2[1].2估计量的评选标准

§2 估计量的评选标准问题：用不同的方法求出的同一参数的估计量可能不同，哪个估计量更好？怎样衡量？2.1 无偏估计引例：有一大批产品，废品率为)10(<<p p 未知，现任取n 件产品进行检验，获取子样观测值，构造统计量来估计未知参数p .如果pp >∧，则不利于产品卖方；如果pp <∧，则不利于产品买方。

事实上，∧p的值随每次抽样结果而变，因此自然希望抽样检验长期进行的话，在平均意义下能有一个不偏不倚的结果，即pp E =∧)(.——这就是估计量的无偏性要求。

定义：设∧θ是未知参数θ的估计量， ①若θθ=∧)(E ，则称∧θ是θ的无偏估计(unbiased estimator)，简记为UE ； ②若θθ≠∧)(E ，则称∧θ是θ的有偏估计(biased estimator)；③若θθ=∧∞→)(lim E n ，则称∧θ是θ的渐近无偏估计(asymptotic unbiased estimator).例 2.2.1 n X X X ,,,21 是来自母体X的一个子样，证明：X 是)(X E 的无偏估计，但子样方差∑=-=ni i n X X nS 122)(1不是)(X D 的无偏估计。

证明：)()(1)1()(11X E X E nX nE X E ni ini i ===∑∑==，故X是)(X E =μ的无偏估计；)1()(1222∑=-=ni inX XnE S E)()()(122122X E EXX E X E nni i-=-=∑=)]()([)]()([22X E X D X E X D +-+=)()(1)()(22X E X D nX E X D --+=)()(1X D X D nn ≠-=故∑=-=ni i n X X nS 122)(1不是)(2X D =σ的无偏估计，但由于)()](1[lim )(lim 2X D X D nn S E n nn =-=∞→∞→故∑=-=ni i n X X nS 122)(1是)(2X D =σ的渐近无偏估计.为得)(X D 的无偏估计，对2nS 进行修正（称为纠偏），令：∑=--=-=ni i n n X X n S n n S 1222*)(111则22*)(σ=n S E . 即2*nS 是)(X D 的无偏估计，此即修正样本方差.例 2.2.2 设母体),(~2σμN X，则Rd n1=∧σ是σ的无偏估计.例 2.2.3 nX X X ,,,21是来自母体)(~λP X 的一个子样，证明：2*)1(nS X ααλ-+=∧是λ的无偏估计。

证明：)(~λP Xλ==∴)()(X D X E ，故λααααααλ=-+=-+=-+=∴∧)()1()( )()1()( ))1(()( 2*2*X D X E S E X E SX E E nn即：2*)1(n S X ααλ-+=∧是λ的无偏估计。

证毕.例2.2.4],0[~θU X ，①θ的矩估计量X21=∧θ ，②θ的最大似然估计)(2n X =∧θ，它们是θ的无偏估计吗？解：①θθθ=⋅===∧22)(2)2()(1X E X E E ，故X21=∧θ是θ的无偏估计.②nX XX ,,,21是来自母体X 的一个子样，故)()(max)(}{1)(x F x Fx F nXX ini n ==∴≤≤)()()(1)(x f x nFx f n X n -=∴（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤<=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∴其它其它1000)( ,001)( ],,0[~θθθθx xx x F x x f U X代入（1）式得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其它00)(1)(θθx nx x f nn X n .θθθθθ≠+===⎰⎰-∞+∞-∧1)()(012)(n n dx nxx dx x xf E nn X n∧∴2θ不是θ的无偏估计，只是一个渐近无偏估计.说明：①对∧2θ进行纠偏，令：∧∧+=231θθnn ，则θθ=∧)(3E ，即)(31n X nn +=∧θ为θ的无偏估计。

