2-杆系结构有限元分析报告
有限元 1-2-杆单元
第2章杆系单元和杆系结构整体分析2.1杆系单元2.2杆系结构整体分析第2章杆系单元和杆系结构整体分析2.1杆系单元2.2杆系结构整体分析对象、任务对象任务对象：研究有限大小的个体(element)对象研究有限大小的个体任务：1. 建立应变与结点位移分量之间的关系;2. 建立应力与结点位移分量之间的关系;33. 建立结点力与结点位移分量之间的关系;4. 把作用在单元内的外载转化成结点荷载，即单元等效节点力。
一、分离单元1 结构离散取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。
相邻两节点间的杆件段是单元。
节点编号时力求单元两端点号差最小。
YX2 坐标系有限元中的标系有体标系和局部标系有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。
对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。
并标系有很多个个单元就有个局部标并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。
YX杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。
它们都只有2个节点i 、j 。
¾约定：单元坐标系的原点置于节点i ；节点i 到j 的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x 轴的正向。
y 轴、z 轴都与x 轴垂直，并符合右手螺旋法则。
¾对于梁单元，y 轴和z 轴分别为横截面上的两个惯性主轴惯性主轴。
·x yj·z i土木工程学院有限单元法二、杆单元单元分析维杆单元下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A ，长1、一维杆单元度为l ，弹性模量为E ，轴向分布载荷为p x 。
单元有2，单元坐标为一维坐标轴个结点i ，j ，单元坐标为维坐标轴x 。
··i j x p x u ju i l LINK土木工程学院有限单元法P-8··i x p x j l u ju i LINK⎫⎧=i e u ⎧单元结点位移向量{}⎭⎬⎩⎨j u δ单元结点力向量：⎬⎫⎨=j i e F F F }{⎭⎩（1）位移模式和形函数①位移模式因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：12u a a x =+（3）式中a 1、a 2为待定常数，可由结点位移条件时x =x i 时，u =u ix =x j 时，u =u j确定。
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
2 杆系结构有限元法
{F } = [K ]{δ }
[K ]
称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
0 u1 = 0 − kb u 2 k b u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： ①形成每个单元的刚度矩阵
(b) F1c
u1＝0
2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = −k a u 2 , F3b = − kbu2
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c = kb u3 , F2 c = − F3c = −kbu3
0 0 0 k 2 22 2 0 k32
0 2 k 23 2 k33
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。 物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在 任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
− ka k a + kb − kb
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
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le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
结构有限元分析
第七章 结构有限元分析引 言求解具体结构工程中的问题是有限元素法的最终目的，而实际工程结构是复杂多样的，要很好的运用有限元素法还得解决好像坐标变换、对称边界条件运用以及复杂结构连接等问题。
本章即为解决有限元方法应用于工程结构中实际问题的算法。
一、杆系或梁系的刚度坐标变换1、向量的坐标变换公式i) 一维向量的平面分解θθsin cos v u u +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=v u ]sin [cos θθii) 一维向量的三维空间分解⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=w v u u ]cos cos [cos γβαiii) 平面向量的坐标变换：⎭⎩⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧v v u θθθθcos sin sin cos⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧w v u n m l n m l v u 2221112、杆元局部系下刚阵与整体系下刚阵的变换 i ）局部系下的单元平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--j i j i p p u u l EA 1111 []{}{}p K =δ由坐标变换（对节点力）xx⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧j i jy jx iy ix p p p p p p θθθθsin 0cos 00sin 0cos =>{}{}P P T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ00 由局部坐标系下的平衡方程{}[]{}δλλK P T T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00 由位移（节点）的坐标变换[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=i i i v u u θθs i n c o sc o s s i n0000c o ss i n i i i j j j u u v u u v θθθθ⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎩⎭{}{}δλλδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00 代入{P }的表达式：{}[]{}δλλλλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000K P T T{}}]{][[]'[δT K T P =故 []]][[]'[T K T K = 杆系举例：○1节点编号 ○2单元编号 ○3形成各单元的总体坐标系下刚阵 ○4单元拼装 ○5求解总体刚度方程3、平面梁元局部系下刚阵到整体系的坐标变换 i). 梁元局部系下的单元刚度平衡方程⑧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------j j y j x i i y i x j jj i i i l EIl EI lEI l EIl EI l EI l EI lEIlEAlEAlEI l EI lEI l EI l EI l EI l EIl EIlEA lEA M P P M P P v u v u θθ46266126122646612612222323222323000000000000000⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡j i j i P P K K K K δδ22211211ii) 坐标变换⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧i i i i i i v u y y x y y x x x v u θθ1000),cos(),cos(0),cos(),cos(⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧j i j i δδλλδδ00[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211222112110000K K K K K K K K K K TT T T Tλλλλλλλλλλλλ iii) 空间梁元有更复杂的变换关系iv ）其它单元的坐标变换Homework : 列出平面弹性问题的刚度矩阵向三维空间的变换i) 实际问题ii ）问题：一些节点在总体坐标系下，一些节点是在局部坐标系下，这类问题称为混合坐标架问题，即最终的刚度矩阵是一个混合标架下的形式。
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
有限元分析实验报告
有限元分析实验报告有限元分析实验报告一、实验基本要求根据实验指导书的要求能够独立的使用ANSYS 软件操作并在计算机上运行，学会判断结果及结构的分析，学会建立机械优化设计的数学模型，合理选用优化方法，独立的解决机械优化设计的实际问题。
二、实验目的1. 加深对机械优化设计方法的理解2. 掌握几种常用的最优化设计方法3. 能够熟练使用ANSYS 软件操作，培养学生解决案例的能力4. 培养学生灵活运用优化设计方法解决机械工程中的具体实例三、实验软件及设备计算机一台、一种应用软件如ANSYS四、实验内容实验报告例题实训1——衍架的结构静力分析图2-2所示为由9个杆件组成的衍架结构，两端分别在1，4点用铰链支承，3点受到一个方向向下的力F y , 衍架的尺寸已在图中标出，单位： m。
试计算各杆件的受力。
其他已知参数如下: 弹性模量（也称扬式模量）E=206GPa；泊松比μ=0.3；作用力F y =-1000N；杆件的2横截面积A=0.125m.一、 ANSYS8.0的启动与设置图2-2 衍架结构简图1．启动。
点击：开始>所有程序> ANSYS8.0> ANSYS ，即可进入ANSYS 图形用户主界面。
图2-4 Preference 参数设置对话框2．功能设置。
电击主菜单中的“Preference ”菜单，弹出“参数设置”对话框，选中“Structural ”复选框，点击“OK ”按钮，关闭对话框，如图2-4所示。
本步骤的目的是为了仅使用该软件的结构分析功能，以简化主菜单中各级子菜单的结构。
3．系统单位设置。
由于ANSYS 软件系统默认的单位为英制，因此，在分析之前，应将其设置成国际公制单位。
在命令输入栏中键入“/UNITS，SI ”，然后回车即可。
（注：SI 表示国际公制单位）二单元类型，几何特性及材料特性定义1．定义单元类型。
2．定义几何特性。
3．定义材料特性。
三衍架分析模型的建立1．生成节点。
有限元第三章杆系结构单元分析
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
有限单元法 第2章 杆系结构的有限元法分析
义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等 效 结 点 荷 载 矩 阵 ’ 这 里 要 指 出 的 是 ) 分 布 荷 载 ! .$
! # !! !
! # $! !
! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并 进一步 计算各 单元 的应力 分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移 及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够 由计算 机自 动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #
有限元分析——杆系系统计算
2
10 N
mm
2
3 14.1 N
5 14.1 N
mm mm
2
2
4
0
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边界条件为：
，根据边界条件去行去列，如上图，
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则去行去列后有：
这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例 算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：
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图1：三连杆结构的受力状况
1）节点编号和单元划分
图2：各单元的节点位移和外力
2）计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程为：
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单元②的刚度方程为：
单元③的刚度方程为：
3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。
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就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即
3 /33
F
F
节点1
单元①
节点2
单元②
节点2
节点3
点2
如图为阶梯直杆的离散
对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：
根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：
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单元的刚度方程为：
其中 为节点力列阵；
第三讲 杆件结构有限元分析
l
0
AE
l du d u dx f x udx 0 dx dx
其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。
建立有限元模型
现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为 E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移 u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布：
根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为：
其弱形式为：
l
0
[
d ( A x ) f ( x)] udx 0 dx
l
0
A x
l d u dx f x udx Pj u j 0 dx j
基本方程的最终弱形式
其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 x E 所以上式可以继续写为：
网格尺寸设置
网格划分信息
网格划分
选择calculate → calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。
工程求解
点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。
后处理
点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果，如下图所示。
结果分析： 本章针对一个变截面一维杆件，通过理论分析和ELAB1.0软件实现两种方式来分析，一方面对有限元
几何模型
将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示：
单元拓扑关系
确定杆单元的形函数
考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:：
有限元方法第三章杆系结构有限元
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载 荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构 的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂 参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结 构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、 建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性 ，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构 的边界条件，如固定、自由、 受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成 一个线性方程组，然后使用数 值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干 个小的单元，每个单元具有一 定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于大规模问题求解，计算精度可 调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型， 计算量大，需要较高的计算机资源， 对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
第二章 杆系结构的有限元法分析
F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件
2杆系结构的有限元
2杆系结构的有限元有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质力学问题。
它将连续结构简化为有限个节点和单元，通过在这些节点上建立适当的位移函数，进而得到结构的应力、应变和位移分布。
有限元法的应用非常广泛，特别是在结构力学领域。
本文将重点介绍2杆系结构的有限元方法。
2杆系结构是指由两个杆件组成的简单结构，它们一端固定，另一端可以自由位移。
2杆系结构的分析问题可以用一维线弹性力学理论来描述。
首先，我们需要对2杆系结构进行离散化，将其简化为有限个节点和单元。
节点是结构的关键点，单元是相邻节点之间的连接。
我们可以选择线性单元，即每个单元内部的位移是线性分布的，也可以选择非线性单元，进行更为精确的计算。
