估计经过训练后九年级数学成绩在B 以上（含B 级）的学生可达610名．【点睛】考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26．（1）100，108°；（2）答案见解析；（3）600人.【解析】【分析】（1）先利用QQ 计算出宗人数，再用百分比计算度数；（2）按照扇形图补充条形图；（3）利用微信沟通所占百分比计算总人数.【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%=100人.喜欢用QQ 沟通所占比例为：30310010=， ∴QQ 的扇形圆心角的度数为：360°×310=108°. （2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人 喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：40100×100%=40%. ∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人 .【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．27．（1）(6,4)，23y x =；（2）21(3)3(06)3S t t =--+<<，1，1． 【解析】【分析】（1）根据四边形OABC 为矩形即可求出点B 坐标，设直线OB 解析式为y kx =，将B (6,4)代入即可求直线OB 的解析式；（2）由题意可得6OM t =-，由（1）可得点P 的坐标为2,3t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 表达出△OMP 的面积即可，利用二次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）∵OA=6，OC=4， 四边形OABC 为矩形，∴AB=OC=4， ∴点B (6,4)，设直线OB 解析式为y kx =，将B (6,4)代入得46k =，解得23k =， ∴23y x =， 故答案为：(6,4)；23y x =（2）由题可知，CN AM t ==，6OM t ∴=-由(1)可知，点P 的坐标为2,3t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1223OMP S OM t ∴=⨯⨯V ， 12(6)23t t =⨯-⨯ 21t 2t 3=-+ 21(3)3(06)3t t =--+<< ∴当3t =时，S 有最大值1．【点睛】本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式．。
2020年上海市崇明区中考数学一模试卷含答案
2020年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列各组图形一定相似的是（）A．两个菱形B．两个矩形C．两个直角梯形D．两个正方形2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．3．（4分）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）4．（4分）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝||C．与方向相同D．与方向相反5．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知＝，那么＝．8．（4分）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长cm．9．（4分）如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为度．10．（4分）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了米．11．（4分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m．12．（4分）如果将抛物线y＝x2+2x﹣1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为．13．（4分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．14．（4分）正五边形的中心角的度数是．15．（4分）两圆的半径之比为3：1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为．16．（4分）如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是．17．（4分）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A ＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan260°+﹣sin245°．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设AD＝，AB＝．（1）试用、的式子表示向量；（2）在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论．21．（10分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC 于点F，BD＝8，AE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求OF的长度．22．（10分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？23．（12分）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．24．（12分）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A 作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．2020年上海市崇明区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列各组图形一定相似的是（）A．两个菱形B．两个矩形C．两个直角梯形D．两个正方形【解答】解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴cot B＝＝＝，故选：A．3．（4分）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2+2，∴顶点为（﹣1，2），故选：C．4．（4分）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝||C．与方向相同D．与方向相反【解答】解：∵＝3，＝﹣2，∴＝﹣，∴∥，||＝||，与发方向相反，∴A，B，D正确，故选：C．5．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M【解答】解：连结BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知＝，那么＝．【解答】解：∵＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．8．（4分）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长4﹣4cm．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．9．（4分）如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为70度．【解答】解：∵三角形的两个内角分别为50°和60°，∴这个三角形的第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为70°．故答案为70．10．（4分）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了50米．【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．11．（4分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为54m．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．12．（4分）如果将抛物线y＝x2+2x﹣1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为（1，1）．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴把点（﹣1，﹣2）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（1，1），即新抛物线的顶点坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．13．（4分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x＝＝1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．14．（4分）正五边形的中心角的度数是72°．【解答】解：正五边形的中心角为：＝72°．故答案为：72°．15．（4分）两圆的半径之比为3：1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为2．【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R+r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3﹣1＝2．故答案为：2．16．（4分）如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是6．【解答】解：在梯形BCED中，作AG⊥BC于G，交DE于F，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，解得：AF＝4，∴AG＝AF+GF＝4+2＝6．故答案为：6．17．（4分）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为10．【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为：10．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E 在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝或．【解答】解：如图，作DF⊥AB于F，连接AA′．在Rt△ACB中，BC＝＝6，∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，∴△AFD∽△ACB，∴＝＝，∴＝＝，∴DF＝，AF＝，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝，∴AE＝A′E＝+＝，∴AA′＝，如图，作DF⊥AB于F，当EA′⊥AB时，同法可得AE＝﹣＝，AA′＝AE ＝．故答案为或．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan260°+﹣sin245°．【解答】解：原式＝（）2+﹣（）2＝3+﹣＝+．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设AD＝，AB＝．（1）试用、的式子表示向量；（2）在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论．【解答】解：（1）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴＝＝∴＝，即OA＝AC∵AD＝，AB＝，与同向，∴＝2∵＝+＝+2∴＝+．（2）如图所示：即为向量在、方向上的分向量分别为﹣a、b．21．（10分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC 于点F，BD＝8，AE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求OF的长度．【解答】解：（1）连接OB，设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，∵OA⊥BD，∴BE＝ED＝BD＝4，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即x2＝（x﹣2）2+42，解得，x＝5，即⊙O的半径为5；（2）在Rt△CEB中，BC＝＝＝4，∵OF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴OF＝＝．22．（10分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．23．