中考数学总复习第二十五课时比例线段

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中考总复习第二十五章数学知识点归纳.doc

中考总复习第二十五章数学知识点归纳.doc2016中考总复习第二十五章数学知识点归纳2016中考总复习第二十五章数学知识点归纳2016中考总复习第二十五章数学知识点归纳：考点一、比例线段(3分)1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

2、比例的性质(1)基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c(2)更比性质(交换比例的内项或外项)(交换内项)(交换外项)(同时交换内项和外项)(3)反比性质(交换比的前项、后项)：(4)合比性质：(5)等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC(AC BC)，并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB考点二、平行线分线段成比例定理(3~5分)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

考点三、相似三角形(3~8分)1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号∽来表示，读作相似于。

初中数学课件《比例线段》

比例是指两个或多个数之间的相对关系，可以用等号表示。
表示方法
一般使用冒号（:）或者分数形式表示比例。
例子
1:2、3:5、$\frac{4}{7}$
如何求解比例？
1. 交叉乘积法
通过交叉乘积等式求解未知数。
2. 分数的比例关系
根据已知比例的分数关系求解 Biblioteka 知数。3. 比值的乘除关系
根据已知比值的乘除关系求解未知数。
反比例中，两个量的乘积保持不变，而正比例中，两个量成正比。
3 3. 图形特征
反比例关系通常呈现出双曲线的图形特征，而正比例关系通常呈现出直线的图形特征。
如何表示反比例？
1. 使用倒数
利用两个量的倒数之间的关系表示反比例。
2. 使用分数形式
通过分数形式表示反比例中的量和关系。
3. 使用符号表示
初中数学课件《比例线段》
欢迎来到初中数学课件《比例线段》。本课件将带您深入了解比例线段的概念、计算方法和应用场景，希望能让您对这一重要数学概念有更深入的理解。
什么是比例？
在数学中，比例是指两个量或者多个量的相对关系。当两个量之间存在一定的倍数关系时，我们就说它们成比例。
比例的定义与表示方法
定义
如何判断两个线段是否成比例？
1 1. 使用比例符号
如果两个线段的长度比值相等，我们可以使用比例符号表示它们成比例。
2 2. 比较线段长度
比较两个线段的长度，判断它们是否满足等比例关系。
3 3. 使用比例公式
利用线段的长度比值，可以使用比例公式判断它们是否成比例。
求解比例线段应用举例
举例 1
通过比例线段构造一个等边三角形。
可以使用符号或字母表示反比例中的量和关系。

