高中数学课时分层作业5推出与充分条件必要条件含解析新人教B版选修1

高中数学课时分层作业5推出与充分条件必要条件含解析
新人教B版选修1
课时分层作业(五) 推出与充分条件、必要条件
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
1．以q为公比的等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“q>1”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A[等比数列{a n}中，若a1>0，则a1<a3，可得q2>1，即q>1或q<－1；若q>1，则有q2>1，所以a1q2>a1，即a1<a3，所以“a1<a3”是“q>1”的必要不充分条件．]
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( )
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0 B．1 C．2 D．3
B[①中，周期函数还有很多，如y＝cos x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.]
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线，且mα，则“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B[由mα，m∥β得不到α∥β；由mα，α∥β能得到m∥β.∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]
4．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C[由|a－3b|＝|3a＋b|得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a·b＝0，能推出a⊥b，
由a ⊥b 得|a －3b |＝10， |3a ＋b |＝10，
能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，
所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．]
5．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
－2x
＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0 B ．0＜a ＜1
2
C ．1
2
＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1
A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x
＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x
的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合(图略)可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}
{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.
－23 [x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.] 7．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3.q ：2x －3＜m ，即x ＜
m ＋3
2
.由题意知p ⇒q ，q /
⇒p ，如图所示，则m ＋32
≥3，解得m ≥3.]
8．若x <m －1或x >m ＋1是x 2
－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．
[0,2] [由已知易得{x |x 2
－2x －3>0}{x |x ＜m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2
－2x －3>0}＝
{x |x ＜－1或x ＞3}，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤m －1，
m ＋1＜3，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1＜m －1，
m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]
9．设x ，y ∈R ，求证：“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． [证明] 充分性：若xy ≥0，则有xy ＝0和xy ＞0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |， ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．
当xy ＞0时，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0.
又当x ＞0，y ＞0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．
当x ＜0，y ＜0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．
∴当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． 必要性：
若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 则|x ＋y |2
＝(|x |＋|y |)2
， 即x 2
＋2xy ＋y 2
＝x 2
＋y 2
＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.
综上，可知“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． 10．已知p ：⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2
≤0(m ＞0)，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
[解] 由⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴﹁p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．
由x 2
－2x ＋1－m 2
≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴﹁q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}． ∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，∴A
B .
结合数轴有⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1＋m ＜10，
1－m ≥－2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1＋m ≤10，1－m ＞－2，
解得0＜m ≤3.
即m 的取值范围是(0,3]．
[能力提升练]
1．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
D [∵当a ＝4时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，当l 1与l 2平行时，需a 2＝8a ≠－8
－a
，
显然不可能，故此时l 1与l 2重合，故选D.]
2．已知圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)．条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C [因为圆心C (1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|
1＋3＝2，若半径r ＝3，则圆C
上恰有三个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1.故若0<r <3，则圆C 上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；反之也成立．故选C.]
3．已知p ：x 2
＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________．
[1，＋∞) [将x 2
＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3.因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以a ≥1.]
4．给出如下三个命题：
①“2a >2b
”是“ma >mb ”的充要条件； ②在△ABC 中，“∠A >60°”是“sin A >
3
2
”的充要条件； ③已知条件p ：x 2
－3x －4≤0，条件q ：x 2
－6x ＋9－m 2
≤0，若q 是p 的充分不必要条件，则m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
其中正确的命题是________．
③ [若2a
>2b
，则a >b ，而此时ma >mb 不一定成立，若ma >mb ，当m >0时，则a >b ，此时2a
>2b
，当m <0时，此时a <b ，此时2a
<2b
，所以“2a
>2b
”是“ma >mb ”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△ABC 中，∠A ＝150°时，sin A <
3
2
，故命题②错误；若q 是p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．由p ：－1≤x ≤4，所以由一元二次方程根的分布可得，(－1)2
－6×(－1)＋9－m 2
≤0，解得m ≤－4或m ≥4.故正确的命题是③.]
5．求关于x 的方程ax 2
＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－1
2
，符合要求．
(2)当a ≠0时，ax 2
＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.
①方程ax 2
＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是
⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ≥0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≤1，1
a
＜0，∴a ＜0.
②方程ax 2
＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤1，
－2a
＜0，
1a ＞0，
∴0＜a ≤1.
综上所述，ax 2
＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.。