（12分）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴∠DBE+∠DEB＝90°，∠DBE+∠BDF＝90°，∴∠BED＝∠BDF，∴∠AEF＝∠CDF，∵AE•DF＝EF•CD，∴＝，又∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴∠EAF＝∠DCF；（2）∵△AEF∽△CDF，∴∠EF A＝∠DFC，∴∠AFO＝∠EFD＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠BFD＝∠AFC，∵∠EAF＝∠DCF，∠AOF＝∠COD，∴△AOF∽△COD，∴＝，∴＝，又∠ACF＝∠EDF，∴△AOC∽△FOD，∴∠ACF＝∠EDF，∵∠DBE+∠BED＝∠FDE+∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠EDF，∴∠ACF＝∠DBE，又∠BFD＝∠AFO，∴△BFD∽△CF A，∴＝，即AF•BD＝AC•DF．24．（12分）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）+4，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝3．∵∠BHA＝90°，∴∠HAB+∠HBA＝90°．∴∠HAB＝∠HBA＝45°．∵在直角△AHB中，AH2+BH2＝AB2，AB＝4．∴AH＝BH＝2．∴CH＝3﹣2＝．∵∠BHC＝90°，∴∠ACB＝＝＝2；（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴＝3，解得x1＝，x2＝（舍去）∴D（，）．②∠AOD＝∠ACB．∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴＝2，解得x1＝﹣，x2＝（舍去）∴D（﹣，2）．综上所述，当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标是（，）或（﹣，2）．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A 作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020届初三中考数学一诊联考试卷含参考答案 (上海)
2020届**市初三中考一诊联考试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.考试时间：120分钟。
一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为（）A．13B．1136C．512D．142．下列各数中是无理数的是（）A．cos60°B．·1.3C．半径为1cm的圆周长D3．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的边OB在y轴上，∠ABO＝90°，AB＝3，点C在AB上，BC＝13AB，且∠BOC＝∠A，若双曲线y＝kx经过点C，则k 的值为（ ）A B C ．1 D ．24．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为( )A ．44×108B ．4.4×108C ．4.4×109D ．4.4×10105．已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知反比例函数(0)k y k x=<的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <，则12y y -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定7．在下列命题中，是真命题的是（ ）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8．关于反比例函数y=2x的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小9．按如图所示的运算程序，当输出的y值为0时，x的值是（）A．1B．2C．1±D．2±10．如图，AB是圆O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与圆O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD，CD＝BD＝OE的长度为( )A B．2C．D．4二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=12，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=12x2的通径长为______．12．如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝120°，∠2＝80°，则∠3的度数是_____．13．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣3，﹣1），把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是______．14．已知一元二次方程x2＝0有两个相等的实数根，则nm的值是_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．如图，AP平分∠BAC，∠ADP和∠AEP互补．(1)作P到角两边AB，AC的垂线段PM，PN．(2)求证：PD＝PE．16．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t=3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．17．为了更好的落实阳光体育运动，学校需要购买一批足球和篮球，已知一个足球比一个篮球的进价高30元，买一个足球和两个篮球一共需要300元．（1）求足球和篮球的单价；（2）学校决定购买足球和篮球共100个，为了加大校园足球活动开展力度，现要求购买的足球不少于60个，且用于购买这批足球和篮球的资金最多为11000元．试设计一个方案，使得用来购买的资金最少，并求出最小资金数．18．据《中国教育报》2004年5月24日报道：目前全国有近3万所中小学建设了校园网，该报为了了解这近3万所中小学校园网的建设情况，从中抽取了4600所学校，对这些学校校园网的建设情况进行问卷调查，并根据答卷绘制了如图的两个统计图：说明：统计图1的百分数＝样本中校园网建设时间在某段时间内的中小学数量×100%；样本数量统计图2的百分数＝样本中校园网建设资金投入在某资金段内的中小学数量×100%．样本容量。
2020年崇明县初三年级质量测试卷初中数学
2020年崇明县初三年级质量测试卷初中数学〔考试时刻: 100分钟; 总分值120分)一、 填空题〔本大题共14题，每题3分，总分值42分〕 1．运算：|-2| =____________.2．分解因式:2221b a a -++=____________________.3．假如关于x 的方程032=--mx x 的一个根是 -1 , 那么._____________=m 4．不等式组⎩⎨⎧>+<-0102x x 的解集为___________.5．y 是x 的反比例函数,它的图象通过点(-1,3),那么那个函数的解析式是____________. 6．假如直线m x y +=2不通过第二象限,那么实数m 的取值范畴是______________. 7．方程x x =+2的根是___________.8．函数21-=x y 自变量x 的取值范畴是______________.9． 点P(-1 , 2 )关于X 轴的对称点P ′的坐标是______________.10．假如梯形一底边长为5,另一底边长为7,那么中位线长为_______________.11．已两个相似三角形的面积之比是4:9,那么这两个三角形对应边的比是______________. 12．点G 是△ABC 的重心,GP//BC 交AC 边于点P,假如BC=12,那么GP=__________.13．正方形ABCD 的边长为1，假如将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上D ′处，连结D ′A ，那么D BA tg '∠的值为_______________.14. 如图，等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，那么ACAD 的值为_______________.二、 选择题〔本大题共4题，每题3分，总分值12分〕【以下每题列出的四个答案中,只有一个是正确的,把正确答案的代号填入括号内】 15．以下运算中，运算结果正确的选项是………………………………………〔 〕〔A 〕632x x x =⋅ 〔B 〕222+-=÷n n nx x x〔C 〕9234)2(x x = 〔D 〕633x x x =+D BA16．如图，函数)1(+=x k y 与x ky =在同一直角坐标系内的图象仅可能是…〔 〕oyxoyxoyxoyx〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕17．以下命题中错误的选项是……………………………………………………〔 〕 〔A 〕平行四边形的对角相等 〔B 〕两条对角线相等的平行四边形是矩形 〔C 〕等腰梯形的对角线相等 〔D 〕对角线互相垂直的四边形是菱形 18．假如两圆的半径分不为3、5，圆心距为2，那么两圆的位置关系为…〔 〕 〔A 〕外切 〔B 〕相交 〔C 〕内切 〔D 〕内含 三、〔本大题共3题，每题8分，总分值24分〕19．解方程组⎩⎨⎧=-+=+02222y xy x y x 20．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，E 为BC 边上的点，将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折叠，使△ABD △与EBD 重合.假设∠A=120°，AB=4cm ，求EC 的长.21．在一次环保知识测试中，初三(1)班的两名学生依照班级成绩〔分数为整数〕分不绘制了组距不同的频率分布直方图，如图1、图2 .，图1从左到右每个小组的频率分不为：0.04、0.08、0.24、0.32、0.20、0.12，其中68.5~76.5小组的频数为12；图2从左到右每个小组的频数之比为1：2：4：7：6：3：2，请结合条件和频率分布直方图回答以下咨询题： (1) 初三(1)班参加测试的人数为________人;〔2〕假设这次测试成绩80分以上〔含80分〕为优秀，那么优秀人数为_______人,优秀率为__________;〔3〕假设这次测试成绩60分以上〔含60分〕为及格，那么及格率为__________.四、〔本大题共3题，每题10分，总分值30分〕EDCBA22． 如图，△ABC 中D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD ，E 为垂足，连结AE.求证：(1) ED=DA ；(2)∠EBA ＝∠EAB (3) BE 2=AD ·AC23．如图，在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，且OB > OA . 设点C (0 , －4 ), 1722=+OB OA ，线段OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程0)3(22=-+-m mx x 的两个根. (1) 求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2) 设上述抛物线的顶点为P ，求直线PB 的解析式.24．陈海公路上一路段的道路修理工作预备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：假设由两队合做，6天能够完成，共需工程费用7800元；假设单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。
2020届初三中考数学一诊联考试卷含答案解析 (上海)
2020届**市初三中考一诊联考试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.考试时间：120分钟。
