级数习题课
级数习题课
解：∵ an xn 在 x 3处条件收敛，而 3 0 ，
n0
∴ an xn 在 x 3 3时绝对收敛 ，∴ R 3 。
n0
若 R 3 ,则 an xn 在 x 3处应绝对收敛 ，这与已知矛盾，∴ R 3 。
n0
12．设 an xn 的收敛半径为 3，则 nan (x 1)n1 的收敛区间为_____。
ln 1 1
x x
,
x
(1,1).
（2）
n1(2n
1 1)4n
n1
( 1 )2n 2 2n 1
1 2 n1
(
1 )2n1 2 2n 1
1 2
S(
1 2
)
1 2
1 2
ln
1 1
1
2 1
1 ln3. 4
2
14．已知 n 1 xn ( - x ) ，则其和函数 S(x) ______，
3 lim 1 n (1 1 )n
3 e
0
，∴
n1
3n n (1 n)
n
发散。
n
注：∵ lim n
n
un
lim n
n
3n n (1 n) n
lim n n 3 1， n 1n
∴本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。
20．
4n
n15n 3n
解法 1（比值法）：
∵ lim un1 lim
n1
n
n
∵ n n(un un1) u1 u0 2u2 2u1 3u3 3u2 nun nun1
k 1
nun (u0 u1 u2 u3 un1) ，∴ Sn nun n ，
∵ lim Sn lim (nun n ) AS ，∴ un AS 。
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
数项级数习题课
∴⇒ ∑ ( un + un + 1 )收敛
3.
(- 1) n a n 2 n 收 敛， 则级 数 邋
1 1
ゥ
an (
)
条件收敛；（ 绝对收敛； （A）条件收敛；（ B）绝对收敛； 发散； （C）发散； 敛散性不定。 （D）敛散性不定。
∞
an →0 1 2n
n = 12
∑
1
n
收敛 ⇒ 原级数绝对收敛。 原级数绝对收敛。
( B )若∑ un v n 收敛，则 ∑ un , ∑ v n 都收敛。 收敛， 收敛。
2 2
2 un = (−1) ，vn = − n n
n1
1 un = 2n
2、设级数 ∑ un收敛，则必收敛的级数 为 D 收敛， 2 n un ( A ) ∑ ( − 1) ; ( B ) ∑ un ; n ( C ) ∑ ( u2 n − 1 − u2 n ); ( D ) ∑ ( un + un + 1 )
∞
p
1 n+1 ( − ln ) 7、 ∑ n n n =1
nπ ∞ ∞ ∞ n sin 1 3 sin( π n 2 + a 2 ) . 10、 8、 ∑ ； 9、 (ln n )ln n ；10、 ∑ n 2 n= 2 n =1 n =1
2
∞
∑
5. 设an = ∫ 4 tan n xdx,
0
π
1 (1)求∑ (an + an + 2 ); 1 n an (2)对任意λ > 0, 级数∑ λ 收敛。 1 n
∞
∞
解：an + an+ 2 = ∫04 (tan n x + tan n+ 2 x )dx = ∫04 (1 + tan x ) tan xdx = ∫04 tan n xd tan x =
数项级数习题课完整版
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
级数 复习题
第四章、级数----习题课： 1、 设已给复数序列}{n z 。
如果ζ=∞→n n z lim ，其中ζ是一个有限复数，那么ζ=+++∞→nz z z n n ...lim 21。
2、 证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。
3、 证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，第1段中关于柯西乘积的结果仍成立。
4、 证明定理2.1及2.2。
5、 试求下列幂级数的收敛半径：(1)∑∞+=02n nnz q，其中1||<q ； (2) ∑∞+=1!n n z;(3)∑∞+=0n np zn，其中p 是一正数；(4) ∑∞+=-+0])1(3[n nnn z；(5) n n nz nn ∑∞+=!；(6)...)1(!2)1()1(12++++++z c c b b a a z c ab...)1)...(1(!)1)...(1()1)...(1(+-++-++-+++nz n c c c n n b b b n a a a其中a 、b 、c 是复数，但c 不是零或负整数。
6、 设在R z <||内解析的函数)(z f 有泰勒展式......)(2110+++++=nn z z z z f αααα试证：（1）令|)(|max )(20θπθi re f r M ≤≤=，我们有n n rr M )(||≤α （柯西不等式），在这里;0,...;2,1,0R r n <<=（2）由(1)证明刘维尔定理； （3）当R r <≤0时∑⎰∞+==022202||d |)(|21n nn i rre f αθππθ。
7、 证明：如果在上r z <||及ρ<||z 内，我们分别有∑∞+==0)(n nn za z f 及∑∞+==0)(n nn zb z g ，其中+∞<<ρ及r 0，而且)(z f 在r z ≤||内连续，那么在ρr z <||内，⎰∑=∞+==r n nn n z g f i z b a ||0d )()(21ζζζζζπ。
