重庆市云阳中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

重庆市云阳中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则∁U（A∪B）=( ) A．{4，8} B．{2，4，6，8} C．{1，3，5，7} D．{1，2，3，5，6，7}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题考查集合运算中的并集和补集，先求出A∪B，然后再求∁U（A∪B．解答：解：∵A={1，2，3}，B={5，6，7}，∴A∪B={1，2，3，5，6，7}又∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴∁U（A∪B）={4，8}故选；A．点评：本题考查集合运算，属于基础题，注意全集．2．已知复数，则=( )A．B．C．D．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用共轭复数的概念得答案．解答：解：∵，∴=．故选：A．点评：本题考查了复数的基本概念，是基础的会考题型．3．已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a1=﹣2，则数列{a n}的前10项和S10为( ) A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到数列为等比数列，然后由等比数列的前n项和得答案．解答：解：由2a n+1+a n=0，得2a n+1=﹣a n，∴，又a1=﹣2，∴．故选：C．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．4．已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由条件求得2sinαcosα=﹣，再根据sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα），计算求得结果解答：解：∵sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣．sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα）=（1+）=，故选：B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．5．已知：p：x≥k，q：＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是( ) A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由＜0得x＞或x＜﹣1，即q：x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，且S△ABC=，则b=( )A．1 B．2C．3D．3考点：正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用正弦定理化简sinC=3sinB，再利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，已知面积，以及表示出的c代入计算即可求出b的值．解答：解：∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，由正弦定理化简sinC=3sinB，得c=3b，∵S△ABC=bcsinA=3b2•=，∴b=1．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．一简单组合体的三视图及尺寸如图所示，则该组合体的体积是( )A．76 B．80 C．96 D．112考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体与四棱锥的组合体，判断正方体的边长及四棱锥的相关几何量的数据，把数据代入棱锥与正方体的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体与四棱锥的组合体，其中正方体的边长为4，四棱锥的一个侧面与底面垂直，高为3，底面为边长为4的正方形，∴几何体的体积V=43+×42×3=64+16=80．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．8．已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出．解答：解：∵==，=﹣16，∴．∵D为边BC的中点，∴====3．故选：D．点评：本题考查了数量积的性质和向量的平行四边形法则，属于中档题．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是( )A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：特殊化，取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答：解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评：特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．10．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值是( )A．﹣1 B．1 C．log23 D．﹣log23考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：f=f﹣f=﹣f=﹣f，即x＞0时，f（x）=﹣f（x﹣3）=f（x﹣6），周期为6，由此能求出结果．解答：解：∵f（x）=，∵f=f﹣f=﹣f=﹣f，由于x＞0时，f（x）=﹣f（x﹣3）=f（x﹣6），周期为6．∴f=f（335×6+4）=f（4）=f（3）﹣f（2）=f（2）﹣f（1）﹣f（2）=﹣f（1）=﹣f（0）+f（﹣1）=﹣log21+log22=1．故选：B．点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的灵活运用．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）11．sin600°=．考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：利用诱导公式直接化简sin600°为﹣sin60°，然后求出它的值即可．解答：解：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：．点评：本题考查三角函数求值与化简，正确应用诱导公式是解决三角函数求值的重点，一般思路，负角化简正角，大角化小角（锐角）．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．则角B的大小为60°．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由a=2bsinA，利用正弦定理得sinA=2sinBsinA，从而可得sinB=，结合0＜B＜π，且a＜b＜c，可求B．解答：解：由a=2bsinA，得sinA=2sinBsinA，因为0＜A＜π，所以sinA≠0，所以sinB=，因为0＜B＜π，且a＜b＜c，所以B=60°．故答案为：60°．点评：本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．13．读右侧程序框图，该程序运行后输出的A值为．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：读懂程序框图的功能，依次写出i≤4成立时，A，i的值，当i=5，i≤4不成立，输出A 的值为．解答：解：该程序运行，有循环前A=，i=1，i≤4成立，第一次循环A=，i=2，i≤4成立，第二次循环A=，i=3，i≤4成立，第一三次循环A=，i=4，i≤4成立，第四次循环，A=，i=5，i≤4不成立，输出A的值为．故答案为：．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．14．已知函数f（x）=，记（1）+f（2）+f（4）+…+f（256）=a，f（）+f（）+…+f（）=b，则a+b=514．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，求函数f（x）+f（）为常数，即可得到结论．解答：解：由f（x）=得f（）==，则f（x）+f（）=+=4，又f（1）=2，所以a+b=f（1）+128（f（2）+f（））=2+128×4=514．故答案为：514．点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件求出f（x）+f（）=4是解决本题的关键．15．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在x0∈，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围．