比例线段-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

比例线段【知识梳理】一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab ＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC ＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．【考点剖析】一．比例的性质（共15小题）1．（2018秋•浦东新区期中）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．2．（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据比例的性质分别判断即可．【解答】解：1：3＝4：12，故选：D．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键．3．（2023•普陀区一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝．【分析】直接利用已知代入求出y的值，即可得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵，x+y＝10，∴x＝y，则y+y＝10，解得：y＝4，那么x﹣y＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．4．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．【分析】设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，从而得到x、y、z，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．5．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合题意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合题意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合题意；D、∵＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区期中）已知＝，那么的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝1﹣＝1﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．7．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵2a＝3b（a、b都不等于零），∴设a＝3x，则b＝2x，那么＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，掌握正确表示出a，b的值是关键．8．（2022秋•奉贤区期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代数式a+b﹣c的值．【分析】利用设k法，进行计算即可解答．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝5k，c＝7k，∵2a﹣3b+c＝28，∴4k﹣15k+7k＝28，解得：k＝﹣7，∴a＝﹣14，b＝﹣35，c＝﹣49，∴a+b﹣c＝﹣14+（﹣35）﹣（﹣49）＝﹣49+49＝0，∴代数式a+b﹣c的值为0．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．9．（2022秋•上海月考）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．【分析】设a＝5k，b＝7k，c＝8k，再代入等式3a﹣2b+c＝9，求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后根据三角形周长公式进行计算，即可得解．【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得：k＝1，则a＝5，b＝7，c＝8，所以△ABC的周长是：5+7+8＝20．【点评】本题考查了比例的性质以及代数式求值，解决此类题目时利用“设k法”求解更简便．10．（2022秋•虹口区期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．【分析】可设＝＝＝k（k≠0），可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再根据a+b+c＝36可得关于k的方程，解方程求出k，进一步求得a、b、c的值．【解答】解：设＝＝＝k≠0，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a+b+c＝36，∴3k+4k+5k＝36，解得k＝3，则a＝3k＝9，b＝4k＝12，c＝5k＝15．【点评】此题考查了比例的性质，设k法得到关于k的方程是解题的关键．11．（2021秋•徐汇区校级月考）已知，求的值．【分析】先设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即可．【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝11．【点评】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，降低计算难度．12．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入代数式中进行分式的混合运算即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到关于k的方程，求出k，从而得到a、b、c的值．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10，∴9k﹣4k+5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．13．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【分析】设a＝3k，b＝5k，c＝4k，根据a﹣3b+2c＝﹣8，得k＝2，a＝6，b＝10，c＝8，即可求出答案．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝5k，c＝4k，∵a﹣3b+2c＝﹣8，∴3k﹣15k+8k＝﹣8，∴k＝2，∴a＝6，b＝10，c＝8，∴＝＝1．【点评】本题考查了比例的基本性质，根据已知条件列方程是关键．14．（2021秋•奉贤区校级期中）已知实数x、y、z满足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．【分析】设＝＝＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根据x﹣2y+3z＝﹣2，求出k的值，从而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝，设＝＝＝k（k≠0），∴x＝3k，y＝5k，z＝2k，∵x﹣2y+3z＝﹣2，∴3k﹣10k+6k＝﹣2，∴k＝2，∴x＝6，y＝10，z＝4，∴＝＝2．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．15．（2022秋•嘉定区期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值【分析】首先设x＝2a，y＝3a，z＝4a，然后再代入5x+y﹣2z＝10，可得a的值，进而可得答案．【解答】解：设x＝2a，y＝3a，z＝4a，∵5x+y﹣2z＝10，∴10a+3a﹣8a＝10，5a＝10，a＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握用同一未知数表示各未知数．二．比例线段（共10小题）16．（2021秋•徐汇区校级期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4C．，b＝3，c＝2，D．a＝2，，，【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，B.1×4≠2×3，故不符合题意，C.≠2×3，故不符合题意，D.，故符合题意，故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．17．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8B．6C．4D．1【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．18．（2023•宝山区一模）已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5C．D．【分析】根据比例的性质进行判断即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本选项错误，不符合题意；B、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本选项错误，不符合题意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本选项正确，符合题意；D、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是＝，故本选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．19．（2022秋•嘉定区期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正确的是（）A．B．C．D．【分析】从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答．【解答】解：A、∵，∴mq＝pn，故不符合题意；B、∵，∴qm＝pn，故不符合题意；C、∵，∴mn＝pq，故符合题意；D、∵，∴pm＝qn，故不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．20．（2021秋•金山区期末）在比例尺是1：200000的地图上，两地的距离是6cm，那么这两地的实际距离为（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km【分析】设这两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：设这两地的实际距离为xcm．由题意得：＝，解得x＝1200000，经检验，x＝1200000是分式方程的解，1200000cm＝12km，故选：B．【点评】本题考查比例线段，比例尺的定义，解题的关键是熟练掌握比例尺性质，属于中考常考题型．21．（2020秋•静安区期末）已知线段x，y满足＝，求的值．【分析】先根据比例的基本性质得到y（2x+y）＝x（x﹣y），可得x2﹣3xy﹣y2＝0，再把y当作已知数，解关于x的方程即可求得的值．【解答】解：∵＝，∴y（2x+y）＝x（x﹣y），则x2﹣3xy﹣y2＝0，解得x1＝y，x2＝y（负值舍去）．