②同一参数的无偏估计并不唯一。

——如何再进一步判别各无偏估计量的好坏？2.2 优效估计（1）有效性 定义：设∧∧21,θθ都是θ的无偏估计，若对于任意子样容量n 有)()(21∧∧<θθD D ，则称∧1θ比∧2θ有效(efficiency)。

例2.2.5 在上例中 ，θ的两个无偏估计X21=∧θ与)(31n X nn +=∧θ哪个更有效？解：nn X D n X D X D D 3124)(4)(4)2()(221θθθ=⋅====∧22)(32233)1()()()(θθθθ-+=-=∧∧∧n X nn E E E D22)(2)()1(θ-+=n XE nn其中==⎰+∞∞-dx x f x XE n X n )()()(22)(2122θθθ+=⎰-n n dx nxxnn ，故(3)2(12)1()(222223∧∧=<+=-+⋅+=θθθθθθD nn n n nnn D∧∴3θ更有效. 例 2.2.6 nX XX ,,,21是来自母体X 的一个子样，)(X E =μ未知，记∑=∧=ki ik X k11μ，),,2,1(n k =，证明：∧kμ),,2,1(n k =都是μ的无偏估计，其中∧nμ最有效。

证明: μμ===∑=∧)()1()(1X E X kE E ki i k故：∧kμ),,2,1(n k =都是μ的无偏估计，的减函数，是k kX D kX kD D ki i k 21)(1)1()(σμ===∑=∧，即：∧kμ),,2,1(n k =中∧nμ最有效。

证毕（2）最小方差无偏估计定义：若θ的一切具有二阶矩的无偏估计中，∧0θ满足：对θ的任意无偏估计∧θ，都有)()(0∧∧≤θθD D ，则称∧θ是θ的最小方差无偏估计(minimum variance unbiased estimator)。

