函数及其图象经点答疑(三)

函数及其图象经点答疑（三）16．正比例、正比例关系与正比列函数有哪些联系与区别？在小学算术里我们曾经学习过，两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果其中的一种量扩大多少倍，另一种量也扩大相同的倍数；一种量缩小多少倍，另一种量也缩小相同的倍数，那么，这两种量就叫做成正比例，它们之间的关系叫做正比例关系．写成式子是kxy(一定)．例如，在速度不变的条件下，时间和路程是成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系．这就是两个量成正比例与正比例关系的联系与区别．正比例函数y＝kx（k是一个不等于零的常数）中的变量x与y是两个相关的量，而且符合两个量成正比例的定义．因此，变量x与y是成正比例的，它们之间的关系叫做正比例关系．反之，如果有相互关联的两个成正比例的量x与y，那么x与y之间必然有y＝kx（k≠0）的关系成立．但是，正比例函数y＝kx是在实数范围内讨论的，所以变量x与y的取值范围均为一切实数．而成正比例和正比例关系是在小学所学习的数的范围内进行研究的．因此，只有把y＝kx中的x与y的取值范围限制为正有理数时，正比例函数y＝kx中的变量x与y和算术中成正比关系的两个相关联的量才真正是一致的．综上所述，正比例函数是正比例关系的推广，算术中的正比例关系是正比例函数的特殊情况．所谓推广就是把取值范围由小学中的数推广到了实数．所谓特殊情况就是把实数范围内取值限定在正有理数范围内取值．但是，两种量成正比例时，必须同时满足两个条件：（1）两个量是相关联的，即其中一个量随另一个量的变化而变化；（2）相对应的两个数的比值是一个定值．因此，在正比例函数y＝kx的定义中必须明确规定：k≠0．否则，x取任何值时，y的值永远等于零，不发生任何变化．或者说，不符合上述第一个条件．这是讨论成正比例、正比例关系与正比例函数的联系与区别时，不可忽视的问题．17．怎样理解一次函数的不定义？理解此定义应注意以下几点：（1）解析式的等号右边“kx＋b”是自变量x的一次式，即x的次数必须是1．（2）不论x取任何实数，y＝kx＋b（k≠0）都有意义．故自变量的取值范围是全体实数；与函数自变量x相对应的函数值y的范围也是全体实数．（3）限制条件“k，b是常数，是k≠0”不能忽视．（4）当是＝0时，y＝0·x＋b，即y＝b．①此时x不论取何值时，对应的y值总是常数b，故称y＝b为常数函数．②常数函数y＝b，不是含x的一次式，故不是一次函数．这也是为什么在一次函数定义中限制k≠0的原因．（5）不能把常数b和k的限制条件等同起来．k是取除零外的一切实数；b是取全体实数，当然可以取零．①当b≠O时，函数y＝kx＋b（k是常数，k≠O）是一次函数．②当b＝0时，函数y＝kx（k是常数，k≠0）是正比例函数．（6）一次函数与正比例函数的关系：①正比例函数解析式中的“kx”是x 的一次式，故正比例函数一定是一次函数．正比例函数是一次函数当b ＝0时的特殊情况．②一次函数不一定是正比例函数，当b≠0时，如y ＝－x ＋1就不是正比例函数．（7）注意对定义的逆向理解：如果一个函数的解析式是y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k≠0）的形式，那么这个函数就是一次函数．18．怎样理解正比例函数的性质？正比例函数y ＝kx 具有下列性质：（1）正比例函数y ＝kx 的图象是一条经过点（0，0）和点（1，k ）的直线．（2）当k>0时，它的图象在第一、三象限内，y 随x 的增大而增大；当k<0时，它的图象在第二、四象限内，y 随x 的增大而减小．在解析式y ＝kx 中，令x ＝0得y ＝0；令x ＝1，y ＝k ，所以点（0，0）和点（1，k ）在正比例函数的图象上．为什么当k>0时，直线y ＝kx 一定在第一、三象限呢?因在解析式y ＝kx 中，当k>0时，变量x 与y 具有相同的符号．如果x>0，y>0，则直线y ＝kx 上的点P （x ，y ）在第一象限；如果x<0，y<0，则直线y ＝kx 上的点P （x ，y ）在第三象限．因此直线y ＝kx 在第一、三象限．关于“y 随x 的增大而增大”，可以从以下两个方面说明：由于函数图象上的点的坐标必满足函数的解析式，得.kx y ,kx y 2211==∴当k>0时，y 随x 的增大而增大．另一方面，作出正比例函数y ＝kx （k>0）的图象，在图象上任取两点),y ,x (P ),y ,x (P 22211,x x 21<且从图象上可明显看出.y y 21<即当k>0时，y 随x 的增大而增大．