故的值为．【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的基本性质，得到x＝y是解题的难点．22．（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．23．（2021秋•黄浦区期末）4和9的比例中项是（）A．6B．±6C．D．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，解得x＝±6．故选：B．【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．24．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【分析】（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入所求代数式即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣4b+5c＝54求出k，把k值代入所求代数式即可．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝＝；（2）∵3a﹣4b+5c＝54，∴9k﹣16k+25k＝54，解得：k＝3，∴a﹣2b+c＝3k﹣8k+5k＝0．【点评】本题主要考查了比例线段，设＝＝＝k得到a＝3k，b＝4k，c＝5k是解决问题的关键．25．（2021秋•宝山区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．【分析】（1）设＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它们分别代入中，再进行分式的运算即可；（2）根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝90，解关于k的方程求出k，然后计算5k、4k和6k即可．【解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k，所以＝＝；（2）5k+4k+6k＝90，解得k＝6，所以a＝30，b＝24，c＝36．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．三．黄金分割（共7小题）26．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．27．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．28．（2021秋•金山区期末）如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1B．﹣1C．D．【分析】由黄金分割的定义得＝，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．29．（2022秋•嘉定区期中）已知点A、B、C在一条直线上，AB＝1，且AC2＝BC•AB，求AC的长．【分析】分三种情况：当点C在线段AB上，当点C在线段AB的延长线时，当点C在线段BA的延长线时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分三种情况：当点C在线段AB上，如图：∵AC2＝BC•AB，∴点C是AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝×1＝；当点C在线段AB的延长线时，如图：设AC＝x，则BC＝AC﹣AB＝x﹣1，∵AC2＝BC•AB，∴x2＝（x﹣1）•1，整理得：x2﹣x+1＝0，∴原方程没有实数根；当点C在线段BA的延长线时，如图：设AC＝x，则BC＝AC+AB＝x+1，∵AC2＝BC•AB，∴x2＝（x+1）•1，整理得：x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴AC的长为；综上所述，AC的长为或．【点评】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键．30．（2022秋•宝山区校级月考）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．（1）若AB＝1，求AC的长；（2）若AC比BC大2，求AB的长．【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC＝AB，然后进行计算即可解答；（2）根据已知可设AC＝x，则BC＝x﹣2，从而可得AB＝2x﹣2，然后根据AC2＝AB•BC，可得x2＝（2x﹣2）（x﹣2），从而进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC，∴点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝，∴AC的长为；（2）∵AC比BC大2，∴设AC＝x，则BC＝x﹣2，∴AB＝AC+BC＝2x﹣2，∵AC2＝AB•BC，∴x2＝（2x﹣2）（x﹣2），解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），∴AB＝2x﹣2＝2+4，∴AB的长为2+4．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．31．（2020秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到≈0.618，然后解方程即可．【解答】解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，∴她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得≈0.618，解得x≈8.3（cm）．经检验x＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了解分式方程．32．（2019秋•嘉定区校级月考）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD＝，则AE＝AD﹣DE＝﹣1，再利用画法得到AC＝AE ＝﹣1，即AC ＝AB ，然后根据黄金分割的定义得到点C 就是线段AB 的黄金分割点．【解答】证明：∵AB ＝2，BD ＝AB ，∴BD ＝1．∵BD ⊥AB 于点B ，∴AD ＝＝， ∴AE ＝AD ﹣DE ＝﹣1， ∴AC ＝AE ＝﹣1，∴AC ＝AB ，∴点C 就是线段AB 的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC ＝AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．【过关检测】一、单选题【答案】C【分析】能否构成一个比例式，根据“两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段”判断即可．【详解】A ．21=，能组成一个比例式，不合题意；B ．12=⨯，能组成一个比例式，不合题意；C ．1，2 不能组成一个比例式，符合题意；D ．12=故选：C【点睛】本题考查了成比例的线段，熟知：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（）A ．0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB ．1cm,3cm,4cm,8cmC ．3cm,4cm,5cm,8cmD ．1.5cm,2cm,4cm,6cm 【答案】A【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．【详解】解：A 、0.260.34⨯=⨯，是成比例线段，故本选项符合题意；B 、1834⨯≠⨯，不是成比例线段，故本选项不符合题意；C 、3845⨯≠⨯，不是成比例线段，故本选项不符合题意；D 、1.5624⨯≠⨯，不是成比例线段，故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ::a b c d =（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【答案】B【分析】利用比例中项的平方等于两个外项的积，进行计算即可．【详解】解：由题意，得：24936b ac ==⨯=，∵0b >，∴6b =；故选B ．【点睛】本题考查比例选段．熟练掌握比例中项的平方等于两个外项的积，是解题的关键．【答案】B【分析】把各个选项的比例式转化为乘积式，可得结论．【详解】解：A 、由a b c d =推出ad bc =，本选项不符合题意； B 、由a b d c =推出ac bd =，本选项符合题意； C 、由a d cb =推出ab cd =，本选项不符合题意； D 、由a cb d =推出ad bc =，本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查比例线段，比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．【答案】A【分析】设1AB =，BC x =，则1AC x =−，由比例中项得出2BC AC AB =，代入解一元二次方程即可解答．【详解】解：设1AB =，BC x =，则1AC x =−，∵BC 是AC 和AB 的比例中项，∴2BC AC AB =，即21x x =−，∴210x x +−=，解得：1x =2x ，即BC =，∴1AC ==，∴ BC AB=，故A 符合题意；BC AC ==，故B 不符合题意；AC AB =，故C 不符合题意；AC BC =，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．【答案】C【分析】根据比例的性质进行判断即可．【详解】解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意； D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．二、填空题【答案】3 【分析】由23x y =，设2,3(0)==≠x k y k k ，然后再代入求解即可；【详解】解：∵23x y =，设2,3(0)==≠x k y k k ， ∴235=33x y k k y k ++=，故答案为：53．【点睛】本题考查比例的性质，设2,3(0)==≠x k y k k 是解题关键． 8．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）在比例尺为1:60000的地图上A 、B 两处的距离是4cm ，那么A 、B 两处实际距离是______km ．【答案】2.4【分析】设A 、B 两处的实际距离是cm x ，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可．【详解】解：设A 、B 两处的实际距离是cm x ，根据题意得：4:1:60000x =解得：240000x =，240000cm 2.4km =，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了比例，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算．9．