2017年四川省成都高考数学二诊试卷(理科)含答案解析

2017年四川省成都高考数学二诊试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）A．4+4πB．8+4πC．D．4．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，圆锥的高，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．169．已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017（x∈R），则的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．e10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素11．已知函数，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．以上都不对12．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1， +ln2]二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，若bcosC=（3a﹣c）cosB，则cosB=．14．已知点P（x，y）的坐标满足条件，若点O为坐标原点，点M（﹣1，﹣1），那么的最大值等于．15．动点M（x，y）到点（2，0）的距离比到y轴的距离大2，则动点M的轨迹方程为．16．在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为．三.解答题（17-21每小题12分，22或23题10分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．（1）求随机变量X的分布列及其数学期望E（X）；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．19．已知等边△AB′C′边长为，△BCD中，（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得（如图2所示）．（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；（3）求三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．20．已知圆，将圆E2按伸缩变换：后得到曲线E1，（1）求E1的方程；（2）过直线x=2上的点M作圆E2的两条切线，设切点分别是A，B，若直线AB与E1交于C，D两点，求的取值范围．21．已知函数g（x）=xsinθ﹣lnx﹣sinθ在[1，+∞）单调递增，其中θ∈（0，π）（1）求θ的值；（2）若，当x∈[1，2]时，试比较f（x）与的大小关系（其中f′（x）是f（x）的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当x≥0时，e x﹣x﹣1≥kg（x+1）恒成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2017年四川省成都高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，∴A∩B={1}．故选：A．2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．【解答】解：∵===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．故选B．3．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）A．4+4πB．8+4πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是正方体与球的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体的下面是棱长以2的正方体，上面是半径为1的球的组合体，结合图中数据，计算它的体积为V=V球+V正方体=π•13+23=π+8故选：D．4．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【考点】函数的图象与图象变化；程序框图．【分析】利用对数的运算性质化简平移目标函数的解析式，然后根据“左加右减，上加下减”的原则，可得答案．【解答】解：∵函数=log2（x+1）﹣log24=log2（x+1）﹣2，故其图象可由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个长度单位得到，故选C．5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=2°+21+22+…+2n+n+1的值，根据输出的结果不大于20，得n≤3，由此可得判断框内i的最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2°+21+22+…+2n+n+1的值，∵输出的结果不大于20，∴n≤3，∴判断框的条件n＜i，i的最大值为4．故选：B．6．如图，圆锥的高，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可．【解答】解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC所以平面POD⊥平面PAC在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=DA•sin30°=，在Rt△POD中，OH==，在Rt△OHC中，sin∠OCH=，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为．故选C．7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】球内接多面体．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可．【解答】解：设AB，AC，AD分别为a，b，c，则三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，∴a2+b2+c2=16，S=（ab+bc+ac）≤（a2+b2+c2）=8，故选C．9．已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017（x∈R），则的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．e【考点】二项式定理的应用．【分析】利用微积分基本定理可得：a=﹣=2．因此（1﹣2x）2017=，分别令x=0，1=b0；x=，则0=b0+，即可得出．【解答】解：=﹣=﹣=2．∵（1﹣2x）2017=，令x=0，则1=b0．x=，则0=b0+，∴=﹣1，故选：B．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素【考点】子集与真子集．【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【解答】解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．11．已知函数，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．以上都不对【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意列举斜率相等的情况，得到共有多少组，求得总的基本事件，由古典概率的计算公式即可得到所求值．