反比例函数图象中基本图形面积的应用题
反比例函数的面积问题练习题
例1、 如图，P 是反比例函数的图象上的一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中的阴影部分的面积为6，则该反比例函数的表达式为变式练习：1、如图，P 是反比例函数y=xk 的图象上的一点，由P 点向x 轴引垂线PA ，若阴影部分 △POA 的面积为3，则这个反比例函数的解析式是： 若S △ABC =3呢？2、在反比例函数y=x4的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）3、（2010•泸州）y=x10（x ＞0），A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1，若A 1横坐标为2，且以后每横坐标与它前一个横坐标差都为2．现分别过A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴与y 轴垂线段，构成若干个矩形如所示，依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，S 1= ，S 1+S 2+S 3+…+S n = （用n 代数式表示）．3、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=xk （k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为： ，若在第二个图中，阴影面积为10π，解析式为？例2、（2012巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y 1=k 1x+1的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，与反比例函数y 2=x k 的图象分别交于点M 、N ，已知△AOB 的面积为1，点M 的纵坐标为2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围练习：1、如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=-x8的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴影分部的面积是？2、（2012•济南）如图，已知双曲线y=xk 经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．。
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下与面积相关的问题往往围绕着以下三个结论展开：①反比例函数上任意一点与坐标轴围成的矩形面积；②反比例函数上任意一点与坐标轴围成的三角形面积；③反比例函数上任意两点与原点围成的三角形面积.
解法分析：对于平面直角坐标系中三角形面积的求法问题有如下的解法策略：①当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴上时，可以直接求三角形面积；②当三角形中的任意一边不在坐标轴或不平行于坐标轴时，利用割补法(补成/分割成规则图形)面积进行求解。
本题中的△ABC的一边AC//x轴，则可以直接求解，需要注意的是当用点表示线段长度时，要加上绝对值。
解法分析：本题可以直接求三角形的面积，△MPQ的底PQ是可求的定值，而高是点M和点P横坐标差的绝对值，要注意M点可能在第二象限，也可能在第四象限，加上绝对值后就可以避免漏解了。
解法分析：本题首先需要联立正比例函数和反比例函数的解析式求出A、B两点的坐标，然后过A、B两点作x轴垂线构造梯形，求梯形面积即可。
解法分析：本题可以用代数法或几何法解决。
综合利用直角三角形的性质，三角形的面积比解决。
同时还要能够利用点的坐标表示线段的长度，灵活运用。
解法分析：本题主要考察了反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形面积。
对于第2、3问，需要分类讨论，即P在B左侧或P在B右侧，进行计算。
解法分析：本题是反比例函数和正方形背景下的问题。
△BCE的面积可以直接求解，主要表示出E的坐标，再求出B'E的长度，即可求出△BCE的面积。
(完整版)反比例函数与面积问题练习题
反比例函数中的面积问题由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|（一）、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）1、（1）(2008广东省深圳市)如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB ⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．2、（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．（二）、已知反比例函数解析式，求图形的面积3、（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C． D．（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．二、利用点的坐标及面积公式求面积4、（2008四川省南充市）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．5、(2009年达州)如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积.三、利用对称性求反比例函数有关的面积问题6、（（2009年福州）已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）7、（2009年济宁市）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .。
反比例函数常见面积问题(带答案)
反比例函数常见面积问题例1. 如图3，反比例函数x 8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求AOB ∆的面积。
例2. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与)0k (x k y >=的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为21、S S ，则1S 与2S 的关系为？例3.如图5，已知反比例函数x 12y =的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P （m ，2）。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2，求a 的值。
