专题十一 二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何图形综合题(可编辑修改word版)
二次函数与几何图形综合题类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；1(2) F 是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE ＝，求点O 到直线AF 的距离；2(3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作PQ∥OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·昆明)如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O，A 两点，直线AC 交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以点A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2015·昆明西山区二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3 与x 轴交于A、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为 2.(1)求A、B、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3 二次函数与直角三角形的存在性问题1．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C 两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2015·自贡)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n 经过B、C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3．(2015·益阳)已知抛物线E1：y＝x2 经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B 关于y 轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m 的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P 为第一象限内的抛物线E1上与点A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E2相交于点P ′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．类型 4 二次函数与等腰三角形的存在性问题131．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0)，与y4轴的交点为B，过A、B 的直线为y2＝kx＋b. (1)求二次函数y1的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1 与抛物线交于A，C两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为－3.(1)求k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x 轴于A(－1，0)，B(5，0) 两点，与y 轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM 的面积；(3)连接AC，在x 轴上是否存在点P，使△ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5 二次函数与图形面积问题1．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K 点坐标．k2．(2015·云南二模)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)与双曲线y＝相交于点A、B，点A 的坐x标为(－2，2)，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC∥x 轴，直线BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1．(2015·昆明盘龙区一模)如图，对称轴为直线x＝2 的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x 轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当a＝1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2．(2013·玉溪)如图，顶点为A 的抛物线y＝a(x＋2)2－4 交x 轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O 作射线OM∥AB，过点A 作AD∥x 轴交OM 于点D，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)求点A，B 所在的直线的解析式(关系式)；(3)若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7 二次函数与根的判别式问题1．(2015·衡阳)如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y＝x＋1 相交于A、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为 2，连接AM、BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8 二次函数与圆1．(2015·昆明盘龙区二模)如图，已知以E(3，0)为圆心，以 5 为半径的⊙E 与x 轴交于点A，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A，B，C 三点，顶点为F.(1)求A，B，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上一动点(不与C 点重合)．试探究：①使得以A，B，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F，试判断直线MF 与⊙E 的位置关系，并说明理由．2．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A 为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x 轴分别交于C、D 两点，且CD＝4.点P 为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P 与y 轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．。
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二次函数与几何图形综合题类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2二次函数与平行四边形的存在性问题1． (2014 ·靖曲 )如图，抛物线y＝ax2＋bx＋ c 与坐标轴分别交于A(－ 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与 x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且1，求点 O 到直线 AF 的距离；tan∠ AFE ＝2(3)点 P 是 x 轴上的一个动点，过P 作 PQ∥ OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O， F， P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·明昆 )如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA＝ 4， OC＝3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点 D 的坐标；(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点A，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3． (2015 昆·明西山区二模 )如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－3 与 x 轴交于 A、B 两点 (A 点在 B 点左侧 ) ，直线l 与抛物线交于A、 C 两点，其中 C 点的横坐标为 2.(1)求 A、B、 C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△ PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使 A、C、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3二次函数与直角三角形的存在性问题1． (2015 ·南云 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0)与 x 轴相交于A、 B 两点，与y 轴相交于点C，直线 y＝ kx＋n( k≠ 0)经过 B、 C 两点，已知 A(1， 0)， C(0， 3)，且 BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式 )；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2015 ·贡自 )如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的对称轴为x＝－ 1，且抛物线经过A(1， 0)，C(0， 3)两点，与x 轴交于点 B.(1)若直线 y＝mx＋ n 经过 B、 C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3． (2015 益·阳 )已知抛物线 E 1： y ＝ x 2 经过点 A(1， m)，以原点为顶点的抛物线E经过点 B(2， 2)，点2 A 、 B 关于 y 轴的对称点分别为点A ′，B ′.(1)求 m 的值及抛物线E 2 所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E 1 上是否存在点 Q ，使得以点 Q 、B 、 B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图， P 为第一象限内的抛物线E 1 上与点 A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E 2 相交于点P ′，求△ PAA ′与△ P ′BB ′的面积之比．类型 4二次函数与等腰三角形的存在性问题1． (2015 ·东南黔 )如图，已知二次函数y 1＝－ x2＋134x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0) ，与 y 轴的交点为 B，过 A、 B 的直线为y2＝ kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点 B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．- 10 -2．如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，直线y＝kx－ 1 与抛物线交于A， C 两点，其中A(－ 1， 0)，B(3， 0)，点 C 的纵坐标为－ 3.(1)求 k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015 ·明官渡区二模昆)如图，已知抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠0)交于 x 轴于 A(－ 1，0) ，B(5，0)两点，与 y 轴交于点C(0， 2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为抛物线的顶点，连接BC、 CM 、BM ，求△ BCM 的面积；(3)连接 AC，在 x 轴上是否存在点P，使△ ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5二次函数与图形面积问题1．(2014 ·明昆 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－ 2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△ PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△ PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使 S△CBK∶ S△PBQ＝ 5∶ 2，求 K 点坐标．2．(2015 云·南二模 )如图所示，抛物线 y＝ ax2＋ bx(a＜ 0)与双曲线 y＝k相交于点 A、B，点 A 的坐标为x(－ 2， 2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，直线 BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ ABC 与△ ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D ，使△ ABD 的面积等于△ABE 的面积的8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1． (2015 ·明盘龙区一模昆)如图，对称轴为直线x＝ 2 的抛物线经过A(－1， 0)， C(0， 5)两点，与x 轴另一交点为B，已知 M(0， 1)， E(a， 0)，F(a＋ 1， 0)，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当 a＝ 1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△ PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2． (2013 ·溪玉 )如图，顶点为 A 的抛物线 y＝a(x＋ 2)2－4 交 x 轴于点 B(1， 0)，连接 AB，过原点 O 作射线OM ∥ AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连接 CD .(1)求抛物线的解析式(关系式 )；(2)求点 A，B 所在的直线的解析式(关系式 )；(3)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当 t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当 t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7二次函数与根的判别式问题1． (2015 ·阳衡 )如图，顶点M 在 y 轴上的抛物线与直线y＝ x＋ 1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为2，连接 AM 、 BM .(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8二次函数与圆1．(2015 ·明盘龙区二模昆)如图，已知以E(3 ，0)为圆心，以 5 为半径的⊙ E 与 x 轴交于点A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A， B， C 三点，顶点为 F .(1)求 A， B， C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标；(3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合 )．试探究：①使得以A，B， M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点 F ，试判断直线MF 与⊙ E 的位置关系，并说明理由．2． (2015 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ⊥ y 轴于点 B(0，－ 2)， A 为 OB 的中点，以 A为顶点的抛物线 y＝ ax2＋ c(a≠0)与 x 轴分别交于 C、D 两点，且 CD＝ 4.点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心， PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙ P 与 y 轴的另一交点为E，且 OE＝ 2，求点 P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙ P 的位置关系，并说明理由．。
人教版数学九年级上册：专题训练 二次函数与几何图形综合(含答案)
专题训练二次函数与几何图形综合1．如图4－ZT－1，已知O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为(2，0)．(1)求点B的坐标；(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式．图4－ZT－12．如图4－ZT－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，5)，且抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求△MCB的面积．图4－ZT－23．[2019·云南模拟] 如图4－ZT－3，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，OB＝2OC且OC＝2.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标．(2)P为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点P使得S△ABP＝32S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－34．如图4－ZT－4，抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A(1，0)，与y轴交于点B.(1)求抛物线的函数解析式；(2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．图4－ZT－45．如图4－ZT－5，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，其横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．图4－ZT－56．如图4－ZT－6所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx ＋c，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)，求抛物线的函数解析式．图4－ZT－67．如图4－ZT －7，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C (0，3)，OC OA ＝34.(1)求抛物线的解析式．(2)H 是线段AC 上任意一点(不与点A ，C 重合)，过点H 作直线HN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点P ，求线段PH 的最大值．(3)M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M ，使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT －7答案1．解：(1)在Rt △OAB 中，∵∠AOB ＝30°，∴AB ＝12OA ＝1.∴OB ＝ 3.过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，则BD ＝12OB ＝32，∴OD ＝32.∴点B 的坐标为(32，32)．(2)将A(2，0)，B(32，32)，O(0，0)三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，94a ＋32b ＋c ＝32，c ＝0，解方程组得⎩⎨⎧a ＝－2 33，b ＝4 33，c ＝0.∴所求二次函数的解析式为y ＝－2 33x 2＋4 33x. 2．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，(1，8)，(0，5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，c ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5.∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5. (2)令y ＝0，得－x 2＋4x ＋5＝0， 解得x 1＝5，x 2＝－1，∴B(5，0)． 由y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9， 得点M 的坐标为(2，9)． 过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB ＝S 梯形MEOB －S △MCE －S △OBC ＝12×(2＋5)×9－12×4×2－12×5×5＝15.3．解：(1)∵OC ＝2，OB ＝2OC ，∴B(4，0)，C(0，2)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.∴y ＝－12(x －32)2＋258.∴点D 的坐标为(32，258)．(2)存在．当y ＝0时，－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，则A(－1，0)．∴AB ＝5.设点P 的坐标为(x ，－12x 2＋32x ＋2)．∵S △ABP ＝32S △ABC ，∴12×5×|－12x 2＋32x ＋2|＝32×12×5×2，则|－12x 2＋32x ＋2|＝3. 解方程－12x 2＋32x ＋2＝3，得x 1＝1，x 2＝2，则P(1，3)或P(2，3)．解方程－12x 2＋32x ＋2＝－3，得x 1＝5，x 2＝－2(不合题意，舍去)，则P(5，－3)．综上，在y 轴右侧抛物线上存在点P 使得S △ABP ＝32S △ABC ，此时点P 的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)．4．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋5x ＋n 经过点A(1，0)， ∴0＝－1＋5＋n.解得n ＝－4.则该抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋5x －4.(2)在y ＝－x 2＋5x －4中，当x ＝0时，y ＝－4，∴B(0，－4)． 由勾股定理得AB ＝12＋42＝17. 若AB ＝BP ，则P(0，17－4)； 若AB ＝AP ，则P(0，4)．综上，点P 的坐标为(0，17－4)或(0，4)． 5．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3.(2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋3x ，则C ⎝⎛⎭⎫x ，－12x 2＋3x .如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，∴S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x.∴S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x. ∴S 关于x 的函数解析式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)． ∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.6．解：由已知点的坐标，可求得点C 的坐标为(5，4)． 把A(－2，0)，C(5，4)，D(0，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，4＝25a ＋5b ＋c ，4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－27，b ＝107，c ＝4.∴抛物线的函数解析式为y ＝－27x 2＋107x ＋4.7．解：(1)∵C(0，3)，∴OC ＝3. ∵OC OA ＝34，∴OA ＝4.∴A(－4，0)． 把A(－4，0)，C(0，3)代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －8a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－38x 2－34x ＋3.(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b. 把A(－4，0)，C(0，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3.∴直线AC 的解析式为y ＝34x ＋3.设H(x ，34x ＋3)(－4<x<0)，则N(x ，0)，P(x ，－38x 2－34x ＋3)，∴PH ＝－38x 2－34x ＋3－(34x ＋3)＝－38(x ＋2)2＋32.∵－38<0，∴PH 有最大值．当x ＝－2时，PH 取最大值，最大值为32.(3)存在．如图，过点M 作MK ⊥y 轴于点K ，交对称轴于点G ，则∠MGE ＝∠CKM ＝90°，∴∠MEG ＋∠EMG ＝90°. ∵四边形CMEF 是正方形， ∴EM ＝MC ，∠EMC ＝90°. ∴∠EMG ＋∠CMK ＝90°. ∴∠MEG ＝∠CMK. 在△EMG 和△MCK 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEG ＝∠CMK ，∠MGE ＝∠CKM ，EM ＝MC ，∴△EMG ≌△MCK(AAS )．∴MG ＝CK. ∵y ＝－38x 2－34x ＋3＝－38(x ＋1)2＋278，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1. 设M(x ，－38x 2－34x ＋3)，则G(－1，－38x 2－34x ＋3)，K(0，－38x 2－34x ＋3)，∴MG ＝|x ＋1|，CK ＝⎪⎪⎪⎪－38x 2－34x ＋3－3＝⎪⎪⎪⎪－38x 2－34x ＝⎪⎪⎪⎪38x 2＋34x . ∴|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪38x 2＋34x . ∴38x 2＋34x ＝±(x ＋1)． 解得x 1＝－4，x 2＝－23，x 3＝－43，x 4＝2.将其代入抛物线解析式，得y 1＝0，y 2＝103，y 3＝103，y 4＝0. ∴点M 的坐标是(－4，0)或(－23，103)或(－43，103)或(2，0)．。