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）已知():1:2x y y +=，则:x y 的值为______．【答案】12−/0.5− 【分析】根据比例的基本性质，求得2y x =−，即可得到答案．【详解】解：∵():1:2x y y +=， ∴()2x y y +=，解得2y x =−，∴1:2x y =−，故答案为：12−【点睛】此题考查了比例，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．【答案】52/2.5/22【分析】直接利用已知把a ，b 用同一未知数表示，进而计算得出答案；【详解】解：23a b =（a b 、都不等于零），∴设3a x =，则2b x =，那么32522a b x x bx ++==；故答案为：52．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a ，b 的值是解题关键． 11．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段4a =厘米、9c =厘米，如果线段a 是线段c 和b 的比例中项，那么线段b =______厘米．【答案】169【分析】根据比例中项的定义得到::c a a b =，然后利用比例性质计算即可．【详解】解：∵线段a 是线段c 和b 的比例中项，∴::c a a b =，即9:44:b =，∴169b =．故答案为： 169．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．特别的是若::c a a b =，则a 是c 和b 12．（2023·上海金山·统考一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A 到地面底部B 的距离是468米，第二球体点P 处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A 、B 、P 在一直线），且BP AP >，那么底部B 到球体P 之间的距离是_________米（结果保留根号）【答案】234)【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值⎝⎭叫做黄金比．【详解】解：∵点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且468AB =米，BP AP >，∴468234)BP ==米．故答案为：234)．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 13．（2023·上海杨浦·统考一模）已知点P 是线段MN的黄金分割点()MP NP >，如果10MN =，那么线段MP =___________．【答案】5/5−+【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．【详解】解：∵点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，10MN =，∴105PM ===，故答案为：5．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．14．（2023·上海崇明·统考一模）点P 是线段MN 的黄金分割点，如果10cm MN =，那么较长线段MP 的长是__________cm．【答案】()5【分析】根据黄金分割点的定义，得到MP MN=，求解即可．【详解】解：由题意，得：MP MN=，即：10MP =，∴()5cm MP =；故答案为：()5．【点睛】本题考查黄金分割点．熟练掌握黄金分割点的定义，是解题的关键．【答案】1：3【分析】根据32a b =设3,2a k b k ==，代入计算即可．【详解】解：∵32a b =∴设3,2a k b k ==，∴（a ﹣b ）：a ＝(32):31:3k k k −=故答案为：1：3【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 16．（2022秋·九年级单元测试）已知线段AB =2cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 等于__________cm【答案】或【分析】分AC ＞BC 、AC ＜BC 两种情况，根据黄金比值计算即可．【详解】当AC ＞BC 时，AC=21当AC ＜BC 时，AC=AB-AB=23−=∴线段AC （cm ）或cm ）．（cm ）或cm ）．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是解题的关键．【答案】【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF 是正方形，可得EF ＝BE ，进一步即可求出EF 与CE 的比值．【详解】解：根据折叠，可知AB ＝AF ，BE ＝FE ，∠BAE ＝∠FAE ，在矩形ABCD 中，∠BAF ＝∠B ＝90°，∴∠BAE ＝∠FAE ＝45°，∴∠AEB ＝45°，∴BA ＝BE ，∴AB ＝BE ＝EF ＝FA ，又∵∠B ＝90°，∴四边形ABEF 是正方形，∴EF ＝BE ＝AB ，∵矩形ABCD 是黄金矩形，∴A BB C ＝，∴EF EC ，故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．【答案】5【分析】根据CD 是∠ACB 的平分线，由三角形的面积可得出BD BC AD AC =，可得出AB BC AC DA AC +=①；由CE 是∠ACB 的外角平分线，得出BE BC AE AC =，进而得出AB BC AC AE AC −=②，两式相加即可得出结论．【详解】解：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴BDC BDC ADC ADC S S BD BC S AD S AC ∆∆∆∆==， ∴BD BC AD AC =∴BD DA BC AC DA AC ++=，即AB BC AC AD AC +=①； ∵CE 是∠ACB 的外角平分线，∴BE BC AE AC = ∴BE AE BC AC AE AC −−=，即AB BC AC AE AC −=②； ①+②，得22 2.55AB AB BC AC BC AC BC AD AE AC AC AC +−+=+==⨯=．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．三、解答题19．（2020秋·九年级校考课时练习）已知线段AB=10cm ，点C 是AB 上的黄金分割点，求AC 的长是多少厘米？【答案】（5）cm 或（15−cm【分析】根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC ＝105=或AC ＝10−（5）＝15−【详解】解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，当AC 是较长线段时，AC ＝105=；当AC 是较短线段时，则AC ＝10−（5）＝15−故答案为：（5）cm 或（15−cm ．【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．【答案】11【分析】通过设k 法，设234x y z k ===，则2x k =，3y k =，4z k =，再利用消元的思想代入分式求值．【详解】解：设234x y z k ===，则2x k =，3y k =，4z k =， 552341144234x y z k k k x y z k k k −+⨯−+==−−⨯−−．【点睛】本题主要考查求分式的值，熟练掌握消元的思想是解决本题的关键．【分析】设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，代入3a-2b+c=9，即可求出k 的值，从而可求出a 、b 、c 的值，最后由三角形周长的计算公式求解即可．【详解】根据题意可设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，代入3a-2b+c=9，得：352789k k k ⨯−⨯+=，解得：1k =，∴578a b c ===，，， ∴△ABC 的周长=a+b+c=5+7+8=20．【点睛】本题主要考查比例的性质．解决此类题目时一般利用“设k 法”更简便．【答案】4【分析】设345x y z k ===，则3,4,5x k y k z k ===，再根据232x y z −+=−求出k 的值，然后得出x ，y ，z 的值，从而得出x y z +−的值．【详解】解：设345x y z k ===，则3,4,5x k y k z k ===，代入232x y z −+=−，得233452k k k ⋅−⋅+=−，解得2k =，6,8,10x y z ∴===，68104x+y -z ∴=+−=．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设345x y z k ===，得出k 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）=AD BC．【分析】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．易得EF 为AOD △的中位线，故EF//AD ，根据重心的性质可得12121=2EG FG BG CG =，即EF //12G G ，即可得证；（2）根据点P 为黄金分割点，可得PC BC，再根据中位线的性质即可求解．【详解】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．因为1G 、2G 为三角形AOB 和三角形COD 的重心，所以点E 、F 为AO 、DO 的中点，所以EF 为AOD △的中位线，所以EF//AD ，又因为12121=2EG FG BG CG =，所以EF //12G G ，所以12G G //AD ．（2）因为点P 为黄金分割点，所以PC BC，又因为RQ 是中位线，所以RQ//BC ，12RQ BC =，因为AD//PQ ，所以1=2PQ DQ RO BO AD OA OD DO ==，所以AD BC．【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．【答案】（1）9y =；（2）3y =. 【分析】（1）由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到x=9y ，即可解答；（2）由比例的性质对比例式进行变形从而得到3y 2+2xy-x 2=0，然后分解得（3y-x ）（y+x ）=0，即可解答．【详解】解：(1)由332x y x y +=−，得2(3)3()x y x y +=−，即2633x y x y +=−，解得9y x =，∴9x y =.(2)由3x y x x y y +=−，得(3)()y x y x x y +=−，即22320y xy x +−=，解得3x y =或x y =−（不合题意，舍去），∴3x y =.【点睛】本题重点考查比例线段，解答本题的关键在于了解比例的性质并且对比例式进行变形. 25．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE BC ∥. （1）若2ADE S ∆=，7.5BCE S ∆=，求BDE S ∆；（2）若BDE S m ∆=，BCE S n ∆=，求ABC S ∆.（用m ，n 表示）【答案】（1）3BDE S ∆=；（2）2ABC n S n m ∆=−。