例4.如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k（x ＞0）的图象经过点B ．（1）求k 的值；（2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、NA ′BC ．设线段MC ′、NA ′分别与函数y ＝x k（x ＞0）的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．例 5.如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 ? ．连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2例6.直线y=6x, y=2/3x分别与双曲线y=k/x在第一象限内交于AB两点若S△oab=8则k= ？直线L与反比例函数Y=2/X的图像在第一象限内交与AB两点交x轴的正半轴与点C，若AB：BC=(M-1)：1(M>1) S△AOB=?例7.如图，点A是反比例函数y=-2/x,在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=4/x在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是．分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE求解．解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵AC=CB，∴OD=OE，设A（-a，2 /a ），则B（a，4 /a ），故S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE=1 /2 （2/a +4 /a ）×2a-1/ 2 a×2/ a -1/ 2 a×4/ a=3，故答案为：3．例8.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=k/x（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=．？分别过点A、E作AM、EN垂直于x轴于M、N，则AM∥EN，∵A、E在双曲线上，∴三角形AOM与三角形OEN的面积相等，∵四边形AOBC是平行四边形，∴AE=BE，∵AM∥EN，∴MN=NB，∴EN=1 /2 AM，∴OM=1/ 2 ON，根据三角形的中位线，可得MN=BN，∴OM=MN=BN，设A（x，y），由平行四边形的面积=OB×AM=18，∴3x×y=18，xy=6，即k=6；例9.梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y＝k /x （k＞0）经过A、E两点，若AC：OB=1：3，梯形AOBC面积为24，则k=（）设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，从而求出S，也可得出△OEB的面积，过点E作EF⊥OB，过点A作AM⊥OB于点M，设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，利用△BEF∽△BAM可得出a的值，则可得出△OEF的面积，也即可得出k的值．解：过点E作EF⊥OB于点F，过点A作AM⊥OB于点M，∵四边形AOBC是梯形，AC∥OB，AC：OB=1：3，∴CE：EO=1：3，AE：EB=1：3，设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，又∵梯形AOBC面积为24，∴S+9S+3S+3S=24，解得：S=3/ 2 ，设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，故可得△AMB的面积=18-a，△EFB的面积=27/ 2 -a，从而可得S△BEF /S△ABM =（BE /AB ）2，即(27/ 2 −a) /(18−a) =9/ 16 ，解得：a=54 /7 ，即S△AOM=S△OEF=54 /7 ，故可得k=2×54 /7 =108 /7 ．例10.如图，已知动点A在函数y=4／x (x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于？要求部分面积，得根据已知条件求出A的坐标。
反比例函数中的面积问题
反比例函数中的面积问题一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图形面积例1 反比例函数y=的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN 垂直于x轴，垂足是点N，如果S=2，则k的值为.△MON变式1：如图2，已知点P在函数y=（x＞0）的图像上，PA⊥x轴、PB ⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为.二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊点所围成的图形面积例2 如图3，反比例函数y=的图像与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.分析Rt△ABC的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点，分别在反比例函数图像的两个分支上，且知道反比例函数图像上的A、B两点关于=|2x×2y|=2|xy|=10.原点成中心对称，∴S△ABC变式1. 如图4，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B. 过点A作AM⊥x 轴，垂足为点M连接BM. 若S=1，则k的值是（）.△ABMA．1 B. m-1C．2 D. m分析图形变为反比例函数图像上的A、B两点和其中一点与坐标轴的交点所围成的△AMB，底为|y|，高为|2x|，则S=|y×2x|=|xy|=|k|=1，得k=±1△ABM（根据图形知k＞0），所以k=1.变式2. 如图5，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B过点A、B分别作AM⊥x轴、BN⊥x轴，垂足分别为M、N，连接BM、AN. 若S AMBN=1，则k 的值是.分析图形变成AMBN，它的面积实际上就是△ABM面积的2倍，则S=2|xy|=2|k|=1，结合图像可知k=.AMBN三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积例3 如图6，在直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x+b 的图像与反比例函数y=的图像交于A （1，4）、B （3、m ）两点.