定积分练习题1
1用定积分的定义计算下列积分
2
(1) (2)
0
2 1 1
e−x dx 与
0
1
e−x dx； (ln x)2 dx；
1 0
3
2
ln xdx 与
1
(3)
0 1
x sin xdx 与 e−x dx 与
0 1
2
x(sin x)2 dx；
(4)
0 1
(1 + x)dx；
1 x dx 与 ln(1 + x)dx； 0 0 1+x −1 1 1 x (6) dx 与 3x dx。 3 −2 0 4. 应用估值定理，估计下列积分值： π dx (1) I = ； 5 0 √ 2 + sin x
0 +∞
(1)
0 +∞
e−x dx (n > 0)； xn e−a
2
n
(2)
0 +∞
x2
dx (a > 0, n ≥ 0)；
2
(3)
2 +∞
e2 xe−(x−2) dx； x2m+1 e−x dx； x2m e−x dx；
2 2
(4)
0 +∞
(5)
0
+∞
(6)
0
x 2 e−x dx。
7
习题六答案
3
1
0
0 1
e−x dx；(2)
1 2
2
2 1
ln xdx <
1 0
(ln x)2 dx；
1
1
(3)
0 1
x sin xdx >
x sin xdx；(4)
e
−x
定积分-1
2
2(1 + 2 x 2 )e x
2
故 原式=exp{
4
1 }= e 0+1
2
，A=−
π
四．估计积分
∫
0
2
ex
2
−x
dx 的值
x2 − x
解：设 f ( x ) = e
x2 − x
，则 f ′( x) = (2 x − 1)e
，令 f ′( x) = 0 ，得 x =
1 2
而
1 1 − − 1 f ( ) = e 4 ， f (2) = e 2 ， f (0) = 1 故在 [0, 2] 上 e 4 ≤ f ( x) ≤ e 2 ，从而由积分性质可知 2
5．
π
4
∫
π
π
0
sin x − sin 3 xdx
∫
5
0
2 x − 4 dx
解：原式=
∫
π
0
| cos x | sin xdx
π
解：原式=
∫
2
0
(4 − 2 x)dx + ∫ (2 x − 4)dx
2
5
= ∫ 2 cos x sin xdx − ∫π cos x sin xdx
0 2 3 2 2 2 π = [ (sin x) ] − [ (sin x) ]π 3 3 2 3 π 2 2 0
0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1 = π − A+ B 4
B = ∫ f ( x)dx = ∫ ( 1 − x 2 − 2 Ax + B)dx = ∫
−1 −1
1
1
1
定积分及广义积分(一)
即
0
0
∫ ∫ α
f (x)dx ≥ α
1
f (x)dx
0
0
∫α
方法二: 由积分中值定理, 存在ξ∈[0, α], 使 f (x)dx = α f (ξ ) ; 0
∫ 由积分中值定理, 存在η∈[α, 1], 使 1 f (x)dx = f (η)(1 − α ) α
因为 η ≥ ξ , 所以f (η) ≤ f (ξ ) .
2!
3!
= F (t) + f (t)( x − t) + f ' (t) (x − t)2 + f ' ' (t) (x − t)3 (1)
2!
3!
(1)中令 x = a, t = b, 得到 0 = F (b) + f (b)(a − b) + f ' ' (ξ1) (a − b)3
(2)
6
(1)中令 x = b, t = a, 得到 F (b) = f (a)(b − a) + f ' ' (ξ2 ) (b − a)3
0
1 2(n + 1)
<
In
<
1 2(n − 1)
.
∫ ∫ 证明:
令 t = tan x ,
则 In =
π
4 tann xdx =
0
1 tn 0 1+ t2
dt
因为
1
t +
t
2
'
=
1− t2 (1 + t 2 )2
> 0, (0 < t < 1).
第一节 定积分的概念和性质_1
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
第一节 定积分的概念和性质
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
a b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g( i )]xi 0
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
于是
性质5的推论： （ 2） 证
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
lim f ( i )xi lim g( i )xi
i 1 n n
a f ( x )dx a g( x )dx .
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
0 i 1 b
0 i 1
6-1定积分概念(1)
n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、 问题的提出 二、 定积分定义 三、 定积分存在定理 四、 定积分的几何意义 五、 小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义 若积分 定理 上有定义, b f ( x )dx存在 则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界 上有界. 存在, ∫a 证明 若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界 则对每种分割 上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积 分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、 定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、 利用定积分的定义计算由抛物 线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及 横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .
定积分复习题(一)
定积分期中复习题（一）一、选择题：1．下列等于1的积分是 （ ）。
A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰1212．dx x |4|212⎰-=（ ）。
A ．321 B ．322 C ．323 D ．3253．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）。
A ．320gt B ．20gtC ．220gt D ．620gt4．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）。
A ．4B ．2C ．25 D ．35．dx ee xx⎰-+1)(=（ ）。
A ．ee 1+B ．2eC ．e2 D ．ee 1-6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。
A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 7.如果1N 能拉长1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为 ( )。
A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 J 8.定积分dx x x ))1(1(102⎰---等于 ( )。
A.42-π B.12-πC.41-π D.21-π9.已知)(x f 为偶函数且8)(6⎰=dx x f ，则⎰-=66)(dx x f （ ）。
A.0B.4C.8D.16 10.⎰⎰==exdx xn dx e m 111与的大小关系是( )A.m>nB. m< nC.m=nD. 无法确定11.设⎰=⎩⎨⎧∈-∈=202)(,]2,1[,2]1,0[,)(dx x f x x x x x f 则( )。
A.43 B.54 C.65 D.不存在12.根据⎰=π200sin xdx 推断,直线x y y x x sin 0,2,0====和正弦曲线π所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为 ( )。
A.面积为0B.曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 下方的面积C.曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 下方的面积 B.曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 下方的面积13.如图,曲线23x y -=与直线y=2x 围成图形的面积是 ( )。
导数与定积分(一)：高考数学一轮复习基础必刷题
导数与定积分（一）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知991001101,,ln100100a b e c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<2．曲线sin y x =，[0,2]x πÎ与x 轴所围成的面积是（）A ．0B ．2C ．4D ．π3．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y （件）与商品售价x （元）的关系为e x y -=，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x （元）为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．21232x dx x -+=+⎰（）A ．22ln +B ．32ln -C ．62ln -D ．64ln -5．数列{}n a 为等差数列，且2020202204a a x π+=⎰，则()2021201920212023a a a a ++=（）A ．1B ．3C ．6D ．126．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2()af x x x=+（a R ∈）的图像不．可能．．是（）A ．B ．C ．D ．7．设函数()()211ln 2f x x a x a x =-++有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知21232m x dx =-⎰，则4()(2)m m x y x y ++-中33x y 的系数为（）A ．80-B ．40-C ．40D ．80二、填空题9．211x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰＝________．10．若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________.11．设R a ∈，若不等式ln xa x>在()1,x ∈+∞上恒成立，则a 的取值范围是______.三、解答题12．已知函数21(log )f x x x=-（1）求()f x 的表达式；（2）不等式2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．13．求由曲线2y x=与直线3x y +=所围图形的面积．14．已知函数3()2f x x ax b =++在2x =-处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,4]内有零点，求实数b 的取值范围．15．已知函数()ln f x ax x x =+的图像在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()(1)f x k x >+在[e,)+∞恒成立，求k 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】【分析】利用两个重要的不等式1x e x ≥+，ln 1≤-x x 说明大小即可【详解】先用导数证明这两个重要的不等式①1x e x ≥+，当且仅当0x =时取“=”()1x y e x =-+'1x y e =-()',0,0x y ∈-∞<，函数递减，()'0,,0x y ∈+∞>函数递增故0x =时函数取得最小值为0故1x e x ≥+，当且仅当0x =时取“=”②ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取“=”()ln 1y x x =--'11y x=-()'0,1,0x y ∈>，函数递增，()'1,,0x y ∈+∞<函数递减，故1x =时函数取得最大值为0，故ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取“=”故991009911100100e->-+=1011011ln 1100100100c =<-=故选：C 2．C 【解析】根据积分的几何意义化为求20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰可得结果.【详解】曲线sin y x =，[0,2]x πÎ与x 轴所围成的面积20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos x xπππ=-+(cos cos 0)cos 2cos πππ=--+-(11)1(1)=---+--4=.故选：C 【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所围成的平面图形的面积为[]21()()baS f x f x dx =-⎰.3．A 【解析】【分析】根据题意求出利润函数的表达式，结合导数的性质进行求解即可.