fourier级数 习题课
定义 16.4.1 设函数 f 在[a , b]上除有限个点 a x0 x1 x2 x N b , 外均可导，而在 x i （ i 0,1,2,, N ) 处 f 的左右极限 f ( x i ) 和 （在 x0 a 右极限存在， 在 x N b 左极限存在） ， f ( x i )都存在 并且极限 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 和 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 都存在（在 x0 a 上述第二个极限存在，在 x N b 上述第一 个极限存在） ，那么称 f 在[a, b]上分段可导。
数学分析 a0 (a n cos nx bn sin nx ) 是某个在[ , ]上可 推论 16.3.1 2 n 1 bn 积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 收敛。 n 1 n
定理 16.3.3 （Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f ( x)在[ , ] a0 (a n cos nx bn sin nx ) ， f ( ) f ( ) ， 上连续， f ( x ) ~ 2 n 1 且除了有限个点外 f ( x)可导。进一步假设 f ( x)在[ , ]上可 积或绝对可积（注意： f ( x)在有限个点可能无定义，但这并 不影响其可积性） 。则 f ( x)的 Fourier 级数可由 f ( x)的 Fourier 级数逐项微分得到，即 d a0 d f ( x ) ~ (a n cos nx bn sin nx ) dx 2 n 1 dx
数学分析
2 f ( x ) ~ bn sin nx bn 0 f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) n 1
习题课讲义(级数)
第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。
数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。
若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。
例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。
④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n ∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim ≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。
级数习题课
= e x , x ∈ ( −∞ , + ∞ ) ;
<4> ln(1 + x) = ∑ (−1)n
n =1
1 n +1 x , n +1
x ∈ (−1,1]
<5> − ln(1 − x) = ∑
1 n +1 x , n =1 n + 1
∞
x ∈ [−1,1)
通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出 S ( x) . 5.将函数展为幂级数—Taylor 级数
n =1 n =1 ∞ ∞
4.幂级数的收敛域 D 与和函数 S ( x) 的求法 (1)关键在于求 ∑ a n x n ( ∑ a n ( x − x0 ) n )的收敛半径 R
n =0 n =0 ∞ ∞
a n +1 当其“不缺无限多项”时,使用公式:若 lim n →∞ an R= 1
= ρ 或 lim n an = ρ ,则
n =1 n =1
∞
∞
注: 运用比较法的关键在于: 1 事先估计待审级数的敛散性（当 n → ∞ 时 ,若 u n = o
()
1 n
,则 ∑ un 一般是收敛的,否则可能发散）; 2 找到敛散性
n =1
∞
已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或 p − 级数). (3) 比值法与根值法
u n +1 若 lim n→∞ un
S (±l ) =
f (0 + 0) + f (2l − 0) ⎞ f (−l + 0) + f (l − 0) ⎛ , ⎜ S (0) = S (2l ) = ⎟. 2 2 ⎝ ⎠
(2)正弦级数与余弦级数
第一次知识题课无穷级数高数
n n k1 3k
k
例5 (1)设偶函数f (x)在x=0的某邻域二阶导数连
续，且
f (0)=1，证明级数
[ f ( 1 ) 1]绝对收敛。
n1
n
证明 因为偶函数f (x)在x=0的某邻域有连续的二阶
导数， 故f (0) 0，
且f ( 1 ) f (0) f (0) 1 f (0) ( 1 )2 o( 1 )
(4) (1 cos )
n1
n
ln n
(5)
3
n n1 2
(6)
n1
n cos2 2n
n
3
;
1 cos
lim
n 1,收敛
n
2
2n2
取vn
1 ,收敛 4
n3
un
ncos2 n
3 2n
n 2n
,收敛
an
(7)
(a 0, s 0).