用同样的方法，可以分析：当k<0时，直线y ＝kx 在第二、四象限内，y 随x 的增大而减小．正比例函数y ＝kx 还有这样一个性质：由于|k|的大小不同，直线对于x 轴的倾斜程度也不相同．|k|越小，直线越靠近x 轴；|k|越大，直线越离开x 轴．这是因为直线y ＝kx 的位置是由O （0，0）和A （1，k ）两点的位置决定的．在直线x ＝1上，A 点的位置与|k|的大小密切相关．|k|越小，A 点越靠近x 轴；|k|越大，A 点越远离x 轴，直线y ＝kx 越离开x轴．可见，比例系数k 的取值，对于正比例函数y ＝kx 的图象和性质起着决定性作用，影响着直线y ＝kx是上升还是下降，是靠近x 轴还是远离x 轴．19．怎样理解一次函数的图象和性质？（1）一次函数的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”可知，画一次函数的图象时，只要描出两点，再连成一条直线就可以了．作为一次函数特例的正比例函数，图象是经过原点（0，0）的一条直线．只要在原点外再描出一个点，把原点和所描出的另一点连成一条直线，就是正比例函数的图象．（2）一次函数y ＝kx ＋b 与正比例函数y ＝kx 图象间的关系：①当b ＝0时，两条直线重合；②当b≠O 时，两条直线平行．若b>0，则把正比例函数y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，就得到y ＝kx ＋b 的图象；若b<O ，则把正比例函数y ＝kx 的图象向下平移|b|，即－b 个单位，就得到y ＝kx ＋b 的图象．（3）一次函数y ＝kx ＋b 当k>0时，函数y 的值随自变量x 值的增大而增大．即对图象上任意两点.y y ,x x )y ,x (B ),y ,x (A 21212211<<恒有时当当k<0时，函数y 的值随自变量x 的增大而减小．即对图象上任意两点21212211y y ,x x ),y ,x (B ),y ,x (A ><恒有时当成立．（4）一次函数y ＝kx ＋b 的图象可大致归纳为以下几种情形：①当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限；反之，当图象经过第一、二、三象限时，有k>0，b>0．如图13—16①．②当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；反之，当图象经过第一、三、四象限时，有k>0，b<O ．如图13—16②．③当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；反之，当图象经过第一、二、四象限时，有k<0，b>0．如图13—16③．④当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限；反之，当图象经过第二、三、四象限时，有k<0，b<O ．如图13—16④．⑤当k>0，b ＝0时，图象经过原点及第一、三象限；反之，当图象经过原点及第一、三象限时，有k>0，b ＝0．如图13—16⑤．⑥当k<0，b ＝0时，图象经过原点及第二、四象限；反之，当图象经过原点及第二、四象限时，有中k<0，b ＝0．如图13—16⑥．其中⑤、⑥是一次函数为正比例函数的情形．（5）一次函数y ＝kx ＋b 的图象一定是一条直线，但是如若一个函数的图象是一条直线，则它不一定是一次函数．如在函数y ＝kx ＋b （k ，b 是常数）中，当k ＝0时，y ＝b 就是一条垂直于y 轴且到x 轴的距离等于|b|的一条直线．若b≠0，则这条直线与x 轴平行；若b ＝0，则这条直线与x 轴重合．显然，y ＝b 不是一次函数，而是一个常数函数．20．你能应用函数概念判断下列命题的真假吗?例 判断下列命题真假，并说明理由．（1）市内某路公共汽车共设19个车站．乘客乘坐公共汽车，不超过6站时，票价0.1元；超过6站而不超过12站时，票价0.2元；超过12站而不超过18站时，票价0.3元．所以票价是乘车站数的函数．.x y x x y )2(2表示相同的函数与函数==.x y |x |y )3(2表示相同的函数与函数== .x y x 11x y )4(的函数是中在等式-+-=（5）某工厂有一水池，容积1000公升，池内原有水400公升，今需继续注水．已知每分钟注入水20公升，则水池内的水量Q 与注水时间t 的函数解析式为Q ＝20t ＋400，自变量的取值范围是t≥0．（6）一次函数y ＝kx ＋b 的图象与y 轴的交点是P （0，b ），则点P 到原点的距离OP ＝b ．