【详解】根据题意可得利润函数()()4e xf x x -=-，()e x f x -'=()()4e 5e x x x x ----=-，当5x >时，0,()f f x '<单调递减，当05x <<时，0,()f f x '>单调递增，所以当5x =时，函数()f x 取最大值，故选：A ．4．D 【解析】先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.【详解】由题，2211231d 2d 22x x x x x --+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰21[2ln(2)]x x -=-+(4ln 4)(2ln1)6ln 4=----=-.故选：D 【点睛】本题考查定积分的运算，属于基础题.【解析】【分析】根据定积分的几何意义求20202022a a +，再应用等差中项的性质求目标式的值.【详解】∵0x ⎰表示半径为2的四分之一圆面积(处于第一象限)，∴20202022044a a x π+==⎰，又{}n a 为等差数列，∴20212020202224a a a =+=，则()220212019202120232021312a a a a a ++==.故选：D.6．A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，分类0a =，0a <和0a >三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数2()()af x x a R x=+∈的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞关于原点对称，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于原点对称，当0a =时，函数2()f x x =且(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，图象如选项B 中的图象；当0a <时，若0x >时，函数2()a f x x x =+，可得322()0x af x x-'=>，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，此时选项C 符合题意；当0a >时，若0x >时，可得2()a f x x x =+，则3222()2a x af x x x x -'=-=，令()0f x '=，解得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.【解析】【分析】求出导函数()()()1x x a f x x--'=，分a 的符号，以及a 与1的大小关系讨论函数的单调性，从而分析其零点情况，得出答案.【详解】由()()211ln 2f x x a x a x =-++()0x >，则()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=，①0a <时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以，要使函数()f x 有2个零点，则()10f <，所以有102a -<<，②0a =时，()212f x x x =-在()0,∞+上只有1个零点，不符合题意，③01a <<时，()f x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增，因为()21ln 02f a a a a a =--+<，所以()f x 在()0,∞+上不可能有2个零点，不符合题意，④1a =时，()f x 在()0,∞+上递增，不可能有2个零点，不符合题意，⑤1a >时，()f x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增，因为()1102f a =--<，所以()f x 在()0,∞+不可能有2个零点，综上，1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()f x 有两个零点.故选：B ．8．C 【解析】【分析】先计算积分得到m =1，利用二项式展开式对33x y 的构成进行分类，求出33x y 的系数.【详解】32232222213321122322(32)2(32)2[(3)|]2[(3)|]1m x dx x dx x dx x x x x =-=-+-=-+-=⎰⎰⎰，则45()(2)()(2)m m x y x y x y x y ++-=+-，5(2)x y -的通项公式555155(2)()(1)2r r r r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅，则两个通项公式为5615(1)2r r r r r r x T C x y --+⋅=-⋅⋅⋅⋅，当3r =时3335440C x y -⋅⋅=-，55115(1)2r r r r r r y T C x y --++⋅=-⋅⋅⋅⋅，当2r =时2335880C x y ⋅⋅=，则33x y ⋅的系数为408040-+=.故选：C.【点睛】方法点睛：在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.9．3ln 2+2【解析】【分析】直接利用微积分基本原理求211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值.【详解】根据题意得211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=221113ln |ln 22(0)ln 2222x x +=+-+=+.故答案为3ln2+2【点睛】本题主要考查微积分基本原理求定积分，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.10．1【解析】【分析】先求12mx x+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可.【详解】易得12mx x+的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰,即ln 243ln 2m m +-=+,故1m =故答案为1【点睛】本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型.11．1e>a 【解析】【分析】构造ln ()xf x x=，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定a 的范围.【详解】令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=且()1,x ∈+∞，若()0f x '>得：1e x <<；若()0f x '<得：e x >；所以()f x 在(1,e)上递增，在(e,)+∞上递减，故1()(e)ef x f ≤=，要使ln xa x >在()1,x ∈+∞上恒成立，即1e>a .故答案为：1e>a .12．（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）令，利用换元法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．试题解析：（1）令，则，则，即；（2）22112(2)(222t t tt tm o -+-≥即1112(2)(2(20222t tt t t t tm +-+-≥1[1,2],202t tt ∈-> 2(21)t m ∴≥-+所以对于上恒成立；因为，即，所以考点：1．函数的解析式；2．不等式恒成立问题．13．32ln 22-．【解析】【分析】联立方程组，求得积分上限和下限，结合微积分基本定理，即可求解.【详解】由方程组32x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1x =或2x =，由定积分的几何意义，可得面积为2221123=[(3)](32ln )|2ln 222x S x dx x x x --=--=-⎰.14．