一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．在△ABC中，AB=10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或102．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．24 B．16 C．14 D．123．关于x的一元二次方程(m﹣2)x2﹣4x+1＝0有两个实数解，则实数m的取值范围()A．m≤6 B．m≤6且m≠2 C．m＜6且m≠2 D．m＜64．若a﹣b＝12，则a2﹣b2﹣b的值为（）A．12B．14C．1 D．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点C出发，沿折线CA→AB以3cm/s的速度匀速运动，动点Q从C出发沿CB以1cm/s 的速度匀速运动，若动点P、Q同时从点C出发任意一点到达B点时两点都停止运动，则这一过程中，△PCQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系大致图象是（）A．B．C．D．6．下列方程，是一元二次方程的是（ ）①3x 2+x =20，②2x 2-3xy +4=0，③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2-3x +3=0 A ．①② B ．①④⑤ C ．①③④ D ．①②④⑤7．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P 是反比例函数y ＝kx （k ≠0）图象上的一点，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，点B 为AO 的中点若△P AB 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．12D ．﹣128．将一副三角板（∠A ＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB ∥EF ，则∠1等于（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．115°9．如图，在矩形ABCD 中，4,30AD DAC =∠=，点,P E 分别在,AC AD 上，则PE PD +的最小值是（）A ．2B ．C ．4 D10．若实数m、n满足20m-=，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．6二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若正六边形的面积等于O的面积等于 __________ .12．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为_____．13．分解因式：4m2﹣16n2＝_____．14．如图，PA切⊙O于点A，点B是线段PO的中点，若⊙O，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．16．如图，10×10的网格中，A，B，C均在格点上，诮用无刻度的直尺作直线MN，使得直线MN平分△ABC的周长（留作图痕迹，不写作法）（1）请在图1中作出符合要求的一条直线MN；（2）如图2，点M为BC上一点，BM＝5．请在AB上作出点N的位置．17．某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据统计图的信息解决下列问题：（1）本次调查的学生有多少人？（2）补全上面的条形统计图；（3）扇形统计图中C 对应的中心角度数是 ；（4）若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A ，B 口味的牛奶共约多少盒？18．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4.19．如图，抛物线2y ax bx c =++经过A(-2,0), B(4,0), C(0,-4)三点．点P 是抛物线BC 段上一动点（不含端点(,)B C ，BD BC ⊥与CP 的延长线交于点D（1）求抛物线的解析式．。
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（）A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD3．（4分）已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝2C．﹣＝0D．||+||＝24．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．5．（4分）抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（）A．第一象限B．第二象限C．直线y＝x上D．直线y＝﹣x上6．（4分）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知，则＝．8．（4分）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为．9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为．10．（4分）计算：2（﹣2）+3（2+）＝．11．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i＝1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为米．12．（4分）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sin B＝，那么∠C＝度．13．（4分）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．14．（4分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P 的坐标为（1，y），点A的坐标为（﹣1，0），那么点B的坐标为．16．（4分）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为厘米．17．（4分）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为．18．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E ⊥AC时，则线段AA′的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan60°+﹣sin245°．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AC＝8．（1）求线段AE的长；（2）设＝，＝．①请直接写出向量关于、的分解式，＝；②联结BE，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．[可以不写作法，但必须写出结论]21．（10分）如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．（1）求线段BC的长；（2）求∠BOC的正弦值．22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．（1）B、P两处间的距离为海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它[填“能”或“不能”]到达Q 处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（12分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．24．（12分）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．（1）求证：△ADP∼△EDQ；（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．2020-2021学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A、＝⇒ad＝bc，符合题意；B、＝⇒ab＝cd，不符合题意；C、＝⇒ab＝cd，不符合题意；D、＝⇒ab＝cd，不符合题意．故选：A．【点评】考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．2．（4分）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（）A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD【分析】根据三角形重心的定义可判断AD为BC边上的中线，则可对A、D选项进行判断；根据三角形重心的性质可对B、C选项进行判断．【解答】解：如图，∵点G是△ABC的重心，∴AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确；∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．3．（4分）已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝2C．﹣＝0D．||+||＝2【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断．【解答】解：A、向量与方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B、当向量与方向相反时，+＝，故本选项不符合题意．C、当向量与方向相同时，﹣＝，故本选项不符合题意．D、由题意知，||+||＝2，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，理解锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．5．（4分）抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（）A．第一象限B．第二象限C．直线y＝x上D．直线y＝﹣x上【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可求出顶点坐标，再确定顶点所在的直线解析式．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点坐标为（k，k），∴顶点坐标满足直线y＝x，故顶点总在直线y＝x上，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标的求法以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（4分）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．【解答】解：设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，所以OA＝OC，即＝，在直角△AOC中，sin∠AOC＝＝，∴∠AOC＝45°，∴∠AOB＝90°，则正多边形边数是：＝4．故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知，则＝．【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【解答】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．8．（4分）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AC＝AB，把AB＝6cm代入计算即可．【解答】解：∵线段AB＝6cm，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）cm．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为1：16．【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴两三角形的相似比为1：4，∴两三角形的面积比为1：16．故答案为：1：16．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．10．（4分）计算：2（﹣2）+3（2+）＝8﹣．【分析】利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝2﹣4+6+3＝8﹣．故答案是：8﹣．【点评】本题主要考查了平面向量的计算，注意：实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．11．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i＝1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为4米．【分析】直接利用坡度的定义进行解答即可．【解答】解：∵斜坡的坡度i＝＝1：3，水平宽度为12米，∴铅垂高度＝×水平宽度＝×12＝4（米），故答案为：4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．12．（4分）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sin B＝，那么∠C＝45度．【分析】过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形求出AD和BD，求出CD＝AD＝4，再求出答案即可．【解答】解：过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵sin B＝＝，AB＝5，∴AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝＝3，∵BC＝7，∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，∴AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解直角三角形和勾股定理等知识点，能求出AD的长度是解此题的关键．13．（4分）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为（0，﹣5）．【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣5，故答案为：（0，﹣5）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．14．（4分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．