（1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 分析 （1）略；（2）△AOB 是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，△AOB 面积直接比较难求，可看作S △COD - S △COA - S △BOD . 先求出一次函数的解析式，然后求出一次函数y=k 1x+6的图像与x 轴和y 轴的交点坐标，就可求出S △COD 、S △COA 、S △BOD ，即可求出S △AOB =4××-×1×-4××=.变式1. 如图7，一次函数y=kx+b 的图像与反比例函数y=的图像交于A（-2，1），B （1，n ）两点.（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 分析 （1）略：（2）△AOB 也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，只是把△AOB 的面积看作S △COD + S △COA + S △BOD ，即可求得S △AOB =1×1×+1×1×+1×1×=.四、以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积例4 如图8，已知双曲线y=（x＞0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k= .分析这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积.四边形OEBF的面积可看作S矩形OABC - S△COE- S△AOF，设F点的坐标为（x, y），则E点的坐标为（x, 2y），S矩形OABC =x×2y=2xy=2k, S△COE=x×2y×=xy=k，S△AOF=xy=k，所以S四边形OEBF=k=2.五、以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标轴围成的图形和面积例5 如图9，D是反比例函数y=（k＜0）的图像上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=-x+m与y=-x+2的图像都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，求k的值.分析先求出C（0，2），D（，2）和m=2，再求出A（2，0），得S矩形OCDE =-k，S△COA=2，所以-k+2=4，得k=-2.（2012湖北荆州3分）如图，点A 是反比例函数2y=x（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数3y=x-的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为【 】A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 【答案】D 。
小专题-1反比例函数中的面积问题
知识点
k y (k 0) 面积不变性 x
y P A 0 B
y P
x
0
Q
x
S矩形 k
k S三角形 2
注意：P是反比例函数图像上任何一点。
习题1 由解析式 求图形的面积 2 1.如图,点P是反比例函数 y= x 图象上的一点, 过点P分别向x轴、y轴作垂线,则阴影部分面 积为_____. 2
习题3
B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB ，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB的面积分 别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 ( B ) A ． S1 > S2 B ． S1 = S2 C ． S1 < S2 D．S1和S2的大小关系不确定
习题4 由解析式求图形的面积
变式 由图形的面积求解析式
分类讨论
变式： 点P是反比例函数图象上的一点, 如图， 且PD⊥x轴于D.如果△POD面积为3，则这个 6 6 y = x 或y =- x 反比例函数的解析式为_________________. 注意：反比例函数图像在一、三象限时，k>0 在二、四象限时，k<0
k 3.如图，过反比例函数 y x (k 0) 图象上任意两点A、
AB=|b| hc=|2a|
x
ABC
=1，则
ab=m (a,b)
求坐标系中的三角形的面 积时，尽可能选择与坐标 轴平行（垂直）的边为底。
(a,0) (-a,-b)
习题8
k 8.如图，已知双曲线 y (x＞0)经过矩形 x
OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形
OEBF的面积为6，则k＝_____.
反比例函数中与面积有关的问题及其解析
反比例函数中与面积有关的问题及解答反比例函数解析式及图象的特殊性与面积结合起来，既能考查反比例函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合的思想方法，考查涉及的题型广泛，方法灵活，可较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题及解析归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|类型之一 k 与三角形的面积※问题1、如图，已知双曲线y=xk（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k=______．答案解析：过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ， 由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 21k, ∵DE⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴DE ∥ AB ，∴△OAB ∽ △OED， 又∵OB=2OD，∴S △OAB =4S △DOE =2k ，由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，得2k -21k=6，解得：k=4．故答案为：4．问题2.如图，分别过反比例函数y=x2018(x ＞0)的图象上任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2,，比较它们的大小，可得A.S 1＞S 2B.S 1=S 2C.S 1＜S 2D.S 1、S 2大小不确定。