九年级比例线段知识点总结

九年级比例线段知识点总结九年级数学学习的重要一环就是比例线段的知识。

比例线段是指两个线段的长度之间存在着相等的比例关系。

在九年级，学生需要通过掌握比例线段的相关知识来解决实际生活中的问题。

本文将对九年级比例线段知识点进行总结。

比例线段的定义和性质首先，我们来了解比例线段的定义和性质。

在图形中，如果两条线段之间的长度比相等，那么我们可以说这两条线段是成比例的。

具体来说，如果在线段AB和CD上，有一个点E使得AE：EB = CE：ED，我们就可以称AB与CD是成比例的。

比例线段的比例关系在数学中非常重要。

根据比例线段的性质，我们可以推导出一些重要的结论。

比如，如果一条线段被分割成两个比例相等的部分，那么这条线段的两个部分与整条线段的比例也相等。

比例线段的应用在实际生活中，比例线段的知识广泛应用于各个领域。

例如，我们可以通过比例线段的知识求解几何图形中的未知边长。

当我们已知一个图形中的线段比例，而另一个线段的长度是未知的时候，我们可以通过比例关系来求解未知线段的长度。

另一个应用场景是地图测量。

比例线段可以帮助我们计算实际地图上两点之间的距离。

当我们知道地图上的一个距离与实际距离之间的比例关系时，我们可以通过比例线段来计算其他距离的实际值。

比例线段的运算在九年级，我们也需要学习比例线段的运算。

比例线段的运算包括两个方面：比例的乘法和比例的除法。

比例的乘法指的是，当我们已知两个比例线段相等的时候，我们可以将其相乘得到一个等于的比例。

例如，如果线段AD与BC 成比例，而线段DE与EF也成比例，那么我们可以得到AD：BC = DE：EF，我们还可以得到AD：EF = BC：DE，这个过程叫做比例的乘法。

比例的除法就是比例的相除运算。

当我们已知一个比例等于另一个比例的乘积时，我们可以通过比例的相除运算，求得两个比例相等的关系。

例如，如果AD：BC = DE：EF，而AD与EF也成比例，那么我们可以通过除法得到AD：EF = BC：DE。

浙教版九年级数学上册《比例线段》评课稿

浙教版九年级数学上册《比例线段》评课稿一、课程背景《比例线段》是浙教版九年级数学上册的一节重要课程，该节课主要介绍了比例线段的概念、性质和应用。

通过学习这一知识点，学生能够进一步理解比例的概念，并能够在实际生活中灵活运用比例线段的知识。

二、教学目标1.了解比例线段的定义，认识比例线段的性质；2.掌握比例线段的求解方法；3.能够应用比例线段的知识解决实际问题；4.培养学生的分析和解决问题的能力。

三、教学重点与难点1. 教学重点•比例线段的概念和性质；•比例线段的求解方法。

2. 教学难点•如何灵活运用比例线段求解实际问题。

四、教学内容及学情分析1. 教学内容•比例线段的定义和性质；•比例线段的求解方法；•比例线段的应用。

2. 学情分析该班学生的数学基础较好，平时乐于思考，善于运用所学知识解决实际问题。

然而，对于比例线段这一知识点，学生仍存在一定的困惑和不足。

因此，本节课的教学重点是帮助学生理解比例线段的概念，掌握求解比例线段的方法，并培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 导入引入通过提出一个小问题引入比例线段的定义，激发学生的兴趣和思考能力。

例如：“小明根据地图上的比例尺，测量了自己家到学校的实际距离为800米，而地图上的距离是4厘米。

请问这个比例尺是多少？”2. 概念解释与示例分析介绍比例线段的定义和基本性质，并通过一些具体的示例进行分析和讲解。

3. 求解方法的讲解与练习详细介绍比例线段的求解方法，包括直接取比、交叉相乘法等，并通过一些练习题进行演练和讲解。

4. 实际问题的应用引导学生将比例线段的知识应用于实际问题的解决中，提供一些生活中常见的问题供学生思考和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。

例如：“小明和小刚同时从A地出发，前往B地，小明的速度是每小时60公里，而小刚的速度是每小时50公里。

已知小明到达B地用时4小时，请问小刚到达B地需要多少小时？”5. 总结与反思通过课堂小结，对本节课所学的内容进行总结，并向学生提出思考问题，引导他们反思本节课的学习收获。

初三比例线段知识点

初三比例线段知识点
嘿，初三的小伙伴们！今天咱就来聊聊超重要的比例线段知识点呀！比如说咱看地图，地图上的距离和实际的距离那就是有比例关系的哟！比例线段呢，就好像是一把神奇的尺子，能让我们通过一些已知的线段关系，去找到其他不知道的线段长度呢！
你看啊，就像分苹果一样，如果有一堆苹果要分给几个人，每个人能分到多少，这中间就有个比例关系。

比例线段也是这样的道理呀！比如已知两条线段的比是 2:3，那要是知道其中一条的长度，不就能算出另一条的长度啦！就像小明手里有两根小棒，长度之比是 3:4，其中一根长 9 厘米，那另一根不就能轻松算出来是 12 厘米嘛。

还有相似三角形里面也经常用到比例线段呢！这就好像是找到了相似图形的秘密钥匙。

哇塞，是不是很神奇呀？比例线段就是这么厉害，能帮我们解决好多几何问题呢！咱初三可得把它学好呀，以后遇到难题就不怕啦！
我的观点结论就是：比例线段真的超级重要，初三的我们一定要好好掌握它呀！。

初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习

比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】要点一、相似形 1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作ab或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a ca b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质：（1）基本性质如果a cb d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d=（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.a c a b c d b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （ •甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ，所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（ •慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108° 【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=-＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=--所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

九年级数学比例线段知识点

九年级数学比例线段知识点一、比例线段的概念。

1. 定义。

- 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。

例如，若a:b = c:d（b、d≠0），那么就说a、b、c、d四个数成比例，其中a、d称为比例外项，b、c称为比例内项。

- 若a:b=b:c（b≠0），则b叫做a与c的比例中项，此时b^2=ac。

2. 比例的基本性质。

- 若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad=bc（a、b、c、d都不为0），则a:b = c:d。