故答案为y＝（x+1）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P 的坐标为（1，y），点A的坐标为（﹣1，0），那么点B的坐标为（3，0）．【分析】利用垂径定理，根据P点坐标，求出C点坐标，从而求出B点坐标．【解答】解：∵P点坐标为（1，y），∴C点坐标为（1，0），∵AC＝1﹣（﹣1）＝2，∴BC＝AC＝2，∴OB＝2+1＝3，∴B（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了垂径定理和坐标与图形，知道AC＝BC是解题的关键步骤．16．（4分）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为3厘米．【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，外切，则圆心距＝两圆半径之和，列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设大圆半径为x厘米，小圆的半径为y厘米，∵两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，∴，解得x＝3，∴大圆半径为3厘米，故答案为3．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R＝d．17．（4分）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为2．【分析】如图，作CH⊥AD于H．想办法证明△ACD是等边三角形，即可解决问题．【解答】解，如图，作CH⊥AD于H．∵AC2＝DA•DC时∵DH＝CD•cos∠D，CH＝CD•sin∠D，AH＝AD﹣CD•cos∠D，∴AC2＝AH2+CH2＝（AD﹣CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠D＝AD2+CD2﹣AD•CD，∵AC2＝AD•CD，∴AD2﹣2AD•CD+CD2＝0，∴（AD﹣CD）2＝0，∴AD＝CD，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACD是等边三角形，属于中考常考题型．18．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E ⊥AC时，则线段AA′的长为2．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝4，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝＝＝，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴＝，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝2，∴＝，∴AE＝2，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝2×＝，∴AA′＝2AF＝2，故答案为：2．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan60°+﹣sin245°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．【解答】解：原式＝+﹣（）2＝++1﹣＝2+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AC＝8．（1）求线段AE的长；（2）设＝，＝．①请直接写出向量关于、的分解式，＝﹣+；②联结BE，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．[可以不写作法，但必须写出结论]【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用三角形法则求出，再根据AE＝AC，求解即可．②利用平行四边形法则画出图形即可．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AE＝．（2）①∵＝+，∴＝﹣+，∵AE＝AC，∴＝﹣+．故答案为：﹣+．②向量分别在、方向上的分向量分别为，：如图所示：【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．（1）求线段BC的长；（2）求∠BOC的正弦值．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，根据已知条件可得∠C＝30°，进而可得结论；（2）过点B作BE⊥OC于点E，根据锐角三角函数定义即可求出结果．【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1，∴∠C＝30°，∴CD＝，∴BC＝﹣1；（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，∵∠C＝30°，∴BE＝BC，∴sin∠BOC＝＝＝＝．【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三角形．22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．（1）B、P两处间的距离为14海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是等边三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它能[填“能”或“不能”]到达Q处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）先由题意得AB＝14（海里），∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，再由三角形内角和定理得∠APB＝30°＝∠P AB，则PB＝AB＝14（海里），然后证△BPQ是等边三角形，进而得A、B、Q三点共线，即可得出结论（2）过点P作PH⊥AB于H，由（1）得∠PBH＝60°，再求出PH＝7，然后由7＞12即可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示：由题意得：AB＝28×＝14（海里），∠P AB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠P AB，∴PB＝AB＝14（海里），∵BC∥PD，∴∠BPD＝∠PBC＝30°，∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，∵PQ＝PB＝14，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PBQ＝60°，∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，∴A、B、Q三点共线，∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，故答案为：14，等边，能；（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：由（1）得：∠PBH＝60°，在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB＝×14＝7，∵7＞12，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数的概念和等边三角形的判定与性质是解题的关键．23．（12分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得＝，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得＝＝，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴＝＝，（）2＝•，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．【分析】（1）构建方程组求解即可．（2）如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H．求出点P′的坐标，即可判断．（3）首先证明∠PCB＝90°，由PC：BC＝1：3，推出OM：OC＝1：3或OC：OM＝1：3，推出OM＝1或9，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0）．（2）如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点P（﹣1，4），∵B（﹣3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝x+3，∵PQ∥y轴，∴Q（﹣1，2），∴PQ＝2，在Rt△P′QH中，∠P′HQ＝90°，∠P′QH＝180°﹣120°＝60°，P′Q＝PQ＝2，∴PH＝P′Q•sin60°＝，PH＝P′Q•cos60°＝1，∴P′（﹣1，1），当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2﹣2（﹣1）+3＝1，∴点P′在抛物线上．（3）存在．如图2中，连接PB，PC．∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），∴BC＝3，PC＝，PB＝2，∴PB2＝PC2+CB2，∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，∴OM＝1或9，∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．（1）求证：△ADP∼△EDQ；（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．【分析】（1）证∠A＝∠DEQ，∠EDQ＝∠ADP，即可得出△ADP∽△EDQ；（2）证△EDB∽△ACB，求出ED＝，EB＝，由（1）得：△ADP∽△EDQ，得＝，解得：EQ＝x，进而得出结论；（3）证tan∠QPD＝＝＝＝tan B，得∠QPD＝∠B，再证△PDF∽△BDQ，得△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，再分三种情况：①若DQ＝BQ，②BQ＝BD，③DQ＝DB，分别求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠DEQ+∠B＝90°，∴∠A＝∠DEQ，又∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，∴∠EDQ＝∠ADP，∴△ADP∽△EDQ；（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵点D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝5，∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△EDB∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，解得：ED＝，EB＝，由（1）得：△ADP∽△EDQ，∴＝，即＝＝，解得：EQ＝x，∴BQ＝BE﹣EQ＝﹣x，即y＝﹣x，∵AP≥0，∴x≥0，∵BQ≥0，∴﹣x≥0，∴x≤，∴y＝﹣x（0≤x≤）；（3）解：由（1）得：△ADP∼△EDQ，∴＝＝，∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴tan∠QPD＝＝＝＝tan B，∴∠QPD＝∠B，又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠BDQ，∴△PDF∽△BDQ，∴△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，①若DQ＝BQ，过Q作QG⊥BD于G，如图所示：则DG＝BG＝BD＝，∵cos B＝＝＝＝，∴＝，解得：x＝，即AP＝；②若BQ＝BD，则﹣x＝5，解得：x＝，即AP＝；③若DQ＝DB，则∠B＝∠DQB，∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝2∠B+∠BDQ＜180°，此种情况舍去；综上所述，当△PDF为等腰三角形时，线段AP的长为或．【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020-2021学年上海市崇明区九年级数学试卷(一模)(附答案详解)