中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型
中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围；(3)当0＜t ≤32时，求S 的最大值．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d的值；(3)如图2，直线AC：y＝－x＋m经过点A，交y轴于点C.探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M(2，－1)，交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．2．已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18. (1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.3．如图1，已知▱ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．类型3 探究特殊四边形的存在性问题1．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝1.(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12x 2＋x ＋4； (2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A ′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A ′，C ′的坐标；(3)除(2)中的点A ′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？3．(贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．2轴交于点E，B.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x＋2 3.(1)求b，c的值；(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.(1)求a，c的值；(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y 轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．2．如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′＝∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．1．如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；(3)连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图1，在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图2，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型参考答案类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．(贵港模拟)如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围； (3)当0＜t ≤32时，求S 的最大值．图1 图2解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)． ∵将C(0，3)代入，得－3a ＝3，解得a ＝－1. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴B(1，4)．(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b.∵将A(3，0)，B(1，4)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6，∴y ＝－2x ＋6.过点C 作射线CF ∥x 轴交AB 于点F.∵将y ＝3代入直线AB 的解析式得：－2x ＋6＝3，得x ＝32，∴F(32，3)．①当0＜t ≤32时，如图1所示．设△AOC 平移到△PNM 的位置，PM 交AB 于点H ，MN 交AC 于点G.则ON ＝AP ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交CF 于点L.由△AHP ∽△FHM ，得AP FM ＝HK HL ，即t 32－t ＝HK3－HK.解得HK ＝2t.∴S ＝S △MNP －S △G NA －S △HAP ＝12×3×3－12(3－t)2－12t ×2t ＝－32t 2＋3t.②当32＜t ≤3时，如图2所示：设△AOC 平移到△PQR 的位置，RQ 交AB 于点I ，交AC 于点V. ∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∴V(t ，t ＋3)，I(t ，－2t ＋6)．∴IV ＝－2t ＋6－(－t ＋3)＝－t ＋3，AQ ＝3－t.∴S ＝S △IVA＝12AQ ·IV ＝12(3－t)2＝12t 2－3t ＋92.综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32t 2＋3t （0<t ≤32），12t 2－3t ＋92（32<t ≤3）.(3)当0＜x ≤32时，S ＝－32t 2＋3t ＝－32(t －1)2＋32，当t ＝1时，S 最大＝32.2．(十堰模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)若点P 在直线x ＝2上运动，当点P 到直线AD 的距离d 等于点P 到x 轴的距离时，求d 的值； (3)如图2，直线AC ：y ＝－x ＋m 经过点A ，交y 轴于点C.探究：在x 轴上方的抛物线上是否存在点M ，使得S △CDA ＝2S △ACM ？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4.∴D(1，4)．(2)设P(2，y P )，过P 作PE ⊥AD 于点E ，设直线AD 与直线x ＝2交于点G ， 则PE ＝d ＝|y P |，直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2， ∴G(2，6)．∴PG ＝6－y P . ∵sin ∠AGP ＝AN AG ＝335，∴PE PG ＝15.∴PG ＝5|y P |＝5d. ①若点P 在第一象限，则PG ＝6－d ， ∴5d ＝6－d ，解得d ＝35－32.∴5d ＝6＋d ，解得d ＝35＋32.∴d 的值为35－32或35＋32.(3)∵直线AC 过点A ，所以可求得直线AC ： y ＝－x －1.过点D 作DE ∥AC ，交y 轴于点E ，可求得直线DE ：y ＝－x ＋5. ∴E(0，5)．∴EC 的中点F(0，2)． ∴过点F 平行于AC 的直线为y ＝－x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－x 2＋2x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－132，y 1＝1＋132.或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3＋132，y 2＝1－132.(舍去) ∴M(3－132，1＋132)．3．(玉林模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA ，OC 的长(OA ＜OC)是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1.(1)求A ，B ，C 三点的坐标； (2)求此抛物线的解析式；(3)若点D 是线段AB 上的一个动点(与点A ，B 不重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA ，OC 的长是 x 2－5x ＋4＝0的根，OA ＜OC ， ∴OA ＝1，OC ＝4.∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴， ∴A(－1，0)，C(0，－4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1， ∴由对称性可得B 点坐标为(3，0)．(2)∵点C(0，－4)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4. 将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －4，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，9a ＋3b －4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83. ∴所求抛物线解析式为y ＝43x 2－83x －4.(3)根据题意，BD ＝m ，则AD ＝4－m. 在Rt △OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝5. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∴DE BC ＝ADAB .∴DE ＝AD ·BC AB ＝5（4－m ）4＝20－5m 4.过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝OC BC ＝45.∴EF DE ＝45.∴EF ＝45DE ＝45×20－5m4＝4－m.∴S △CDE ＝S △ADC －S △ADE ＝12(4－m)×4－12(4－m)(4－m)＝－12m 2＋2m(0＜m ＜4)．∵S ＝－12(m －2)2＋2，a ＝－12＜0，∴当m ＝2时，S 有最大值2. ∴点D 的坐标为(1，0)．类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．(贵港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的顶点为M(2，－1)，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 的坐标为(3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D ，且直线CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P ，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P 的坐标；并直接写出此时直线OP 与该抛物线交点的个数．解：(1)将M(2，－1)，B(3，0)代入抛物线的解析式中，得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋3＝－1，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)由抛物线的解析式知：B(3，0)，C(0，3)． ∴△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°.过B 作BE ⊥x 轴，交直线CD 于E ，则∠EBC ＝∠ABC ＝45°. 由于直线CD 和直线CA 关于直线CB 对称，∴点A ，E 关于直线BC 对称，则BE ＝AB ＝2.∴E(3，2)．由于直线C D 经过点C(0，3)，可设该直线的解析式为y ＝kx ＋3，代入E(3，2)后，得：3k ＋3＝2，k ＝－13，∴直线CD 的解析式：y ＝－13x ＋3.(3)设P(2，m)，已知M(2，－1)，B(3，0)，C(0，3)，则PM 2＝(2－2)2＋(m ＋1)2＝m 2＋2m ＋1，PB 2＝(3－2)2＋(0－m)2＝m 2＋1，PC 2＝(0－2)2＋(3－m)2＝m 2－6m ＋13. 已知：PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，则m 2＋2m ＋1＋m 2＋1＋m 2－6m ＋13＝35，化简得：3m 2－4m －20＝0，解得m 1＝－2，m 2＝103.∴P 1(2，－2)，P 2(2，103)．当点P 坐标为(2，103)时，由图可知，直线OP 与抛物线必有两个交点；当点P 坐标为(2，－2)时，直线OP ：y ＝－x ，联立抛物线的解析式有：x 2－4x ＋3＝－x ，即x 2－3x ＋3＝0. Δ＝(－3)2－4×3＜0， ∴该直线与抛物线没有交点．综上，直线OP 与抛物线的解析式有两个交点．2．(淄博)已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18.(1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.解：(1)∵圆心Q 的纵坐标为18，∴设Q(m ，18)，F(0，14a )．∵QO ＝QF ，∴m 2＋(18)2＝m 2＋(18－14a )2，即a ＝1.(2)∵M 在抛物线上，设M(t ，t 2)，Q(m ，18)，∵O ，Q ，M 在同一直线上，∴设直线QM 的方程为y ＝kx ＋b ，将点O ，点Q 以及点M 的坐标代入可得t 2t ＝18m ，即m ＝18t.∵QO ＝QM ，∴m 2＋(18)2＝(m －t)2＋(18－t 2)2.整理得－14t 2＋t 4＋t 2－2mt ＝0，∴4t 4＋3t 2－1＝0，解得t 1＝12，t 2＝－12.当t 1＝12时，m 1＝14；当t 2＝－12时，m 2＝－14.∴M 1(12，14)，Q 1(14，18)；M 2(－12，14)，Q 2(－14，18)．(3)设M(n ，n 2)(n ＞0)，∴N(n ，0)，F(0，14)．∴MF ＝n 2－（n 2－14）2＝（n 2＋14）2＝n 2＋14，MN ＋OF ＝n 2＋14.∴MF ＝MN ＋OF.3．(烟台)如图1，已知▱ABCD 顶点A 的坐标为(2，6)，点B 在y 轴上，且AD ∥BC ∥x 轴，过B ，C ，D 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m ，6)是线段AD 上一动点，直线OF 交BC 于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF 的面积为S ，请求出S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)如图2，过点F 作FM ⊥x 轴，垂足为M ，交直线AC 于P ，过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接MN ，直线AC 分别交x 轴，y 轴于点H ，G ，试求线段MN 的最小值，并直接写出此时m 的值．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(2，2)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋2. ∴抛物线的对称轴方程为x ＝2. ∵BC ∥x 轴，∴BC ＝4.∵AD ∥x 轴，A(2，6)，∴D(6，6)．∵点D 在此抛物线上，∴6＝a(6－2)2＋2.∴a ＝14.∴抛物线解析式为y ＝14(x －2)2＋2＝14x 2－x ＋3.(2)当x ＝0时，则y ＝14(x －2)2＋2＝14(0－2)2＋2＝3，∴B(0，3)．∴OB ＝3.作FQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴FQ ＝3. 设直线OF 为y ＝kx ，∵F(m ，6)，∴mk ＝6，k ＝6m .∴y ＝6m x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6m x ，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2，y ＝3.∴E(m 2，3)，BE ＝m2.∵AF ＝m －2，∴S ＝12(AF ＋BE)·FQ ＝12(m －2＋m 2)×3＝94m －3.∵点F(m ，6)在线段AD 上，∴2≤m ≤6.即S ＝94m －3(2≤m ≤6)．(3)∵抛物线解析式为y ＝14x 2－x ＋3，∴B(0，3)，C(4，3)．∵A(2，6)，∴直线AC 解析式为y ＝－32x ＋9.∵FM ⊥x 轴，垂足为点M ，交直线AC 于点P ，∴P(m ，－32m ＋9)(2≤m ≤6)．∴PN ＝m ，PM ＝－32m ＋9.∵FM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴∠MPN ＝90°. ∴MN ＝PN 2＋PM 2＝m 2＋（－32m ＋9）2＝134（m －5413）2＋32413. ∵2≤m ≤6，∴当m ＝5413时，MN 最大＝32413＝181313.类型3 探究特殊四边形的存在性问题1．(桂林)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝1.(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A ′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A ′，C ′的坐标；(3)除(2)中的点A ′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2解：(2)由抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4可知C(0，4)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，根据对称性， ∴C ′(2，4)，∴A ′(0，0)．(3)存在．设F(x ，－12x 2＋x ＋4)．以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形．①若AC 为平行四边形的边，如图1所示，则EF ∥AC 且EF ＝AC. 过点F 1作F 1D ⊥x 轴于点D ，则易证Rt △AOC ≌Rt △E 1DF 1， ∴DE 1＝2，DF 1＝4. ∴－12x 2＋x ＋4＝－4，解得x1＝1＋17，x2＝1－17.∴F1(1＋17，－4)，F2(1－17，－4)．∴E1(3＋17，0)，E2(3－17，0)．②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示．∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴．∴点F3为点C关于x＝1的对称点，∴F3(2，4)，CF3＝2.∴AE3＝2.∴E3(－4，0)．综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3＋17，0)，F1(1＋17，－4)；E2(3－17，0)，F2(1－17，－4)；E3(－4，0)，F3(2，4)．(注：因点F3与点C′重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)2．(百色)抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E 的速度是每秒1个单位长度，点D 的速度是每秒2个单位长度．(1)求抛物线与x 轴的交点坐标；(2)若点C 为抛物线与x 轴的交点，是否存在点D ，使A ，B ，C ，D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由； (3)问几秒钟时，B ，D ，E 在同一条直线上？解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，9＋3b ＋c ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴y ＝x 2－3x ＋2.当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0.解得x 1＝1，x 2＝2. ∴抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(2，0)． (2)存在．当点C 为(1，0)时， ∵AB ＝3，AB ∥x 轴．∴平行四边形中，AB ＝CD ＝4－1＝3. ∴D 点为(4，0)．当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．(3)设t 秒时，B ，D ，E 共线，则D ，E 点的坐标分别为(2t ，0)，(0，t)．设经过点B ，D ，E 的直线为y ＝kx ＋m(k ≠0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝m ，0＝2tk ＋m.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，k ＝－12，或t ＝0.∵y ＝－12x ＋t 经过B(3，2)．∴2＝－12×3＋t.∴t ＝3.5.∴t ＝0或t ＝3.5秒时，B ，D ，E 共线．3．(贵港模拟)如图，直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A ，B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P.(1)求a ，k 的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M ，N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 解：(1)∵直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， ∴A(1，0)，B(0，3)．又∵抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A(1，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－1. 故a ，k 的值分别为1，－1.图1 图2(2)设Q 点的坐标为(2，m)，对称轴x ＝2交x 轴于点F ，如图1，过点B 作BE 垂直于直线x ＝2于点E. 在Rt △AQF 中，AQ 2＝AF 2＋QF 2＝1＋m 2， 在Rt △BQE 中，BQ 2＝BE 2＋EQ 2＝4＋(3－m)2. ∵AQ ＝BQ ，∴1＋m 2＝4＋(3－m)2. ∴m ＝2.∴Q 点的坐标为(2，2)．(3)如图2，当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直，∴AC 应为正方形的对角线． 又∵对称轴x ＝2是AC 的中垂线，∴M 点与顶点P(2，－1)重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2，1)． 此时，MF ＝NF ＝AF ＝CF ＝1，且AC ⊥MN ， ∴四边形AMCN 为正方形．在Rt △AFN 中，AN ＝AF 2＋NF 2＝2，即正方形的边长为 2.4．(泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A(0，5)，与x 轴交于点E ，B.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A ，E ，N ，M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M ，N 的坐标．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋9， ∵抛物线与y 轴交于点A(0，5)，∴4a ＋9＝5. ∴a ＝－1.∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5. (2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝5. ∴E(－1，0)，B(5，0)． 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ， ∵A(0，5)，B(5，0)，∴m ＝－1，n ＝5. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5. 设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，∴D(x ，－x ＋5)． ∴PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x.∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12×AC ·PD ＝2(－x 2＋5x)＝－2x 2＋10x.∴当x ＝52时，S 四边形APCD 最大＝252.(3)如图，过M 作MH 垂直于对称轴，垂足为H. ∵MN ∥AE ，MN ＝AE ， ∴△HMN ≌△OEA.∴HM ＝OE ＝1.∴M 点的横坐标为x ＝3或x ＝1. 当x ＝1时，M 点纵坐标为8； 当x ＝3时，M 点纵坐标为8.∴M 点的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)． ∵A(0，5)，E(－1，0)， ∴直线AE 解析式为y ＝5x ＋5. ∵MN ∥AE ，∴MN 的解析式为y ＝5x ＋b.∵点N 在抛物线对称轴x ＝2上，∴N(2，10＋b)． ∵AE 2＝OA 2＋OE 2＝26， ∵MN ＝AE ，∴MN 2＝AE 2.∴MN 2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b ＋2)2. ∵点M 的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)， ∴点M 1，M 2关于抛物线的对称轴x ＝2对称． ∵点N 在抛物线对称轴上，∴M 1N ＝M 2N. ∴1＋(b ＋2)2＝26，解得b ＝3或b ＝－7. ∴10＋b ＝13或10＋b ＝3.∴当点M 的坐标为(1，8)时，点N 的坐标为(2，13)；当点M 的坐标为(3，8)时，点N 的坐标为(2，3)．类型4 探究全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D ，与y 轴交于点C ，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋2 3. (1)求b ，c 的值；(2)过C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，直线DE 交x 轴于点F ，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M ，使得△CDM ≌△CEM ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线CD 的解析式为y ＝3x ＋23， ∴C(0，23)． ∴c ＝2 3.设直线CD 交x 轴于点A ， ∴A(－2，0)． ∴OA OC ＝223＝33.∴∠OCA ＝30°. 过点D 作DM ⊥y 轴于点M ， ∴∠DCM ＝30°.∴MC ＝3DM.设抛物线的顶点横坐标为h ，则CM ＝3h. ∴D(h ，23＋3h)． ∴y ＝a(x －h)2＋23＋3h.代入C(0，23)， ∴23＝ah 2＋23＋3h. ∴h 1＝0(舍)，h 2＝－3a .∴y ＝a(x ＋3a )2＋23＋(－3a)＝ax 2＋23x ＋2 3. ∴b ＝2 3.(2)作抛物线的对称轴交x 轴于点B(如图)， ∵∠ACO ＝30°， ∴∠CDB ＝30°.由抛物线的对称性，可得△DCE 为等边三角形． ∵CE ∥x 轴，∴△DAF 为等边三角形． ∴B 为AF 中点，∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．∵抛物线对称轴为直线x ＝1.∴－b 2a ＝1，∴－232a ＝1.∴a ＝－ 3.∴D(1，33)．∴y ＝－3(x －1)2＋33＝－3x 2＋23x ＋2 3. (3)存在．点M 的坐标为(53，2339)．2．(金华改编)如图，抛物线y ＝ax 2＋c(a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H.(1)求a ，c 的值；(2)连接OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴OA ＝12BC.又∵△ABC 的面积＝12BC ×OA ＝4，即OA 2＝4，∴OA ＝2.∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，4a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.图1(2)△OEF 是等腰三角形．理由如下：如图1， ∵A(0，2)，B(－2，0)，∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2， 又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上， ∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)．∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －m)2＋m ＋2.∵抛物线过点C(2，0)， ∴－12(2－m)2＋m ＋2＝0，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6.∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12x 2＋6x －10.当y ＝0时，－12x 2＋6x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝10. ∴E(10，0)，OE ＝10. 又∵F(6，8)，OH ＝6，FH ＝8.∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10，EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45， ∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形．(3)存在．点Q 的坐标为(6，221)或(6，3)或(10，12)或(4＋14，6＋14)或(4－14，6－14)．类型5 探究角度数量关系的存在性问题1．(南宁)在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y ＝ax 2(a>0)上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB ＝90°，且AB ＝2时，求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y ＝－2x －2分别交直线AB ，y 轴于点P ，C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．解：(1)设直线AB 与y 轴交于点E ，∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE ＝BE ＝1. ∵∠AOB ＝90°，∴OE ＝12AB ＝1.∴A(－1，1)，B(1，1)．把x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为x A ·x B ＝－1. (2)x A ·x B ＝－1为常数，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ， ∴∠AMO ＝∠BNO ＝90°.∴∠MAO ＋∠AOM ＝∠AOM ＋∠BON ＝90°. ∴∠MAO ＝∠BON.∴△AMO ∽△ONB. ∴AM ON ＝OMBN，即OM ·ON ＝AM ·BN. 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，∵A(x A ，y A )，B(x B ，y B )在y ＝x 2图象上， ∴y A ＝x 2A ，yB ＝x 2B .∴－x A ·x B ＝y A ·y B ＝x 2A ·x 2B . ∴x A ·x B ＝－1为常数．(3)设A(m ，m 2)，B(n ，n 2)，由(2)可知mn ＝－1.设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x 2，得x 2－kx －b ＝0. ∵m ，n 是方程的两个根，∴mn ＝－b.∴b ＝1. ∵直线AB 与y 轴交于点D ，则OD ＝1. 易知C(0，－2)，OC ＝2，∴CD ＝OC ＋OD ＝3. ∵∠BPC ＝∠OCP ，∴PD ＝CD ＝3.设P(a ，－2a －2)，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，则PG ＝－a ，GD ＝OG －OD ＝－2a －3.在Rt △PDG 中，由勾股定理得：PG 2＋GD 2＝PD 2，即(－a)2＋(－2a －3)2＝32，整理得5a 2＋12a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－125.当a ＝－125时，－2a －2＝145，∴P(－125，145)．2．(河南)如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′＝∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．解：(1)由直线y ＝－43x ＋n 过点C(0，4)，得n ＝4，∴y ＝－43x ＋4.当y ＝0时，0＝－43x ＋4，解得x ＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(0，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝23×32＋3b ＋c ，－2＝c.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2.(2)∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，23m 2－43m －2)，D(m ，－2)．若△BDP 为等腰直角三角形，则PD ＝BD.①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43m.(ⅰ)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m.∴23m 2－43m ＝－m ，∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12(舍去)．(ⅱ)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m.∴23m 2－43m ＝m ，∴m 3＝0(舍去)，m 4＝72.②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43m.∴－23m 2＋43m ＝m ，∴m 5＝0(舍去)，m 6＝12.综上，m ＝72或12.即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12.(3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132)． 【提示】∵∠PB P ′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35.①当点P ′落在x 轴上时，过点D ′作D ′N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND ′P ′＝∠PBP ′.图1 图2 图3如图1，ND ′－MD ′＝2，即35(23m 2－43m)－(－45m)＝2.如图2，ND ′＋MD ′＝2，即35(23m 2－43m)＋45m ＝2.∴P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)；②当点P ′落在y 轴上时，如图3，过点D ′作D ′M ⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P ′作P ′N ⊥y 轴，交MD ′的延长线于点N ，∠DBD ′＝∠ND ′P ′＝∠PBP ′. ∵P ′N ＝BM ，即45(23m 2－43m)＝35m. ∴P 3(258，1132)．拓展类型6 探究相似三角形的存在性问题1．(河池模拟)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；(3)连接OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1， ∵抛物线过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，a ＝－14.∴抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1＝－14x 2＋x.(2)△AOB 和所求△MOB 同底不等高，且S △MOB ＝3S △AOB ， ∴△MOB 的高是△AOB 高的3倍，即M 点的纵坐标是－3. ∴－3＝－14x 2＋x ，即x 2－4x －12＝0.解得x 1＝6，x 2＝－2.∴满足条件的点有两个：M 1(6，－3)，M 2(－2，－3)． (3)不存在．由抛物线的对称性，知AO ＝AB ，∠AOB ＝∠ABO. 若△O BN 与△OAB 相似，必有∠B O N ＝∠BOA ＝∠BNO ， 即OB 平分∠AON.设ON 交抛物线的对称轴于点A ′，则A ，A ′关于x 轴对称， ∴A ′(2，－1)．∴直线ON 的解析式为y ＝－12x.由－12x ＝－14x 2＋x ，得x 1＝0，x 2＝6.∴N(6，－3)．过点N 作NE ⊥x 轴，垂足为点E. 在Rt △BEN 中，BE ＝2，NE ＝3， ∴NB ＝22＋32＝13.又∵OB ＝4，∴NB ≠OB ，∠BON ≠∠BNO ，△OBN 与△OAB 不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点． ∴在该抛物线上不存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似．拓展类型7 探究特殊三角形的存在性问题1．(河池)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D.(1)请直接写出点A ，C ，D 的坐标；(2)如图1，在x 轴上有一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；(3)如图2，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3)．当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3，又A 在B 的左边，∴A(－3，0)，B(1，0)． ∵y ＝－x 2－2x ＋3. ∴y ＝－(x ＋1)2＋4. ∴D(－1，4)．(2)如图，作C(0，3)关于x 轴的对称点C ′(0，－3)，连接DC ′与x 轴的交点即为所求点E ，此时△DCE 周长最小．设DC ′的解析式为y ＝kx ＋b.将D(－1，4)，C ′(0，－3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7，b ＝－3.∴y ＝－7x －3.令y ＝0，则－7x －3＝0.∴x ＝－37.∴E(－37，0)．(3)∵A(－3.0)，C(0，3)， ∴∠CAB ＝45°.①以A 为等腰直角三角形的顶点，则过A 作AP ⊥AC 交抛物线于点P ，过P 作PF ⊥x 轴交直线AC 于点F ，则△APF 为等腰直角三角形，可求得P(2，－5)． ②若以F 为直角顶点，则∠FAP ＝45°. 又∠FAO ＝45°，∴P 在抛物线与x 轴交点处． ∴P 可取(1，0)．③若以P 为直角顶点，则∠FAP ＝45°.又∵∠FAO ＝45°，∴P 在抛物线与x 轴交点处． ∴P 可取(1，0)． ∴P(1，0)或(2，－5)．2．(漳州)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(3，0)，与y 轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值； (3)在(2)的条件下，当MN 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)点B(3，0)，C(0，3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)令x 2－4x ＋3＝0，则x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，0)． 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.设N(x ，－x ＋3)，则M(x ，x 2－4x ＋3)(1<x<3)． ∴MN ＝y N －y M＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，MN 的最大值为94.(3)存在，所有点P 的坐标分别是：P 1(2，3＋172)，P 2(2，3－172)，P 3(2，142)，P 4(2，－142)，P 5(2，12)．。
二次函数与几何图形综合训练题精选(含19题)
二次函数与几何图形综合训练题精选（含19题）1．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（3，0）两点，动点D 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC方向运动，以AD为边作矩形ADEF（点E在x轴上），设运动的时间为t秒．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的表达式；（2）过点D作DN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当t＝时，求点M的坐标；（3）如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA方向运动，以BP为边作等腰直角三角形BPQ（∠BPQ＝90°），EF与PQ交于点G．给出如下定义：在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形ADEF和等腰三角形BPQ重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积．2．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y＝mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM＝，直接写出l，P表示的函数解析式．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点，直线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC，∠CAB的平分线AE交抛物线C1于点E．（1）求抛物线C1的表达式；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C2，在射线AE上取点Q，连接CQ，将射线QC绕点Q逆时针旋转120°交抛物线C2于点P，当△CAQ为等腰三角形时，求点P的横坐标；（3）如图2，将抛物线C1沿一定方向平移，使顶点D′落在射线AE上，平移后的抛物线C3与线段CB相交于点M、N，线段CB与DF相交于点Q，当点Q恰好为线段MN 的中点时，求抛物线C3的顶点坐标．4．如图抛物线y＝﹣x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M 作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，P A交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连接NF，求证：NF∥y轴．6．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G 面积最大时点G的横坐标；（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN，设点P的坐标为（t，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长；（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由；（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．8．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．10．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点在直线上，且过点A（4，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OP AB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD﹣CD|的值最大，请直接写出点D的坐标．11．已知抛物线过点（8，0），（1）求m的值；（2）如图a，在抛物线内作矩形ABCD，使点C、D落在抛物线上，点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；（3）如图b，抛物线的顶点为E，对称轴与直线y＝﹣x+1交于点F．将直线EF向右平移n个单位后（n＞0），交直线y＝﹣x+1于点M，交抛物线于点N，若以E、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求n的值．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；（2）点E是线段BC上方抛物线上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC 的面积分为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD 的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B．（1）求点A，点B的坐标及AB的长；（2）已知M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以点M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n．①求n随m变化的函数解析式；②若点E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y＝﹣x2+x+4上，且点E不在坐标轴上，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点E？17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O（0，0），A（﹣1，﹣），B（﹣3，）三个点．（1）求抛物线解析式；（2）若点P（﹣4，p），Q（t，q）为该抛物线上的两点，且q＜p．求t的取值范围．（3）在线段AB上是否存在一点C（不与点A，点B重合），使点A，点B到直线OC的距离之和最大？若存在，求∠BOC的度数，并直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB＝1：5，OB＝OC，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）点P（2，﹣3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．第11页（共11页）。
二次函数与几何图形综合题(共67张PPT)
∴y＝－3x＋3，
∴当△ACG是一个以AG为底边的等腰三角形时，CG的解析式为y＝－3x＋3；
③以CG为底边，则AC＝AG，
∴10＝(1＋g)2，
解得x1＝－1＋ 10，x2＝－1－ 10， ∴点G的坐标为(－1＋ 10 ，0)或(－1－ 10 ，0)，
将G(－1＋ 10 ，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，可得y＝－
3.
