七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2命题定理证明学案无答案新版新人教版
七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
克山县一中七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质导学案新版新人教
5.3 平行线的性质一、新课导入1.导入课题：利用同位角、内错角、同旁内角之间的关系可以判定两条直线平行.你还记得这些判定方法分别是如何叙述的吗？反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课我们所要研究的内容.（板书课题）2.学习目标：（1）能叙述平行线的三条性质.（2）能运用平行线的三条性质进行简单的推理和计算.3.学习重、难点：重点：对平行线性质的理解及它们与平行线的判定之间的关系.难点：性质2和性质3的推理过程的逻辑表述.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：课本P18的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：正确画图、测量、验证、归纳.（4）探究提纲：①画图：画两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交（如图1所示）.②测量：测量这些角的度数,把结果填入表内.③分析：∠1～∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？答案：同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，相等.④猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？⑤验证：如果改变截线的位置，你的猜想还成立吗？⑥归纳：a.你能用文字语言表述你发现的结论吗？b.你还能用符号语言表述该结论吗？2.自学：学生按探究提纲进行研讨式学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生围绕探究提纲进行学习的情况及存在的困惑.②差异指导：对个别学生在学法和认知有偏差时进行点拨引导.（2）生助生：小组内学生之间相互交流，展示成果，查找并纠正不正确的认识或结论.4.强化：（1）平行线的性质1及其几何表述.（2）经历平行线的性质1的探究过程，体会研究几何图形的一般方法.1.自学指导：（1）自学内容：课本P19的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：阅读教材，重要的部分做好圈点，疑点处做好记号.（4）自学参考提纲：①与平行线的判定类似，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？a.结合图2，你能写出推理过程吗？b.类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？答案：两直线平行，内错角相等.c.你还能用几何语言表述该结论吗？②a.类似地，可以推出平行线关于同旁内角的性质3:两直线平行，同旁内角互补，如图2，用几何语言表述为：∵a∥b,∴∠2+∠4=180°.b.试写出用性质1推出性质3的推理过程.c.试写出用性质2推出性质3的推理过程.③如图3，平行线AB、CD被直线AE所截.a.从∠1＝110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？答案：∠2=110°.两直线平行，内错角相等.b.从∠1＝110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？答案：∠3=110°.两直线平行，同位角相等.c.从∠1＝110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？答案：∠4=70°.两直线平行，同旁内角互补.④如图4，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝39°，∠C是多少度？为什么？答案：∠C=39°.∵AB∥CD,∴∠C=∠FGB,又∵AE∥CF,∴∠A=∠FGB,∴∠A=∠C=39°.2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的自学情况，尤其是性质2和性质3的推理过程，看学生能否写出来.②差异指导：对部分感到困难的学生进行点拨引导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正.4.强化：（1）平行线的性质1、2、3及其几何表述.（2）判定与性质的区别：从角的关系得到两直线平行，就是判定；从已知直线平行得到角相等或互补，就是性质.（3）练习：课本P20“练习”第1题和第2题.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组组长对本组的学习成果和困惑进行总结交流.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用规范性的几何语言.不足的是师生之间的互动配合和默契程度有待加强.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.（10分）如图，由AB∥CD可以得到（C）A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠4D.∠3＝∠4第1题图第2题图2.（10分）如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（C）A.180°B.270°C.360°D.540°3.（10分）如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,那么如果第一次拐的角是76°,那么第二次拐的角是76度,根据是两直线平行，内错角相等.4.（10分）如图,要在公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以60°角度铺设纵向联通管道,根据是两直线平行，同旁内角互补.第3题图第4题图第5题图5.