2020-2021学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab=cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是()A. ab =cdB. ac=dbC. bc=daD. bd=ca2.已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是()A. BD=CDB. AG=GDC. AG=2GDD. BC=2BD3.已知a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么下列结论中正确的是()A. a⃗=b⃗B. a⃗+b⃗ =2C. a⃗−b⃗ =0D. |a⃗|+|b⃗ |=24.在△ABC中，∠C=90°，如果AC=8，BC=6，那么∠A的正弦值为()A. 35B. 45C. 34D. 435.抛物线y=a(x−k)2+k的顶点总在()A. 第一象限B. 第二象限C. 直线y=x上D. 直线y=−x上6.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的√2倍，那么这个正多边形的边数是()A. 3B. 4C. 5D. 无法确定二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知xy =53，则x−yy=______．8.已知线段AB=6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC，那么线段AC的长为______ ．9.如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为______ ．10.计算：2(a⃗−2b⃗ )+3(2a⃗+b⃗ )=______ ．11.如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i=1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为______米.12.已知锐角△ABC中，AB=5，BC=7，sinB=45，那么∠C=______ 度.13.函数y=2x2+4x−5的图象与y轴的交点的坐标为______ ．14.如果将抛物线y=(x−1)2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为______ ．15.如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为(1,y)，点A的坐标为(−1,0)，那么点B的坐标为______ ．16.如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为______ 厘米．17.我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”.例如：图1中的四边形ABCD中，AB=AC=AD，则AC2= AB⋅AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边.如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC=90°，∠D=60°，AB=4，BC=2，那么线段AD的长为______ ．18.在△ABC中，AB=4√2，∠B=45°，∠C=60°.点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE.连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）−sin245°．19.计算：tan60°+2cos30°+cot45°2sin30∘20. 如图，已知△ABC 中，DE//BC ，AD =2，DB =4，AC =8．(1)求线段AE 的长；(2)设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ．①请直接写出向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分解式，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ； ②联结BE ，在图中作出向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在a ⃗ 、b ⃗ 方向上的分向量．[可以不写作法，但必须写出结论]21. 如图，已知⊙O 的半径为√2，在⊙O 中，OA 、OB 是圆的半径，且OA ⊥OB ，点C 在线段AB 的延长线上，且OC =AB ．(1)求线段BC 的长；(2)求∠BOC 的正弦值．22.为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理.如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．(1)B、P两处间的距离为______ 海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是______ 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它______ [填“能”或“不能”]到达Q处；(2)如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23.已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED=∠ABC，联结BE、CD相交于点F．(1)求证：∠ABE=∠ACD；(2)如果ED=EC，求证：DF2BD2=EFEB．24.如图，已知对称轴为直线x=−1的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(1,0)．(1)求点B的坐标及抛物线的表达式；(2)记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；(3)在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．25.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．(1)求证：△ADP∼△EDQ；(2)设AP=x，BQ=y.求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；(3)联结PQ，交线段ED于点F.当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、 ab =cd⇒ad=bc，符合题意；B、 ac =db⇒ab=cd，不符合题意；C、 bc =da⇒ab=cd，不符合题意；D、bd =ca⇒ab=cd，不符合题意．故选：A．根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．2.【答案】B【解析】解：如图，∵点G是△ABC的重心，∴AD为BC边上的中线，∴BD=CD，BC=2BD，所以A、D选项的说法正确；∵点G是△ABC的重心，∴AG=2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确．故选：B．根据三角形重心的定义可判断AD为BC边上的中线，则可对A、D选项进行判断；根据三角形重心的性质可对B、C选项进行判断．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．3.【答案】D【解析】解：A、向量a⃗与b⃗ 方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B、当向量a⃗与b⃗ 方向相反时，a⃗+b⃗ =0⃗，故本选项不符合题意．C、当向量a⃗与b⃗ 方向相同时，a⃗−b⃗ =0⃗，故本选项不符合题意．D、由题意知，|a⃗|+|b⃗ |=2，故本选项符合题意．故选：D．根据平面向量的性质进行一一分析判断．本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．4.【答案】A【解析】解：在△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴sinA=BCAB =610=35，故选：A．由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，理解锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=a(x−k)2+k的顶点坐标为(k,k)，∴顶点坐标满足直线y=x，故顶点总在直线y=x上，故选：C．已知抛物线解析式为顶点式，可求出顶点坐标，再确定顶点所在的直线解析式．本题考查了抛物线的顶点坐标的求法以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的√2倍，所以OA=√2OC，即OCOA =√22，在直角△AOC中，sin∠AOC=OCOA =√22，∴∠AOC=45°，∴∠AOB =90°，则正多边形边数是：360°90∘=4．故选：B ．设AB 是正多边形的一边，OC ⊥AB ，在直角△AOC 中，利用三角函数求得∠AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数． 本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质． 7.【答案】23【解析】解：由题意，设x =5k ，y =3k ，∴x−y y =5k−3k 3k=23． 故答案为23．根据题意，设x =5k ，y =3k ，代入即可求得x−y y 的值．本题考查了比例的基本性质，是基础题．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．8.【答案】(3√5−3)cm【解析】解：∵线段AB =6cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ， ∴AC =√5−12AB =√5−12×6=(3√5−3)cm ，故答案为：(3√5−3)cm ．根据黄金分割的概念得到AC =√5−12AB ，把AB =6cm 代入计算即可． 本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12倍．9.【答案】1：16【解析】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴两三角形的相似比为1：4，∴两三角形的面积比为1：16．故答案为：1：16．根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．10.【答案】8a⃗−b⃗【解析】解：原式=2a⃗−4b⃗ +6a⃗+3b⃗ =8a⃗−b⃗ ．故答案是：8a⃗−b⃗ ．利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．本题主要考查了平面向量的计算，注意：实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．11.【答案】4【解析】解：∵斜坡的坡度i=铅垂高度水平宽度=1：3，水平宽度为12米，∴铅垂高度=13×水平宽度=13×12=4(米)，故答案为：4．直接利用坡度的定义进行解答即可．本题考查了解直角三角形的应用−坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．12.【答案】45【解析】解：过A作AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°，∵sinB=ADAB =45，AB=5，∴AD=4，由勾股定理得：BD=√AB2−AD2=√52−42=3，∵BC=7，∴CD=BC−BD=7−3=4，∴AD=CD，∴∠C=∠CAD=45°，故答案为：45．过A作AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°，解直角三角形求出AD和BD，求出CD=AD= 4，再求出答案即可．本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解直角三角形和勾股定理等知识点，能求出AD的长度是解此题的关键．13.【答案】(0,−5)【解析】解：∵y=2x2+4x−5，∴当x=0时，y=−5，故答案为：(0,−5)．根据题目中的函数解析式，令x=0，求出相应的y的值，即可解答本题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．14.【答案】y=(x+1)2+1【解析】解：将抛物线y=(x−1)2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y=(x−1+2)2+1，即y=(x+1)2+1．故答案为y=(x+1)2+1．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．15.【答案】(3,0)【解析】解：∵P点坐标为(1,y)，∴C点坐标为(1,0)，∵AC=1−(−1)=2，∴BC=AC=2，∴OB=2+1=3，∴B(3,0)．故答案为：(3,0)．利用垂径定理，根据P点坐标，求出C点坐标，从而求出B点坐标．本题考查了垂径定理和坐标与图形，知道AC=BC是解题的关键步骤．16.【答案】3【解析】解：设大圆半径为x 厘米，小圆的半径为y 厘米，∵两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，∴{x +y =5x −y =1， 解得x =3，∴大圆半径为3厘米，故答案为3．根据两圆位置关系是内切，则圆心距=两圆半径之差，外切，则圆心距=两圆半径之和，列出方程组，解方程组即可．此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距=两圆半径之差，外切时，r +R =d ．17.【答案】2√5【解析】解，如图，作CH ⊥AD 于H ．∵AC 2=DA ⋅DC 时∵DH =CD ⋅cos∠D ，CH =CD ⋅sin∠D ，AH =AD −CD ⋅cos∠D ，∴AC 2=AH 2+CH 2=(AD −CD ⋅cos∠D)2+(CD ⋅sin∠D)2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos∠D=AD 2+CD 2−AD ⋅CD ，∵AC 2=AD ⋅CD ，∴AD 2−2AD ⋅CD +CD 2=0，∴(AD −CD)2=0，∴AD =CD ，∵∠D =60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴AD =AC =√AB 2+BC 2=√22+42=2√5．