∴∠C′BH＝60°. 由翻折得∠DBH＝ 1 ∠C′BH＝30°，
2
∵在Rt△BHD中，DH＝BH· tan∠DBH＝2tan30°＝2 3 ，
3 ∴点D的坐标为(1， )；(7分)
(3)如解图①，取(2)中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°， ∴△C′CB为等边三角形． 分类讨论如下：
(2)∵A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)， ∴AA′＝AB＝4， 由平移的性质可知C′(4，5)． 四边形AA′C′C是平行四边形． 理由如下： ∵AA′＝CC′＝4，AA′∥CC′， ∴四边形AA′C′C是平行四边形；
(3)点G是坐标平面内一点，当四边形ACGM是平行四边形时，求GE的长；
第1题解图①
①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方， 连接BQ，C′P， ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°. ∴∠BCQ＝∠C′CP. ∴△BCQ ≌ △C′CP. ∴BQ＝C′P. ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ. ∴C′P＝CQ＝CP.
第1题解图①
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′.
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上．
设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题
【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的
专题11 二次函数与图形几何综合(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题11二次函数与图形几何综合（6大考点）核心考点核心考点一线段问题核心考点二面积问题核心考点三角度问题核心考点四特殊三角形判定问题核心考点五特殊四边形判定问题核心考点六相似三角形判定问题新题速递核心考点一线段问题（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()0,2，点B的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k=--+（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且12CD AB=，则k的值为_________．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2-，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：①先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；②再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；③继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）．2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）．3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型：（1）定直线与两定点①同侧和最小值问题②同侧差最小值问题③同侧差最大值问题④异侧差最大值问题（2）角与定点①一定点与两条直线上两动点问题②两定点与两条直线上两动点问题【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过()20A ，，()00O ，且有最小值1-，若A 点关于y 轴的对称点为B 点，过B 作y 轴平行线交抛物线于点C ，在Rt ABC △的斜边AC 上有一动点D ，过D 作DE BC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，则EF 的最小值为（）ABC．D．【变式2】（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝a 1x 2（a 1≠0）与抛物线C 2：y ＝a 2x 2+bx （a 2≠0）的交点P 在第三象限，过点P 作x 轴的平行线，与物线C 1，C 2分别交于点M ，N ．若PM PN ＝2n ，则12a a 的值是（）A ．2n B ．n ﹣1C ．n D ．11n -【变式3】（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线2y x =-平移得到抛物线C ，如图所示，且抛物线C 经过点()1,0A -和()0,3B ，点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则OQ PQ +的最大值为______．【变式4】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，AE 为∠BAD 的角平分线，F 为AE 上一动点，M 为DF 的中点，连接BM ，则BM 的最小值是_____．核心考点二面积问题（2021·山东淄博·统考中考真题）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m === ，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．4（2021·浙江·统考中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1P AB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12221x x ->->时，12S S >；④当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4中考数学，最后的三道压轴题，一般都会有一题考察二次函数动点。
(完整版)二次函数与几何图形综合题(可编辑修改word版)
二次函数与几何图形综合题类型1 二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2015·昆明西ft区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015·襄阳)边长为2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；1(2)F 是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE ＝，求点O 到直线AF 的距离；2(3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作PQ∥OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·昆明)如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O，A 两点，直线AC 交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以点A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2015·昆明西ft区二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3 与x 轴交于A、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2. (1)求A、B、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型3 二次函数与直角三角形的存在性问题1．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C 两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5. (1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2015·自贡)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n 经过B、C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3．(2015·益阳)已知抛物线E1：y＝x2 经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m 的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P 为第一象限内的抛物线E1上与点A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．类型4 二次函数与等腰三角形的存在性问题131．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0)，与y 轴4的交点为B，过A、B 的直线为y2＝kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线与x 轴交于A，B 两点，直线y＝kx－1 与抛物线交于A，C 两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点 C 的纵坐标为－3.(1)求k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x 轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM 的面积；(3)连接AC，在x 轴上是否存在点P，使△ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型5 二次函数与图形面积问题1．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x 轴交于点A(－2，0)，B(4，0) 两点，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K 点坐标．k相交于点A、B，点A 的坐标为(－2，2．(2015·云南二模)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)与双曲线y＝x2)，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC∥x 轴，直线BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4 倍，记抛物线的顶点为E. (1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8 倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型6 二次函数与最值问题1．(2015·昆明盘龙区一模)如图，对称轴为直线x＝2 的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x 轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当a＝1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2．(2013·玉溪)如图，顶点为A 的抛物线y＝a(x＋2)2－4 交x 轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O 作射线OM∥AB，过点A 作AD∥x 轴交OM 于点D，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)求点A，B 所在的直线的解析式(关系式)；(3)若动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型7 二次函数与根的判别式问题1．(2015·衡阳)如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y＝x＋1 相交于A、B 两点，且点A 在x 轴上，点 B 的横坐标为2，连接AM、BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型8 二次函数与圆1．(2015·昆明盘龙区二模)如图，已知以E(3，0)为圆心，以5 为半径的⊙E 与x 轴交于点A，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A，B，C 三点，顶点为F.(1)求A，B，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上一动点(不与C 点重合)．试探究：①使得以A，B，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F，试判断直线MF 与⊙E 的位置关系，并说明理由．2．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l⊥y 轴于点B(0，－2)，A 为OB 的中点，以A 为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x 轴分别交于C、D 两点，且CD＝4.点P 为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P 与y 轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．。
2018届中考数学专题复习课件：专题十一 二次函数与几何图形综合题 (共57张)
专题十一 二次函数与几何图形综合题数学此类题型的出现位置为解答题中的压轴题，主要命题形式有：确定二次函数解析式；线段数量关系、最值问题；面积数量关系、最值问题；存在性问题(包含特殊三角形、特殊四边形)；探究相似等．这类题的综合性较强，所用到的知识点较多，难度也较大，但在中考中出现的频率较多．预计2018年中考继续考查的可能性非常大．【例1】(2017·赤峰)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；【思路引导】可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式．(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；【思路引导】设出P点坐标，表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值．【思路引导】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)利用方程组首先求出点D 坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，从而求出点P的坐标即可．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)，∴0＝－9＋3m＋3，解得m＝2.探究平面直角坐标系中图形的面积问题，主要有以下两种考查方式：1．图形的几个顶点都是定点，求图形的面积的方法：(1)根据点的坐标求线段的长度；(2)可利用割补法求不规则图形的面积．2．图形的几个顶点中有一个顶点是动点，求在某一时刻时，该图形面积的最大值或最小值的方法：(1)设动点的坐标为(t，at2＋bt＋c)；(2)用含t的代数式表示出三角形的底和高；(3)用含未知数t的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．(1)试求A，B，C的坐标；(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD.①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】(1)直接利用y＝0，x＝0分别得出A，B，C的坐标．(2)①利用旋转的性质并结合三角形各边长可得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法并结合勾股定理的逆定理可得出四边形ADBC的形状．(3)直接利用相似三角形的判定与性质并结合三角形各边长即可得出答案．探究三角形全等、相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，一般都是一个三角形固定，探究由于点动而导致图形发生改变的另一个三角形，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：假设结论成立，先分析固定的三角形，求出边长，判断其特殊形态．再分析动态的三角形，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现要证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；若已经明确对应关系，则不需分类讨论．【例4】(2017·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；【思路引导】由A，B，C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式．解：由A，B，C三点的坐标可得y＝x2－3x－4.(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；【思路引导】由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．【思路引导】过点P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．探究等腰三角形的存在性问题，具体方法与直角三角形的类似：(1)假设结论成立；(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，则满足条件的点不存在；②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，则满足条件的点不存在．以上方法即可找出所有符合条件的点；③计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．【例5】(2017·宜宾)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1)求抛物线的解析式；【思路引导】由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．解：将A(－1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c可求得b＝4，c＝5，∴y＝－x2＋4x＋5.(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；【思路引导】由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，从而可求得m的值．解：∵AD＝5，且OA＝1，∴OD＝6，又CD＝8，∴C(－6，8)，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8＝－x2＋4x＋5，解得x＝1或x＝3，∴C′点的坐标为(1，8)或(3，8)．∵C(－6，8)，∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位．∴m的值为7或9.(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】由(2)可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过点E作EF⊥x轴于点F，分别求当BE为平行四边形的边时和当BE为对角线时，Q点的坐标．解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴抛物线对称轴为x＝2，∴可设点P坐标为(2，t)，由(2)可知点E坐标为(1，8)，①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作QN⊥对称轴于点N，如图，则∠BEF＝∠BMP＝∠QPN，在△PQN和△EBF中，∠QPN＝∠BEF，∠PNQ＝∠EFB，PQ＝BE，∴△PQN≌△EBF(AAS)．∴QN＝BF＝OB－OF＝5－1＝4，设Q(x，y)，则QN＝|x－2|，∴|x－2|＝4，解得x＝－2或x＝6，当x＝－2或x＝6时，代入抛物线解析式可求得y＝－7，∴Q点坐标为(－2，－7)或(6，－7)．②当BE为对角线时，∵B(5，0)，E(1，8)，∴线段BE的中点坐标为(3，4)，则线段PQ的中点坐标为(3，4)，设Q(x，y)，且P(2，t)，∴x＋2＝3×2，解得x＝4，把x＝4代入抛物线解析式可求得y＝5.∴Q(4，5)．综上可知，Q点的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)．探究平行四边形的存在性问题的具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；(3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，根据方程组的解为交点坐标来求解．2．(导学号65244274)(2017·大庆)已知二次函数的解析式为y＝x2＋mx＋n.(1)若这个二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，求实数m，n 的值；(2)若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sin A，cos B是方程x2＋mx＋n＝0的两个根，求实数m，n的值．解：(1)将点A(1，0)，B(3，0)代入二次函数的解析式，可得m＝－4，n＝3.3．(导学号65244275)(2017·白银)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的解析式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．。