（20分）如图,已知a∥b,c、d是截线，若∠1＝80°，∠5＝70°，求∠2、∠3、∠4各是多少度?为什么？解：∵a∥b，∴∠2=∠1=80°（两直线平行，内错角相等）,∠3=180°-∠5=110°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠4=∠3(两直线平行，同位角相等)，∴∠4=110°.二、综合运用（20分）6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数.解：由题意得：∠3=∠1=45°,∠1+∠7=180°,∴∠7=180°-∠1=135°.∴∠8=∠7=135°.又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°-∠2=58°.∴∠6=∠5=58°.三、拓展延伸（20分）7.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°.（1）∠DAB等于多少度？为什么？（2）∠EAC等于多少度？为什么？（3）∠BAC等于多少度？（4）由（1）、（2）、（3）的结果，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：（1）∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B=44°（两直线平行，内错角相等）.（2）∵DE∥BC，∴∠EAC=∠C=57°(两直线平行，内错角相等).（3）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°.第3课时解含分母的一元一次方程【知识与技能】理解并掌握去分母解方程的方法，归纳解一元一次方程的一般步骤.【过程与方法】通过去分母解方程的过程，体会把“复杂”转化为“简单”，把“新知识”转化为“旧知识”的转化思想方法.【情感态度】结合本课教学特点，培养学生热爱数学，独立思考与合作交流的能力，激发学生学习兴趣.【教学重点】去分母解一元一次方程.【教学难点】解含有分母的一元一次方程.一、情境导入，初步认识前面我们已学习到了哪些一元一次方程的方法？【教学说明】学生很容易想到移项，去括号等方法,进一步巩固前面所学知识.二、思考探究，获取新知1.去分母解一元一次方程问题1 解方程：1/7(x+14)=1/4(x+20).【教学说明】学生通过思考、分析，确定先做什么，后做什么，尝试不同的解法.解法一：去括号，得1/7x+2=1/4x+5移项，合并同类项，得-3=3/28x.系数化为1，得-28=x.即x=-28.解法二：去分母，得4（x+14）=7(x+20).去括号,得4x+56=7x+140.移项，合并同类项，得-3x=84.系数化为1，得x=-28.问题 2 问题1中的两种解法哪一种简便些？从中你能得出解一元一次方程有哪些步骤？【教学说明】学生很容易得出第二种解法简便些，再通过观察、交流，归纳解一元一次方程的步骤.【归纳结论】解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式.2.解含有分母的一元一次方程问题3 解方程1/5（x+15）=1/2x-1/3(x-7).【教学说明】学生按解一元一次方程的一般步骤来做，进一步掌握解一元一次方程的一般步骤.【归纳结论】当方程中含有分母时，方程两边同乘以所有分母的最小公倍数，即可去掉分母.注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘以这个最小公倍数，不要漏乘分母为1的项；当分子是多项式，去分母时，分子要添加括号.3.一元一次方程的应用问题 4 为了参加2013年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度.【教学说明】学生通过设未知数，根据题意找出相等关系，列出方程求解.进一步体会一元一次方程的应用，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法.三、运用新知，深化理解1.解方程2113424x x-+-=,去分母后得到的方程是( ).A.2（2x-1）-(1+3x)=-4B.2(2x-1)-(1+3x)=16C.2(2x-1)-1+3x=-16D.2(2x-1)-［1-(-3x)］=-42.方程311126x x+--=的解是（）.A.x=-1/8B.x=1/2C.x=1/4D.x=-3/83.当x=_______时，代数式1/3(1-2x)与代数式2/7(3x+1)的值相等.4.解下列方程.5.小华同学在解方程21236x x a-+=-去分母时，方程的右边-2没有乘6，因而求得方程的解为x=2，试求a 的值，并正确地解方程.6.某工厂购进了一批煤，原计划每天烧煤5吨，实际每天少烧2吨，这批煤多烧了20天.求这批煤有多少吨？【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对去分母解一元一次方程的掌握情况，对学生的疑惑，教师应及时加以指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.【答案】 1.B2.C3.1/324.（1）x=1/5 （2）x=-16 （3）x=8 （4）x=7(5)x=-2/5(6)x=35.由题意可知：x=2是2(2x-1)=x+a-2的解，解得a=6. 则原方程为21236x x a -+=-, 解得x=-4/3.6.设这批煤有x 吨，由题意得：20.552x x+=- 解得：x=150. 所以这批煤有150吨. 四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾解一元一次方程的一般步骤.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.【板书设计】1.布置作业：从教材问题“5.5”中选取.2.完成练习册中本课时的相应作业.本节课从学生解含有分母的一元一次方程，到归纳解一元一次方程的一般步骤，培养学生动手，动脑习惯，加深对所学知识的认识，熟练运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发学生学习的兴趣.有理数的除法教学目标一、知识与能力理解有理数除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数；渗透化归思想，合学生初步会用已有知识解决新问题.