（7）某人的身高是年龄的函数．（8）在某块土地上种实验田，粮食的收获量不是施肥量的函数．这是因为，对施肥量的每一个确定的值，找不到一个解析式表示，通过它能惟一确定收获量．没有解析式就不能确定一个函数．思路启迪（1）正确．因为不论乘车到这18个站中的哪一站，都有惟一的车票价相对应，满足函数的定义．写出票价（y ）与乘车站数（x ）的函数关系式更是一目了然．)x (,18x 12,3.0,12x 6,2.0,6x 1,1.0y 是正整数时当时当时当⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧===,18,17,16,15,14,13x ,3.0,12,11,10,9,8,7x ,2.0,6,5,4,3,2,1,1.0y 时当时当时当即（2）不正确．因函数x x y 2=的自变量取值范围是x≠0的实数，而函数y ＝x 的自变量取值范围是全体实数，也就是说，两个函数的自变量取值范围不同，所以这两个函数不相同．一般来说，两个函数是同一函数时，它们的自变量的取值范围、对应函数值的范围及函数解析式都应分别相同．反映在图象上，两相同函数的图象应完全重合．（3）正确．因函数2x y |x |y ==与只是形式不同，实质上|,x |x2=所以两函数是相同的函数． （4）正确．由⎩⎨⎧≥-≥-01,01x x 得x=1，即自变量的取值范围内只有一个值1，而当x ＝1时，y ＝0．符合函数的定义．（5）不正确．这是因为水池容积有限，到一定的时间，将水池注满后，再继续注水就毫无意义了．所以应根据Q ＝20t ＋400表示的实际意义考虑．由400≤20t＋400≤1000，解得0≤t≤30，才是自变量t 的正确取值范围．（6）不正确．因b 是P 点的纵坐标，可取一切实数．当b<O 时，p 点到原点的距离OP≠b，所以正确的表示方法是OP ＝|b|．（7）正确．这是因为对于某人每一个确定的年龄，都会有惟一的身高数与之对应．满足函数的定义．（8）不正确，不是所有的函数关系都能用公式表示的．如气象站每隔一定时间观测某地的风向、风力与时间找不到一个解析式来表示，但并不影响它们之间存在函数关系．前面已谈过表示函数有三种方法，用函数解析式表示函数只是其中的一种方法，而不是惟一的方法．显然，没有解析式就不能确定一个函数的说法是错误的．21．一次小函数y ＝kx ＋b 有最大（小）值吗?因为一次函数y ＝kx ＋b 的自变量取值范围是一切实数，所以一次函数既没有最大值，也没有最小值． 但是，当自变量x 在某些范围内取值时，函数y ＝kx ＋b （k≠0，以下同）却存在最大（小）值．设a 、c 为常数．当a≤x≤c 时，函数y ＝kx ＋b 既有最大值又有最小值：若k>0，则函数的最大值是当x ＝c 时对应的函数y 的值，即;b kc y +=最大函数的最小值是当x ＝a 时对应的函数y 的值，即.b ka y +=最小若k<0，.b kc y ;b ka y +=+=最小最大则 例如，一次函数y ＝2x ＋4的自变量取值范围是一切实数，因此它既无最大值又无最小值．当－2≤x≤1时，－4≤2x≤2， ∴0≤2x＋4≤6，即0≤y≤6．此表明函数y ＝2x ＋4在－2≤x≤1范围内的最大值是6，最小值是0．在这k ＝2>0，最大y 恰是x ＝1时的函数值2×1＋4＝6，恰是最小y x ＝－2时的函数值2×（－2）＋4＝0． 当x≥a，或a≤x<c 时，若k>0，则函数y ＝kx ＋b 只有最小值，没有最大值，且;b ka y +=最小若k<0，则函数y ＝kx ＋b 只有最大值，没有最小值，且.b ka y +=最大 当x≤c，或a<x≤c 时，若是k>0，则函数y ＝kx ＋b 只有最大值，没有最小值，且;b kc y +=最大若k<0，则函数y ＝kx ＋b 只有最小值，没有最大值，且 综上可知，函数y ＝kx ＋b 有无最值，与自变量x 的取值范围是否包括端点有关；函数在自变量x 的取值范围的端点处达到最大值还是最小值，与k 的符号有关．关于上述结论，不必死记．求最值往往可以通过解一元一次不等式得到．例 在相距l 的A 、B 两个车库里，分别有21m ,m 辆汽车．现拟在A 、B 之间设一修理站以检修车辆．若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最少，修理站应设在何处?思路启迪设修理站到A 车库的距离为x ，则有,0l x ≤≤每辆车从A 车库到修理站的运费是kx （k>0），从B库到修理站的运费是()x k -l ，所以总运费是),(2221x l k m x k m y -⋅+⋅=即].)