3. 合比性质。

- 如果(a)/(b)=(c)/(d)，那么(a± b)/(b)=(c± d)/(d)。

4. 等比性质。

- 如果(a)/(b)=(c)/(d)=·s=(m)/(n)(b + d+·s+n≠0)，那么(a + c+·s+m)/(b +d+·s+n)=(a)/(b)。

二、成比例线段。

1. 定义。

- 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

例如，若线段a、b、c、d满足(a)/(b)=(c)/(d)，则a、b、c、d是成比例线段。

2. 比例尺。

- 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。

公式为：比例尺=(图上距离)/(实际距离)。

例如，比例尺为1:500表示图上1厘米代表实际距离500厘米（5米）。

三、相似多边形中的比例线段。

1. 相似多边形的定义。

- 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

- 相似多边形对应边的比称为相似比。

例如，若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，且(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=·s=(AE)/(A'E')=k，k就是它们的相似比。

2024年中考数学提高复习讲义：比例线段

比例线段知识梳理1.比例线段的有关概念在比例式ab =cd(a:b=c:d)中,a,d 叫作外项,b,c 叫作内项,a,c 叫作前项,b,d 叫作后项，d 叫作第四比例项，如果b=c，那么b叫作a，d 的比例中项.把线段 AB 分成两条线段AC 和BC，使ACAB =√5−12,叫作把线段AB 黄金分割，C 叫作线段AB 的黄金分割点.2.比例性质(1)基本性质: ab =cdad=bc(2)合比性质: ab =cd⇒a±bb=c±dd(3)等比性质: ab =cd=⋯=mn(b+d+⋯+n≠0)⇒a+c+⋯+mb+d+⋯+n=ab3.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图所示：l₁‖l₂‖l₃.则ABBC =DEEF,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF,⋯(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.(3)定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.典型例题例1已知下列各组数中，能成比例线段的是( ).A. 1,2,3,4B.1,2,4,8C.5,1,3,4D.4,5,6,7解析要判断四个数字是否能构成比例线段.假设四个数字按从小到大排列为a，b，c，d，若要使得四个数字构成比例线段，则ab =cd,经检验得B选项正确.例 2已知a7=b8=c9,则2ba+3b−c=¯.解析该题可以使用特殊值的方法.因为a7=b8=c9,所以可以设a=7,b=8,c=9,所以2ba+3b−c =2×87+3×8−9=811.例3如图所示,在矩形ABCD 中,EF⊥AD,AB=DE,且DE 与 DA的比是黄金比，下列式子不一定成立的是( ).A.AE²=ED⋅ABB.DE²=AE⋅ADC.EF²=BF⋅BCD.AB²=AE⋅BC解析因为 DE 与DA 的比是黄金比，所以DEDA =√5−12.又因为AB=DE,假设DE=(√5−1)k,DA=2k,所以AB=DC=ED=FC=(√5−1)k,AE=BF=(3−√5)k, 所以经检验得 A 选项不一定成立.例 4设若x:y:z=2:7:5,且x-2y+3z=6,求2x−y+3zx2+y =¯.解析设x=2k,y=7k,z=5k, 因为x-2y+3z=6,所以2k-14k+15k=6,所以k=2,所以2x−y+3zx2+y =12k4k2+7k=45.双基训练1.下列四组数中，能构成比例线段的是( ).A.2,3,4,5B.1,2,4,8C.5,1,3,0D.1,2,5,72.已知ba =43,则b−aa+b=().A. 34B.43C. 17D.73.已知ab =45,能推出的比例是( ).A.a+ba =95B.a+2bb=145C.a−bb=15D.bb−a=594.已知某班64名同学分组，若分为甲、乙、丙三个小组，其人数比为4：5：7，后又有一个人加入乙组，则后来乙、丙两组人的人数比为( ).A.3:4B.4:5C.5:6D.6: 75.在等边三角形中，边长与一边上的高之比为( ).A. √2:2B.2:√3C. √3:2D.3:26.如图所示,C 是线段AB 上一点,AC: CB=3: 4,那么AB: BC=( ).A.7:3B.4:7C. 3:7D.7: 47.在比例尺为1：5000000的地图上，量得上海到江西的距离是15cm，则两地的实际距离为( ).A.0.75kmB.7.5kmC.75kmD.750km8. 已知线段AB，点C 为AB 的黄金分割点，以 BC 与AB 的长为边长的矩形周长为l₁，以CA 为边长的正方形的周长为l₂，则l₁与l₂之间的关系式为( ).A.l₁<l₂B.l₁>l₂C.l₁=l₂D.l₁≥l₂9.点C 是线段AB 的黄金分割点,若AB=4,则AC= .10.已知a,b,c,d成比例线段,其中a=3,b=4,c=12,则d= .11.一直角三角形中两条直角边比为a:b=1:√3,其中斜边长为4，则这个三角形的面积为 .12. x 是 6 和5的比例中项,则x 为 .13. 若2m−nn =14,则mn=¯.14.已知C是线段AB的一个黄金分割点,则AC: AB= .15.已知x是3x-3与3x+3的比例中项,则x的值为 .16.已知线段a,b,c 满足关系式ba =c8,且b=8,则ac= .17.已知AB=12,点C 是AB 的黄金分割点,则AC= .18.已知线段AB，在线段AB 延长线上有一点C，且CA=13AB,则线段CA 与线段CB之比为 .19.已知x3=y4=z5≠0,则x+y+zx+y−z=¯.20.已知x²−5xy+4y²=0,则yx =¯.能力提升21.已知ab =a+4cb+2d,且d:(b-3d)≠0,!则下列结论正确的是( ).(1)ab =cd;(2)ab=2cd;(3)ab=a−6cb−3dA.0B.1C.2D.322.若已知a:b:c=3:4:5,且a+2b+3c=26,则2a−3b+3ca+b =¯.23. 如图所示,已知一个矩形ABCD 中, AD:AB=(√5−1):2,E,F 分别为DC,BC 的黄金分割点(EC>DE,CF>BF),则S AEF=¯.24.如图所示，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA>PB，若S₁表示以 PA 为一边的正方形面积，S₂表示长是AB，宽是 PB 的矩形面积，则. S1¯S2.(填“>”“<”或“=”)25.如图所示,梯形ABCD 中,E,F 为DC 的三等分点,且EFAE =√5−12,若 AE=4cm,则26.如图所示，一张矩形照片的长和宽分别为15cm，10cm，照片放在一个相框中，已知相框宽度为2cm，则相框内构成的两个矩形的长和宽 (填“是”或“不是”)比例线段.拓展资源27.已知a:b:c 为非零整数,且满足b+ca =a+cb=a+bc=k,则一次函数 y=kx+(1+k)的图像一定经过( ).A.第一、二、三象限B.第二、四象限C.第一象限D.第二象限28.宽和长的比是√5−12的矩形是黄金矩形，心理测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中折叠黄金矩形的方法归纳一下(如图所示).第一步：作一个正方形ABCD；第二步:分别取 AD,BC 的中点M,N,连接MN;第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于E；第四步:过 E 作EF⊥AD 交AD 的延长线于F;请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 是黄金矩形.1-5 BCBAB 6-8 DDD9.2(√5−1)或 2(3−√5) 10. 16 11.2 √312.± √3013. 5814. ( √5-1):21 或 (3−√5):2[15.±3√2416.;4 17.6√5−6或 18−6√518. 1:4 19.6 20. 14或1 21. C 22. 9723. 10-4 √524.= 25. 16 √5-1 26.不是27. D28. 在正方形 ABCD 中,取AB=2a. 因为 N 为BC 的中点,所以 NC =12BC =a. 在 Rt △DNC 中, ND =√NC 2+CD 2=√a 2+(2a )2=√5a. 又因为NE=ND,所以 CE =NE −NC =(√5−1)a 所以 CE CD =(√5−1)a 2a =√5−12, 所以矩形 DCEF 为黄金矩形.。

