概率论与数理统计 第三章 多维随机变量PPT课件

F 2 , 2 F 2 , 1 F 1 , 2 F 1 , 1
111010
故F(x,y)不满足联合分布函数的基本性质(4).
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y
•2
1,2
•2,2
1 0 •
1,1
12
x
•2,1
zxy
所以，F(x,y)不能作为某二维随机变量的联合 分布函数.
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三、二维离散型随机变量 1. 联合概率分布 定义3.3 若 (X,Y) 只取有限对或可数对实数
y
当 x2 x1 时，
x1,y y
x2,y
F x2,yF x1,y；
x1
对任意固定的x， X,Y
O
x2 x
X,Y
当 y2 y1 时，
F x ,y 2 F x ,y 1 .
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(3) 关于 x 或 y 都是右连续的，即
F x,yF x0 ,y, F x,yF x,y0 ；
(4) 对任意的 x1 x2, y1 y2,有
F x 2 , y 2 F x 1 , y 2 F x 2 , y 1 F x 1 , y 1 0 .
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例1
试问二元函数 Fx,y10
xy0 xy0
能否成为某二维随机变量的联合分布函数？
解 此二元函数 F(x, y) 具有二维随机变量联合
分布函数的基本性质(1)、(2)和(3)，但因
对任意固定的y， F ,y liF m x ,y 0 , x
对任意固定的x， F x , liF m x ,y 0 , y
F , lim Fx,y0, x y
F , lim Fx,y1. x y 10
(2) F(x,y) 是关于变量 x 和 y 的不减函数；
对任意固定的y，
是 ={ω},设 X 1 X 1 ,X 2 X 2 , ,X n X n ,
是定义在 上的随机变量，由它们构成的一个 n维向
量 X 1,X2, ,Xn叫做 n维随机向量或n维随机变量.
以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 .
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§3.1 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量
同理可得
分布律为：
P X2,Y1
2 3
1 2
1 3
y
y
xx,,yy
Y X,Y O X x x x
X xO
x
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随机点(X, Y)落在矩形域 x 1 x x 2 ,y 1 y y 2
内的概率为
P x 1 X x 2 , y 1 Y y 2
Fx2,y2Fx2,y1Fx1,y2Fx1,y1
y
y2
X,Y
x1 O
x2
x
y1
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分布函数 F(X,Y) 有下面性质： (1) 对任意 x 及 y 有0≤F(x, y)≤1，且
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第3章 多维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量及其分布 §3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性 §3.4 二维随机变量函数的分布（不讲）
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定义3.1 设随机试验 E 的样本空间为 {}
XX()和 YY()为定义在同一样本空间
上的两个随机变量，由它们构成的一个向量 (X,Y) 称为二维随机向量或二维随机变量
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二、二维随机变量的分布函数
1. 联合分布函数
定义3.2 设 (X,Y)是二维 随机变量，如果对于任意实数 x、y，二元函数
F(x)PXx
i, j 1,2,；
一维离散型随机 变量 X的分布律
2 pij 1. i1 j1
P Xxkpk,
k=1,2, …
p k 0 ,
k
pk 1.
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也可用表格来表示随机变量 X 和Y 的联合分布.
X Y y1 y2 yj
x1
p11 p12 p1j
x2
p21 p22 p2j
xi
pi1 pi2 pij
xi,yii,j1 ,2, ,则称(X,Y)为离散型随机变量.
设(X,Y)的一切可能值为 xi,yj , 称
P(Xxi,Yyj)pi,j i,j1,2, （3.2）
为 (X,Y) 的联合概率分布，简称联合分布，也称 联合分布律.
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二维离散型随机变量(X, Y)的分布律具有性质：
1 pij 0,
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例1. 设(X,Y)的分布律如下表，求（1）P(XY1);
（2）F(0,1).
Ｙ
X
0
1
0
0ห้องสมุดไป่ตู้1
0.2
1
0.4
0.2
2
0.1
0
解（1）P ( X Y 1 ) P ( X 0 , Y 0 ) P ( X 0 , Y 1 )
P ( X 1 , Y 0 ) 0 . 1 0 . 4 0 . 2 0 . 7
x
Fx,y P Xx,Yy （3.1）
称为二维随机变量 (X, Y) 的联合分布函数，简称 (X, Y)的分布函数.
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分布函数的函数值的几何解释：
将二维随机变量(X, Y)看成是平面上随机点的坐标，
那么，分布函数F(x, y)在点(x, y)处的函数值就是 随机点(X,Y)落在下面左图所示的，以点(x, y)为顶点而 位于该点左下方的无穷巨型域内的概率.
解 X所有可能的取值为1, 2；
Y所有可能的取值也是1, 2. 用{X=1,Y=1}表示第一次取到号码为1的球， 不再放回，第二次又取到号码为1的球，由于1号球只
有一个，这是不可能的，所以 P X 1 ,Y 1 0 ,
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令{X=1,Y=2}表示第一次取到1号球，第二次取到
2号球，有
P X1,Y2 P X 1 P Y 2 X 1 1 2 1, 32 3
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是 由一对r .v (两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是 由三个r .v (三个坐标)来确定的等 等.
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一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是
( 2 )F ( 0 ,1 ) P (X 0 ,Y 1 )
P ( X 0 , Y 0 ) P ( X 0 , Y 1 ) 0 . 1 0 . 4 0 . 5
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例2 袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中 任取一个且不再放回，然后再从袋中任取一球，以 X、Y分别记为第一、二取到球上的号码数，求(X,Y) 的分布律(袋中各球被取到机会相同).