【解答】解：函数，导数为f′（x）=mx2+nx+1，可得在（1，f（1））处的切线斜率为m+n+1．则切线相互平行即有斜率相等，即有（m，n）为（2，7），（8，1），（4，5），（6，3），（2，5），（4，3），（6，1），（2，3），（4，1），（4，7），（6，5），（8，3），（8，5），（6，7）共++1++1=6+3+1+3+1=14组，总共有=120组，则它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是=．故选：B．12．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1， +ln2]【考点】简单线性规划．【分析】由已知得到ln=，求出的范围，利用函数求导求最值．【解答】解：由正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，得到，∈[，e]，ln=，设t=，则，t∈[，2]，f'（t）=，令f'（t）=0，得到t=1，所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；当t=1时函数的最小值为f（1）=1+ln1=1；又f（2）=+ln2，f（）=e﹣1，．又f（）﹣f（2）=e﹣ln2﹣＞e﹣lne﹣=e﹣2.5＞0，所以f（）＞f（2），所以ln的取值范围为[1，e﹣1]；故选B．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，若bcosC=（3a﹣c）cosB，则cosB=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得：sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，sinA≠0，即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得：sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，sinA≠0，化为cosB=．故答案为：．14．已知点P（x，y）的坐标满足条件，若点O为坐标原点，点M（﹣1，﹣1），那么的最大值等于4．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令z==﹣x﹣y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z==﹣x﹣y，化为y=﹣x﹣z，由图可知，当直线y=﹣x﹣z过点A（0，﹣4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．15．动点M（x，y）到点（2，0）的距离比到y轴的距离大2，则动点M的轨迹方程为y2=8x（x≥0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程．【分析】由已知列出方程，化简即可求出动点M的轨迹C的方程．【解答】解：∵动点M（x，y）到点（2，0）的距离比到y轴的距离大2，∴=|x|+2，整理，得y2=4x+|4x|，∴当x≥0时，动点M的轨迹C的方程为y2=8x．当x＜0时，动点M的轨迹C的方程为y=0．故答案为：y2=8x（x≥0）或y=0（x＜0）16．在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为．【考点】二倍角的余弦．【分析】不妨设C（2，0），B（x，y），A（0，0），根据•=0，可得+y2=，故点B在此圆上．过点A作圆的切线，故当点B为切点时，∠A最大，即θ最大，故cosθ最小，从而求得cos2θ的最小值．【解答】解：△ABC 中，∠A=θ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，且BE ⊥CD ，如图所示，不妨设C （2，0），B （x ，y ），A （0，0），∵AD=AB ，AE=AC ，∴E （1，0），D （，）．∵BE ⊥CD ，∴•=（1﹣x ，﹣y ）•（﹣2，）=（1﹣x ）（﹣2）﹣y•=﹣ [+y 2﹣]=0，∴+y 2=，表示以（，0）为圆心，半径等于的圆，故点B 在此圆上．过点A 作圆的切线，故当点B 为切点时，∠A 最大，即θ最大，故cosθ===最小，则cos2θ的最小值为2cos 2θ﹣1=2×﹣1=，故答案为：．三.解答题（17-21每小题12分，22或23题10分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n }的前n 项和S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：a n =S n ﹣S n ﹣1（n ＞1），结合等差数列中项的性质，解方程可得首项，由等比数列的通项公式即可得到所求；（2）求得，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知S n=2a n﹣a1有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1），∴a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．（2）由（1）得，因数列是首项为，公比为的等比数列，即有T n=（++…+）﹣（1+2+…+n），∴．18．为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．（1）求随机变量X的分布列及其数学期望E（X）；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）X的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．（2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A，包含“甲队3分且乙队1分”，“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，由此能求出甲队和乙队得分之和为4的概率．【解答】解：（1）X的可能取值为0，1，2，3．，，，，∴X的分布列为：…．…（2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A，包含“甲队3分且乙队1分”，“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则：．…19．已知等边△AB′C′边长为，△BCD中，（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得（如图2所示）．（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；（3）求三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．【考点】平面与平面垂直的判定；球内接多面体．【分析】（1）运用平面几何中等腰三角形的三线合一，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，运用平面几何中有关性质，以及线面垂直和面面垂直的性质，可得∠EDF就是ED与面BCD所成的角．运用直角三角形的知识，计算可得CE；（法2）以D为坐标原点，以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D 与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设CE=x，求出E的坐标，运用法向量，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求；（3）将原图补形成正方体，由AC=，可得正方体边长为1，可得外接球的直径即为正方体的对角线长，由球的表面积公式，计算即可得到所求．