（1）6a =-；（2）1616b - ．【解析】【分析】（1）由题意可得(2)1220f a -=+='，从而可求出a 的值；（2）先对函数求导，求得函数的单调区间，从而可由函数的变化情况可知，要函数()y f x =在[0,4]内有零点，只要函数在[0,4]内的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式组可得答案【详解】解：（1）23()32,()2f x x a f x x ax b =+=++'在2x =-处取得极值，∴(2)1220f a -=+='，∴6a =-．经验证6a =-时，()f x 在2x =-处取得极值．（2）由（1）知32()12,()3123(2)(2)f x x x b f x x x x =-+=-=-+'，∴()y f x =极值点为2，2-．将x ，()f x ，()'f x 在[0,4]内的取值列表如下：x0(0,2)2(2,4)4()'f x /-0+/()f x b极小值16b -16b +由此可得，()y f x =在[0,4]内有零点，只需max min ()160,()160,f x b f x b =+⎧⎨=-⎩∴1616b -．15．(1)2a =-(2)ee 1k <-+【解析】【分析】（1）由(e)0f '=求得a 的值.（2）由()(1)f x k x >+分离常数k ，通过构造函数法，结合导数求得k 的取值范围.(1)因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++，因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处取得极值，所以(e)20f a '=+=，2a ∴=-，经检验，符合题意，所以2a =-；(2)由（1）知，()2ln f x x x x =-+，所以()1f x k x <+在[e,)+∞恒成立，即2ln 1x x x k x -+<+对任意e x ≥恒成立.令2ln ()1x x xg x x -+=+，则2ln 1()(1)x x g x x +-'=+.设()ln 1(e)h x x x x =+-≥，易得()h x 是增函数，所以min ()(e)e 0h x h ==>，所以2ln 1()0(1)x x g x x +-'=>+，所以函数()g x 在[e,)+∞上为增函数，答案第9页，共9页则min e ()(e)e 1g x g ==-+，所以e e 1k <-+.。
1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
高等数学第五章习题课1定积分
第 五 章 定 级 分
解
原式 lim
2e
x2
0 e
2 x2
x t2
dt
x
e
0
lim
2 e dt e
x2
x t2
x
lim
2e
x2
2
x 2 xe x
1 lim 0 x x
- 17 -
习题课（一）
3 解
第 五 章 定 级 分
tf ( x t )dt lim 0 ,
1 i 1 2 lim sin sinxdx n 0 n n i 1
n
-2-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
i 1 n i 1 lim sin lim sin n n n n 1 n n n i 1 i 1 1 2 sinxdx 0 2 原式 1 n1 n 2 n nn 3 lim n n n n
1 2 F ( x )dx 0
存在一点 , 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( )
-9-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
设在 [0,1] 上 f ( x ) 0, 证明： 1 1 2 0 f ( x )dx f ( 3 ) 证 由于 y f ( x ) 在区间 [0,1] 是上凸的， 所以曲线 1 1 y f ( x ) 在过 ( , f ( )) 处的切线下方，即 3 3 1 1 1 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3 1 1 2 1 2 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3
定积分-1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) dx a f (t) d t a f (u)du
b
b
b
根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 A a f ( x)dx
思考：证明可积函数一定有界；有界未必可积（举例）
3.定积分的几何意义:
f( x ) 0 , f( x ) d x A 曲边梯形面积 a
b
f( x ) 0 , f( x ) d x A 曲边梯形面积的负值
a
b
y
A1 a
b
A3
A2 A4
A5
b x
f ( x ) d x A A A A A 1 2 3 4 5 a
3 求和 n
i 1
A f ( ) x i i i
Af ( x i) i.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
x i 1 i x i
x n 1 b
x
4 取极限
n
令分法无限变细
x A = lim f (i ) i
0 i 1
.
(2).变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1;
2 近似: 以直代曲 (以常代变)
3 求和 n
i 1
A f ( ) x i i i
1.7 定积分的简单应用(1)
W F ( x)dx
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kL 2 2
练习
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的 单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s 间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
3 5
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下, 沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x)所作的功. 40
3 2
(2)S (e e x )dx 1
0
1
定积分在物理中的应用
一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
3t vt 30 - 1.5t 90 (0 t 10) (10 t 40) (40 t 60)
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x 6x (0,0), ( 2,4), ( 3,9). 2 y x
3
y x2
A1
0
2
(x 6 x x )dx
3 2
y x3 6x
A2 ( x x 6 x)dx
2 3 0
3
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2
4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 x |0 ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
练习
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1) S ((2 x 3) x )dx 1 3
19-定积分的计算 (1)
d
x
.