二次函数与几何图形综合(压轴题)-含答案
二次函数与几何图形综合题类型一 线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三特殊三角形存在性问题1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△P AB＝2S△ABC，求点P的坐标；(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．类型四特殊四边形存在性问题1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx ＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.(1)求A、B两点的坐标；(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五相似三角形问题1.(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．第1题图备用图参考答案类型一 线段数量关系/最值问题1. 解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)． 易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来， ∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形， ∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形， ∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值， 设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92，∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924，∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52，∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924；②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172，∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时，AP ＝102＋（－72－4）2＝252，∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210.综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.第1题解图②2. 解：(1)∵B (4，c )在直线y ＝x ＋2上， ∴c ＝6，则B (4，6)，∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝5216a ＋4b ＋6＝6.， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8，故抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6； (2)①存在．设点P 的坐标为(n ，n ＋2)(12<n <4)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n <4，∴当n ＝94时，线段PC 的长取得最大值498.② n 的值为5±212或17±1298.【解法提示】设P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，易知抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x 轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M 点为PC 的中点，此时n <－2或1<n <3，则PM ＝CM ，即n ＋2＝－(2n 2－8n ＋6)，整理得2n 2－7n ＋8＝0，此方程没有实数解；(Ⅱ)若P 点为CM 的中点，此时，n >4或－2<n <12，则PM ＝PC ，CM ＝2PM ，即2n 2－8n ＋6＝2(n ＋2)，整理得n 2－5n ＋1＝0，解得n 1＝5＋212，n 2＝5－212，n 1，n 2均满足条件；(Ⅲ)若C 点为PM 的中点，此时12<n <1或3<n <4，则PC＝CM ，PM ＝2CM ，即n ＋2＝2(2n 2－8n ＋6)，整理得4n 2－17n ＋10＝0，解得n 1＝17＋1298，n 2＝17－1298，n 1，n 2均满足条件．综上所述，n 的值为5±212或17±1298.类型二 面积数量关系/最值问题1. 解：(1)∵抛物线经过原点O ， ∴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，把点A (－4，0)，B (4，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝016a ＋4b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋x ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2＋xy ＝kx ＋4，消去y ，得14x 2＋(1－k )x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k －1)，x 1x 2＝－16，∵1x 2－1x 1＝22， ∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2（x 1x 2）2＝12， 即16（k －1）2＋64256＝12， 解得k ＝3或k ＝－1，经检验都符合题意，∴k 的值为3或－1；(3)∵OB ∥PC ，S △POC ∶S △BOC ＝1∶2，∴PC ∶OB ＝1∶2，∵B (4，8)，∴OB ＝45，直线OB 的解析式为y ＝2x ，∴PC ＝25，设点P 的坐标为(a ，14a 2＋a )(－4＜a ＜0)，直线PC 的解析式为y ＝2x ＋t ， 把P (a ，14a 2＋a )代入y ＝2x ＋t ，整理得t ＝14a 2－a ， ∴直线PC 的解析式为y ＝2x ＋14a 2－a ， 易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝2x ＋14a 2－a ， 解得x ＝4＋a －14a 2， ∴PC ＝5(x C －x P )＝5×(4＋a －14a 2－a )＝25， 解得a ＝22(舍去)或a ＝－22，将a ＝－22代入抛物线的解析式，得y ＝14×(－22)2－22＝2－22， ∴点P 的坐标为(－22，2－22)．2. 解：(1)把点A (9，－6)代入y ＝mx ＋3中，得m ＝－1，∴直线的函数表达式为y ＝－x ＋3；∵抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)且过点A (9，－6)，设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)2－11，∴a (9－4)2－11＝－6，解得a ＝15，∴抛物线的函数表达式为y ＝15(x －4)2－11＝15x 2－85x －395； (2)设点D 的横坐标为n .∵抛物线对称轴为直线x ＝4，∴分两种情况讨论①当0＜n ＜4时，如解图①，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，则D (n ，15n 2－85n －395)，E (n ，－n ＋3)， ∴DE ＝－n ＋3－(15n 2－85n －395)＝－15n 2＋35n ＋545， ∴S △ABD ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12DE ·(x E －x B )＋12DE ·(x A －x E ) ＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352(不合题意，舍去)，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)；第2题解图①②当n ＜0时，如解图②，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，S △ABD ＝S △ADE －S △BDE ＝12DE ·(x A －x E )－12DE ·(x B －x E )＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)． 当n ＝3－352时，y ＝15×(3－352)2－85×3－352－395＝35－152. ∴D (3－352，35－152)；第2题解图②(3)在y 轴上存在一点P ，使∠APC ＝45°，如解图③，分别过点C 、A 作y 轴、x 轴的平行线，两线交于点G ，则∠CGA ＝90°，∵A 、C 的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，∴点G 的坐标为(4，－6)．∴GA ＝GC ＝5.作以G 为圆心，GA 的长度为半径的圆，交y 轴于点P ，P ′，连接AP 、CP 、AP ′、P ′C ，此时∠APC ＝∠AP ′C ＝12∠CGA ＝45°， ∴GP ＝5.设点P 的坐标为(0，k )，过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，则H (0，－6)．在Rt △PGH 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(k ＋6)2＋42＝52，解得k 1＝－3，k 2＝－9，∴P (0，－3)，P ′(0，－9)．第2题解图③类型三 特殊三角形存在性问题1. 解：(1)∵抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，∴4ac －b 24a ＝16－（m ＋2）24＝0， 解得m ＝2或－6，∵顶点在x 轴正半轴上，∴－m ＋22>0.解得m <－2， ∴m ＝－6，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋4；(2)如解图①，过点C 作抛物线的对称轴，交直线AB 于点D ，由y ＝x 2－4x ＋4得抛物线的对称轴是直线x ＝2，则D (2，4)，DC ＝4.在点D 上方的抛物线的对称轴上取一点E ，使DE ＝2DC ，则E (2，12)．连接AE ，BE ，则S △ABE ＝2S △ABC .过点E (2，12)作直线AB 的平行线交抛物线于点P 1，P 2，此时满足S △P AB ＝S △ABE ＝2S △ABC .设直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋k ，∵点E (2，12)在直线P 1P 2上，∴2＋k ＝12，∴k ＝10.∴直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋10.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋10y ＝x 2－4x ＋4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝16， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，9)，(6，16)；第1题解图①(3)设A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，显然，∠P A ′B ′≠90°.①如解图②，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于点M ，PN ⊥MN 于点N ， ∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x ＋t ，∴∠B ′A ′M ＝45°，∴△A ′B ′M 和△PB ′N 都是等腰直角三角形，∴PN ＝NB ′，∴x 2＋1＝9－y 2，即x 2＋y 2＝8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y 2＝x 2＋t ， 解得⎩⎨⎧x 2＝4－12ty 2＝4＋12t ， 将点(4－12t ，4＋12t )代入抛物线的函数表达式，得4＋12t ＝(4－12t )2－4×(4－12t )＋4. 解得 t 1＝0，t 2＝10(此时点A ′与点P 重合，舍去)；第1题解图②如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，则△A′EP∽△PFB′，∴A′EPE＝PFB′F.∴x1＋19－y1＝y2－9x2＋1.∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，整理得t2－15t＋50＝0，解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，综上，t的值为0或5.第1题解图③类型四特殊四边形存在性问题1. 解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状，大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为直线x＝1，∴C2的对称轴为直线x＝－1，∴m＝2，∴C 1的函数表达式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3＝0，在C 2的函数表达式y ＝x 2＋2x －3中，当y ＝0可得x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)；(2)根据题意可得点D 的坐标为(0，－3)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b .把(0，－3)和(－3，0)代入到y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－3k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －3，设P (a ，a 2＋2a －3)，则E (a ，－a －3)，则PE ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a ，根据对称可得四边形PEDE ′是菱形，则DE ′＝PE ＝－a 2－3a ， 如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵ED ∥PE ′，ED 所在直线斜率k ＝－1∴∠E ′＝∠AEF ＝45°，GE ′＝－a ，PG ＝GE ′.在Rt △PGE ′中，根据勾股定理得：PE ′＝－2a ，根据菱形性质可得：PE ′＝DE ′， ∴－2a ＝－a 2－3a ，解得a ＝2－3，∴P (2－3，2－42)；第1题解图(3)存在．∵AB 的中点为(－1，0)，且点G 在抛物线C 1上，点Q 在抛物线C 2上，∴AB 只能为平行四边形的一边，∴GQ ∥AB 且GQ ＝AB ，由(1)可知AB ＝1－(－3)＝4，∴GQ ＝4，设G (t ，t 2－2t －3)，则Q (t ＋4，t 2－2t －3)或(t －4，t 2－2t －3)，①当Q (t ＋4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3，解得t ＝－2，∴t 2－2t －3＝4＋4－3＝5，∴G (－2，5)，Q (2，5)；②当Q (t －4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t －4)2＋2(t －4)－3，解得t ＝2，∴t 2－2t －3＝4－4－3＝－3，∴G (2，－3)，Q (－2，－3)，综上可知，存在满足条件的点G 、Q ，其坐标为G (－2，5)，Q (2，5)或G (2，－3)，Q (－2，－3)．类型五 相似三角形问题1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2， 即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25， 当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52，即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．。
二次函数与几何图形综合应用训练题精选(5)
二次函数与几何图形综合应用训练题精选（5）1．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan ∠MDP＝，求M点坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）．连接AB、AC．（1）请直接写也二次函数y＝ax2+x+c的表达式；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AN．①当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；②过点N作NM∥AC，交AB于点M，求△AMN面积的取值范围．3．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．综合与探究：如图，抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点．（1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．（2）点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交直线l于点F．当DF＝2EF时，求点D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得∠P AB＝2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴为x＝，图象交x轴于A，B，交y轴于C（0，﹣3），且AB＝5，直线y＝kx+b′（k＞0）与二次函数图象交于M，N（M在N的右边），交y轴于P．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若b′＝﹣5，且△CMN的面积为3，求k的值；（3）若b′＝﹣3k，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．6．如图，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．O′C′与AB交于D点．（1）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为﹣1，求这个二次函数的解析式；（2）求D点的坐标；（3）若将直线OC绕点O旋转α度（0＜α＜90）后与抛物线的另一个交点为点P，则以O、O′、B、P为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出tanα的值；若不能，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A的半径为3，A点的坐标为（2，0），C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B．（1）求直线BC的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，求此抛物线的顶点的坐标；（3）在x轴上是否存在一点P，使△PCE和△CBE相似？若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（m，0）和点B（4，3），与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠OAC＝3．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）设点A关于y轴的对称点为E，连接DE、CD，求∠CDE的度数．9．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE＝2OC．设OE＝t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t＝4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；（4）若S＝12，则t＝．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PC．（1）求直线BC的解析式；（2）抛物线对称轴与BC交于点D，点P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点，连接PB，PD．当△BDP的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．求点Q经过的最短路径的长；（3）将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC'，点B，C的对应点分别为B'，C′，点E为直线BC上一点，连接B'E，C'E．当△B'C'E为等腰三角形时，求符合条件的点E 的坐标．11．