【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且O为中点，∴BC⊥AO，BC⊥DO，∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，又BC⊂面ABC∴平面BCD⊥平面AOD…（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，则平面BCD∩平面AOD=HD，则AH⊥平面BCD，在Rt△BCD中，，在Rt△ACO中，，在△AOD中，，∴，在Rt△ADH中AH=ADsin∠ADO=1，设，作EF⊥CH于F，平面AHC⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角．由，∴（※），在Rt△CDE中，，要使ED与面BCD成30°角，只需使，∴x=1，当CE=1时，ED与面BCD成30°角…（法2）在解法1中接（※），以D为坐标原点，以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系则，，又平面BCD的一个法向量为，要使ED与面BCD成30°角，只需使成60°，只需使，即，∴x=1，当CE=1时ED与面BCD成30°角；（3）将原图补形成正方体，由AC=，可得正方体边长为1，则外接球的直径为，即半径，表面积：S=4πr2=3π…20．已知圆，将圆E2按伸缩变换：后得到曲线E1，（1）求E1的方程；（2）过直线x=2上的点M作圆E2的两条切线，设切点分别是A，B，若直线AB与E1交于C，D两点，求的取值范围．【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】（1）根据题意，由平面直角坐标系中的伸缩变化的规律可得（x′）2+2（y′）2=2，整理即可得答案；（2）根据题意，直线x=2上任意一点M以及切点A，B坐标，分析可得切线AM，BM的方程，分t=0与t≠0两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）按伸缩变换：得：（x′）2+2（y′）2=2，则E1：；（2）设直线x=2上任意一点M的坐标是（2，t），t∈R，切点A，B坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）；则经过A点的切线斜率k=，方程是x1x+y1y=2，经过B点的切线方程是x2x+y2y=2，又两条切线AM，BM相交于M（2，t），则有，所以经过A、B两点的直线l的方程是2x+ty=2，当t=0时，有A（1，1），B（1，﹣1），C（1，），D（1，﹣），则|CD|=，|AB|=2，=，当t≠0时，联立，整理得（t2+8）x2﹣16x+8﹣2t2=0；设C、D坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），则，，，∴令t2+4=x，则x＞4，则f（x）=，又令u=∈（0，），φ（u）=﹣32u3+6u+1，u∈（0，），令φ′（u）=﹣96u2+6，令﹣96u2+6=0，解可得u0=，故φ（u）=﹣32u3+6u+1在（0，）上单调递增，且有φ（u）∈（1，），而，则＜＜1；综合可得≤＜1；所以的取值范围为[，1）．21．已知函数g （x ）=xsinθ﹣lnx ﹣sinθ在[1，+∞）单调递增，其中θ∈（0，π）（1）求θ的值；（2）若，当x ∈[1，2]时，试比较f （x ）与的大小关系（其中f′（x ）是f （x ）的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当x ≥0时，e x ﹣x ﹣1≥kg （x +1）恒成立，求k 的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令g′（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，结合三角函数的性质即可得出sinθ=1；（2）化简得f （x ）﹣f′（x ）=x ﹣lnx ++﹣﹣2，利用导数分别求出y=x ﹣lnx 和y=+﹣﹣2在[1，2]上的最小值，即可得出结论；（3）令F （x ）=e x ﹣x ﹣1﹣kg （x +1），则F min （x ）≥0（x ≥0），对k 进行讨论，判断F （x ）的单调性，计算F min （x ）进行检验即可．【解答】解：（1）∵g （x ）在[1，+∞）单调递增，∴在[1，+∞）上恒成立，即恒成立．∵当x ≥1时，≤1，∴sinθ≥1，又θ∈（0，π），∴0＜sinθ≤1∴sinθ=1，∴． （2）由（1）可知g （x ）=x ﹣lnx ﹣1，∴，∴，∴，令h （x ）=x ﹣lnx ，，∴，， ∴h （x ）在[1，2]上单调递增，∴h （x ）≥h （1）=1，令φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]单调递减，∵φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴∃x0∈（1，2），使得H（x）在（1，x0）单调递增，在（x0，2）单调递减，∵H（1）=0，H（2）=﹣，∴，∴，又两个函数的最小值不同时取得；∴，即：．（3）∵e x﹣x﹣1≥kg（x+1）恒成立，即：e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1≥0恒成立，令F（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则，由（1）得：g（x）≥g（1）即x﹣lnx﹣1≥0（x≥1），∴x+1≥ln（x+1）+1（x ≥0），即：x≥ln（x+1）（x≥0），∴e x≥x+1，∴当k=1时，∵x≥0，∴，∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0，符合题意；当k∈（0，1）时，y=（x+1）+﹣（k+1）在[0，+∞）上单调递增，∴，∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0，符合题意；当k≤0时，F′（x）在[0，+∞）上是增函数，∴≥F′（0）=1+k﹣（k+1）=0，∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0符合题意，当k＞1时，F″（x）=e x﹣，∴F″（x）在[0，+∞）上单调递增，又F″（0）=1﹣k＜0，且x→+∞，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，+∞）存在唯一零点t0，∴F′（x）在（0，t0）单调递减，在（t0，+∞）单调递增，∴当x∈（0，t0）时，F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）在（0，t0）单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，不合题意．综上：k≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；（2）由|PM|=|t1|，|MN|=|t1﹣t2|，|PN|=|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ=2acosθ，可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；，消去t，可得x﹣y﹣2=0，直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．因为a＞0，所以a=1．10分[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．2017年4月15日。