保证 x (t) 的单调性
解 令 arcsin x t，则 x sin2 t，d x 2sin t cos t d t，
且
x:
1 4
3 4
时，t :
6
，故
3
3 4 1 4
arcsin x(1
x x)
d
x
3 6
t 2sin t cos t d t sin2t (1 sin2 t)
例1
计算 1 1 x2 d x . 0
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1 x2
dx
cos2 t d t
1 2
(1 cos 2t) d t
t 2
sin 2 4
t
C
1 2
arcsin
x
1 2
x
1 x2 C
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1 0
1
x2
d
x
1 2
arcsin
x
1 2
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
定积分的计算
主讲:邹为
第三章 一元函数的积分
本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.
x
1 x2
1 0
4
.
例1 解
计算 1 1 x2 d x . 0
大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
第5章 定积分 习题 5- (1)
第一节
定积分
定积分的概念及性质
习题 5-1
1.
利用定积分的定义计算由曲线 y = x 2 + 1 和直线 x = 1 、 x = 3 及 x 轴所围成
的图形的面积. 解 所求的面积为
S = ∫ ( x 2 + 1)dx = lim ∑ f (ξi )Δxi
1
3
n
λ →0
i =1
= lim ∑ (ξi2 + 1)
∫0
1 x
e dx = lim ∑ f (ξi )Δxi = lim ∑ eξi Δxi
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= lim ∑ e n ⋅
n →∞ i =1
n
i
1 n
1 2
i 1 （其中 ξi = , Δxi = ） n n
n
n 1 = lim ∑ (e n + e n + L + e n ) n →∞ i =1 n
c2 c1
a
c2
矛盾, 于是 f (ξ ) > 0 不成立, 得证. (2)
b
因为在 [ a, b] 上, f ( x) ≥ 0 , 所以 ∫ f ( x)dx ≥ 0 , 亦即或者 ∫ f ( x)dx > 0, 或
b b a a b a
者 ∫ f ( x)dx = 0 . 若 ∫ f ( x)dx = 0 , 则由(1) 的证明知 f ( x) ≡ 0, 但这与条件 f ( x) ≠ 0
5
反证法. 设 ∃ξ ∈ [a, b] 使 f (ξ ) > 0 , 因为 f ( x) 在 [ a, b] 连续, 所以由极限的局部保号性定 理 , 必有含有 ξ 的区间 [c1 , c2 ] 存在 , 使得 [c1 , c2 ] 上 f ( x) > 0 , 从而 ∫ f ( x)dx > 0 .
定积分求面积基础题
定积分求面积基础题1. 直线y =3x 与曲线y =x 2围成图形的面积为A. 272B. 9C. 92D. 2742. 曲线y =−x 2+2x 与x 轴围成的一个封闭图形的面积为( )A. 1B. 43C. √3D. 23. 由y =x ，y =1x ，x =2及x 轴所围成的平面图形的面积是( )A. ln2+1B. 2−ln2C. ln2−12D. ln2+124. 如图，阴影部分的面积为( )A. 9B. 92C. 136D. 735. 由直线x =12，x =2，曲线y =1x 及x 轴所围图形的面积是( )A. 2ln2B. 12ln2C. 174D. 1546. 由直线x =−π3，x =π3，y =0与曲线y =cosx 所围成的封闭图形的面积为( )A. 12B. 1C. √32D. √37. 由直线x =12，x =2，曲线y =−1x 及x 轴所围图形的面积为( )A. −2ln2B. 2ln2C. 12ln2D. 1548. 已知二次函数y =f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A. 2π5B. 43C. 32D. π29. 由曲线xy =1，直线y =x,y =3所围成的平面图形的面积为( )A.B.C.D. 32910. 如图，阴影部分是由x 轴、y 轴、直线x =1、曲线y =e x 围成的，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( ) A. e3 B. 4−e 3C.3−e 3D.e−1311. 如图，阴影部分的面积为( )A. 2√3B.323C. 2−√3D. 353 12. 由直线x =12，x =2，曲线y =1x 以及x 轴所围图形的面积为( )A. 154B. 174C. 12ln2D. 2ln213. 曲线y =x 2 与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为( )A. 1B. 13C. 16D. 1914. 由曲线y =e x ，y =e −x 及x =1所围成的图形的面积为____________．15. 已知曲线y =√x ，y =2−x ，y =−13x 所围成图形的面积为S ，则S =________． 16. 由曲线y =√x 与直线y =x 所围成的图形的面积是______． 17. 由直线x =π3,x =2π3,y =0与y =sinx 所围成的封闭图形的面积为______．18. 曲线y =x 2与直线y =kx(k >0)所围成的曲边图形的面积为323，则k =______． 19. 计算由抛物线y 2=x 与直线x −2y −3=0所围成的平面图形的面积．答案和解析1.解：根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0，曲线y =x 2与直线y =3x 围成的图形的面积为：S =∫(303x −x 2)dx 而∫(303x −x 2)dx =(32x 2−13x 3)|03=92，∴曲边梯形的面积是92，故选C ．2.解：由−x 2+2x =0，得x =0，x =2，∴抛物线y =−x 2+2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是S =∫(20−x 2+2x)dx =(−13x 3+x 2)|02=−83+4=43，故选B ． 