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求出A、B两点的坐标；（2）连接AC，点P为第四象限抛物线上的一个动点，P的坐标为P（t，p），四边形ACPB 面积为S，求S与t的函数关系式，并求t为何值时，S最大？（3）在（2）的基础上，若点M为抛物线上的一个动点，在抛物线对称轴上是否存在这样的点N，使以A、M、P、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的M，N点的坐标；如果不存在，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，顶点D在第一象限的抛物线y＝﹣x2﹣kx﹣（k﹣1）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点A在点B的左侧，OA＜OB），交y轴于点C，且\;x4{1}^{2}+{x}422＝10．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设△ABC的外接圆圆心为P，过P的直线与直线AC交于Q，与x轴交于R，若△ABC与△ARQ相似，求R的坐标；（3）将此抛物线从点B沿射线BD方向平移（使得顶点D始终在BD上），若平移后的抛物线与直线BD交于点N、K，在y轴正半轴上是否存在点M，使△MNK为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，﹣4）、B（5，﹣10）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P与点A关于该抛物线的对称轴对称时，求△P AB的面积；（3）当该抛物线在点B与点P之间部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为3时，求m的值；（4）点Q为该抛物线的对称轴上任意一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．14．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．15．（1）如图1，A是抛物线y1＝2x2上的一个动点，B、C两点都在抛物线y2＝x2上，且A、B、C三点都在第二象限，AC∥x轴，AB∥y轴，P是y轴上的一个动点．①求证：△ABC与△APB面积相等；②当△APB的面积为6时，求：|PB﹣PC|的最大值及此时点P的坐标；（2）如图2，A是抛物线y1＝nx2（n＞1）上的一个动点，点A的横坐标为m（m＜0），B、C两点都在抛物线y2＝x2上，AC∥x轴，AB∥y轴，当△ABC是等腰三角形时，试用n的代数式表示m．16．已知：如图，抛物线y＝ax2+ax+c与y轴交于点C（0，2），与x轴交于点A、B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON＝2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标．（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m+2）x+2过点（2，4），且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D的坐标为（2，0），连接CA，CB，CD．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标．18．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2x（a≠0）经过原点和点A（﹣4，0），顶点为B，抛物线L'与抛物线L关于原点O对称．（1）求抛物线L的函数表达式及点B的坐标；（2）已知点A、B在抛物线L'上的对应点分别为A'、B'，L'的对称轴交x轴于点C，则抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得以P、B'、A'为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S△EOC＝S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH＝α，∠EAH＝β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．20．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）直接写出点A，C的坐标以及线段BC的长；（2）如图1，作AD∥BC交抛物线于另一点D，点P在第一象限的抛物线上，满足S△P AD ＝2S△PBC，求点P的坐标；（3）如图2，将直线BC向上平移n个单位长度，得到直线EF交抛物线于E，F两点，直线GE，GF均与y轴不平行，直线GE，GF与抛物线均有唯一公共点，求点G的横坐标．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，AP＝，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．22．如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．23．如图1，已知抛物线的顶点坐标为（0，1）且经过点A（1，2），直线y＝3x﹣4经过点B（，n），与y轴交点为C．（1）求抛物线的解析式及n的值；（2）将直线BC绕原点O逆时针旋转45°，求旋转后的直线的解析式；（3）如图2将抛物线绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线BC交于点M、N，点M在点N的上方，求点N的坐标．24．如图抛物线y＝﹣x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M 作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求直线AB的解析式和此抛物线的解析式；（2）如图，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A、B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A、B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由；（3）当a≤x≤a+1时，y＝﹣x2+bx+c有最大值为2a，求a的值．26．如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A1B1C1O（α＜45°），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y＝ax2+bx+c过点A1、B1、C1．（1）填空：tanα＝；抛物线的函数表达式是；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若正方形A1B1C1O以每秒2个单位长度的速度沿射线A1O下滑，直至顶点B1落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG垂直AD于点G，作FH 平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值及F点坐标；（3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标．28．如图1，我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE 在AB上，DE过点C，已知AC＝DE＝6．（1）将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q，如图2．①求证：△CQD∽△APD；②连接PQ，设AP＝x，求面积S△PCQ关于x的函数关系式；（2）将图1中的△DEF向左平移（点A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM＝t，如图3．①判断△BEN是什么三角形？并用含t的代数式表示边BE和BN；②连接MN，求面积S△MCN关于t的函数关系式；（3）在旋转△DEF的过程中，试探求AC上是否存在点P，使得S△PCQ等于平移所得S的最大值？说明你的理由．△MCN29．已知二次函数y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函数y＝（1）当a＝2时，求这两个函数图象的交点坐标；（2）若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；（3）若这两个函数的交点都在直线x＝的右侧，求a的取值范围．30．在平面直角坐标系中，矩形ABCD与等边△EFG按如图①所示放置：点B、G与坐标原点O重合，F、B、G、C在x轴上，E、A、D三点同在平行于x轴的直线上．△EFG 沿x轴向右匀速移动，当点G移至与点C重合时，△EFG即停止移动．在△EFG移动过程中，与矩形ABCD的重合部分的面积S（cm2）与移动时间t（s）的一部分函数图象是线段MN如图②所示（即△EFG完全进入矩形ABCD内部时的一段函数图象）（1）结合图②，求等边△EFG的边长和它移动的速度；（2）求S与t的函数关系式，并在图②中补全△EFG在整个移动过程中，S与t的函数关系式的大致图象；（3）当△EFG移动（+1）s时，E点到达P点的位置，一开口向下的抛物线y＝，过P、O两点且与射线AD相交于点H，与x轴相交于点Q（异于原点）．请问a是否存在取某一值或某一范围，使OQ+PH的值为定值？如果存在，求出a值或a的取值范围；如果不存在，请说明理由．。
二次函数与几何图形相结合训练试题
二次函数与几何图形相结合训练试题一、与三角形形状问题 1.1.如图，直线如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,03,0））. ⑴ 求抛物线的解析式求抛物线的解析式; ;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△，使△ABQ ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由点坐标；若不存在，请说明理由. .2.如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．与抛物线的交点坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ，c 的值；的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；的坐标； （3）在（2）的条件下：）的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．的坐标；若不存在，说明理由．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=a （x+1）2+c （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为M ，若直线MC 的函数表达式为y=kx-3，与x 轴的交点为N ，且cos ∠BCO=10103． （1）求此抛物线的函数表达式；）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q ．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？个单位长度？5.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．）求抛物线的解析式；（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；坐标；（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．直接写出所有符合条件的值．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．）求抛物线的解析式；（1）求抛物线的解析式；的坐标；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．EN MDCBAOyx2.二次函数与四边形1.1.已知抛物线已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)(-1,0)，与，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴ 直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；的坐标； ⑵ 当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；上时，求抛物线的解析式；⑶ 坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4)，抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m=´-+ ∴∴16m =-∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+（2）在Rt △ABO 中，OA =3=3，，OB =4=4，∴，∴225AB OA OB =+=∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 =5 （（5分）分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（两点的坐标分别是（55，4）、（2，0）． （（6分）分）当5x =时，2210554433y =´-´+= 当当2x =时，2210224033y =´-´+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上．（7分）分）（3）设直线C:y kx b =+，则5420k b k b +=ìí+=î解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- （（9分）分）∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，（10分）分）∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t æö=-=---+=-+-=--+ç÷èø∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）．（12分）分） 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点．三点． （1）求此抛物线的函数表达式；）求此抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为27？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m ，则OB=OC=5m ，AB=6m ，由△ABC =AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值）， ∴A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5）， 设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣5），将C 点坐标代入，得a=1， ∴抛物线解析式为y=（x+1）（x ﹣5），即y=x 2﹣4x ﹣5； （2）设E 点坐标为（m ，m 2﹣4m ﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（m ﹣2）=EH ，得2（m ﹣2）=﹣（m 2﹣4m ﹣5）或2（m ﹣2）=m 2﹣4m ﹣5，解得m=1±或m=3±， ∵m ＞2，∴m=1+或m=3+，边长EF=2（m ﹣2）=2﹣2或2+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 解析式为y=x ﹣5，依题意，直线y=x+9或直线y=x ﹣19与BC 的距离为7，联立，，解得或，∴M 点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．4.如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+¹经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．的长． 解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+¹经过点(20)A -，，309333a a \=+\=-\二次函数的解析式为：232383333y x x =-++ （2）D 为抛物线的顶点(133)D \，过D 作DN OB ^于N ，则33DN =，222233(33)660AN AD DAO =\=+=\Ð=，°OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形是平行四边形 66(s)OP t \=\=②当DP OM ^时，四边形DAOP 是直角梯形是直角梯形过O 作OH AD ^于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO Ð=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t \===③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t \=-=-=\=xyM CDPQO AB xyM CDPQO AB N E H综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB Ð==°，，△是等边三角形是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====\=-<<，，，过P 作PE OQ ^于E ，则32PE t =113633(62)222BCPQ S t t \=´´-´-´=233633228t æö-+ç÷èø 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338\此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==\=-==，=， 222233933442PQ PE QE æöæö\=+=+=ç÷ç÷ç÷èøèø三.能力提升1.如图，抛物线y=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．的值．解：（1）把点A （﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x 2+bx ﹣2， 整理后解得，所以抛物线的解析式为．（2分）分）顶点D；（3分）分） （2）AB=5．AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形．（6分）分）（3）作出点C 关于x 轴的对称点Cʹ，则Cʹ（0，2），OCʹ=2． 连接CʹD 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E ，△CʹOM ∽△DEM ．∴，∴， ∴m=．（10分）分）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、直角三角形的性质及判定、直角三角形的性质及判定、轴对称性轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形． 2.2.如图（如图（如图（11），矩形ABCD 的一边BC 在直角坐标系中x 轴上，折叠边AD,AD,使点使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE AE，已知，已知AB=8AB=8，，AD=10AD=10，并设点，并设点B 坐标为（坐标为（m,0m,0m,0）），其中m ＞0.（1）求点E 、F 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）连接OA OA，若△，若△，若△OAF OAF 是等腰三角形，求m 的值；的值；（3）如图（2），设抛物线y=a(x y=a(x－－m －6)2+h 经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM AM，，若∠若∠OAM=90OAM=90OAM=90°，°，求a 、h 、m 的值的值. .解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴是矩形，∴AD=BC=10AD=BC=10AD=BC=10，，AB=CD=8AB=CD=8，∠，∠，∠D=D=D=∠∠DCB=DCB=∠ABC=90°.∠ABC=90°.∠ABC=90°. 由折叠对称性：AF=AD=10AF=AD=10，，FE=DE.FE=DE.在在Rt Rt△△ABF 中，BF=22221086AF AB -=-=.∴FC=4. 在Rt Rt△△ECF 中，42+（8-x 8-x））2=x 2，解得x=5.x=5.∴∴CE=8-x=3.CE=8-x=3.∵∵B （m ，0）,∴E(m+10,3),F （m+6,0m+6,0））. （2）分三种情形讨论：）分三种情形讨论：若AO=AF AO=AF，∵，∵，∵AB AB AB⊥⊥OF OF，∴，∴，∴OB=BF=6.OB=BF=6.OB=BF=6.∴∴m=6. 若OF=AF OF=AF，则，则m+6=10m+6=10，解得，解得m=4.若AO=OF AO=OF，在，在Rt Rt△△AOB 中，中，AO AO 2=OB 2+AB 2=m 2+64+64，， ∴（∴（m+6m+6m+6））2= m 2+64+64，解得，解得m=73. 综合得m=6或4或73. （3）由（）由（11）知A(m,8)A(m,8)，，E(m+10,3).依题意，得22(6)8(106)3a m m h a m m h ì--+=ïí+--+=ïî，解得1,41.a h ì=ïíï=-î ∴M （m+6m+6，﹣，﹣，﹣11）.设对称轴交AD 于G. G. ∴∴G （m+6,8m+6,8）），∴，∴AG=6AG=6AG=6，，GM=8GM=8－（﹣－（﹣－（﹣11）=9. ∵∠∵∠OAB+OAB+OAB+∠BAM=90°，∠∠BAM=90°，∠∠BAM=90°，∠BAM+BAM+BAM+∠MAG=90°，∠MAG=90°，∠MAG=90°， ∴∠∴∠∴∠OAB=OAB=OAB=∠∠MAG.又∵∠又∵∠ABO=ABO=ABO=∠MGA=90°，∠MGA=90°，∠MGA=90°， ∴△∴△∴△AOB AOB AOB∽△∽△∽△AMG. AMG. AMG. ∴∴OB AB MG AG =，即896m =. . ∴∴m=12. 3.如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由． 解：解： (1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =090 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ·=2∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴49=AO 3=OC∴OB 4932=∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得三点坐标代入得3127312++-=x x y(3) ①OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。