初三数学成比例线段课件

图形的相似
华东师大版九年级数学上册状元导练配套课件
202X
202X
新课导入
多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变了吗？大小呢？
符合国家标准的两面共青团团旗的形状相同吗？大小呢？
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形。
相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习与其密切相关的线段的成比例。
如果
对于成比例线段我们有下面的结论：
，那么ad＝bc．如果ad＝bc
判断下列线段是否是成比例线段： a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
例2 证明：（1）如果
，那么
证明（1）∵
在等式两边同加上1，
∴
．
∴
（2）如果
，那么
（2） ∵
∴ ad＝bc，在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c，两边同除以（a－b）（c－d），
∴
，那么
、
各等于多少？
2．已知
1．已知：线段a、b、c满足关系式
且b＝4，那么ac＝______．
，
作业
．
1．判断下列各组线段是否是成比例线段：（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
2．已知
（b±d≠0），求证：
习题
师生互动，课堂小结
“比例线段”是小学数学中“比和比例”知识的拓广和发展，是研究相似形的基础，也是其他学科如物理学中力学和光学等不可缺少的工具性内容；同时，它还具有很重要的实用价值，如：工程技术人员搞设计、测量、绘图等许多方面都要用到比例线段的知识。通过本节课的学习，对本章的知识你有哪些新的认识和体会？

第二十五课比例线段

第25课比例线段〖知识点〗比与比例、比例的大体性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割〖大纲要求〗1．明白得比与比例及比例中项等概念，把握比例的大体性质、合比定理和更比定理，会用它们进行简单的比例变形；2．明白得比例线段及黄金分割的概念，明白得平行线分线段成比例定理，会作第四比例项〖考查重点与常见题型〗1．考查比例的性质，常以选择题或填空题显现，如： (1) 已知a ＝4，b ＝9，则a 、b 的比例中项是(2) 已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为 2．求线段的比、面积的比，在中考题中常以选择题、填空题或求解题型显现，如图，已知DE ∥BC ，CD和BE 相交于O ，S △DOE ：S △COB ＝4：9，则AE ：EC 为（）〖预习练习〗1．若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 知足a b ＝cd，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系必然成立的是（）（A ）a ＋mb ＋m ＝c ＋md ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c （C ）a c ＝db （D ）a －b a ＋b ＝c －d c ＋d2．如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（）（A ） AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC（C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC 3．如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ：DF ：FB ＝3：2：1，则△ADE ，四边形DFGE ，四边形FBCG 的面积比是（）（A ）3：2：1（B ）9：4：1（C ）9：16：11（D ）9：25：36 4．已知（－3）：5＝（－2）：（x －1），则x ＝ 5．若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝，又x 是6和y 的比例中项，则y ＝6．已知a b ＝c d ＝e f ＝35 ，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝7．若是x y ＝73 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋y x ＋y＝考点训练：一、若3x =x4，则x 等于（）(A)12 (B)2 3 (C)- 2 3 (D)±2 3 二、已知y 是3，6，8的第四比例项，则y 等于（） (A)4 3 (B)16 (C)12 (D)4 3、若(m+n):n=5:2，则m:n 的值是（）(A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:54、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（） (A) AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BCABCDEFABCD E(4) (8) 五、把m=abc写成比例式，且使m 为第四比例项 ;六、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是不是成比例线段 ; 7、已知x y =53，则(x+y):(x-y)= ;八、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ; 九、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC,BD 交于O ，过O 作AD 的平行线交AB 于M ，交CD 于N ，若AD=3cm ，BC=5cm,求ON.10、如图，已知平行四边形ABCD 中,G 是DC 延长线上一点，AG 交BD 和BC 于E,F ，求证：AE EF =EGAE解题指导一、（1）已知a:b:c=2:3:7，且a-b+c=12，求2a+b-3c 的值；（2）已知b+c a =c+a b =a+b c ，求a+bc的值。