ns
n1
a
lim n
n
un
lim ( n n
n)s
a
从而
当 a 1 时, 原级数收敛；
当a 1 时, 原级数发散；
当 a 1 时,
原
级
数
为
n1
1 ns
,
p
级
数
，
故
当s 1时，收敛：当s 1时，发散。
(8)
un
/ n sin x dx,
0 x1
un 是否收敛？
n1
解：n≥2时，
0 un
/ n sin x dx
0 x1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
最新习题课讲义(级数)
习题课讲义(级数)第九讲：无穷级数一、常数项级数1、概念与性质：（1）数列«Skip Record If...»中的各项用加号连接的形式：«Skip Record If...»称为无穷项数项级数，第«Skip Record If...»项称为一般项（通项）。
数列«Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项之和（部分和），若«Skip Record If...»，则称级数«Skip Record If...»的和为«Skip Record If...»，级数«Skip Record If...»收敛；若«Skip Record If...»不存在，则称级数«Skip Record If...»发散。
若级数«Skip Record If...»收敛，«Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»的余项，«Skip Record If...»。
例1：判定下列级数的敛散性：①«Skip Record If...»：解：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»发散；②«Skip Record If...»：解：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»收敛；③调和级数：«Skip Record If...»；解：由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故级数«Skip Record If...»发散。
无穷级数 习题课
二 要点提示
(一)常数项级数 一 常数项级数 1.级数收敛的必要条件 级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件 收敛,则 n→∞ 若 ∑ un 收敛 则 lim un = 0.
n =1 ∞
由此可得:若 必发散. 由此可得 若 lim un ≠ 0,则级数∑ un 必发散
n→∞ n =1
∞
常用来判定级数是发散的. 常用来判定级数是发散的.切不可用来判定
1 3 4 1. 1+ + ； 3 5 6
解 级数为
∑ ( 1)
n =1
∞
n 1
n n+2
由于一般项
lim ( 1)
n =1 ∞
答：不正确. 不正确. 因为证明中使用了比较判别法, 因为证明中使用了比较判别法, 而比较 判别法只适用于正项级数, 判别法只适用于正项级数, 题目中并未指 出级数是正项级数.正确方法如下: 出级数是正项级数.正确方法如下:
故 ∑ ( bn an )与∑ ( cn an )均为正项级数，
∞
n
2
n
ln ( 1 + x ) = ∑ ( 1)
n =1
∞
n 1
x x x =x + ( 1 < x ≤ 1) . n 2 3
n
2
3
三 思考与分析
1.试判断下列命题是否正确 试判断下列命题是否正确? 试判断下列命题是否正确 (1)若 lim un = 0,则 ∑ un 必定收敛 若 必定收敛. n→∞ n =1 (2)设 ∑ un , ∑ vn 是正项级数 设 是正项级数,
(2)间接展开法： 利用已知函数的展开式 间接展开法： 利用已知函数的展开式, 间接展开法 通过恒等变形 变量代换, 级数的代数运算 恒等变形,变量代换 通过恒等变形 变量代换 级数的代数运算 及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数 把函数展开成幂级数. 及逐项求导或积分 把函数展开成幂级数 注意两点: 注意两点 1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式 熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式. 熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式 2.根据已知展开式写出所求展开式相应的 根据已知展开式写出所求展开式相应的 收敛区间. 收敛区间 逐项求导或积分后 原级数的收敛半径不变 逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变 逐项求导或积分后 原级数的收敛半径不变, 但收敛域可能会变. 但收敛域可能会变
函数序列与函数项级数习题课(一)
(1) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛，所以收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 级数 (1)n收敛； n1 n
x
),
n1
⒊ un ( x)至少在一点x0处收敛,
n1
则 un ( x)在[a,b]上一致收敛，其和S'( x) C[a,b],
n1
且S'( x) g( x), 即有：
'
un
(
x)
un' (x)
n1
n1
逐项可导
典型例题
例1：求
n1
n x n nn x
收敛域
n xn
解：lim nn x
n
1
lim
n
1
x n
n
ex
nx
x 1
n x
n
收敛
n n1
n x
x 1,
n x n 发散
nnx
n1
例 判断 xn 1 x x2
1.
n0
和发散点集。
xn 的收敛点集
解：当 x 1时, 级数收敛; x 1时,级数发散.