故答案为：2√5．如图，作CH⊥AD于H.想办法证明△ACD是等边三角形，即可解决问题．本题考查解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACD是等边三角形，属于中考常考题型．18.【答案】2√6【解析】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B=45°，AB=4√2，∴AM=BM=AB⋅sin∠B=4，在Rt△ACM中，AM=4，∠C=60°，∴AC=AMsin∠C =4sin60∘=8√33，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC=90°，由折叠得∠AED=∠A′ED=12(180°−90°)=45°，AA′⊥DE，∵∠AED=45°=∠B，∠DAE=∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AEAB =ADAC，∵点D为线段AB的中点，∴AD=BD=12AB=2√2，∴AE4√2=2√28√33，∴AE=2√3，在Rt△AEF中，AF=EF=AE⋅sin∠AED=2√3×√22=√6，∴AA′=2AF=2√6，故答案为：2√6．画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM=BM=4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．19.【答案】解：原式=√3+2×√32+12×12−(√22)2=√3+√3+1−1 2=2√3+12． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】−13a⃗ +13b ⃗【解析】解：(1)∵DE//BC ，∴AD AB =AE AC ，∴22+4=AE8， ∴AE =83．(2)①∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ ，∵AE =13AC ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +13b ⃗ ． 故答案为：−13a⃗ +13b ⃗ ． ②向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在a ⃗ 、b ⃗ 方向上的分向量分别为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ：如图所示：(1)根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．(2)①利用三角形法则求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据AE =13AC ，求解即可． ②利用平行四边形法则画出图形即可．本题考查作图−复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21.【答案】解：(1)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴AB=OC=2，OD=BD=1，∴∠C=30°，∴CD=√3，∴BC=√3−1；(2)如图，过点B作BE⊥OC于点E，∵∠C=30°，∴BE=12BC，∴sin∠BOC=BEOB =12BCOB=√3−12√2=√6−√24．【解析】(1)过点O作OD⊥AB于点D，根据已知条件可得∠C=30°，进而可得结论；(2)过点B作BE⊥OC于点E，根据锐角三角函数定义即可求出结果．本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三角形．22.【答案】14 等边能【解析】解：(1)如图1所示：由题意得：AB=28×12=14(海里)，∠PAB=90°−60°=30°，∠ABP=90°+30°=120°，∴∠APB=180°−∠PAB−∠ABP=30°，∴∠APB=∠PAB，∴PB=AB=14(海里)，∵BC//PD，∴∠BPD=∠PBC=30°，∴∠BPQ=∠BPD+∠QPD=30°+30°=60°，∵PQ=PB=14，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PBQ=60°，∴∠PBQ+∠ABP=60°+120°=180°，∴A、B、Q三点共线，∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，故答案为：14，等边，能；(2)过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：由(1)得：∠PBH=60°，在Rt△BHP中，PH=tan60°×PB=√32×14=7√3，∵7√3>12，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．(1)先由题意得AB=14(海里)，∠PAB=30°，∠ABP=120°，再由三角形内角和定理得∠APB=30°=∠PAB，则PB=AB=14(海里)，然后证△BPQ是等边三角形，进而得A、B、Q三点共线，即可得出结论(2)过点P作PH⊥AB于H，由(1)得∠PBH=60°，再求出PH=7√3，然后由7√3>12即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数的概念和等边三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AEAD =ABAC，∵∠A=∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE=∠ACD；(2)证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，∴∠EDC=∠EBD，∵∠DEF=∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴DFBD =EFDE=DEBE，(DF BD )2=EFDE⋅DEBE，∴DF 2BD 2=EF EB ．【解析】(1)根据已知条件证明△ADE∽△ACB ，可得AE AD =AB AC ，根据∠A =∠A ，证明△ADC∽△AEB ，即可得结论；(2)根据已知条件证明△EDF∽△EBD ，可得DF BD =EF DE =DE BE ，进而可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24.【答案】解：(1)由题意，{a +b +3=0−b 2a=−1， 解得{a =−1b =−2， ∴抛物线的解析式y =−x 2−2x +3，令y =0，则−x 2−2x =3=0，解得x =1或−3，∴B(−3,0)．(2)如图1中，过点P′作P′H ⊥PQ 于H ．∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴顶点P(−1,4)，∵B(−3,0)，C(0,3)，∴直线BC 的解析式为y =x +3，∵PQ//y 轴，∴Q(−1,2)，∴PQ =2，在Rt △P′QH 中，∠P′HQ =90°，∠P′QH =180°−120°=60°，P′Q =PQ =2， ∴PH =P′Q ⋅sin60′=√3，PH =P′Q ⋅cos60°=1，∴P′(√3−1,1)，当x =√3−1时，y =−(√3−1)2−2(√3−1)+3=1，∴点P′在抛物线上．(3)存在．如图2中，连接PB，PC．∵B(−3,0)，P(−1,4)，C(0,3)，∴BC=3√2，PC=√2，PB=2√5，∴PB2=PC2+CB2，∴∠PCB=90°，PC：BC=√2：3√2=1：3，当MO：OC=1：3或OC：MO=1：3时，△COM与△BCP相似，∴OM=1或9，∴满足条件的点M的坐标为(1,0)或(−1,0)或(9,0)或(−9,0)．【解析】(1)构建方程组求解即可．(2)如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H.求出点P′的坐标，即可判断．(3)首先证明∠CBP=90°，由PC：BC=1：3，推出OM：OC=1：3或OC：OM=1：3，推出OM=1或9，由此即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠DEQ+∠B=90°，∴∠A=∠DEQ，又∵PD⊥QD，∴∠PDQ=90°，∴∠EDQ+∠PDE=∠ADP+∠PDE=90°，∴∠EDQ=∠ADP，∴△ADP∽△EDQ；(2)解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√62+82=10，∵点D为斜边AB的中点，∴AD=BD=12AB=5，∵∠EDB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△EDB∽△ACB，∴EDAC =EBAB=BDBC，即ED6=EB10=58，解得：ED=154，EB=254，由(1)得：△ADP∽△EDQ，∴APEQ =ADED，即xEQ =5154=43，解得：EQ=34x，∴BQ=BE−EQ=254−34x，即y=254−34x，∵AP≥0，∴x≥0，∵BQ≥0，∴254−34x≥0，∴x≤253，∴y=254−34x(0≤x≤253)；(3)解：由(1)得：△ADP∼△EDQ，∴EQAP =EDAD=EDBD，∵PD⊥QD，∴∠PDQ=90°，∴tan∠QPD =DQ DP =ED AD =ED BD =tanB ， ∴∠QPD =∠B ， 又∵∠PDQ =∠BDE =90°，∴∠PDF =∠BDQ ，∴△PDF∽△BDQ ，∴△PDF 为等腰三角形时，△BDQ 也为等腰三角形，①若DQ =BQ ，过Q 作QG ⊥BD 于G ，如图所示：则DG =BG =12BD =52，∵cosB =BG BQ =BC AB =810=45， ∴52254−34x =45，解得：x =256， 即AP =256；②若BQ =BD ，则254−34x =5，解得：x =53，即AP =53；③若DQ =DB ，则∠B =∠DQB ，∵∠B +∠DQB +∠BDQ =2∠B +∠BDQ <180°，此种情况舍去；综上所述，当△PDF 为等腰三角形时，线段AP 的长为256或53．【解析】(1)证∠A =∠DEQ ，∠EDQ =∠ADP ，即可得出△ADP∽△EDQ ；(2)证△EDB∽△ACB ，求出ED =154，EB =254，由(1)得：△ADP∽△EDQ ，得AP EQ =AD ED ，解得：EQ =34x ，进而得出结论；(3)证tan∠QPD =DQ DP =ED AD =EDBD =tanB ，得∠QPD =∠B ，再证△PDF∽△BDQ ，得△PDF为等腰三角形时，△BDQ 也为等腰三角形，再分三种情况：①若DQ =BQ ，②BQ =BD ，③DQ =DB ，分别求解即可．本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．第21页，共21页。
上海市崇明县2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市崇明县2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（）元．A．+4 B．﹣9 C．﹣4 D．+92．下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）3．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（）A．B．C．D．4．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC 的度数为（）A．125°B．75°C．65°D．55°5．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形7．已知关于x的不等式组217x ax-<⎧⎨-≥⎩至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（）A．4个B．5个C．6个D．7个8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°9．平面上直线a 、c 与b 相交(数据如图)，当直线c 绕点O 旋转某一角度时与a 平行，则旋转的最小度数是( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°10．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y=（x+2）2﹣5 B ．y=（x+2）2+5 C ．y=（x ﹣2）2﹣5 D ．y=（x ﹣2）2+511．已知二次函数2()y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足13x -剟时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为（ ）A ．1或5B ．5-或3C ．3-或1D ．3-或512．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将»BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2233π-B ．2233π-C ．