用定义判定一个估计量是否最小方差无偏估计一般较难，下面讨论无偏估计量的方差的下界。

（3）罗-克拉美（R-C ）不等式 ①对于连续母体情形，有定理：设Θ是实数轴上的一个开区间，}),;({Θ∈θθx f 是母体X 的一个分布密度函数族，nX X X,,,21是来自母体X 的子样，),,,(21n X X X ∧∧=θθ是未知参数θ的无偏估计，如果母体及∧θ满足正则条件：(ⅰ)集合：}0);(:{>=θθx f x S 与θ无关；(ⅱ)θθ∂∂);(x f 存在,且对Θ中的一切θ有：⎰⎰+∞∞-+∞∞-∂∂=∂∂dxx f dx x f θθθθ);();(，及⎰⎰+∞∞-∧+∞∞-∂∂nn n dx dx x x L x x 111);,,(),,(θθθ⎰⎰+∞∞-∧+∞∞-∂∂=nn n dx dx x x L x x 111);,,(),,(θθθ其中∏==ni i nx f xx L 11);();,,(θθ ；(ⅲ)2));(ln ()(θθθ∂∂=X f E I ⎰+∞∞->∂∂=);());(ln (2dx x f x f θθθ则有不等式)(1)(θθnI D ≥∧此不等式称为R-C 不等式，)(1θnI I R=称为R-C 下界.例如：指数分布的母体满足条件(ⅰ)，而均匀分布的母体不满足.②对于离散母体情形，类似条件下有)(1)(θθnI D ≥∧其中2));(ln ()(θθθ∂∂=X p E I ∑∂∂=xx P x P );());(ln (2θθθ.③有关计算中，有时用到如下等式：对连续型母体，2));(ln ()(θθθ∂∂=X f E I ));(ln (22θθ∂∂-=X f E 对离散型母体，2));(ln ()(θθθ∂∂=X P E I ));(ln (22θθ∂∂-=X P E（4）优效估计定义: ①若θ的无偏估计∧θ的方差达到R-C 下界, 即RI D =∧)(θ，则称∧θ是θ的优效估计(optimal efficient estimator )；②若θ的无偏估计为∧θ, 则称)()(∧∧=θθD I e R为∧θ的(有)效率(efficiency ),显然，优效估计的(有)效率为1）； ③若θ的无偏估计∧θ满足：1)(lim =∧∞→θe n , 则称∧θ是θ的渐近优效估计(asymptotic optimalefficientestimator ).例2.2.7 ),1(~p B X , 问Xp =∧是否为未知参数p 的优效估计？解:①p X E X E p E ===∧)()()(，故Xp =∧是p 的无偏估计.②)1(1)()()(p p nnX D X D p D -===∧③求R-C 下界RI 母体分布律为xxp p p x P --=1)1();( ，故 )1ln()1(ln );(ln p x p x p x P --+= )1(11);(ln p p p x px p x p x P p--=---=∂∂=∂∂=2));(ln ()(pp X P E p I2222)()1(1))1((p X E p p p p p X E --=--)1(1)()1(122p p X D p p -=-=)()1()(1∧=-==∴p D np p p nI I R即：X 是p 的优效估计.例 2.2.8 设母体X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0 ,0 0,1);(x x e x f xμμμ, 问X=∧μ是否为未知参数μ的优效估计？解:①μμ===∧)()()(X E X E E ，故X =∧μ是μ的无偏估计.②21)()()(μμnnX D X D D ===∧.③求R-C 下界R I⎰+∞∂∂=∂∂=022);());(l n ());(l n ()(dxx f x f X f E I μμμμμμ⎰∞+--∂∂=2)1()]1ln([dxeexxμμμμμ⎰∞+---∂∂=2)1()]ln ([dxexxμμμμμ⎰∞+-+-=22)1()1(dxexxμμμμ22442411)(1)1()(1μμμμμμμμ===-=⎰∞+-X D dx ex x)()(12∧===∴p D nnI I R μμ 即：X 是μ的优效估计. 例 2.2.9),(~2σμN X , 问2*,nS X 是否分别为2,σμ的优效估计？解: （ⅰ）对于X=∧μ，①μ=)(X E ，故X=∧μ是μ的无偏估计.②nX D 2)(σ=.③求R-C 下界R I 母体分布密度为222)(221),;(σμσπσμ--=x ex f ，故22222)(ln 212ln 21),;(ln σμσπσμ----=x x f（1）由（1）得：22),;(lnσμσμμ-=∂∂x x f ， 故2222222111)(1)());(ln ()(σσσμσσμθθμ=⋅=-=-=∂∂=X E X E X f E I∴==)(1μnI I R )(2X D n=σ即：X 是μ的优效估计. （ⅱ）对于2*2nS =∧σ①22*)(σ=nSE ，故2*2nS=∧σ是2σ的无偏估计.② )1(~)1(222*--n S n nχσ，)1(2))1((22*-=-∴n S n D nσ，12)(42*-=∴n S D n σ. ③求R-C 下界R I 由（1）式知：422222)(21),;(ln σμσσμσ-+-=∂∂x x f6242222)(21),;(ln )(σμσσμσ--=∂∂x x f（2）))(),;(ln ()),;(ln ()(22222222σσμσσμσ∂∂-=∂∂=X f E X f E I))((216242σμσ-+-=X E ）式由（264)(121μσσ-+-=X E426421121σσσσ=+-=从而==)(12σnI I R )(1222*44n S D n n=-<σσ，故2*nS 不是2σ的优效估计.但1122)(lim)(lim 44*22=-==∞→∧∞→n n S D I e n R n n σσσ，故2*nS是2σ的渐近优效估计.注：①事实上可以证明，2*n S 已经是2σ的最小方差无偏估计, 这说明2σ的优效估计不存在.②在满足正则条件的估计量族范围内，优效估计是最小方差无偏估计.2.3 相合估计事实上，),,,(21n X X X ∧∧=θθ与子样容量n有关， 对于估计量的无偏性、有效性的讨论都是在n 取定的情形下进行的。