收敛点集: (1,1);发散点集: (, 1] [1, ).
fn ( x), n 1，2, ...在I上连续，且{ fn( x)}在I上一致收敛 于f ( x),则f ( x)在I上连续.
定理4.2(函数项级数的和函数的连续性) 设级数
un ( x)在I上一致收敛于S( x), 且若un ( x) CI , 则
高等数学-第七版-课件-12-9-傅里叶级数习题课ppt.ppt
奇函数
bn
傅12 里π f叶(x)系sin数nx
π 0π
dx
正弦级数
(n 1,2)
➢傅里叶级数
以2π为周期的
三角级数
定义在 [
,
]
a0 2
上
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
周期延拓
f(x) 以2 为周期
an
12
f (x)cosnx dx
0
(n 0,1,2)
傅里叶级数
奇函数(偶函数)
bn
1
f ( x0) sinnx dx
(n 1,2)
正弦级数 (余弦级数)
➢傅里叶级数
以2π为周期的
三角级数
定义在
[π,
π]
a0 2
上
n1
(an
cos
nx
bn
sin nx)
周期延拓
f(x) 以2π 为周期
an
1 π
π
f ( x)cos nx dx
π
(n 0,1,2 )
傅里叶级数
周期延拓
傅里叶级数，并由此求级数
1 的和.
补2
将
f
(x)
π
x
0
x
n2
n1
2π展开为以2π 为周期的
2
傅里叶级数，并由此求级数 (1)n1
1
的和.
n1
2n 1
例6 将 f ( x) x2 在 [π, π]上展开成傅里叶级数，
1
并由此求级数
n1
(2n 1)2
的和.
例7 将f ( x) sinax (a 0)在(π, π)上展开成傅里叶级数.
级数求和与函数展开习题课
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)
第七章级数习题正项级数
无穷级数
1、数项级数及收敛性
设数项级数 un , 部 分 和sn uk , 若部分和
n1
n
sn s存在, 则称级数收敛, 收敛,即极限 lim n
k 1
并记
s uk .
k 1
2、收敛级数的基本性质
n1
性质1 若 级 数 un收 敛 于 和s, 则 级 数 kun
n
f ( x ) x ln x ( x 0),
1 f ( x ) 1 0 ( x 1), x
21
无穷级数
1 在 (1,) 上单增, 即 单减, x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un1 ( n 1), n ln n ( n 1) ln( n 1)
20
无穷级数
( 1) 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n ln n ln x 1 lim lim lim 0 , n n x x x x 1 1 lim lim n 0, n n ln n n ln n 1 n
e 1;
0
limn lim x
n x
1 n
1 x
e
e
lim un lim
n n
1 ln x x x 1 lim 0 x x lim
e 1;
n
1 n
1 n (1 2 ) n
1 0,
原级数发散． 根据级数收敛的必要条件，
19
无穷级数
(1 1) (1 1)
1 1 1 1
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收敛 , 且
问级数
是否也收敛？说明理由. 提示: 提示 对正项级数,由比较判别法可知 但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取 收敛,
(− (−1)n 1 vn = + n n vn (−1)n lim =1+ lim =1 n→∞ un n→∞ n
级数 收敛 , 级数 发散 .
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发散,
s ≤1
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设正项级数 也收敛 .
和
都收敛, 证明级数
提示: 提示 因 lim un = lim vn = 0 ,∴存在 N > 0, 当n >N 时
n→∞ n→∞
又因
≤ 2( un2 + vn2 )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
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设级数
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一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
n→∞
不满足
发 散
满足
un+1 比值审敛法 lim un = ρ ρ =1 n→∞
根值审敛法 lim n un = ρ
n→∞
部分和极限 不定 比较审敛法 积分判别法
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = ±1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有
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练习: 练习 求级数
∞ n
的和 .
1 (−1) [ (2n +1) +1] 解: 原式= ∑ ( 2n +1)! 2 n=0
1 ∞ (−1)n ∞ (−1)n = ∑ +∑ 2 n=0( 2n)! n=0( 2n +1)!