九年级数学比例线段25.2

25.1比例线段
授课人
主备人
王晓菲
【教学目标】
1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用
2.掌握平行线分线段成比例定理的推论.
3.用推论进行有关计算和证明.
【重点难ห้องสมุดไป่ตู้】
重点：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力.
难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
┃教学过程设计┃
教学过程
个案补充
一、创设情境,导入新课
内容：教师提问：
（1）什么是成比例线段？
（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？
目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段
性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
五、布置作业，巩固提升
教材67页“习题”A组和B组.
教学反思
2、师生互动，探究新知
三、课堂小结，提炼观点
基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边（或者两边的延长线），所得的对应线段成比例
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截的三角形与原来三角形的对应边成比例
本节课你有哪些收获？
让学生自主总结,教师解疑,点拨.

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第25课时比例线段
〖知识点〗
比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割〖大纲要求〗
1．理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行简单的比例变形；
2．理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项〖考查重点与常见题型〗
1．考查比例的性质，常以选择题或填空题出现，如： (1) 已知a ＝4，b ＝9，则a 、b 的比例中项是
(2) 已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为 2．求线段的比、面积的比，在中考题中常以选择题、填空题或求解题型出现，如图，已
知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，
S △DOE ：S △COB ＝4：9，则AE ：EC 为（）〖预习练习〗
1．若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 满足a b ＝c
d
，m 为任意实数，则下列各式中，相等
关系一定成立的是（）（A ）
a ＋m
b ＋m ＝
c ＋m
d ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c （C ）a c ＝d
b （D ）a －b a ＋b ＝
c －
d c ＋d
2．如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（）
（A ） AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC
（C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC 3．如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ：DF ：FB ＝3：2：1，则△ADE ，四边形DFGE ，四边形FBCG 的面积比是（）
（A ）3：2：1（B ）9：4：1（C ）9：16：11（D ）9：25：36 4．已知（－3）：5＝（－2）：（x －1），则x ＝ 5．若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝，又x 是6和y 的比例中项，则y ＝
6．已知a b ＝c d ＝e f ＝3
5 ，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝
7．如果x y ＝7
3 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋y x ＋y
＝
考点训练：
1、若3x =x
4
，则x 等于（）
(A)12 (B)2 3 (C)- 2 3 (D)±2 3 2、已知y 是3，6，8的第四比例项，则y 等于（） (A)4 3 (B)16 (C)12 (D)4
3、若(m+n):n=5:2，则m:n 的值是（）
(A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:5
4、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（） (A)
AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BC (4) (8) 5、把m=ab
c 写成比例式，且使m 为第四比例项 ;
6、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是否成比例线段 ;
7、已知x y =5
3
，则(x+y):(x-y)= ;
8、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ;
9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC,BD 交于O ，过O 作AD 的平行线交AB 于M ，交
CD 于N ，若AD=3cm ，BC=5cm,求ON.
10、如图，已知平行四边形ABCD 中,G 是DC 延长线上一点，AG 交BD 和BC 于E,F ，求证：AE EF =EG AE
解题指导 1、（1）已知a:b:c=2:3:7，且a-b+c=12，求2a+b-3c 的值；（2）已知b+c a =c+a b =a+b c ，求a+b
c
的值。

2、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠2
3、已知ΔABC 中,AD 为∠BAC 的外角∠EAC 的平分线，D 为平分线与BC 延长线交点，求证:AB AC = BD
DC
4、已知，如图，ΔABC 中,直线DEF 分别交BC,AD 于D,E ，交BA 的延长线于点F ，且BD
CD =
BF
CE ，求证AF=AE
A
B C D E
F
A B
C
D E
A
B C D M N O
A
B
C
D
E
F
1
2A
B
C
D
E A
B
C
D E
F
5、已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E,F 分别在AB,AC 上，EF ∥BC, EF 交AC 于G ，若EB=DF ，AE=9,CF=4,求BE,CD, GF
AD 的值。

独立训练
1、若a b =c
d
，下列各式中正确的个数有（）
a d =c d , d:c=b:a, a
b =a 2b 2 , a b =c+5d+5 , a b =a+
c a+
d , c d =ma mb (m ≠0) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2、已知线段a,m,n ，且ax=mn ，求作x ，图中作法正确的是（）
(A) (B) (C) (D)
3、如果D,E 分别在ΔABC 的两边AB,AC 上，由下列哪一组条件可以推出 DE ∥BC (A) AD BD = 23 ,CE AE = 23 (B)AD AB = 23 ,DE BC = 2
3 (B)
AB AD = 32 ,EC AE = 12 (D) AB AD = 34 ,AE EC = 43
4、已知S 正方形=S 矩形，矩形的长和宽分别为10cm 和6cm ，则正方形的边长为
5、在Rt ΔABC 中，∠C=90°, ∠A=30°则a:b:c=
6、已知x:y=2:3，则（3x+2y ）:(2x-3y)=
7、已知5x-8y=0，则x+y x = 8、已知x 5 =y 3 =z 4 ，则2x+y-z
x+3y+z =
9、已知5x+y 3x-2y =12 ，则x y = , x+y
x-y
= ;
10、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA= ;
PB= ;
11、设点F 在平行四边形ABCD 的边CB 的延长线上，DF 交AB 于点E ，求证, AE:AD=AB:CF
12、在梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 在BD 的延长线上，且CE ∥AB ，AC 与BD 相交于点O ，求证：OB 2=OD •OE
A B
C
D
E
F
G
a m x n a m n a m
x
n a m
x n。