备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题18恒成立问题——最值分析法

专题18 恒成立问题——最值分析法

【热点聚焦与扩展】

不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立

（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设()f x 的定义域为D

（1）若x D ∀∈，均有()f x C ≤（其中C 为常数），则()max f x C ≤ （2）若x D ∀∈，均有()f x C ≥（其中C 为常数），则()min f x C ≥ 3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数()f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.

【经典例题】

例1．【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在上的偶函数

在

上单调递减，若不等式

对任意

恒成立，则实数的取值范是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上单调递增，若不等式对于上恒成立，

则对于上恒成立，

即对于上恒成立，

（2）当，即时，在上恒成立，单调递减，

因为最大值，最小值，所以，

综合可得，无解，

（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，

在上，恒成立，单调递增，

故函数最小值为，

若，即，因为，则最大值为，

此时，由，求得，

综上可得；

若，即，因为，则最大值为，

点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得

在上恒成立，令，求的函数的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围.

例2.若关于的不等式，对任意恒成立，则的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，

令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，

∵3∉[﹣2，2]，∴x2=3（舍），

列表讨论：

∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，

f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，

f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，

∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，

∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，

∴m≤﹣20，

故选：B．

例3．已知函数()

1

x

ax

f x

be

=

-

，曲线()

y f x

=在点()

()

1,1

f处的切线方程为()210

x e y e

+--=.其中

2.71828

e=为自然对数的底数

（1）求,a b的值

（2）如果当0

x≠时，()1

2

x

k

f x

e

-

<恒成立，求实数k的取值范围

【答案】（1）1,1；（2）0

k≤.

【解析】解：（1）()

()

()

'

2

1

1

x x

x

a be be ax

f x

be

--

=

-

()

1

x

x

f x

e

∴=

-

（2）思路：恒成立不等式为：

2

21

1

x x

x k

e e

-

<

-

，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于21

x

e-的符号不确定（以0

x=为界），从而需进行分类讨论.当0

x>时，不等式变形为：()()

2

1210

x x

k e xe k

---->，设()()()

2

121

x x

g x k e xe k

=----，可观察到()00

g=，则若要0

x>时，()0

g x>，则需()

'00

g≥，进而解出0

k≤，再证明0

k≤时，()0

g x>即可.将k的范围缩至0

k≤时再证明0

x<时，()0

g x>即可.

解：由（1）可得恒成立的不等式为：

2

21

1

x x

x k

e e

-

<

-

当0

x>时，()()

2

2

21

211

1

x x

x x

x k

xe k e

e e

-

<⇔<--

-

()()

2

1210

x x

k e xe k

⇔---->