第07章 应力和应变分析 强度理论

2
D( x , xy)

x + y
2
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
（3）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
y

y
H
yx
n
E ( a , a ) c
2
xy x x
D (x ,xy)
(y ,yx)
max
(
x
y ) + xy
2
2
主切应变所在的面称为主切平面，主切 平面的方位角为
tan 21
x y xy
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
3、平面应变状态分析-图解法（应变圆）


1 ( 2
+
x
1 )+ ( y 2

x
1 ) cos 2 y 2
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 或称为莫尔圆。
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
1. 应力圆：
x + y 2 2 x y 2 2 ( ) + ( ) + xy 2 2

x y 2 2 R ( ) + xy 2
R C
x + y 2
x
t
t
承受内压薄壁容器 任意点的应力状态:
x
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论 § 7.3 二向应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
y
y


a
x

yx
yx
y
n
e

xy
d
yx
σx
xx

e
xy

f
xy
x

b
x
x

xy


c
xy
b

y
b
yx

f
yx
z
1 1 ( x + y ) + ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 1 ( x y ) sin 2 + xy cos 2 2
τ xy
σx
x
zx xz
因而独立的应力分量是 6个
τ zy τ xz τ zx
σz
o z
σx
σy
σz
τ xy
τ yz
τ zx
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
已知：受力物体内
2

3
某一点处三个主应
力 1 、 2 、 3 。 利用应力圆确定
1
该点的最大正应力
和最大切应力。
y y
D
yx

xy
A
x
o y
B
D
x
A

D'
量取
OB = y BD´ = yx
x
得 D´ 点。
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
y y
D

D
yx
xy
A
x
x
o y
B
A C

D'
连接 DD´ 两点的直线与 轴相交于 C 点； 以C为圆心, CD 或CD´ 为半径作圆。
σy
y
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
二. 主应力和方位角
主应力大小：
max
x + y
2
x y + 2
x y 2
1
2 + xy
2 + xy
3
2
2
min
x + y
2
主应力按代数值排序：σ 主平面方位角：
以上两式相似。
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
2、主应变和主方向
max x + y min 2
( ) +( )
x y 2
2 2
xy x y
xy 2
tan 2 0
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
3、切应变的极值，称为主切应变
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
三.主应力和应力状态的分类
单元体上没有切应力的面称为主平面； 主平面上的正应力称为主应力。
2
1
3
说明:
1.一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面
均为主平面,这样的单元体称为主单元体；
2.三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
[ ] [ ]
max max
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论 § 7.1 应力状态概述
一. 基本概念

z z

一点： 微元（有结构，不同于数学点） 应力： 六面体各面上皆有应力（正，切） 分布 -- 均匀 状态： 对应量 -- 相等
zx zy
x
xz yz
D´

x + y
2
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
§7.5 三向应力状态
y
σy τ yx
τ yz
上面
X 平面：法线与X轴
平行的平面。
τ xy
σx
右侧面
Y、Z 平面的定义 类似。
o z 前面
τ zy τ xz τ zx
σz
x
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
第一下标 y
σy τ yx
1 2 3 。
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
（1）单向应力状态：只有一个主应力不为零。 （2）二向应力状态 ：有个二主应力不等于零。 （3）三向（空间）应力状态 ：主单元体上的三个应力
均不等于零。
二向和三向应力状态称为复杂应力状态。
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论

材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
2.应力圆的画法

y y
yx
D
A
xy
x
o
x

材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
y y
yx

D
A
xy
x
D
x
o
A
在 - 坐标系内 ,
选定比例尺。 量取OA = x ，
AD = xy
，得
x
D 点。
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
D (x ,xy)
(y ,yx)
D´

x + y
2
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
3、几种对应关系
（2）点面对应：应力圆上任一点E的坐标值对应着微元
某一截面上的正应力和切应力。
y

y
H
yx
n
xy x x
E ( a , a )
c
D′ ( x , xy)
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
§7.4
二向应力状态分析——图解法
1 1 ( x + y ) + ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2
1 ( x y ) sin 2 + xy cos 2 2
x + y 2 2 x y 2 2 ( ) + ( ) + xy 2 2

xy
sin 2

1 ( 2 2


x
) sin 2 + y

xy
2
tan 2 0 2 xy
σ
2
σ
x y
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
2. 切应力极值（主切应力）和方向
主切应力为：
max min
角为：
( ) +
x y 2
2
x y 2 xy
2
xy
主切应力所在的平面称为主切平面，主切平面的方位
tan21
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
tan 2 0
2 xy
x y
tan21
1 tan21
x y 2 xy
tan20
p 21 20 + p + 1 0 2 4
即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。



1 ( 2

+ x
)+ y
1 ( 2

x
) cos 2 y
xy

1 ( 2 2


x
) sin 2 + y

1 2

xy
sin 2
2
cos 2
x + y x y + cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 + xy cos 2 2
F
单元体各截面上的应力情况代表
一点的应力状态。 利用静力平衡条件来分析单 元体各面上的应力，是研究应力 状态的基本方法。
b

a
d
σ


σ
A

c
材料力学：第七章 应力应变分析 强度理论
说明：
应 力