[(2221l m x m m k y +-=;2,0,0,0221l km y x m m k ==>->最小时取得函数最小值在时所以当因 ;2,1,0121l km y x m m ==<-最小时取得函数最小值在时当 .2,0221是一个常数函数函数时当l km y m m ==-综上，当21m m >时，修理站应设在A 车库； ;B ,,21车库修理站应设在时当m m <当21m m =时，修理站可设在线段AB 的任意一点上，因为此时修理站到A 车库的距离不影响总运费，即与总运费无关．22.怎样用待定系数法求函数的解析式?有些数学题，所求结果具有确定的结构，这时可以根据题意假设结果的结构式，再根据已知条件求出这个结构式中的未知数，使问题得以解决．其中待确定的系数叫做待定系数，这种解决问题的方法叫做待定系数法．待定系数法在因式分解、解方程、求函数解析式等许多数学问题中有着广泛的应用．例1 已知直线y ＝kx 经过（－2，3）点，求函数的解析式．思路启迪因为正比例函数y ＝kx 为确定的结构式；其中x ，y 是两个相关的变量，只有k 是一个待定的系数．所以，只需要一个独立的已知条件，便可以得到解决．规范解法 把点（－2，3）的坐标代入结构式y ＝kx ，得3＝－2k ．.23,-=k 得解之.x 23y ,kx y -==得代入 .x 23y -=故所求函数的解析式为例2 已知一次函数的图象经过（1，2）和（－1，－4）两点，求此函数的解析式．思路启迪因一次函数y ＝kx ＋b 为确定的结构式，所以可用待定系数法求得．规范解法 设一次函数为y ＝kx ＋b ，其中k ，b 为待定系数．把点（1，2）和（－1，－4）的坐标代入得⎩⎨⎧+-=-+=.b k 4,b k 2⎩⎨⎧=-=.3k ,1b 解得故所求一次函数的解析式为y ＝3x －1．例3 已知一次函数的图象与直线y ＝－2x 平行，且经过点（3，－1）．求一次函数的解析式．规范解法 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，其中k ，b 为待定系数．由一次函数的图象与直线y ＝－2x 平行，得k ＝－2．再把k ＝－2及点（3，－1）的坐标同时代入y ＝kx ＋b ，得－1＝（－2）×3＋b ．解得 b ＝5．故所求一次函数的解析式为y ＝－2x ＋5．从上述解法可以看出，一次函数的解析式y ＝kx ＋b 中有两个待确定的系数：k ，b ．所以，求一次函数的解析式需要两个独立的已知条件，列出两个方程，通过解方程组获解．一般地，利用待定系数法求函数的解析式，解析式中出现几个待定系数，就应该具备几个独立的已知条件．一般步骤是：（1）设：即确定函数解析式的结构；（2）列：即由已知条件列方程或方程组；（3）解：即解方程或方程组求出各待定系数的值；（4）代：即把求出的各值代人所设解析式．23．为什么要学习二次函数?在研究某一变化过程时，有时涉及到的两个变量间的函数关系，既不是正比例函数，也不是一次函数．例如，正方形的边长为x 厘米，它的面积是y 平方厘米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为.x y 2=又如，圆的半径是r 厘米，它的面积是A 平方厘米，那么变量A 与r 之间的函数关系式是.r A 2π= 再如，某农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量为y 台．如果月平均增长率为x ，那么变量y 与x 之间的函数关系式是.50x 100x 50y ,)x 1(50y 22++=+=即上面所列举的例题有一个共同的特点，就是在每一个函数关系中，等号右边的代数式都是自变量的二次式，这些函数都可以用关系式c bx axy 2++=来表示，这里a 是不等于零的实数，b ，c 是任意实数． 一般地，我们把形如c bx ax y 2++=（其中a ，b ，c 是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数． 二次函数的图象和性质在解一元二次方程、一元二次不等式，求极值等许多数学问题中都有着广泛的应用．例如，怎样在一定条件下，既要使所用的原材料和劳动力最少，又能使现有设备和人力发挥最大效率的问题，有些就需要用二次函数的知识予以解决．在日常生产和生活中有很大实用价值的太阳灶、聚光灯等的制造，也都是利用二次函数的图象和光学性质设计的．总之，二次函数是继正比例函数、一次函数后，又一种重要的函数，应努力学习和掌握．24．二次函数解析式的三种形式是什么?