1 ∞ nxn−1 = ∑ n , 2 n=1 2
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∗ an xn ∑
∞
难 对和式积分或求导
求和
S*(x)
• 数项级数 求和
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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练习: 练习 求下列幂级数的和函数： x≠0 解: (1)
2 1 1 2n−1 ′ ( ∑( x ) n )′= ( 原 = ∑ n (x 式 )= 2 x n=1 2 =1 n=1 ∞ ∞
(3) ∑
n=1
∞
π n cos2 n3
用比值法, 可判断级数
收敛,
2
n
:
再由比较法可知原级数收敛 .
an (5) ∑ s (a > 0, s > 0): 用比值判别法可知: n=1 n a <1 时收敛 ; a >1 时发散. s >1 时收敛; a =1 时, 与 p 级数比较可知 时发散.
∞
1 1 因 n 充分大时 < 10 , n ln n ∴原级数发散 .
∞
∞
x ≠0
x
1 tn dt − ∑ ∫ n=1 x 0
1 t (0 < x <1) − ∫ dt x 01− t 1 +1+ ln (1− x) x 1 =1+ ( −1) ln (1− x) x
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x
即得
1 =1+ ( −1) ln (1− x) , 0 < x <1 x
x2 1 2 ⋅ x 1− x2 2
′ )
x 2 + x2 )′ = =( 2 2− x (2 − x2 )2
x2 (0 < <1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x = ± 2 级数发散, 故和函数为
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1 − 1 xn (4) 原 = ∑ 式 n=1 n n +1
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
sin nπ 1 n+1 + (2) ∑(−1) ; n+1
∞ n=1
π
n +1 (3) ∑(−1) ln ; n n=1
n
∞
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 提示 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
用它法判别
ρ <1
收 敛
ρ >1
发 散
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3. 任意项级数审敛法 概念: 概念 为收敛级数 若 若 Leibniz判别法 若 判别法: 判别法 则交错级数 收敛 , 且余项 收敛 , 称 发散 , 称 且 绝对收敛 条件收敛
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例1. 若级数 证明级数
1 n+ (1+ ) +1 > e n
1 → ≠ 0 (n →∞) e
1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛区间为(− , ) . e e
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un+1(x) 解: 因 lim = lim n→∞ un (x) n→∞
2
x = 2
2
x 当 <1, 即− 2 < x < 2 时 级数收敛; ， 2
习题课 级数的收敛、 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 基本问题 求和函数； 级数展开.
1 = [cos 1 + sin1] 2
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四、函数的幂级数
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 练习: 练习 1. 将函数 展开成 x 的幂级数. .
1 1 ′ 1 ∞ xn ′ 1 1 ′ ) = ( ⋅ x ) = ⋅ ∑ n =( 解: 2 2 1− 2 2− x (2 − x) 2 n=0 2
n =1 n =1
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解答提示: 解答提示 判别下列级数的敛散性:
提示: 提示 (1) ∵ lim n n =1, ∴∀ε > 0 , ∃N ,
n→∞
1−ε < n n <1+ ε
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
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利用比值判别法, 可知原级数发散.
∞
均收敛 , 且 收敛 .
∞
) 证: ∵0 ≤ c n − a n ≤ bn − a n (n =1, 2 , ⋯ , 则由题设
n=1
∑(bn − a n ) 收敛
∞ n =1 ∞
n =1
∑(c n − a n ) 收敛
∞
= ∑[(c n − a n ) + a n ] = ∑(c n − a n ) + ∑a n 收敛
练习: 练习
求下列级数的敛散区间:
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1n an = lim(1+ ) = e 解: ∵ n→∞ n 1 1 1 ∴R = , 即− < x < 时原级数收敛 . e e e lim n n→∞
1 当 x = ± 时, e
1n (1+ ) n n un =
>
e 1
当x = ± 2时, 一般项 un = n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 (− 2 , 2 ) .
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） • 映射变换法
n=0 n=0
∑an x
S(x)
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
n=1
∑π n+1 收敛, 故
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∞
1
n +1 (3) ∑(−1) ln n n=1
n
∞
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ; ∞ n +1 但 ∑ln n n=1
= lim ∑( ln(k +1) − ln k )
n→∞ k =1
n→∞
n
= lim ln(n +1)
所以原级数仅条件收敛 .
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(4)
) n (n +1 ! (−1) n+1 n n=1
∑
∞
因
un+1 = un
n+2 1 n+1 n →∞ = (1− ) n +1 n +1
所以原级数上页
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二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x = ±R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 • 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法