二函数与几何图形综合题
二函数与几何图形综合题类型一:二次函数与三角形判定1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(－3，0)．(1)试判断该抛物线与x轴的交点情况；(2)平移这条抛物线后，平移后抛物线的顶点为D，同时满足以A、B、D为顶点的三角形是等边三角形，请写出平移过程，并说明理由．2. (2016西北大附中模拟)已知抛物线C1：y＝－ax2＋bx＋3a的图象经过点M(1，0)，N(0，－3)，其关于原点对称后的抛物线C2与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C，其顶点为D.(1)求对称后的抛物线C2的表达式；(2)作出抛物线C2的图象，连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；(3)在抛物线C2图象的对称轴右侧上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知抛物线c1：y＝－2x2＋6.(1)写出抛物线c1的顶点坐标；(2)将抛物线c1：y＝－2x2＋6沿x轴翻折，得到抛物线c2，请直接写出抛物线c2的表达式；(3)现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．5. 如图，抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，设抛物线的顶点为D.(1)求该抛物线的表达式与顶点D的坐标；(2)试判断以B、C、D为顶点的三角形的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6. (2016西安交大附中模拟)如图，已知抛物线经过A(－2，0)，B(－3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的表达式；(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型四:二次函数与图形面积7. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．8. 如图，顶点为M的抛物线y＝a(x＋1)2－4分别与x轴相交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由；(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．类型五:二次函数与线段、周长、面积最值9. (2016西安交大附中模拟)如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2＋bx＋c与x 轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，与y轴交于点C，且x1、x2(x1<x2)是方程(x＋1)(x－3)＝0的两个根．(1)求抛物线的表达式及点C坐标；(2)若点D是线段BC上一动点，过点D的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E，求DE长的最大值；(3)试探究当DE取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以D、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．10. (2015陕西副题24题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx ＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．已知A(－3，0)，该抛物线的对称轴为直线x＝－1 2.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B、C的坐标；(3)假设将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上．如若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．练习题：1. (2019陕西黑白卷)已知抛物线C1：y＝ax2＋4x＋c与x轴交于M(－4，0)和N两点，且抛物线过点A(－2，－4)．(1)求抛物线C1的表达式；(2)抛物线C2与抛物线C1关于直线x＝m(m≠－2)对称，点M的对应点为P，若△AMP是等腰三角形，求m的值及抛物线C2的表达式．第1题图2. 如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线L的表达式；(2)如何平移抛物线L，使平移后的抛物线L′经过点A，且在抛物线L′上有一点M，使△CBM是以∠CBM为直角的等腰直角三角形．第2题图3. 已知抛物线L ：y ＝ax 2－52x ＋c 经过点A (0，2)、B (5，2)，且与x 轴交于C 、D 两点(点C 在点D 左侧)．(1)求点C 、D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状；(3)把抛物线L 向左或向右平移，使平移后的抛物线L ′与x 轴的一个交点为E ，是否存在以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线L ′的表达式；若不存在，请说明理由．4. (2018西安铁一中模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为A (－5，－4)，与x 轴交于点B (－2，0)．(1)求二次函数的表达式；(2)将原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180°，得到的新抛物线与x 轴的一个交点为点C ，若新抛物线上存在一点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是以AB 为边的菱形，求新抛物线的表达式．5. (2019陕西黑马卷)如图，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线L的表达式；(2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为L′，求抛物线L′的表达式；(3)在抛物线L′上是否存在一点P，使得S△ABC＝2S△ABP，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图6. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y＝－x2沿x轴翻折，再平移得到抛物线C2，恰好经过点A(－3，0)、B(1，0)，抛物线C2与y轴交于点C，抛物线C1与抛物线C2的对称轴交于点D.(1)求抛物线C2的表达式；(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．7.如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与轴的一个交点为，另一交点为，与轴交点为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）点是抛物线上一点，点是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由．。
二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何图形综合题类型1 二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值；(3)D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4时，求四边形CAEB的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且tan ∠AFE ＝12，求点O 到直线AF 的距离； (3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ，F ，P ，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·昆明)如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O ，A 两点，直线AC 交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2015·昆明西山区二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．类型3 二次函数与直角三角形的存在性问题1．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2015·自贡)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求线段BC所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．(2015·益阳)已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．类型4 二次函数与等腰三角形的存在性问题1．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b .(1)求二次函数y 1的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，直线y ＝kx －1与抛物线交于A ，C 两点，其中A (－1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为－3.(1)求k值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型5 二次函数与图形面积问题1．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)与x 轴交于点A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求K 点坐标．2．(2015·云南二模)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＜0)与双曲线y ＝k x相交于点A 、B ，点A 的坐标为(－2，2)，点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，直线BC与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线的顶点为E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ABC与△ABE的面积；(3)在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．类型6二次函数与最值问题1．(2015·昆明盘龙区一模)如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积最大值，并求此时点P的坐标；(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．2．(2013·玉溪)如图，顶点为A的抛物线y＝a(x＋2)2－4交x轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O 作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)求点A，B所在的直线的解析式(关系式)；(3)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？(4)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ.问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．类型7 二次函数与根的判别式问题1．(2015·衡阳)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型8 二次函数与圆1．(2015·昆明盘龙区二模)如图，已知以E(3，0)为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，顶点为F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合)．试探究：①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．2．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．。
中考数学专题复习：二次函数与几何图形综合题
二次函数与三角形相似1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(0，2)、C(1，0)．(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段AB上是否存在点Q，使△ACQ与△AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线C交x轴于另一点M(－3，0)．(1)求抛物线C的表达式；(2)求抛物线C关于y轴的对称图形C′的顶点D的坐标；(3)若点A′是点A关于原点的对称点，则在x轴上是否存在点P，使得△P AD与△A′BO相似，若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝ax2＋bx过点A(6，0)和点B(3，3)．(1)求抛物线y1的表达式；(2)将抛物线y1沿x轴翻折得抛物线y2，求抛物线y2的表达式；(3)在(2)的条件下，抛物线y2上是否存在点M，使△OAM与△AOB相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与特殊四边形判定1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，D 是抛物线W 的顶点.(1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标；(2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点A (－1，0)、B (0，1)，且与x 轴有唯一交点.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式；(2)若将(1)中的抛物线沿y 轴向下平移m 个单位后与x 轴的两个交点分别为C 、D (点C 在点D 的左边)，当∠CBD ＝90°时，求m 的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E ，使以C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋b4的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .(1)直接写出点C 的坐标；(2)当AB ＝OB 时，求出抛物线L 的表达式；(3)若将抛物线L 绕原点O 旋转180°后，得到抛物线L ′，其中点A 对应A ′，点B 对应B ′，点C 对应C ′，若以点A 、C 、A ′、C ′为顶点的四边形是正方形时，请求出抛物线L ′的表达式.二次函数与特殊三角形判定1.已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m －1过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为D ，我们称由抛物线的顶点和与x 轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．(1)求m 的值；(2)判断该“顶点△ADO ”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C (1，0)，且“顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式． 答案：（1）m ＝1；（2）∴OD ＝AD ，OA 2＝OD 2＋AD 2，∴∠ADO ＝90°，∴△ADO 为等腰直角三角形； (3)如解图②，设所求抛物线表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，∵抛物线经过点C (1，0)，∴b ＋c ＝1，设点D ′为平移后抛物线顶点，∴D ′(b 2，4c ＋b24)，∵tan ∠D ′CE ＝tan60°＝4c ＋b 24b2－1＝3，解得b ＝23＋2，c ＝－23－1，(b ＝2，c ＝－1舍去)∴平移后抛物线的表达式为y ＝－x 2＋(23＋2)x －1－2 3.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)． (1)求该抛物线的表达式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状(钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形)；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△P AC 为以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）y ＝x 2－5x －6；（2）令x 2－5x －6＝0，解得，x 1＝－1，x 2＝6，∴点B 的坐标为B (－1，0)，即点B 在(－6，0)与原点之间，又∵OA ＝6，OC ＝6，OB ＝1，∴∠BAC <90°，∵△AOB 与△AOC 均为直角三角形；∴∠OBA 与∠BCA 均为锐角，∴△ABC 为锐角三角形；或者用a 2+b 2>c 2 判断。