233π-D ．233π- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：2cos60°－38+(5－π)°=____________.14．已知，如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，若EG ＝3，则AC ＝ ．15．如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离是_____海里（不近似计算）．16．若2x+y=2，则4x+1+2y 的值是_______．17．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 18．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）若两个不重合的二次函数图象关于y 轴对称，则称这两个二次函数为“关于y 轴对称的二次函数”.（1）请写出两个“关于y 轴对称的二次函数”；（2）已知两个二次函数21y ax bx c =++和22y mx nx p =++是“关于y 轴对称的二次函数”，求函数12y y +的顶点坐标（用含,,a b c 的式子表示）.20．（6分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.21．（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；22．（8分）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角顶点在BC 边上，BP＝1．①特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则PAPD＝．②类比探究：如图2，将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转．在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半径为1，点E是⊙A上一动点，CF⊥CE交AD于点F．请直接写出当△AEB为直角三角形时ECFC的值．23．（8分）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为¶AB，P是半径OB上一动点，Q是¶AB上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求¶BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1．sin∠A=45，点D是BC的中点，点P是AB上一动点（不与点B重合），延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC．（1）求证；四边形PBEC是平行四边形；（2）填空：①当AP的值为时，四边形PBEC是矩形；②当AP的值为时，四边形PBEC是菱形．25．（10分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？26．（12分）如图，已知△ABC，请用尺规作图，使得圆心到△ABC各边距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．27．（12分）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数.【详解】收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元【点睛】本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键.2．B【解析】【分析】根据三视图的定义即可解答．【详解】正方体的三视图都是正方形，故（1）不符合题意；圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故（2）符合题意；圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故（3）符合题意；三棱锥主视图是、左视图是，俯视图是三角形，故（4）不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.3．A【解析】试题分析：由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，综上所知这个几何体是圆柱．故选A．考点：由三视图判断几何体．4．D【解析】【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．【详解】延长CB，延长CB，∵AD∥CB,∴∠1=∠ADE=145，∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.5．A【解析】∵∆=12-4×1×（-2）=9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.6．C【解析】由题意得，180°(n-2)=120°n ,解得n=6.故选C.7．A【解析】【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．【详解】解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a的取值范围是5＜a＜10，∴a的整数解有4个，故选：A．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．D【解析】【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．9．C【解析】【分析】先根据平角的定义求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠1＝180°﹣100°＝80°，a ∥c ，∴∠α＝180°﹣80°﹣60°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．10．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．11．D【解析】【分析】由解析式可知该函数在x h =时取得最小值0，抛物线开口向上，当x h >时，y 随x 的增大而增大；当x h<时，y 随x 的增大而减小；根据13x -≤≤时，函数的最小值为4可分如下三种情况：①若13h x <-≤≤，1x =-时，y 取得最小值4；②若-1＜h ＜3时，当x=h 时，y 取得最小值为0，不是4；③若13x h -≤≤<，当x=3时，y 取得最小值4，分别列出关于h 的方程求解即可．【详解】解：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x h <时，y 随x 的增大而减小，并且抛物线开口向上， ∴①若13h x <-≤≤，当1x =-时，y 取得最小值4，可得：24(1)h =--4，解得3h =-或1h =（舍去）；②若-1＜h ＜3时，当x=h 时，y 取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去；③若-1≤x≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值4，可得：24(3)h =-，解得：h=5或h=1（舍）．综上所述，h 的值为-3或5，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 12．B【解析】【分析】阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：由旋转可知AD=BD ，∵∠ACB=90°∴CD=BD ，∵CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=∠CBD=60°，∴，∴阴影部分的面积×2÷2−2602360π⨯23π. 故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与扇形面积的计算.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】解：原式=12212⨯-+=1－2+1=1．故答案为1．14．1【解析】试题分析：根据DE∥FG∥BC可得△ADE∽△AFG∽ABC，根据题意可得EG：AC=DF：AB=2:6=1:3，根据EG=3，则AC=1．考点：三角形相似的应用．15．63【解析】试题分析：过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．解：过S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=1．Rt△BCS中，BS=1，∠SBC=60°，∴33（海里）．即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是3海里．故答案为：316．1【解析】分析：将原式化简成2(2x+y)+1，然后利用整体代入的思想进行求解得出答案．详解：原式=2(2x+y)+1=2×2+1=1．点睛：本题主要考查的是整体思想求解，属于基础题型．找到整体是解题的关键．17．150o【解析】【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ，65180n ππ⨯∴=， 解得：150n =故答案为150o ．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积18．13【解析】【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形， 所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是3193==， 故答案为13． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比=几何概率．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）任意写出两个符合题意的答案，如：2243,43y x x y x x =-+=++；（2）21222y y ax c +=+，顶点坐标为()0,2c【解析】【分析】（1）根据关于y 轴对称的二次函数的特点，只要两个函数的顶点坐标根据y 轴对称即可；（2）根据函数的特点得出a=m ，-2b a -2n m =0，224444ac b mp n a m--= ，进一步得出m=a ，n=-b ，p=c ，从而得到y 1+y 2=2ax 2+2c ，根据关系式即可得到顶点坐标．【详解】解：（1）答案不唯一，如2243,43y x x y x x =-+=++；（2）∵y 1=ax 2+bx+c 和y 2=mx 2+nx+p 是“关于y 轴对称的二次函数”，即a=m ，-2b a -2n m =0，224444ac b mp n a m--=， 整理得m=a ，n=-b ，p=c ，则y 1+y 2=ax 2+bx+c+ax 2-bx+c=2ax 2+2c ，∴函数y 1+y 2的顶点坐标为（0，2c ）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键．20．（1）3，补图详见解析；（2）712 【解析】【分析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，故该班团员人数为：325%12÷=（人）， 则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.（2）画树形图如下：由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为712P =. 【点睛】 此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键21． (1)1;(2)16 【解析】【分析】 （1）设口袋中黄球的个数为x 个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为12和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x 个， 根据题意得：21212x =++ 解得：x =1经检验：x =1是原分式方程的解∴口袋中黄球的个数为1个 （2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况∴两次摸出都是红球的概率为：21126=. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．22． (1) ①特殊情形：12；②类比探究: 12PE PF = 是定值，理由见解析;(2) EC 4FC =或314+ 【解析】【分析】（1）证明Rt ABP Rt CDP V V ∽，即可求解；（2）点E 与点B 重合时，四边形EBFA 为矩形，即可求解；（3）分AEB 90∠︒＝时、EAB 90∠︒＝时，两种情况分别求解即可．【详解】解：（1）APB DPC 90DPC PDC 90Q ＝，＝∠∠∠∠+︒+︒，APB PDC ∠∠∴＝，Rt ABP Rt CDP ∴V V∽，21512PA ABPD CP∴===-，故答案为12；（2）点E与点B重合时，四边形EBFA为矩形，则PE1PF2=为定值；（3）①当AEB90∠︒＝时，如图3，过点E、F分别作直线BC的垂线交于点G，H，由（1）知：ECB CFHα＝＝∠∠，AB2AE1ABE30∠︒＝，＝，则＝，EB ABcos303︒则＝＝，3cos602GB EB︒==，同理32EG=，322cos cos2GCECFH ABαα+====.