解答：解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为k1=（ax0+a﹣1）ex0，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为k2=（x0﹣2）e﹣x0，由题设有k1•k2=﹣1从而有（ax0+a﹣1）ex0•（x0﹣2）e﹣x0=﹣1，∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵x0∈，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a=，又a′=﹣，令导数大于0得，1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故答案为：．点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，a n+1﹣a n=5a n+1，由此能求出．（Ⅱ）由，得=（），由此利用错位相减法能求出数列{}前n项和T n．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，∴a n+1﹣a n=5a n+1，…∴，∴数列{a n}是首项为，公比为q=﹣的等比数列，∴．…（Ⅱ）解：，…∴==（），…∴==．…点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．17．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图能分别求出第三，四，五组的频率．（2）列出所含基本事件总数，找到满足条件的基本事件，根据古典概率公式计算即可解答：（1）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1（2）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个．不妨设第三组抽到的是A1，A2，A3；第四组抽到的是B1，B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件总数为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}所以点评：本题主要考查了频率分布直方图和古典概型的概率问题，关键是列举出基本事件，属于基础题18．如图所示的矩形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，以BM为折痕将△ABM向上折起，使得平面ABM⊥平面BCDM．（1）证明：AB⊥平面AMC；（2）已知AB=2，求四棱锥A﹣BCDM的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）推CM⊥AB，AB⊥AM，证明AB⊥平面AMC；（2）梯形BCDM中解面积，高为AO，从而求出体积．解答：解：（1）证明：设AB=a，BC=2a，由题意BM=CM=a；则BM2+CM2=BC2，即BM⊥CM．而平面ABM⊥平面BCDM，BM是平面ABM与平面BCDM的交线，∴CM⊥平面ABM，AB⊆平面ABM∴CM⊥AB，∴CM⊥AB，又∵AB⊥AM∴AB⊥平面AMC．（2）在△BCM中，AB=AM=2，O为BM的中点∴AO⊥BM，平面ABM⊥平面BCDM，AO⊥平面BCDM，AO=，在梯形BCDM中，DM=CD=2，BC=4，S=V A﹣BCDM===2．点评：本题考查了线面垂直关系的证明，属于基础题．19．已知函数f（x）=2sin（x+φ）（x∈R，0＜φ＜）的图象过点M（，）．（1）求φ的值；（2）设α，β∈，f（3α+π）=，f（3β+）=﹣，求sin（α﹣β）的值．考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：（1）依题意求得sin（+φ）=，结合0＜φ＜求得φ的值．（2）由条件求得cosα=，sinβ=．根据α，β∈，利用同角三角函数的基本关系求得inα和cosβ的值，从而求得sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ的值．解答：解：（1）依题意得2sin（+φ）=，即sin（+φ）=，∵0＜φ＜，∴＜φ+＜，∴φ+=，φ=．（2）∵f（3α+π）=2sin（α+）=2cosα=，∴cosα=．∵f（3β+）=2sin（β+π）=﹣2sinβ=﹣，∴sinβ=．∵α，β∈，∴sinα==，cosβ==，∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、诱导公公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．20．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由，g'（x）=2ax﹣1，利用曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，能求出实数a、b的值．（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0，则，由此推导出F（x）最大值为F（1）=0．从而能够证明f（x）≤g（x）．（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e，知f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2，则，由此能够推导出方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内有两个实根．解答：解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴，g'（x）=2ax﹣1．…∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得．…（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0则，…∴当x＞1时，y＜0；当﹣＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣时，y＞0．∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…∴F（x）最大值为F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e∴f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2，则，由=0，得x=，∵x∈（1，e b）且b＞2e，∴，e b＞，∴由G′（x）＞0得1＜x＜，由G′（x）＜0，得，∴G（x）在上单调递增，在上单调递减∴当x=时，，…∵b＞2e，∴，∴，∴又∵G（1）=﹣1＜0G（e b）=blne b﹣e2b=b2﹣e2b=（b+e b）（b﹣e b）＜0，∴方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内有两个实根．…点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查不等式恒成立的证明，考查方程的实根个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（3，0），其短轴上的一个端点到F的距离为5．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上的动点，点M满足||=1且•=0，求||的最小值；（3）设椭圆C的上下顶点分别为A1、A2，点Q是椭圆上异于A1、A2的任一点，直线QA1、QA2分别于x轴交于点D、E，若直线OT与过点D、E的圆相切，切点为T，试探究线段OT 的长是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件得c=3，a=5，由此能求出椭圆C的方程．（2）由||知，点M在以F为圆心，以1为半径的圆上，由•=0知，MP为圆F的切线，M为切点，故||PM|2=|PF|2﹣1，当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，由此能求出||的最小值．（3）设点Q（x 0，y0），（x0≠0，y0≠±4），则直线QA1与QA2的方程分别为：：，，由已知条件推导出|OD|•|OE|=||=25，由此利用切割线定理能求出线段OT的长为定值5．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（3，0），其短轴上的一个端点到F的距离为5．∴c=3，a=5，∴b2=25﹣9=16，∴椭圆C的方程为．（2）由||=1知，点M在以F为圆心，以1为半径的圆上，由•=0知，MP为圆F的切线，M为切点，故||PM|2=|PF|2﹣1，当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，设P（x0，y0），则|PF|2=（x0﹣3）2+=，又﹣5≤x0≤5，当x0=5时，（|PF|2）min=4，∴||的最小值为．（3）由（1）知椭圆上下顶点坐标分别为A1（0，4），A2（0，﹣4），设点Q（x0，y0），（x0≠0，y0≠±4），则直线QA1与QA2的方程分别为：：，，令y=0，分别得，，∴|OD|•|OE|=||=||，又=1，得16x02=25（16﹣），∴|OD|•|OE|=||=25，由切割线定理得：|OT|2=|OD||OE|=25，即线段OT的长为定值且|OT|=5．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长最小值的求法，考查线段OT的长是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。