二、过程与方法经历利用已有知识解决新问题的探索过程，通过观察、归纳、推断等方法获得数学猜想.三、情感、态度、价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，认识到学习必须循序渐进.教学重难点一、重点：会进行有理数的除法运算；会求有理数有倒数.二、难点：理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系.教学过程一、创设情景，谈话导入计算： (－6)÷2＝根据除法的意义，这就是要求一个数“？”，使（？）×2=(－6)根据有理数的乘法运算，有2×(－3)＝－6，所以，(－6)÷2＝－3.另外，我们还知道：(－6)×12＝－3.所以，(－6)÷2＝(－6)×1 2.这表明除法可以转化为乘法来进行. 做一做填空：8÷(－2)＝8×( );6÷(－3)＝6×( );－6÷( )＝－6×1 3;－6÷( )＝－6×23.【答案】12-13- 3 32做完上述填空后，你有什么发现？怎样计算8÷（－4）呢？根据除法的意义，这就是求一个数，使它与－4相乘得8，因为 （－2）×（－4）=8，那么8÷（－4）等于多少呢？ 8×⎪⎭⎫ ⎝⎛-41等于多少呢？二、精讲点拨质疑问难从上面的解题过程中，我们发现8÷（-4）=8×（-14）=－2引导学生思考：换其他数的除法是否发现类似上面有的等式？是否仍有除以a （a≠0）可能化为乘a 1？引导学生讨论，得：有理数除法法则：（1）除以一个不等于0的数，等于________a÷b=a×_____（b≠0）（2）两数相除，同号得 _____，异号得_____，并把绝对值相________，零除以任何一个不等于零的数，都得．【答案】（1）乘以这个数的倒数1b（2）正负除零三、课堂活动强化训练例1. 计算:(1)()186-÷;(2) 1255⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 64255⎛⎫÷- ⎪⎝⎭.解：()()1861863-÷=-÷=-; 1215155522⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ; 6465325525410⎛⎫⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例2.把下列有理数写成整数之商：（1）-3；（2）-2.4.解：（1）-3===（-22）÷7；（2）-2.4===12÷（-5）. 注意：本例题的答案并不是唯一的. 例3. 化简下列分数：(1) 123-(2) 2416--解：(1) ()()1212312343-=-÷=-÷=-(2) ()()241241624161162-=-÷-=÷=- 例4.计算:(1);(2) ÷×解：(1)===;(2) ÷×=××=.四、布置作业教材练习题。
人教版七级下册数学5.3.2《命题 定理 证明》【教案优秀课件】
5、也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。 6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
同学们再见
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
怎样分类？
真命题：如果题设成立，那么结论 是真命题。
一成定立；正
命题分为真命题和假命题。
问题五：你能再举出一个真命题和一个假命题的例
例：你能快速判断下列命题的真假吗？说说为
（1）若a=b,则ac=bc； （真 ） （2）一个锐角与一个钝角的和等于一个平角； （假
（3）如果 a=b ，那么 a b ； （真 ） （4）如果 a b ，那么a=b ； （假 ）
人教版七年级数学下册知识点总结归纳
人教版七年级数学下册各单元知识点汇总第五章相交线与平行线5.1 相交线邻补角、对顶角对顶角相等直线a与直线b互相垂直，记作a b。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线在同一平面内，当直线a与直线b不相交时，我们就说直线a与直线b互相平行，记作//a b. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即如果b a，c a，那么b c.5.2.2 平行线的判定判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明判断一件事情的语句，叫做命题命题由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题中做假命题。
人教版数学初一下册第五章 相交线与平行线 5.3.2：命题、定理、证明(1)课件
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（5）对顶角相等．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
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知识点一：命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论，
①、内错角相等； ②、两条平行线被第三直线所截，同位角相等； ③、同角的余角相等； ④、同平行于一直线的两直线平行； ⑤、直角三角形的两个锐角互余； ⑥、等角的补角相等； ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补，那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角．
1
2
1 2
20
知识点二：真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念，会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一：命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定，这些语句都对某 一件事情作出判断，如：同位角相等，两条直线平行．
（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”；
（3）题设是“两个角是邻补角”，结论是“这两个角互补”.