3.解：如图所示，所围成的平面图形的面积：=12+(lnx )|12=12+ln2．故选D ．4.【答案】B5.解：如图，由直线x =12，x =2，曲线y =1x 及x 轴所围图形的面积：S =∫1x 212dx =lnx |122=ln2−ln 12=2ln2．故选A ．6. 解：由定积分可求得阴影部分的面积为S =∫c π3−π3osxdx =sinx|−π3π3=√32−(−√32)=√3，所以围成的封闭图形的面积是√3．故选D ．7.解：如图：则阴影部分的面积S =∫[2120−(−1x )]dx═∫1x212dx =lnx| 122=ln2−ln 12=ln2+ln2=2ln2．故选：B ．8.解：根据函数的图象可知二次函数y =f(x)图象过点(−1,0)，(1,0)，(0,1)从而可知二次函数y =f(x)=−x 2+1∴它与x 轴所围图形的面积为∫(1−1−x 2+1) dx =(−x 33+x)|−11=(−13+1)−(13−1)=43故选：B ．9.解：由xy =1，y =3可得交点坐标为(13,3)，由xy =1，y =x 可得交点坐标为(1,1)，由y =x ，y =3可得交点坐标为(3,3)， ∴由曲线xy =1，直线y =x ，y =3所围成的平面图形的面积为∫(1133−1x )dx +∫(313−x)dx =(3x −lnx)|131+(3x −12x 2)|13=(3−1−ln3)+(9−92−3+12)=4−ln3 故选C ．10.解：根据题意，矩形OABC 的面积S =1×3=3，阴影部分的面积S′=∫e x 10dx =e x |01=e −1，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率P =1−S′S=1−e−13=4−e 3；故选：B ．11.解：设抛物线的方程为y =−ax 2+3，因为B(1,2)在抛物线上，所以2=−a +3,a =1，即抛物线方程为y =−x 2+3，直线AB 的方程为y =2x ， 所以阴影部分的面积为∫(1−3−x 2+3−2x)dx =(−13x 3+3x −x 2)|−31=(−13+3−1)−[−13×(−3)3+3×(−3)−(−3)2]=323．故选B ．12.解：如图所示，所围图形的面积为．故选D ．13.解：曲线y =x 2 与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为∫(10x −x 2)dx =(12x 2−13x 3)| 01=12−13=16；故选C ． 14.解：如图，所围成的图形的面积为：ʃ 01(e x −e −x )dx =(e x +e −x )| 01=e +e −1−2=e +1e−2，故答案为e +1e−2．15.解：由{y =√xy =2−x 解得{x =1y =1，即A(1,1)，由{y =2−x y =−13x 解得{x =3y =−1，即B(3,−1)， ∴曲线y =√x ，y =2−x ，y =−13x 所围成的图形的面积是：∫(10√x −(−13x))dx +∫(3132−x −(−13x))dx =∫(10√x+13x)dx +∫(3132−23x)dx =(16x 2+23x 32)|1+(2x −13x 2)|13=16+23+6−3−2+13=136．故答案为136． 16.解：曲线y =√x 和直线y =x 交点为：(1,1)，所以围成的图形面积为∫(10√x −x)dx =(23x 32−12x 2)|01=16；故答案为16． 17.解：函数的图象如图：当π3≤x ≤2π3时，f(x)=sinx >0，根据积分的几何意义可知，所求区域面积为S =∫s 2π3π3inxdx =(−cosx)| π32π3=−cos2π3−(−cos π3)=cos π3−cos2π3=12−(−12)=12+12=1故答案为：1．18.解：先根据题意画出图形，得到积分上限为k ，积分下限为0直线y =kx 与曲线y =x 2所围图形的面积S =∫(kkx −x 2)dx 而∫(k0kx −x 2)dx =(12kx 2−13x 3)|0k =12k 3−13k 3=16k 3=323，∴解得k =4．19.解：解法1：由{y 2=x,x −2y −3=0得抛物线与直线的交点为P(1,−1)，Q(9,3)，如图所示．所以=2∫√xdx 10+∫(√x −x 2+32)dx 91=43x 32|01+(23x 32−x 24+32x)|19=43+283=1023．。
5-1定积分的概念与性质 (2)
转化为
b
实际问题所求量U
求U= f ( x)dx (积分模型) a
问题：1)若 y (x)表示非均匀细直棒的质量密度, 则
b
( x)dx表示什么？
a
n
表示非均匀细直棒的质量
lim 0
( i ) xi
i 1
n
oa
b
x
lim
0
f ( i ) xi
1 6
lim
n
n (n
1)(2n n3
1)
1 6
lim(1
n
1 )(2 n
1) n
1 3
返回
例2. 用定积分表示下列极限:
1 n
i
(1) lim
1
n n i1
n
1p 2p np
(2) lim
n
n p1
解: (1) lim 1 n
i
f
(i )xi
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设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线 y f ( x) 0 所围成，求面积A, 其中f(x)在[a,b]上连续。
解：1. 分割 在[a,b]中任意插入n-1个分点 y = f (x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b y
把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi] (i=1~n)
n x
xn1b xn
2. 近似 i [xi1 , xi ], (i 1 ~ n) 则Ai f ( i )xi n
3. 求和 A f ( i )xi i 1
4. 取极限 当分割无限加细,即小区间的最大长度
高数之定积分 (1)