两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示．（1）一般式．我们把函数)0a (c bx ax y 2≠++=叫做二次函数的一般式．它是解决二次函数问题最基本，使用最广泛的一种形式．（2）顶点式．运用配方法，将二次函数的一般式作如下变形：.a 4b ac a 2b x a a 4b ac 4a 2b x a a c a 2b a 2b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 2222222222-4+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++= .a 4b ac 4a 2b x a y 22叫做二次函数的顶点式我们把-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 在解决与二次函数的顶点有关的问题时，顶点式突出了顶点坐标,a 4b ac 4,a 2b 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--使用起来比一般式显得简捷明快．（3）交点式．利用配方法，把二次函数的一般式变形为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222a 4ac 4b a 2b x a y应用平方差公式对右端进行因式分解，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a a 2ac 4b a 2b x a 2ac 4b a 2b x a y 2222,a 2ac 4b b ,x 0c bx ax 2212-±-==++的两根分别为因一元二次方程.0c bx ax x ,x ),x x )(x x (a y 22121的两个根是方程其中所以上式可写成=++--=因21x ,x 恰为此函数图象与x 轴两交点)0,x )()0,x (21、的横坐标，故我们把函数)x x )(x x (a y 21--=叫做函数的交点式．在解决与二次函数的图象和x 轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便．二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：.x ,x 0c bx ax 212的两根分别为设方程=++ ,a c x x ,a bx x 2121=-=+根据根与系数的关系.x x c a ),x x (a b2121=+-=有 [])x x )(x x (a x x x )x x (x a a c x a b x a cbx ax y 212121222--=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=∴ 25．怎样认识函数2x y =的图象是一条抛物线？（1）先用描点法画出函数2x y =的图象如图13－17所示，然后观察所画图象的形状特点，说明函数2x y =的图象是一条抛物线．（2）利用函数关系式2x y =中两个变量的对应关系，说明函数2x y =的图象是一条抛物线．首先，不论x 取任何实数，它的平方总是个非负数，即,0x y 2≥=且当x ＝0时，y ＝0．说明了函数2x y =的图象经过原点，除原点外都在x 轴的上方，函数的最小值是零．其次，由于,x )x (22=-说明当x 取两个互为相反的实数时，y 的对应值总是相等的，即于y 轴对称的点)y ,x ()y ,x (-和都在函数2x y =的图象上．又因为自变量的取值范围是一切实数，所以函数2x y =的图象关于y 轴对称．最后，当,x x ,0x x 222121>≤<时说明当x ≤0时，函数y 的值随x 的增大而减小；当,x x ,0x x 222121>≥>时说明当x ≥0时，函数y 的值随x 的增大而增大． 综上的，函数2x y =的图象是顶点在原点，以y 轴为对称轴且开口向下的一条抛物线．同理可以说明，函数2x y -=的图象是顶点在原点，以y 轴为对称轴且开口向下的的一条抛物线．（3）在平面解析同何里，把平面内到一个定点和一条定直线的距离等于定长的动点的集合叫做抛物线，它的标准方程是).0p (py 2x ),0p (px 2y 22>±=>±=或注 《平面解析几何》是高中课程，这里对抛物线的定义仅做简单介绍．26．函数22x y =与函数2x y =的两图象间有什么关系？例如，当x ＝±1时函数2x y =的对应值是1，而函数2x 2y =的对应值是2．