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知识点一：命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2，再同桌相互交流， 最后小组交流；
七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明一课一练
命题、定理、证明一课一练·基础闯关题组命题的判定与改写1.(2017·郯城县月考)下列句子中不是命题的是( )A.两直线平行，同位角相等C.若|a|=|b|，则a2=b2【解析】选B.B不是可以判断真假的陈述句，不是命题.A，C，D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题.2.(2017·萧山区期中)下列命题中，真命题是( )B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行【解析】选C.A错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角.B错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等.C正确，必须强调在同一平面内.D错误，两直线平行同旁内角才互补.【变式训练】下列命题中，假命题有( )①若a2=4，则a=2；②若a>b，则a2>b2；③若a>b，b>c，则a>c；④若|a|=|b|，则a2=b2.个个个个【解析】选B.①是假命题，例如a=-2时，(-2)2=4；②是假命题，例如a=1，b=-2时，满足a>b，但不满足a2>b2；③④都是真命题. 【方法指导】命题及其真、假的判断技巧(1)判断一个语句是不是命题，关键是看这个语句是否作出肯定或否定的判断.(2)判断一个命题是真命题，必须经过推理证实；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.3.(2017·某某中考)对于命题“若a2>b2，则a>b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( )A.a=3，b=2B.a=-3，b=2C.a=3，b=-1D.a=-1，b=3【解析】选B.a=-3，b=2时，a2>b2，但a<b.4.(2017·某某区期中)命题“两直线平行，同位角相等”的题设是____________，结论是____________. 【解析】命题中，已知的事项是“两直线平行”，由已知事项推出的事项是“同位角相等”，所以“两直线平行”是命题的题设部分，“同位角相等”是命题的结论部分.答案：两直线平行同位角相等5.(2017·卢龙县期中)把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：________________.【解析】不能被2整除的数是奇数写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数.答案：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数6.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果…那么…”的形式，再指出命题的题设和结论.①同号两数的和一定不是负数.②若x=2，则1-5x=0.③延长线段AB至C，使B是AC的中点.④互为倒数的两个数的积为1.【解析】①同号两数的和一定不是负数是命题，改写为：如果两个数是同号，那么这两个数的和一定不是负数，题设是两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数.②若x=2，则1-5x=0是命题，改写为：如果x=2，那么1-5x=0，题设是x=2，结论是1-5x=0.③延长线段AB至C，使B是AC的中点不是命题.④互为倒数的两个数的积为1是命题.改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.题设是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1.7.指出下列命题的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题.(1)若|a|=|b|，则a=b.(2)如果ab=0，那么a=0，b=0.(3)邻补角的平分线互相垂直.(4)如果内错角不相等，那么两直线一定不平行.【解析】(1)题设：|a|=|b|；结论：a=b；假命题.(2)题设：ab=0；结论：a=0，b=0；假命题.(3)题设：两条射线是一对邻补角的平分线；结论：这两条射线互相垂直；真命题.(4)题设：内错角不相等；结论：两直线一定不平行；真命题.【知识归纳】如何把命题改写成“如果……那么……”的形式首先要找出命题的题设和结论.“如果”后写题设，是已知事项，“那么”后面写结论，也就是由题设推出的事项.在改写时，应注意题设和结论都必须相对完整，不能机械地将“如果”和“那么”插入命题中.应适当地补充一些修饰成分，但内容要保持不变.有些命题，在“如果”前面还有条件，应将这个条件和“如果”后边的条件一起作为这个命题的题设.题组定理与证明1.下列说法错误的是( )A.命题不一定是定理，定理一定是命题D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理【解析】选C.并不是所有的真命题都是定理.“两直线平行，内错角相等.”解决下列问题.(1)写出逆命题.(2)判断逆命题是真命题还是假命题.(3)根据逆命题画出图形，写出已知，求证.【解析】(1)逆命题：内错角相等，两直线平行.(2)是真命题.(3)已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD.3.证明：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或者互补. 【解题指南】【解析】已知：OA⊥O′A′于点C，OB⊥O′B′于点D.求证：∠O=∠O′或∠O+∠O′=180°.证明：如图①，∵OA⊥O′A′，OB⊥O′B′，∴∠OCO′=∠ODO′=90°，又∠O+∠O′+∠OCO′+∠ODO′=360°，∴∠O+∠O′=180°.图①图②如图②，∵OA⊥O′A′，∴∠O′+∠1=90°，OB⊥O′B′，∴∠O+∠2=90°，又∵∠1=∠2，∴∠O=∠O′，综上，∠O=∠O′或∠O+∠O′=180°.如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.(1)判定EM与FN之间的关系，并证明你的结论.(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条直线________，那么内错角的平分线互相________.(3)由此可以探究并得到：如果两条直线________，那么同旁内角的平分线互相________.【解析】(1)EM∥FN.证明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，∴∠1=∠EFD，∴AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE.∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，∴∠3=∠4，∴EM∥FN.(2)由(1)可知EM∥FN，∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的平分线互相平行.答案：平行平行(3)由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直.答案：平行垂直【母题变式】(1)如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，试判断命题的真假：__________(填“真”或“假”).(2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由.【解析】(1)若∠1=∠2，则AB∥CD，是假命题.答案：假(2)加条件：BE∥FD.理由：∵BE∥FD，∴∠EBD=∠FDN.又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠CDN，∴AB∥CD.。
人教版七年级数学下册第五章5.3.2《命题、定理、证明》教案
-在实际问题中识别和应用所学的命题、定理和证明方法。
举例：针对命题真假判断的难点，设计一些具有迷惑性的命题，让学生分析讨论，如“如果一个角的补角是直角，那么这个角是锐角”这一命题的真假。对于证明方法，通过具体例题展示反证法的步骤，解释反设的意义，并指导学生如何寻找矛盾点。在应用难点方面，给出一些综合性的问题，如“证明一个四边形是平行四边形”，引导学生结合所学定理和证明方法，逐步解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调命题的判断和定理的证明这两个重点。对于难点部分，如反证法，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与命题、定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠纸片来验证平行线的性质。
此外，课堂上的实践活动和小组讨论环节，学生们表现得非常积极，这说明他们对于参与到课堂活动中有着很高的热情。但在这一过程中，我也注意到有些学生过于依赖同伴，自己思考得不够深入。因此，我需要在活动中更好地引导他们独立思考，培养他们自主解决问题的能力。
还有一个值得注意的问题是，在新课讲授过程中，我是否把重点和难点讲解得足够清晰。从学生的反馈来看，有些地方还需要我进一步讲解和强调。在今后的教学中，我会更加关注学生的接受程度，及时调整教学方法和节奏，确保他们能够更好地掌握核心知识。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了命题的基本概念、定理的重要性以及证明的方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七年级数学人教版下册习题课件第五章5.3.2 命题、定理、证明
④如果a＝b，那么a2＝b2； 第五章 相交线与平行线 ②对于任意有理数a，|a|＞－a； ∴∠2＝∠3(_______________)， ∴∠B＋∠C＝180°(__________). 15．(练习2变式)分别指出下列命题的题设和结论， 4．命题“邻补角相等”的题设是__________________， 4．命题“邻补角相等”的题设是__________________， ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ④是定理．其中正确的说法有( ) B．两直线平行，内错角互补 16．(习题13变式)如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC， (4)题设：两个角互补，结论：一个为锐角，一个为钝角，是假命题． 并判断是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例说明． 交AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，∠DBF＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠BDA＝90°(_________________)， ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c. (3)题设：ac＝bc，结论：a＝b，是假命题． 5．把命题“同旁内角互补”写成“如果……那么……”的形式 ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
10．在下面的括号内，填上推理的根据：
又∵∠1＝B∠．3(已对知)顶， 角相等
7．下列各命题中，属于假命题的是( )
1③5．经(过练一习点C2变有．式且不)只分有别是一指条对出直下顶线列平命角行题于不的已题相知设直和等线结；论，
(1)如图①，已知AB∥CD，BE∥CF，求证：∠B＋∠C＝180°.
④是定理．D其．中作正确∠的说A法O有B( 的) 平分线
人教版数学七年级下册5-3-2命理、定理、证明(第2课时) 课件
①BC平分∠ABE； ②∠BCE＋∠D＝90°； ③AC∥BE； ④∠DBF＝2∠ABC. 其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若a＝b，则a2＝b2是____真_____命题(选填“真”或“假”)， 其中“a＝b”是_题__设_______，“a2＝b2”是_结__论________．
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1 ＝∠2，则图中互相平行的直线是__E_F_∥__C_D__，__B_C_∥__D_E___________．
8．如图，给出下面的推理，其中正确的是____①__②__④________． ①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF； ②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD； ③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF； ④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.
9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证： ∠ACD＝∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)， ∴∠ACB＝90°(______垂__直__的__定__义________)， ∴∠BCD是∠ACD的余角． ∵∠BCD是∠B的余角(已知)， ∴∠ACD＝∠B(____同__角__的__余__角__相__等______)．
c
2
a
证明的一般步骤： 1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根 据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地 写出证明过程.