第五章 定积分§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni i i x f A 10)(l i m ξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间 段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(, 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？ 定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(110ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), n x i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) .取n i i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和∑∑∑===⋅=∆=∆ni ini i i n i i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61nn ++=. 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分:例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质 两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=⎰ba dx x f . (2)当a >b 时,⎰⎰-=abba dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba ba dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=ni i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ.性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bcc a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(. 性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则a b dx dx ba ba -==⎰⎰1. 性质5 如果在区间[a ,b ]上 f (x )≥0, 则⎰≥b a dx x f 0)((a <b ). 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba ba ba dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). 证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a M d xdx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(, 各项除以b -a 得⎰≤-≤ba M dx x f ab m )(1,再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
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定积分练习题一．选择题、填空题1．将和式的极限)0(.......321lim1>+++++∞→p n n P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x ⎰101 B ．dx x p ⎰10 C ．dx x p ⎰10)1( D ．dx n x p⎰10)(2．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ．3．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10214．dx x |4|12⎰-=（ ）A ．321B ．322C ．323D ．325 5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．e e 1- 7.若10xm e dx =⎰，11e n dx x=⎰，则m 与n 的大小关系是（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定8.9．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③122(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④10.0(sin cos sin )xy t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．72-D ．011. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，117()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是 ．15．设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤π=其余0x 3x sin )x (f ，则=⎰π02cos )(xdx x f ( )（A ）43 （B ）43-（C ）1 （D ）－117. 定积分 dx x x ⎰-π3sin sin 等于_______ 18. 定积分dx x x ⎰-π03cos cos 等于( )（A ） 0 （B ）23（C ） 34 （D ） 34-19. 定积分⎰-2|cos sin |πdx x x 等于( )（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 20.定积分dx x x ⎰-2223}1,,max {等于( )（A ） 0 （B ） 4 （C ） 316 （D ）1297 综合题：112520022(1)(2)ln(1)(3)(cos )2x dxx dxx x x dx x x -+---⎰⎰⎰23022222202(4)(5)(32)(6)tan [sin 2ln((7)e dx x x x x x dxππ-+-++⎰⎰⎰22222lim(...)12n n n nn n n n →∞++++++(14)用定积分定义计算极限：定积分练习题2.=-+⎰-1121)1(dx x x ( )（A ）π（B ）2π（C ）π2（D ）4π 3. 设]1,0[C f ∈，且2)(10=⎰dx x f ，则=⎰2022sin )(cos πxdx x f ( )（A ）2（B ）3（C ）4 （D ）14. 设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=badx x f 0)(，则（ ）。