然后，在每个节点上引入适当的位移函数，用来描述结构的变形情况。
接下来，我们需要确定2杆系结构的刚度矩阵和荷载向量。
刚度矩阵描述了杆件的刚度关系，荷载向量描述了外部施加的荷载。
通过求解结构的平衡方程，我们可以得到结构的位移。
这个过程可以通过线性代数方法来实现，也可以使用迭代方法求解非线性方程组。
最后，我们可以通过计算得到的位移来计算结构的应力和应变分布。
这些信息可以用来评估结构的稳定性和耐久性。
此外，我们还可以通过有限元法来模拟结构在不同工况下的响应，进一步优化设计。
总结来说，2杆系结构的有限元方法是一种有效的工具，用于分析和设计各种类型的结构。
它可以提供结构的应力、应变和位移分布，帮助工程师评估结构的性能和安全性。
这种方法的应用范围非常广泛，可以用于建筑、桥梁、机械等领域。
在实际工程中，我们可以使用专业的有限元软件，例如ANSYS、ABAQUS等，来进行2杆系结构的有限元分析。
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得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 Ν 及其
Ni , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
ui ， u j 化为连续函数 u(x) ，数学上讲，就是已知函数在闭区间 两个端点上的值 ui ， u j ，构成一个连续函数 u(x) ，它在端点应 保证等于 ui ，u j ，这样的计算步骤就是内插，形状函数 Ni ， N j 就是实现内插的两个函数，所以 Ni ， N j 又叫内插函数，形状函 数矩阵 Ν 又叫内插函数矩阵，而式 u(x) Ni (x)ui N j (x)u j 又叫
1. 本点为 1，它点为 0； 2. 任意一点总各为 1。
杆单元形状函数 Ni ， N j 如图 3.3 所示。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单
元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求
一个元素都是坐标的函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
分析式(2.4)：当 ui 1 ， u j 0 时，杆单元的位移 u(x) 就 是 Ni ，当 ui 0 ，u j 1时，杆单元的位移分布就是 N j ，所以
形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他 结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。可以发现形状函 数的两个重要性质为：
图 2.2 二力杆单元
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
单元在结点力作用下各点的位移叫内位移，描绘内位移的
函数叫位移函数。由材料力学知道：仅受轴向作用的二力杆，
其应力及应变在轴线各点处均是恒定常数，因而位移沿杆子轴
线呈线性变化，即
u(x) a1 a2x
Fzi ，Fxj ，Fyj ，Fzj 杆单元结点力分量，一律规定和坐标轴正向一致时为正。 设杆的长度为 l ，弹性模量为 E ，横截面积为 A 。
图 2.1 杆单元结点位移、结点力分量
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杆单元
位移函数
对于铰接杆单元，在小变形假设的前提下，与杆垂直方向的 位移并不使杆产生应变和应力。于是，对每一个结点只需考虑一 个结点位移和结点力，因而只需研究如图 2.2 所示的杆单元即可。
(2.1)
这就是二力杆单元的位移函数，式中 a1 ，a2 是两个待定常
数，可由 i ， j 两结点的位移唯一确定。当
x 0, u 0 ui
x l, u(l) u j
(2.2)
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
将式(2.2)代入式(2.1)有： ui a1，u j a1 a2l ，从而可得
<<结构分析中的有限单元法>>
杆系结构有限元分析
王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
杆系结构有限元分析
杆系是工程中常见的结构体系，比较简单，其 中每一个杆件都可以看作是一个单元，单元受力与 位移的关系很容易求得而且物理概念清晰、直观。 结构力学中介绍的矩阵位移法是采用经典的方法讲 述的，它是利用转角位移方程来建立单元特性公式， 所以只适用于杆系。有限元方法是在结构矩阵分析 的矩阵位移法基础上发展起来的，在建立位移场的 过程中采用的是最有普遍意义的方法，即建立单元 位移场函数，通过最小势能原理进行单元和整体分 析。
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杆单元
拉(压)杆单元 一般规定
如图 2.1 表示某一杆单元 ij ，现约定附属于该单元的局部坐标系为 o'x' y'z ' ， i 点为原点， x 轴沿着杆轴线，其正方向为由 i 指向 j ，其余各轴按右手 螺旋规则确定。设 ui ，vi ，wi ，u j ，v j ，w j 为杆元结点位移分量 Fxi ，Fyi ，
对于拉(压)杆，应力与应变之间的关系有
x E x
用矩阵表示为
σ Dε
(2.6)
其中 σ 是应力向量，在杆单元中只有一个元素，D 为弹性矩阵，
为11阶的。
将式(2.5)代入式(2.6)得
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杆单元
σ Dε = DBue = Sue 其中 S = DB 称为应力矩阵，对于拉（压）杆单元有
x
du dx
将位移函数(2.4)代入有
x
d dx
Nue
d dx
1
x l
d dx
x l
ue
11
l
1 ue
或写成
ε Bue
(2.5)
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杆单元
其中 B 1/ l 1 1称为应变矩阵。应变矩阵 B 把单元的结点
位移 ue 和应变列阵 ε 联系起来。
a1 ui
a2
uj
ui l
(值代入式(2.1)得
u(x)
ui
uj
ui l
x
1
x l
ui
x l
u
j
(2.4)
或写成
u(x)
1
x l
x l
ui u j
Ni
N
j
ui u j
Nu e
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
内插多项式。 数学意义：如果说自然结点离散化为有限元的集合，实现了
结构模型离散化，那么，形状函数完成了数学模型离散化，这两 个离散化的步骤构成了有限元法的理论基础。
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杆单元
几何关系和物理关系
有了位移函数，就可以分析单元的应变和应力，根据应变 定义
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杆单元
通常用 u 代表单元内位移
其中
u Nue Niui N juj
(2.4)
Ni
1
x， l
Nj
x l
在有限元法中， Ni，N j 称为 i 点、 j 点的形状函数或插值函数， Ν 称为形状函数矩阵。形状函数矩阵十分重要，它把单元的结
点位移和单元的内位移连接起来了。显然形状函数矩阵中的每