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
合作探究
溆浦县第七中学七年级数学下册 第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明
5.3平行线的性质一、新课导入1.导入课题:歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，边走边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬的局面，歌德笑容可鞠，谦恭的闪在一旁，有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反！”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣，你知道歌德用的是什么语言技巧吗？你知道其中的数学道理吗？这涉及到我们今天要学习的内容中的一个概念.（板书课题）2.学习目标:（1）知道什么是命题，会把一个命题改写成“如果……那么……”的形式，从而能正确分清它的题设和结论.（2）知道什么是真命题和假命题；能区分一些简单命题的真假.3.学习重、难点:重点：知道什么是命题;能正确区分它的题设和结论.难点：改写命题，会填写一些证明的关键步骤和理由.二、分层学习1.自学指导：（1）自学范围：课本P20至P21练习前的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：认真阅读课本，重要的地方做好圈点，遇到疑难相互研讨.（4）自学参考提纲：①什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？②每个命题都由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.③数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.④把课本中命题（2）、（4）改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论分别是什么.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内同学相互交流研讨，纠错.4.强化：（1）命题的概念与结构.（2）真、假命题的概念（3）练习：①语句“画线段AB=CD”是命题吗？不是②指出下列命题的题设和结论：a.如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°题设：如果AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°.b.如果∠1=∠2,∠2=∠3，那么∠1=∠3.题设：如果∠1=∠2,∠2=∠3,结论：∠1=∠3.c.两直线平行，同位角相等.题设：如果两条直线平行，结论：同位角相等.d.同角的余角相等.题设：已知两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等.1.自学指导:（1）自学范围：课本P21“练习”之后至P22“练习”之前的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：认真阅读课文，在重要和有疑问的地方做好圈点、标记，知道如何判断命题的真假，如何给证明批注理由.（4）自学参考提纲：①什么叫定理？定理和命题有什么关系？②什么叫证明？证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、事理等.③在下面的括号内填上推理的根据.a.如图1，AB和CD相交于点O，∠A=∠B,求证：∠C=∠D.证明：∵∠A=∠B(已知),∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行),∴∠C=∠D(两直线平行，内错角相等).b.如图2，已知A、O、B三点在一条直线上,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分钱，求证:OD⊥OE.证明：∵OD是∠AOC的平分线（已知）,∴∠1=12∠AOC（角平分线的定义）.同理：∠2=12∠BOC.∴∠1+∠2=12(∠AOC+∠BOC)，∵点A、O、B在同一条直线上，∴∠AOC+∠BOC=180°(平角的定义),∴∠1+∠2=90°，∴OD⊥OE（垂直的定义）.④你知道怎样判断命题的真假吗？试判断下列命题的真假.若a=b,b=c,则a=c.（真）若a>b,b>c,则a>c.（真）若a∥b,b∥c,则a∥c.（真）若a⊥b，b⊥c,则a⊥c.（假）若ac=bc,则a=b.（假）若a2=b2,则a=b.（假）同位角相等.（假）锐角与钝角一定互补.（假）2.自学:同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内同学相互交流、订正.4.强化：（1）定理与命题的关系.（2）证明中每一步推理都要有根据，不能“想当然”.（3）练习：课本P22“练习”的第1、2小题.三、评价1.学生的自我评价：学生交流学习目标的达成情况和学习的感受等.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课的学习任务是让学生了解命题的概念，能区分命题的题设和结论，并初步认识真假命题.这节课一开始由教师提出问题，学生自学课本，让学生体验先学后教的理念，同时培养了学生的自学能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.（10分）下列语句是命题的个数为（B）①画∠AOB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗？④若|a|=3,则a=3.A.1个B.2个C.3个D.4个2.（10分）“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”是真命题，其中题设是同一平面内，有两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行.3.（20分）如图，用式子表示下列句子：（1）因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行;（2）因为DE和BC平行，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1=∠B,∠3=∠C.解：（1）∵∠1=∠2，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.（2）∵DE∥BC，∴∠1=∠B，∠3=∠C(两直线平行，同位角相等）.4.（20分）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.（1）两个锐角的和是锐角;（2）邻补角是互补的角;（3）同旁内角互补.解：（1）假命题，反例：两个锐角分别为80°和80°，和为160°,为钝角;（2）真命题;（3）假命题，反例，两相交直线被第三条直线所截时，同旁内角不互补.二、综合运用（30分）5.完成下面的证明.（1）如图（1），AB∥CD,CB∥DE,求证∠B+∠D=180°.证明：∵AB∥CD,∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等).∵CB∥DE,∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补).∴∠B+∠D=180°.(2)如图（2），∠ABC=∠A′B′C′，BD,B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，求证∠1=∠2.证明：∵BD、B′D′分别是∠ABC,∠A′B′C′的平分线,∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠A′B′C′（角平分线的定义）.又∠ABC=∠A′B′C′,∴12∠ABC=12∠A′B′C′.∴∠1=∠2(等量代换).三、拓展延伸（10分）6.如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（2）AD∥BC，（3）∠A+∠B=180°,(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？解：题设：AB∥DC，结论：∠ABC+∠C=180°.真命题：若AB∥DC，则∠ABC+∠C=180°.如图，连接BD.真命题：若∠ABD=∠CDB,则AB∥DC.证明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.《有理数的加减混合运算》说课稿各位老师好：今天我说课的课题是《有理数的加减混合运算》。
七年级数学下册相交线与平行线 . 平行线的性质命题、定理、证明课时教学
个论断为题设,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题,并说明(shuōmíng)理由.。解: 本题答案不唯一.。1.命题的定义、组成、分类分别是什么。2.平行线是常用的辅(4)个位是6的整数一定能被6整除.