（A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ；（C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；（D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
5.dx x x x ⎰+-2232=( )(A))22(154+ )22(154+- 528324- (D)528324+- 6..=+⎰-111dx e e xx( ) (A) 1- (B) e e +-11 (C) ee-+11 (D) 1- 填空、选择题8722(1)sin _______,cos _______,xdx xdx ππ==⎰⎰022110120051sin (2)lim______;ln(1)(3)2_______;(4)(1)_______;(5)_______;(6)()()sin ()()______;(7)(1)()______;(8xx xx x t tdtx x x dx y t t dt f x f x x f x dx f x x x e e dx ππ→----=+-==-==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲线的上凸区间是设是连续函数，且，则：1)lim ln(1_______;xx dt =定积分练习题一．计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；（5）π220cos 2d θθ⎰（6）⎰+10)32(dx x ； （7）⎰+-102211dx x x ； （8）⎰2ln e e x x dx ；（9）⎰--102dx e e x x ； （10）⎰302tan πxdx （11）⎰+94;)1(dx x x （12）⎰+40;1xdx（13）⎰eedx x x 12)(ln 1 （14）⎰205;2sin cos πxdx x （15）⎰20;sin πxdx e x （16）⎰+-102/32;)1(x x dx（17）⎰+202;sin 1cos πdx x x （18）⎰-+10;x x ee dx三．利用定积分求极限（1）;)(1)2(1)1(1222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n Λ（2）);21)2(111(222lim n n n n n +++++∞→Λ定积分练习题一、填空题：1. 如果在区间[,]a b 上, ()1f x ≡,则()b af x dx =⎰.2.10(23)x dx +=⎰.3. 设20()sin x f x t dt =⎰,则()f x '= .4. 设21cos ()t xf x e dt -=⎰,则()f x '= .5.250cos sin x xdx π=⎰6.2122sinn xdx ππ--=⎰ .7.311dx x+∞=⎰.8. 比较大小,321x dx ⎰331x dx ⎰.9. 由曲线sin y x =与x 轴,在区间[0,]π上所围成的曲边梯形的面积为 . 10. 曲线2y x =在区间[0,1]上的弧长为 . 二、选择题：1. 设函数 f(x)仅在区间[0，4]上可积，则必有⎰3)(dx x f =[ ]A ．+⎰20)(dx x f ⎰32)(dx x f B ．+⎰-1)(dx x f ⎰-31)(dx x f C ．+⎰50)(dx x f ⎰35)(dx x f D ．+⎰10)(dx x f ⎰310)(dx x f2.设I 1=⎰1xdx ，I 2=⎰212dx x ，则[ ]A ． I 1≥I 2B ．I 1>I 2C ．I 1≤I 2D ．I 1<I 2 3. []3(1)(2)0xdyy t t dt x dx=--==⎰则A ．2B ．-2C ．0D ．1 4.[]0(23)2,ax x dx a -==⎰则A ．2B ．-1C ．0D ．15. 设f （x ）=⎩⎨⎧≤>)0()0(2x x x x 则⎰-11)(dx x f =[ ]A ．2⎰-01xdx B ．2⎰12dx xC ．⎰102dx x+⎰-01xdx D ．+⎰1xdx ⎰-012dx x6. []202sin limxx t dt x →=⎰A ．21 B ．31C ．0D ．1 7. ⎰-=xttdt e x F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值 )2(πF 为极大值,但无最小值(B) )2(πF 为极小值,但无极大值 )2(πF 为最小值,)0(F 为最大值9. 设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且3)(212-=⎰-x dt t f x ，则=)2(f （ ）(A) 2 (B) -2 (C)41 (D)41-10. 定积分dx x x ⎰++1021)1ln( =（ ）（A ） 1 （B ）2π（C ） 2ln （D ） 2ln 8π11. 定积分 dx e xx ⎰--+4421tan ππ =（ ）（A ）21 （B ） 241π+ （C ） 21π+（D ） 41π-13. 设函数 ],[b a R f ∈， 则极限 ⎰+∞→π|sin |)(limdx nx x f n 等于（ ）（A ） ⎰π)(2dx x f （B ）⎰ππ)(2dx x f （C ）⎰ππ)(1dx x f （D ） 不存在14. 设)(x f 为连续函数，且满足12)(2-+-=--⎰x xe x dt x tf ，则=)(x f （ ）。
（A ）xex --- （B ）xe x + （C ）xe x -+- （D ）xe x -15. 设正定函数),[b a C f ∈，⎰⎰+=x bx adt x f dt t f x F )(1)()(，则0)(=x F 在 ),(b a 内根的个数为 ( )（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3三．计算题：1. 2x d dx ⎰ 2. 20sin xdx π⎰3.1⎰4. 22220()limx t xx t e dt te dt→⎰⎰5.(0)a a >⎰6.41⎰7.212t tedt -⎰8.10⎰。