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反比例函数面积问题专题 ( 一)【围矩形】1．如图所示，点 B 是反比例函数 图象上一点，过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（）1 题A ．B ．C ．D ．2．反比例函数的图象如图所示，则 k 的值可能是（）A ．﹣1B ．C ．1D ．22 题3．如图， A 、 B 是双曲线 上的点，分别过 A 、B 两点作 x 轴、 y 轴的垂线段． S 1，S 2，S 3 分别表示图中三个矩形的面积，若 S 3=1，且 S 1+S 2=4，则 k 值为 （）A ．1B ．2C ．3D ．43 题4．如图，在反比例函数 y= （ x ＞ 0）的图象上，有点 P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为 1， 2， 3， 4．分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1、 S 2、 S 3，则 S 1+S 2+S 3=（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．无法确定5．如图，两个反比例函数 y=和 y=1＞ 0＞k 21，第二、 4 题（其中 k ）在第一象限内的图象是C四象限内的图象是 C 2，设点 P 在 C 1 上，PC ⊥ x 轴于点 M ，交 C 2 于点 C ，PA ⊥y 轴于点 N ，交 C 2 于点 A ，AB ∥PC ， CB ∥AP 相交于点 B ，则四边形 ODBE 的面积为（）A ．|k 1﹣ k 2|B ．C ． 1 2D ．|k ?k |【围三角形】5 题6．如图， A 、C 是函数 y= 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作 y 轴的垂线，垂足为D ，记 Rt △ AOB 的面积为 S 1， Rt △COD 的面积为 2）S ，则（A ． S 1212＞ SB ． S ＜ SC ． S 1=S 2D ． S 1 和 S 2 的大小关系不能确定6 题7．如图，过 y 轴上任意一点 p ，作 x 轴的平行线，与反比例函数的图象交于 A 点，若 B 为 x 轴上任意一点，连接 AB ， PB 则 △ APB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47 题8．如图， A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B，点 P 在 y 轴上，△ ABP的面积为1，则 k 的值为（）A ．1 B．2 C．﹣ 1 D．﹣ 28 题9．反比例函数 y= 与 y= 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于 A 、B 两点，连接 OA 、OB，则△AOB 的面积为（）A ．B．2 C．3 D ．110．如图，过 x 轴正半轴上的任意一点P，作 y 轴的平行线，分别与反比例函数y= ﹣和9y= 的图象交于 A 、B 两点．若点 C 是 y 轴上任意一点，连接 AC 、BC ，则△ABC 的面积为（）A．3 B ．4 C．5 D ．1011．双曲线 y1= 与 y2= 在第一象限内的图象如图．作一条平行于x 轴的直线交 y1， y2于B、 A ，连 OA，过 B 作 BC ∥ OA ，交 x 轴于 C，若四边形 OABC 的面积为3，则 k=（）A ．2B ．4 C．3 D．512．如图，直线 l 和双曲线交于 A 、B 两点， P 是线段 AB 上的点（不与 A 、 B 重合），过点 A 、B、 P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为C、D 、E，连接 OA 、 OB、0P，设△ AOC 的面积为 S 、△ BOD 的面积为1S2、△ POE 的面积为 S3，则（）A ．S1 ＜S ＜ SB ．S ＞ S ＞ S3C．S =S ＞ S3D ．S =S ＜ S2 3 12 1 2 1 2 313．如图是反比例函数和在第一象限内的图象，在上取点 M 分别作两坐标轴的垂线交于点 A 、 B，连接 OA 、 OB ，则图中阴影部分的面积为_________ ．【对称点】14．如图，直线 y=kx （ k＞ 0）与双曲线 y= 交于 A ， B 两点， BC⊥x 轴于 C，连接 AC 交y 轴于 D，下列结论：① A 、 B 关于原点对称；② △ ABC 的面积为定值；③ D 是 AC 的中点；④ S△AOD = ．其中正确结论的个数为（）A ．1 个B ．2 个C．3 个D．4 个15．如图，直 y=mx 与双曲线y=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M ，连接 BM ．若 S△ABM =1，则 k 的值是（）A ．1B ．m﹣ 1C．2D．m16．正比例函数y=x 与反比例函数y=的图象相交于 A 、 C 两点． AB ⊥ x 轴于 B ，CD⊥ y 轴于 D （如图），则四边形ABCD 的面积为（）A ．1 B．C．2 D ．17．如图， A ， C 是函数 y= （ k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，AB ， CD 垂直于x 轴，垂足分别为B， D，那么四边形 ABCD 的面积 S 是（）A ．B ．2k C．4k D．k18．如图，反比例函数 y=﹣的图象与直线 y= ﹣ x 的交点为 A， B，过点 A 作 y 轴的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点C，则△ ABC 的面积为（）A ．8B ．6 C．4 D．2【三角形叠梯形】19．如图，点 A 和 B 是反比例函数y= （ x＞ 0）图象上任意两点，过 A ，B 分别作 y 轴的垂线，垂足为 C 和 D ，连接 AB ，AO ，BO ，△ ABO 的面积为 8，则梯形 CABD 的面积为（）A ．6 B ．7 C．8 D．1020．如图，已知△ ABO 的顶点 A 和 AB 边的中点 C 都在双曲线 y= （ x＞ 0）的一个分支上，点 B 在 x 轴上， CD⊥ OB 于 D，若△AOC 的面积为3，则 k 的值为（）A ．2B ．3 C．4 D．21．如图所示， A 、 B 是双曲线上任意两点，过 A 、 B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C、 D，连接 AB ，直线 OB、 OA 分别交双曲线于点E、 F，设梯形ABCD 的面积和△ EOF 的面积分别为 S 、 S ，则 S 与 S 的大小关系是（）1 2 1 2A ．