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专题十一 二次函数与几何图形综合题与线段有关的问题【例1】 (2016·梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是(3，0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上．(1)b ＝__－2__，c ＝__－3__，点B 的坐标为__(－1，0)__；(直接填写结果)(2)是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．分析：(2)分别过点C ，A 作AC 的垂线，交抛物线于P 1，P 2两点，求出交点坐标即可；(3)连接OD ，证四边形OEDF 为矩形得到OD ＝EF ，由垂线段最短求出点D 的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．解：(2)存在．理由：如图1，①当∠ACP 1＝90°，易求直线AC 的解析式为y ＝x －3，∴直线CP 1的解析式为y ＝－x －3，将y ＝－x －3与y ＝x 2－2x －3联立解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)，∴点P 1的坐标为(1，－4)；②当∠P 2AC ＝90°时，易求直线AP 2的解析式为y ＝－x ＋3，将y ＝－x ＋3与y ＝x 2－2x －3联立解得x 1＝－2，x 2＝3(舍去)，∴点P 2的坐标为(－2，5)．综上所述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)(3)如图2，连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD ＝EF.根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由(1)可知，在Rt △AOC 中，∵OC ＝OA ＝3，OD ⊥AC ，∴D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF ＝12OC ＝32，∴点P 的纵坐标是－32，令x 2－2x －3＝－32，解得x ＝2±102.∴当EF 最短时，点P 的坐标是(2＋102，－32)或(2－102，－32)与面积有关的问题【例2】 (2016·永州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为3102？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．分析：(2)将y ＝kx 代入抛物线解析式得到关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系可得x A ＋x B ＝2＋k ，由点O 为线段AB 的中点可得x A ＋x B ＝0，由此求出k 值，代入一元二次方程求出x A ，x B ，即可求出点A ，B 的坐标；(3)假设存在，利用三角形的面积公式及(2)中根与系数的关系，可得出关于k 的一元二次方程，根据此方程解的情况判断k 是否存在．解：(1)(0，－3)，y ＝x 2－2x －3 (2)将y ＝kx 代入y ＝x 2－2x －3中得kx ＝x 2－2x －3，整理得x 2－(2＋k)x －3＝0，∴x A ＋x B ＝2＋k ，x A x B ＝－3.∵原点O 为线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝2＋k ＝0，∴k ＝－2.当k ＝－2时，x 2－3＝0，解得x A ＝－3，x B ＝3，∴y A ＝－2x A ＝23，y B ＝－2x B ＝－2 3.故k 的值为－2，点A 的坐标为(－3，23)，点B 的坐标为(3，－23)(3)假设存在．由(2)可知x A ＋x B ＝2＋k ，x A x B ＝－3，S △ABC ＝12OC·|x A －x B |＝12×3×（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝3102，∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2≥0，∴方程无解，故假设不成立，即不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102与三角形全等、相似有关的问题【例3】(2016·黔东南州)如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别相交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x ＝2.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB ，PC ，求△PBC 的面积；(3)连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：(2)利用各点坐标求出三边长，得出△PBC 是直角三角形，即可求出面积；(3)分情况讨论：①当BQ BC ＝PB AB，∠PBQ ＝∠ABC ＝45°时，根据比例关系式得出BQ 的长，即可得出点Q 的坐标；②当QB AB ＝PB CB，∠QBP ＝∠ABC ＝45°时，同理可求出点Q 的坐标；③当点Q 在点B 右侧时，可得出∠PBQ ≠∠BAC ，因此此种情况不成立，综上所述即可得出符合条件的点Q 的坐标．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴P(2，－1)，又∵B(3，0)，C(0，3)，∴PC ＝22＋42＝25，PB ＝（3－2）2＋12＝2，BC ＝32＋32＝32， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2，∴△PBC 是直角三角形，且∠PBC ＝90°，∴S △PBC ＝12PB·BC ＝12×2×32＝3 (3)如图，设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，∵在Rt △PBM 中，PM ＝MB ＝1，∴∠PBM ＝45°，PB ＝ 2.由点B(3，0)，C(0，3)易得OB ＝OC ＝3，在等腰直角三角形OBC 中，∠ABC ＝45°，由勾股定理得BC ＝3 2.假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．①当BQ BC ＝PB AB ，∠PBQ ＝∠ABC ＝45°时，△PBQ ∽△ABC ，即BQ 32＝22，解得BQ ＝3， 又∵BO ＝3，∴点Q 与点O 重合，∴Q 1的坐标是(0，0)；②当QB AB ＝PB CB ，∠QBP ＝∠ABC ＝45°时，△QBP ∽△ABC ，即QB 2＝233，解得QB ＝23， ∵OB ＝3，∴OQ ＝OB －QB ＝3－23＝73， ∴Q 2的坐标是(73，0)； ③当Q 在B 点右侧，则∠PBQ ＝180°－45°＝135°，∠BAC ＜135°，故∠PBQ ≠∠BAC ，则点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上．综上所述，点Q 的坐标为(0，0)或(73，0)特殊三角形问题【例4】 (2016·漳州)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(3，0)，与y 轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是在x 轴下方抛物线上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：(2)设出点M 的坐标，结合点M 的坐标和直线BC 的解析式可得点N 的坐标，由此得出线段MN 的长度关于m 的函数关系式，由点M 在x 轴下方可找出m 的取值范围，利用二次函数的性质即可求出最值；(3)假设存在，设出点P 的坐标，结合(2)的结论可求出点N 的坐标，从而利用两点间的距离公式求出线段PN ，PB ，BN 的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n 值，从而得出点P 的坐标．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3(2)设点M 的坐标为(m ，m 2－4m ＋3)，易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.∵MN ∥y 轴，∴点N 的坐标为(m ，－m ＋3)．∵抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的对称轴为x ＝2，与x 轴另一交点A 为(1，0)，∴1＜m ＜3.∵MN ＝－m ＋3－(m 2－4m＋3)＝－m 2＋3m ＝－(m －32)2＋94，∴当m ＝32时，线段MN 取最大值，最大值为94(3)假设P 点存在．设点P 的坐标为(2，n)．当m ＝32时，点N 的坐标为(32，32)，∴PB ＝（2－3）2＋（n －0）2＝1＋n 2，PN ＝（2－32）2＋（n －32）2，BN ＝（3－32）2＋（0－32）2＝322.△PBN 为等腰三角形分三种情况：①当PB ＝PN 时，即1＋n 2＝（2－32）2＋（n －32）2，解得n ＝12，此时点P 的坐标为(2，12)；②当PB ＝BN 时，即1＋n 2＝322，解得n ＝±142，此时点P 的坐标为(2，－142)或(2，142)；③当PN ＝BN 时，即（2－32）2＋（n －32）2＝322，解得n ＝3±172，此时点P 的坐标为(2，3－172)或(2，3＋172)．综上可知，点P 的坐标为(2，12)，(2，－142)，(2，142)，(2，3－172)或(2，3＋172)特殊四边形问题【例5】 (2016·毕节)如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx 与直线y ＝2x ＋4交于A(a ，8)，B 两点，点P 是抛物线上A ，B 之间的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C ，E.(1)求抛物线的解析式；(2)若C 为AB 的中点，求PC 的长；(3)如图，以PC ，PE 为边构造矩形PCDE ，设点D 的坐标为(m ，n)，请求出m ，n 之间的关系式．分析：(2)联立抛物线和直线解析式求出B 点坐标，从而求出C 点坐标，结合条件可知P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求P 点横坐标，从而可求PC 的长；(3)根据矩形的性质分别用m ，n 表示出点C ，P 的坐标，根据DE ＝CP ，可得到m ，n 的关系式．解：(1)y ＝x 2＋2x(2)联立抛物线和直线解析式可得⎩⎨⎧y ＝x 2＋2x ，y ＝2x ＋4，解得⎩⎨⎧x 1＝2，y 1＝8，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴B 点坐标为(－2，0)，∵A(2，8)，B(－2，0)，C 为AB 中点，∴C 点坐标为(0，4)，又PC ∥x 轴，∴P 点纵坐标为4，∵P 点在抛物线上，令4＝x 2＋2x ，解得x ＝－1－5或x ＝5－1，又P 点在A ，B 之间的抛物线上，∴x ＝－1－5不合题意，舍去，∴P 点坐标为(5－1，4)，∴PC ＝5－1－0＝5－1(3)∵D(m ，n)，且四边形PCDE 为矩形，∴C 点横坐标为m ，E 点纵坐标为n ，∵C ，E都在直线y ＝2x ＋4上，∴C(m ，2m ＋4)，E(n －42，n)，∵PC ∥x 轴，PE ∥y 轴，∴P 点纵坐标为2m ＋4，横坐标为n －42，即点P 的坐标为(n －42，2m ＋4)．∵P 点在抛物线上，∴2m ＋4＝(n －42)2＋2(n －42)，整理可得n 2－4n －8m －16＝0，∴m ＝18n 2－12n －21．(导学号 59042313)(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－8，3)，B(－4，0)，C(－4，3)，∠ABC ＝α°.抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C ，且对称轴为x ＝－45，并与y 轴交于点G. (1)求抛物线的解析式及点G 的坐标；(2)将Rt △ABC 沿x 轴向右平移m 个单位，使B 点移到点E ，然后将三角形绕点E 顺时针旋转α°得到△DEF ，若点F 恰好落在抛物线上．①求m 的值；②连接CG 交x 轴于点H ，连接FG 交x 轴于点Q ，过B 作BP ∥FG ，交CG 于点P ，求证：PH ＝GH.解：(1)y ＝12x 2＋45x －95，点G(0，－95) (2)①过F 作FM ⊥y 轴，交DE 于点M ，交y 轴于点N ，由题意可知AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5，FM ＝125，∵Rt △ABC 沿x 轴向右平移m 个单位，使B 点移到点E ，∴E(－4＋m ，0)，OE ＝MN ＝4－m ，FN ＝125－(4－m)＝m －85，在Rt △FME 中，由勾股定理得EM ＝32－（125）2＝95，∴F(m －85，95)，∵点F 在抛物线上，∴95＝12(m －85)2＋45(m －85)－95，即5m 2－8m －36＝0，解得m 1＝－2(舍去)，m 2＝185，则m 的值为185②易求得FG 的解析式为y ＝95x －95，CG 解析式为y ＝－65x －95，令95x －95＝0，得x ＝1，则Q(1，0)，令－65x －95＝0，得x ＝－1.5，则H(－1.5，0)，∴BH ＝4－1.5＝2.5，HQ ＝1.5＋1＝2.5，∴BH ＝QH ，∵BP ∥FG ，∴∠PBH ＝∠GQH ，∠BPH ＝∠QGH ，∴△BPH ≌△QGH(AAS )，∴PH ＝GH2．(导学号 59042314)(2016·枣庄)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：(1)y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋3(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝－1代入y ＝x ＋3得y ＝2，∴M(－1，2)(3)设P(－1，t)，又∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10，①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172) 或(－1，3－172)3．(导学号 59042315)(2016·安顺)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y ＝12x 2－2x －52 (2)∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52，∴其对称轴为直线x ＝－b 2a＝2，如图1，连接BC ，PA ＋PC ＝BC 且为最小值．∵B(5，0)，C(0，－52)，可求直线BC 的 解析式为y ＝12x －52，当x ＝2时，y ＝1－52＝－32，∴P(2，－32)(3)存在．如图2，①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，C(0，－52)，CN 1∥x 轴，则y ＝－52，x ＝4，∴N 1(4，－52)；②当点N 在x 轴上方时，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，可证△AN 2D ≌△M 2CO(ASA )，∴N 2D ＝OC ＝52，即N 2点的纵坐标为52，令12x 2－2x －52＝52，解得x ＝2＋14或x ＝2－14，∴N 2(2＋14，52)，N 3(2－14，52)．综上所述，符合条件的点N 的坐标为(4，－52)，(2＋14，52)或(2－14，52)1．(导学号 59042316)(2016·深圳)如图，抛物线y ＝ax 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点，且B(1，0)．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)如图①，点P 是直线y ＝x 上的动点，当直线y ＝x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；(3)如图②，已知直线y ＝23x －49分别与x 轴、y 轴交于C ，F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE.问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)y ＝x 2＋2x －3，A(－3，0)(2)若y ＝x 平分∠APB ，则∠APO ＝∠BPO ，如图1，若P 点在x 轴上方，PA 与y 轴交于点B′，由于点P 在直线y ＝x 上，可知∠POB ＝∠POB′＝45°，可证△BPO ≌△B′PO (ASA )，∴BO ＝B′O ＝1，易求直线AP 解析式为y ＝13x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝13x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴P 点坐标为(32，32)；若P 点在x 轴下方时，同理可得△BOP ≌△B′OP ，∴∠BPO ＝∠B′PO ，又∠B′PO 在∠APO 的内部，∴∠APO ≠∠BPO ，即此时没有满足条件的P 点．综上可知P 点坐标为(32，32) (3)如图2，作QH ⊥CE 于点H ，可求C(23，0)，F(0，－49)，∴tan ∠OFC ＝OC OF ＝32，∵DQ ∥y 轴，∴∠QDH ＝∠GFD ＝∠OFC ，∴tan ∠HDQ ＝32，设DQ ＝t ，可求DH ＝213t ，HQ ＝313t ，∵△QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形，若DQ ＝DE ，则S △DEQ ＝12DE·HQ ＝12×313t ×t ＝31326t 2；若DQ ＝QE ，则S △DEQ ＝12DE·HQ ＝12×2DH·HQ ＝12×413t ×313t ＝613t 2，∵31326t 2＜613t 2，∴当DQ ＝QE 时，△DEQ 的面积最大．设Q 点坐标为(x ，x 2＋2x －3)，则D(x ，23x －49)，∵Q 点在直线CF 的下方，∴DQ ＝t ＝23x －49－(x 2＋2x －3)＝－x 2－43x ＋239，当x ＝－23时，t max ＝3，∴(S △DEQ )max ＝613t 2＝5413，即以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为54132．(导学号 59042317)(2016·山西)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE ≌△FCE ？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．解：(1)易求抛物线解析式为y ＝12x 2－3x －8，∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252，∴抛物线对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 坐标(－2，0)，∴点B 坐标(8，0)．易求直线l 的解析式为y ＝－43x ，∵点E 为直线l 与抛物线的对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，∴点E 坐标(3，－4) (2)抛物线上存在点F 使得△FOE ≌△FCE ，此时点F 纵坐标为－4，∴12x 2－3x －8＝－4，∴x 2－6x －8＝0，解得x ＝3±17，∴点F 坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)(3)①如图1，当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，∵点E 坐标(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ，∴OM ＝OE ＝5，∴点M 坐标(0，－5)，可求直线ME 解析式为y ＝13x －5，令y ＝0，得13x －5＝0，解得x ＝15，∴点H 坐标为(15，0)，∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815，∴m ＝－83；②如图2，当QO ＝QP 时，△POQ 是等腰三角形，∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8，∴点C 坐标(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB ，可求直线CE 解析式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0，∴x ＝6，∴点N 坐标(6，0)，∵CN ∥PB ，∴OP OC ＝OB ON ，∴－m 8＝86，∴m ＝－323.综上所述，当m ＝－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形3．(导学号 59042318)(2016·聊城)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直于x 轴，垂足为E ，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．(1)求出二次函数的解析式及点D 的坐标；(2)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt △A 1O 1F ，求此时Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；(3)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度(0＜t ≤6)得到Rt △A 2O 2C 2，Rt △A 2O 2C 2与Rt △OED 重叠部分的图形面积记为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．解：(1)y ＝－427x 2＋89x ＋4，D(6，4) (2)如图①，∵点F 是抛物线y ＝－427x 2＋89x ＋4的顶点，∴F(3，163)，∴FH ＝43，∵GH∥A 1O 1，∴GH A 1O 1＝FH FO 1，∴GH 3＝434，∴GH ＝1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分＝S △A 1O 1F －S △FGH ＝12A 1O 1×O 1F －12GH ×FH ＝12×3×4－12×1×43＝163(3)当0＜t ≤3时，如图②，设O 2C 2与OD 交于点M ，由题意知C 2(t ，4)．设直线OD 为y ＝23x ，可知M(t ，23t)，∴S ＝S △MOO 2＝12·t·23t ＝13t 2；当3＜t ≤6时，如图③，设A 2C 2与OD 交于点M ，O 2C 2与OD 交于点N ，此时，A 2(t －3，0)，C 2(t ，4)，可求直线A 2C 2为y＝43x ＋(4－43t)，由直线A 2C 2与直线OD 交于点M ，有⎩⎨⎧y ＝43x ＋（4－43t ），y ＝23x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －6，y ＝43t －4，即M(2t －6，43t －4)，在△MOA 2中，OA 2＝t －3，点M 到OA 的距离y M ＝43t －4，∴S △MOA 2＝12OA 2·y M ＝12(t －3)(43t －4)＝23t 2－4t ＋6，在△ONO 2中，N(t ，23t)，∴S △ONO 2＝12OO 2·O 2N ＝12·t·23t ＝13t 2，∴S ＝S △ONO 2－S △MOA 2＝13t 2－(23t 2－4t ＋6)＝－13t 2＋4t －6.综上所述，S 与t 的函数解析式为S ＝错误!。