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解:(1)如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角 相等(xiāngděng).题设:两条平行线被第三条直线所截.结论:同位 角相等.真命题.
(2)如果两个角是两个相等的角的余角,那么这两个角相等. 题设:两个角是两个相等的角的余角,结论(jiélùn):这两个角 相等.真命题.
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(3)如果两个角互补(hù bǔ),那么这两个角是邻补角.题设:
两个角互补,结论:这两个角是邻补角.假命题.
(4)如果一个整数的个位数字是6,那么这个数一定能被6整 除.题设:一个整数的个位数字是6,结论(jiélùn):这个数一 定能被6整除.假命题.
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句呢?让我们一起来学习什么是命题吧!
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1.如何(rúhé)判断一个命题的真假?
题设成立,结论(jiélùn)一定成立的命题是真命题; 题设成立,结论不一定成立的命题是假命题.
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2.先把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,再写 出它们的题设和结论,并判断其真假: (1)两直线平行(píngxíng),同位角相等; (2)等角的余角相等; (3)互补的角是邻补角;
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数学七年级下册第五章知识点
数学七年级下册第五章知识点七年级下册数学第五章知识点。
一、相交线。
1. 邻补角。
- 定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
例如，在直线AB与直线CD相交于点O时，∠AOC和∠AOD就是邻补角，因为它们有公共边OA，且OC和OD互为反向延长线。
- 性质：邻补角互补，即邻补角的和为180°。
这是因为它们组成了一个平角，平角的度数是180°。
2. 对顶角。
- 定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
如在上述相交的直线AB和CD中，∠AOC和∠BOD就是对顶角，∠AOD和∠BOC也是对顶角。
- 性质：对顶角相等。
可以通过同角的补角相等来证明。
因为∠AOC + ∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD = 180°，所以∠AOC=∠BOD。
3. 垂线。
- 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
例如直线EF 垂直于直线GH，垂足为K，则∠EKH = 90°。
- 性质：- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
假设在平面内过点A有两条直线AB和AC都垂直于直线l，那么根据三角形内角和定理，在三角形ABC中，∠BAC + ∠ABC+∠ACB>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以过一点只能有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单地说就是垂线段最短。
这是因为从直线外一点到直线的连线中，垂线段与直线形成的角是直角，其他线段与直线形成的角是锐角或钝角，根据直角三角形斜边大于直角边的原理，垂线段最短。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
第5章相交线与平行线导学案5.3.2命题、定理、证明
（3）三角形的内角和是180°．（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．四、学以致用：1．下列语句是命题的个数为（）①画∠AOB的平分线; ②直角都相等; ③同旁内角互补吗？④若│a│=3，则a=3.A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列5个命题，其中真命题的个数为（）①两个锐角之和一定是钝角; ②直角小于锐角; ③同位角相等，两直线平行; •④内错角互补，两直线平行; ⑤如果a<b，b<c，那么a<c.A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列说法正确的是（）A互补的两个角是邻补角B两直线平行，同旁内角相等C“同旁内角互补”不是命题D“相等的两个角是对顶角”是假命题4．下列语句中不是命题的有（）⑴两点之间，直线最短；⑵不许大声讲话；⑶连接A、B两点；⑷花儿在春天开放．A．1个B．2个C．3个D．4个5．“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，其中题设是，结论是；6、“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是命题，，题设是，结论是，7．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断正误．（1）对顶角相等；（2）同角的补角相等．小组间进行探究。
五．巩固提升1、判断下列语句是不是命题（1）延长线段AB（）（2）两条直线相交，只有一交点（）（3）画线段AB的中点（）（4）若|x|=2，则x=2（）（5）角平分线是一条射线（）2、选择题（1）下列语句不是命题的是（）A、两点之间，线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。
（2）下列命题中真命题是（）A、两个锐角之和为钝角B、两个锐角之和为锐角C、钝角大于它的补角D、锐角小于它的余角（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。
其中假命题有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c（2）同旁内角互补，两直线平行。
第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明课件
2.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，CE平分 ∠ACD，AB∥CE，求证∠A=∠B.