则FH2cos cosFCαα==，则314ECFC=+；②当EAB90∠︒＝时，如图4，GB EA1EG FH AB2＝＝，＝＝＝，则BE GC 3＝，EC ==，EG 2tan tanGC 3EGC α∠===，则cos α=FH cos 4FC α==， 则4EC FC= ，故EC 4FC =或14+ ． 【点睛】本题考查的圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形的基本知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．23．（1）90︒；（2）103π；（3）25100π- 【解析】【分析】（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；（2）先判断出∠POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt △B'OP 中，OP 2+210) ＝2( 10 - O P ) ，解得OP ＝10- ，最后用面积的和差即可得出结论．【详解】解：（1）∵P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ ＝90°，PQ ＝=，故答案为：90°， ；（2）解：如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP ＝12OB ＝12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ ＝90°在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP ＝OP 12=OQ ， ∴∠QOP ＝60°，∴l BQ 6010101803ππ=⨯= ； （3）由折叠的性质可得，,102''===BP B P AB AB ， 在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210)- ＝2( 10 - O P ) ,解得OP ＝10210-，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S △AOP ＝290110210(10210)2510021003602ππ⨯-⨯⨯⨯-=-+.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键． 24．证明见解析；（2）①9；②12.5.【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；（2）①若四边形PBEC 是矩形，则∠APC=90°，求得AP 即可；②若四边形PBEC 是菱形，则CP=PB ，求得AP 即可．【详解】∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD ．∵DE=PD ，∴四边形PBEC 是平行四边形；（2）①当∠APC=90°时，四边形PBEC 是矩形．∵AC=1．sin ∠A=45，∴PC=12，由勾股定理得：AP=9，∴当AP 的值为9时，四边形PBEC 是矩形； ②在△ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=1．sin ∠A=45，所以设BC=4x ，AB=5x ，则（4x ）2+12=（5x ）2，解得：x=5，∴AB=5x=2．当PC=PB 时，四边形PBEC 是菱形，此时点P 为AB 的中点，所以AP=12.5，∴当AP 的值为12.5时，四边形PBEC 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、矩形的判定，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．25．（1）120，补图见解析；（2）96；（3）960人.【解析】【分析】（1）由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可；（2）求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；（3）求出达标占的百分比，乘以1200即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：24÷20%=120（人），则“优秀”人数为120﹣（24+36）=60（人），“一般”占的百分比为36120×100%=30%，补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：36+60=96（人），则达标的人数为96人；（3）根据题意得：96120×1200=960（人），则全校达标的学生有960人．故答案为（1）120；（2）96人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26．见解析【解析】【分析】分别作∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点O满足条件．【详解】解：如图，点O为所作．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．27．（1）2400个， 10天；（2）1人．【解析】【分析】（1）设原计划每天生产零件x 个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程240002400030030x x +=+，解出x 即为原计划每天生产的零件个数，再代入24000x即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y 人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000，解得y 的值即为原计划安排的工人人数． 【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x 个，由题意得，240002400030030x x +=+， 解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．（2）设原计划安排的工人人数为y 人，由题意得，[5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=1．经检验，y=1是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为1人．【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．。
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x … 1 0 1 2 … y… 0 343…
14. 一个正五边形的中心角的度数为 ▲ 度． 15. 两圆的半径之比为 3︰1，当它们外切时，圆心距为 4，那么当它们内切时，圆心距为 ▲ ． 16. 如果梯形两底分别为 4 和 6，高为 2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离
是▲．
17. 如图，在△ABC 中， AC AB ，点 D 在 BC 上，且 BD BA ，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，点 F 是 AC 的中点，联结 EF．如果四边形 DCFE 和 △BDE 的面积都为 3，那么 △ABC 的面积为 ▲ ．
3
18. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C 90 ， AB 10 ， AC 8 ，点 D 是 AC 的中点，点 E 在边 AB
上，将 △ADE 沿 DE 翻折，使得点 A 落在点 A 处，当 AE AB 时，那么 AA 的长为
▲．
A
B
E
F
B
D
C
CD
·
A
(第 17 题图)
(第 18 题图)
(A) a ∥b ；
3 (B) a 2 b ；
(C) a 与 b 方向相同； (D) a 与 b 方向相反．
5. 如图，在 5 5 正方形网格中，一条圆弧经过 A、B、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 （ ▲）
(A) 点 P；
(B) 点 Q；
(C) 点 R；
(D) 点 M．
A
A
B
··
1
C
9. 如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50°和 60°，那么另一个三角形的 最大角为 ▲ 度．
10. 小杰沿坡比为 1︰2.4 的ft坡向上走了 130 米．那么他沿着垂直方向升高了 ▲ 米． 11. 在某一时刻，测得一根高为 1.8 米的竹竿影长为 3 米，同时同地测得一栋楼的影长为 90 米，
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列各组图形一定相似的是（ ▲ ）
(A) 两个菱形；
(B) 两个矩形；(C) 源自个直角梯形； (D) 两个正方形．
2. 在 Rt△ABC 中， ∠C 90 ，如果 AC 8 ， BC 6 ，那么∠B 的余切值为（ ▲ ）
那么这栋楼的高度为 ▲ 米．
12. 如果将抛物线 y x2 2x 1 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么所得的新抛 物线的顶点坐标为 ▲ ．
13. 如果二次函数 y ax2 bx c 图像上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示， 那么它的图像与 x 轴的另一个交点坐标是 ▲ ．
AB b ．
（1） 试用 a 、 b 的式子表示向量 AO ；
A
D
（2） 在图中作出向量 DO 在 a 、 b 方向上的分向量，
O
并写出结论．
4
B
C
(第 20 题图)
21．（本题满分 10 分，第(1)小题 5 分，第(2)小题 5 分） 如图，AC 是 O 的直径，弦 BD AO 于点 E，联结 BC，过点 O 作 OF BC 于点 F，
· · ··
PQR
M·
(第 5 题图)
D E
N
B
C
M
(第 6 题图)
6. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB 和 AC 边上且 DE ∥ BC ，点 M 为 BC 边上一点 （不与点 B、C 重合），联结 AM 交 DE 于点 N，下列比例式一定成立的是（ ▲ ）
(A) AD AN ； AN AE
崇明区 2019 学年第一学期教学质量调研测试卷 九年级数学
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟）
考生注意：
1. 本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算 的主要步骤．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： tan2 60 cot 60 2 tan 30 sin2 45 ． 2sin 30
20．（本题满分 10 分，第(1)小题 5 分，第(2)小题 5 分）
如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， BC 2 AD ，对角线 AC、BD 相交于点 O，设 AD a ，
(B) DN BM ； NE CM
(C) DN AE ； BM EC
(D) DN NE ． MC BM
2
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 已知 x 2 ，那么 x y ▲ ．
y3
x
8. 已知线段 AB 8 cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2 BC AB ，那么线段 AC 的长 ▲ cm．
BD 8 ， AE 2 ． 1 求 O 的半径； 2 求 OF 的长度．
5
22．（本题满分 10 分，第(1)小题５分，第(2)小题５分） 如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆
BC、CD 与 AB 始终在同一平面上． （1） 转动连杆 BC，CD，使∠BCD 成平角， ∠ABC 150 ，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l
的
高度 DE ．
（2） 将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图 3，当∠BCD 150 时 台灯光线最佳．求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？
D
·
C
·
D
· ·C
·B
l
E
A
(图 2)
·
B
·l
A
(图 3)
(第 22 题图)
23．（本题满分 12 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 6 分） 如图， △ABC 中， AD BC ，E 是 AD 边上一点，联结 BE，过点 D 作 DF BE ，垂足
(A) 3 ； 4
(B) 4 ； 3
(C) 3 ； 5
3．抛物线 y 3(x 1)2 2 的顶点坐标是（ ▲ ）
(D) 4 ． 5
(A) (1, 2)；
(B) (1,2)；
(C) (1, 2) ；
(D) (1, 2)．
4. 已知 c 为非零向量， a 3c ， b 2c ，那么下列结论中错误的是（ ▲ ）