S1=S2B ．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定【截矩形】22．如图，过点 P（ 2，3）分别作 PC⊥ x 轴于点 C，PD ⊥y 轴于点 D，PC、PD 分别交反比例函数 y= （x＞ 0）的图象于点 A 、B ，则四边形 BOAP 的面积为（）A． 3 B ．3.5 C．4 D ．523．如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D ．若梯形ODBC 的面积为 3，则 k= _________ ．24．函数 y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥ x 轴于点 C，交 y=的图象于点B．给出如下结论：① △ ODB与△ OCA的面积相等；② PA与PB 始终相等；③四边形 PAOB 的面积大小不会发生变化；④ CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）A ．① ②③B ．② ③④C．① ③④D．①②④25．两个反比例函数和（k1＞ k2＞ 0）在第一象限内的图象如图，P 在 C1上，作 PC、PD 垂直于坐标轴，垂线与 C2 交点为 A、 B，则下列结论，其中正确的是（）①△ODB 与△ OCA 的面积相等；②四边形 PAOB 的面积等于 k 1﹣ k2③ PA 与 PB 始终相等；④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．① ②B ．① ②④C．① ④① ③④A ．D．【截直角三角形】26．如图，已知双曲线经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点C．若点 A 的坐标为（﹣8， 6），则△ AOC 的面积为（）A ．20B ．18 C．16 D．1227．如图，已知双曲线经过 Rt△ OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．则△AOC 的面积为（）A ．9 B．6 C．4.5 D ．328．如图，已知矩形ABCO 的一边 OC 在 x 轴上，一边OA 在 y 轴上，双曲线交OB的中点于 D ，交 BC 边于 E，若△OBC 的面积等于4，则 CE： BE 的值为（）A ．1： 2B ．1： 3C．1：4D．无法确定29．如图，已知梯形 ABCO 的底边 AO 在 x 轴上，BC ∥ AO ，AB ⊥AO ，过点 C 的双曲线交 OB 于 D，且 OD： DB=1 ： 2，若△ OBC 的面积等于3，则 k 的值（）A．等于 2等于等于D．无法确定B．C．30．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 对角线的交点M，分别与AB 、 BC 相交于点D、 E．若四边形ODBE 的面积为6，则 k 的值为（）A ．1B．2C．3 D ．4。
反比例函数图象中基本图形面积的应用题
2yx=xyOP1P2P3P41 2 3 4图5例3如图4，在反比例函数2yx=（0x>）的图象上，有点1234P P P P，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S，，，则123S S S++=．例4、如图5，已知直线12y x=与双曲线(0)ky kx=>交于A B，两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线(0)ky kx=>上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)ky kx=>于P Q，两点（P点在第一象限），若由点A B P Q，，，例5已知：在矩形AOBC中，4OB=，3OA=．分别以OB OA，所在直线为x轴和y轴，建立如图6-1所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B C，重合），过F点的反比例函数(0)ky kx=>的图象与AC边交于点E．（1）求证：AOE△与BOF△的面积相等；（2）记OEF ECFS S S=-△△，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF△沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例6 （1）探究新知：如图7-1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.（2）结论应用：①如图7-2，点M、N在反比例函数y=)0(>kxk的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN∥EF.②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图7-3所示，请判断MN与EF是否平行.三、反比例函数中的面积问题【例3】如图3，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角 三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．4【迁移训练】如图4 ，已知点A 在双曲线y=6x上，且 OA=4，过A 作AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ． （1）则△AOC 的面积= ，（2）△ABC 的周长为 【迁移训练】如图7，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 14．如图，双曲线xky =(k ＞0)经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
反比例函数的应用六种题型
反比例函数实际应用的六种题型题型一：在面积中的应用 一：面积不变性（k 的几何意义）如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=xk上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO和三角形PBO 的面积都是k 21；面积是正数，所以k 要加绝对值） S 矩形PBOA =k ； S 三角形PAO =S 三角形PBO =k 21注意： （1）面积与P 的位置无关，即(0)ky k x=≠的面积不变性（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论S △ABC =︱K ︱； S ABCD =2︱K ︱二、曲直结合（一次函数与反比例函数）典型例题例1 如图,点P 是反比例函数xy 2=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 .例2 如图，已知，A,B 是双曲线)0(>=k xk y 上的两点，（1）若A(2,3)，求K 的值；（2）在(1)的条件下，若点B 的横坐标为3，连接OA,OB,AB ，求△OAB 的面积。