证明：∵CE平分∠ACD (已知)， ∴∠ACE=∠DCE(角平分线的定义)． ∵AB∥CE(已知)， ∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)， ∠B=∠DCE(两直线平行，同位角相等)． ∴∠A=∠B(等量代换).
1.在下面的括号内，填上推理的根据. 【选自教材第22页 练习 第1题】 如图，∠A +∠B=180°，求证∠C +∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC（_同__旁__内__角__互__补__，__两__直__线__平__行__）， ∴∠C+∠D=180°（_两__直__线__平__行__，__同__旁__内__角__互__补__）.
（2）正数大于负数. （是）
（3）同角的余角相等.（是）
（4）两直线平行，同旁内角相等.（是）
（5）对顶角相等. （是）
（6）在直线AB上任取一点C. （不是）
（7）明天会下雨吗? （不是）
（8）画线段AB=CD. （不是） 一个词语、疑问句、感叹句、
（9）相等的角都是直角.（是） （10）同旁内角互补. （是）
一条，那么也垂直于另一条； 真命题
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角； 假命题
（3）如果 | a | = | b |，那么 a = b ；假命题
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
真命题
真命题
思考：如何判定一个命题是假命题? 举反例
例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是假命题， 可以举出如下反例：
探究点1 命题及其构成
七年级数学下册知识点归纳
七年级数学下册知识点归纳第五章相交线与平行线5.1 相交线一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
如：∠1、∠2。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如：∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如：∠1和∠5。
2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如：∠3和∠5。
3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如：∠3和∠6。
5.2 平行线及其判定(一) 平行线1.平行：两条直线不相交。
互相平行的两条直线，互为平行线。
a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
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5.3.2命题、定理、证明
学习目标：1、了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论。
2、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。
3、情感态度与价值观：初步培养学生不同几何语言相互转化的能力。
.
学习重点：命题的概念和区分命题的题设与结论
学法重点: 区分命题的题设和结论
一、温故知新
1.平行线的判定方法有哪些?平行线的性质有哪些？
二、自主学习
（一）预习自我检测（阅读课本21页，完成下列各题。
）
1 命题：
2 命题由（）和（）两部分组成.题设是（）,结论是由（）推出的事项.
3 下列语句是命题吗？如果是，说出它的题设和结论
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式③对顶角相等
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.⑤画AB∥CD
4 我的疑难问题：
三、合作探究
1 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角。
②如果a＞b.b＞c那么a=b
③如果两个角互补，那么它们是邻补角。
你认为这几句话对吗？它们是不是命题？
真命题：
假命题：
2 什么是定理？ 归纳总结： 五、 达标测试 一、填空题. 1.命题是 一件事情的句子，命题都是由 和 两部分组成；
2.命题“两直线平行，同位角相等”中，“两直线平行”是命题的 ；
3.命题“若a ≠b ，则22b a ”的题设是 ，结论是 ；
4.命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是_____________, 结论是____________.
5命题“两条平行线被第三第直线所截，内错角相等”是（ ）命题，题设是（ 结论是（ ）
6命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”是（ ）命题，题设是（ 结论是（ ）
7下面四个命题中：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直；③如果两个角
相等，那么这两个角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相
交，最多只有三个交点．其中正确的命题是 ．（填入序号即可）
二 写出下列命题的题设和结论，并判断此命题是否正确；
1．如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
题设： 结论：
2．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
题设： 结论：
3．相等的角是对顶角；
题设： 结论：
4．任意两个直角都相等；
题设： 结论：
5．两条直线不平行就相交。
题设： 结论： 6等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它们题设和结论分别是什么？
12.指出下列命题的题设和结论，并将其改写成为“如果……，那么……”的形式。
⑴平行于同一条直线的两条直线平行；
⑵对顶角相等。
六、我的感悟：这节课我的最大收获是：我不能解决的问题是：__________。