复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件

uuur
因为 AD ＝ OD －OA，所以 AD 对应的复数为(xБайду номын сангаасyi)－(1＋
uuur uuur uuur
uuur
2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为 BC ＝ OC － OB ，所以 BC 对应
uuur uuur 的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为 AD ＝ BC ，所以
它们对应的复数相等，即xy－－21＝＝－1，3， 解得xy＝＝－2，1.
＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd
＝ 3.
法二：设O为坐标原点， z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1 ＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.
[化解疑难] 对复数加、减法的理解
1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数 的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只 需要“合并同类项”就可以了．
2．复数的加、减法中规定，两复数相加、减，是实 部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减，复数的加、减 法可推广到多个复数相加、减的情形．
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足． 问题3：以交换律进行说明． 提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1.
[导入新知] 1．复数的加、减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝_(_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i ， z1－z2＝_(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i_. 2．复数加法的运算律 (1)交换律：_z_1＋__z_2_＝__z_2＋__z_1_； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(z_2_＋__z_3)_．
什么？ uuur uuur
提示：向量 OZ 1 ＋ OZ 2 对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也
uuur uuur
就是z1＋z2，向量OZ 1 －OZ 2 对应的复数是a－c＋(b－d)i，也
就是z1－z2.
[导入新知]
复数加、减法的几何意义
如下图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为 uuur uuur OZ 1 ，OZ 2 ，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2 对应的向量是_Ou_u_Zur_，与z1－z2对应的向量是_Zu_u2_uZu_r1_.
故点D对应的复数为2－i.
综合应用
[例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求 |z1－z2|.
[解] 法一 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝ 2.
uuur zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以| AC |＝|7＋
2i|＝ 72＋22＝ 53， uuur
因为 BD：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i， uuur
所以|BD|＝|5－12i|＝ 52＋122＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是 53和13.
[类题通法] 复数的加、减运算的技巧
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
[活学活用] 计算下列各题： (1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)； (2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 017－2 018i)． 解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016＋2 017)＋(－2 ＋3－4＋5－…－2 016＋2 017－2 018)i＝1 009－1 010i.
OZ 2 ，OZ 1 －OZ 2 的坐标．
uuur
uuur
提示：OZ 1 ＝(a，b)，OZ 2 ＝(c，d)，
uuur uuur
uuur uuur
OZ 1 ＋OZ 2 ＝(a＋c，b＋d)，OZ 1 －OZ 2 ＝(a－c，b－d)．
uuur uuur uuur uuur
问题2：向量OZ 1 ＋OZ 2 ，OZ 1 －OZ 2 对应的复数分别是
复数加、减运算的几何意义
[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形， 顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC，BD的长．
[解] 如右图，因为AC与BD的交点M是
各自的中点，所以有zM＝
zA＋zC 2
＝
zB＋zD 2
，
uuur 所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为 AC ：zC－
[活学活用] 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内 的对应点是一个正方形的三个顶点，如下图所示，求这个 正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形
的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
uuur uuur uuur
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．
又|z1＋z2|＝ 2，
∴∠Z1OZ2＝90°，
即四边形OZ1ZZ2为正方形，
故|z1－z2|＝ 2.
[类题通法] 与复数模有关的几个常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的 点为C，O为坐标原点．
(1)则四边形OACB为平行四边形； (2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； (3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； (4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正 方形．
[类题通法] 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则 是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相 接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第
uuur 三个向量及其对应的复数．注意向量 AB 对应的复数是zB －zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
复数的加减法
[提出问题] 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想 复数如何加减？ 提示：两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相加减，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
复数的加、减运算
[例 1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． [解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)＝(－1＋1)＋( 2＋ 2)i＝2 2i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a ＋(4b－3)i.
uuuur uuuur uuuur 法二 作出z1，z2对应的向量 OZ1 ， OZ2 ，使 OZ1 ＋
uuuur uuur OZ2 ＝OZ ，
uuuur uuuur
uuuur uuuur
∵|z1|＝|z2|＝1，又 OZ1 ， OZ2 不共线(若 OZ1 ， OZ2 共
线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，
3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不 一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3.
复数加、减法的几何意义
[提出问题] uuur uuur
如右图OZ 1 ，OZ 2 分别与复数a＋bi，c
＋di对应．
uuur uuur uuur
问题1：试写出 OZ 1 ， OZ 2 及 OZ 1 ＋
uuur uuur uuur
[化解疑难] 对复数加、减运算几何意义的认识
1．若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是 z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|.
2．复数加、减法的几何意义包含两方面：一是利用 几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复 数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运 算也可以给予几何解释．
[活学活用]
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，
①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.
②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2| ＝ a＋c2＋b＋d2