点（－1，1）和点（1，1）在函数2x y =的图象上，点（－1，2）和（1，2）在2x 2y =的图象上．根据上述特点可知，函数2x 2y =的图象也是顶点在原点，以y 轴为对称轴，开口向上的一条抛物线，只是它的开口比2x y =所表示的抛物线开口小一些．一般地，二次函数2ax y =的图象是以原点为顶点，以y 轴对称轴的抛物线．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，并且|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口就越大．27．如何画二次函数cbx ax y ++=2的图象？ ?ax y )1(2的图象利用平移二次函数= 例如，要画函数212x 3x 21y 2++=的图象，首先利用配方法把原解析式变开为,2)3x (21y 2-+=然后在同一坐标系内用描点法分别画出函数和22)3x (21y ,x 21y +== 2)3x (21y 2-+=的图象，如图13－18．从图13－18中可以看出，把函数2x 21y =的图象向左平移3个单位，就得到2)3x (21y +=的图象．再把函数2)3x (21y +=的图象向下平移2个单位，就得到函数.212x 3x 21y ,2)3x (21y 22的图象即函数++=-+=一般地，二次函数c bx ax y 2++=配方后可变形为.a 4b ac 4a 2b x a y 22-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=它的图象可以这样得到：先画出2ax y =的图象，当0a2b>时，把2ax y =图象向左平移a 2b个单位；当0a 2b<时，把2ax y =的力图象向右平移|a 2b|个单位，得到2a 2b x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的图象．当a4bac 42>-时，再将2a 2b x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的图象向上平移abac 442-个单位；当0442<-ab ac 时，再将2a 2b x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的图象向下平移|a 4bac 4|2-个单位，就得到2a 2b x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,ac4b ac 42-+即二次函数c bx ax y 2++=的图象．所以，二次函数c bx ax y 2++=的图象与函数2ax y =的图象形状，开口方向，增减性等都是一样的，只是位置不同．用平移法画二次函数c bx axy 2++=的图象，是一种基本方法，但过程太繁琐，除用来说明二次函数c bx axy 2++=的图象是一条抛物线外，没有太大的实用价值．（2）明确了二次函数c bx ax y 2++=的图象是一条抛物线以后，最好先确定顶点坐标，然后再列表、描点、连线，避免出现因自变量取值不恰当（如下表），而画出像图13—19那样，不能全面真实反映函数性质的错误图象．若先确定函数212x 3x21y 2++=的顶点为（－3，－2），则应按下面列表方法列表，再描点、连线，就不至于出现图13－19的错误了．（3）最简便实用的方法是“五点法”画二次函数c bx ax y 2++=的图象．;a 4b ac 4,a 2b :,2⎪⎪⎭⎫⎝⎛--确定抛物线的顶点首先.a2b x )c ,0(y ,的对称点以及该点关于对称轴轴的交点确定抛物线与其次-=然后确定抛物线与x 轴的两交点)0,x )(0,x (21其中21x ,x 是一元二次方程c bc ax 2++0=的二根．最后，用一条平滑的曲线把这5个点连结起来就是二次函数c bx axy 2++=的图象．需要说明的是，上述取五点的方法只是一般情况下的取法．遇到特殊的情况，如b ＝0，c ＝0时，作2ax y =的图象，再用上述取法就得不到不同的五个点了．因此，用“五点法”画二次函数c bx axy 2++=的图象，广义的说法是首先确定这条抛物线的顶点,a 4b ac 4,a 2b 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--然后在这条抛物线对称轴a 2b x -=的两侧取两组不同的对称点．若这条抛物线与两坐标轴有交点且交点不与顶点重合时，对称点应首选这些点．总之，这五点应取对描述抛物线形状起关键作用的不同的五点，顶点是必取的．。