（3）若A,B 两点的横坐标分别为a,2a ，线段AB 的延长线交X 轴于点C ，若6=∆AOC S ，求K 的值变式1 在双曲线)0(>=x xk y 上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。
变式2 如图，在反比例函数2y x=(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．S 3S 2S 11 2 3 4y=2xP 4P 3P 2xyO P 1变式3 如图，点P，Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）变式4 已知A B C D E，，，，是反比例函数16yx=()0x>图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）变式5 如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数kyx=(0,0)k x<<的图象上，点P(m，n)是函数kyx=(0,0)k x<<的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．(1)设矩形OEPF的面积为S l，判断S l与点P的位置是否有关(不必说理由)．(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．（8分）总结：一个性质：反比例函数的面积不变性AB COyxy=16xEDCBAyx O两种思想：分类讨论和数形结合题型二：在工程与速度中的应用一、工程问题工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。
反比例函数求面积
反比例函数求面积反比例函数是数学中一种常见的函数形式，其表达式为y =k/x，其中k为常数。
反比例函数具有一定的特点，其中最常见的应用就是求解面积相关问题。
在几何学中，很多问题可以通过反比例函数来求解面积，以下将介绍几个常见的例子。
1. 矩形的面积：可以将矩形的长记为x，宽记为y，则矩形的面积为S = xy。
如果已知矩形的面积S和宽y，可以通过反比例函数求解矩形的长x。
我们知道xy = S，对上式两边同时取倒数，得到yx = 1/S，可以看到yx符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解矩形的长。
2. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr²，其中r为圆的半径。
如果已知圆的面积S，可以通过反比例函数求解圆的半径r。
我们知道S = πr²，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 1/(πr²)，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解圆的半径。
3. 三角形的面积：三角形的面积公式为S = 1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。
如果已知三角形的面积S和底边长度b，可以通过反比例函数求解高h。
我们知道S = 1/2bh，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 2/bh，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解三角形的高。
在实际问题中，反比例函数也有着广泛的应用。
例如，汽车行驶的时间和速度之间就存在着反比例关系。
假设一辆汽车行驶的距离为d，速度为v，行驶的时间为t。
根据定义，速度等于距离除以时间，即v = d/t。
如果我们已知汽车行驶的距离d和行驶的时间t，可以通过反比例函数求解汽车的速度v。
在数学教育中，反比例函数也是一个重要的概念，它可以帮助学生理解函数的性质和图像的变化。
学生可以通过绘制函数图像、计算函数的值等方式来探究反比例函数的特点，并且可以通过实际应用问题来加深对反比例函数的理解。
综上所述，反比例函数是求解面积问题常用的数学工具之一。
初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习
初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习夯实基础1.如图，点A 是反比例函数xy 6-=(x <0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B . C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A . 1 B . 3 C . 6 D . 122.如图，直线y =mx 与双曲线xky =交于A . B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM =2，则k 的值是( )A . 2B . m −2C . mD . 43.如图，点A 在双曲线x y 1=上，点B 在双曲线xy 3=上，且AB ∥x 轴，C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 44.如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是______.5.如图，点P 、Q 是反比例函数xky =图象上的两点，P A ⊥y 轴于点A ，QN ⊥x 轴于点N ，作PM ⊥x 轴于点M ，QB ⊥y 轴于点B ，连接PB 、QM ，△ABP 的面积记为S 1，△QMN 的面积记为S 2，则S 1 S 2.(填“>”或“<”或“=”)6.如图，在平面直角坐标系中，过点M (−3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数xy 2=的图象交于A . B 两点，则四边形MAOB 的面积为 .7.如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy 4-=和xy 2=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 .8.如图，已知双曲线xky =(k <0)经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C . 已知点A 的坐标为(−6，4).(1)求此反比例函数的解析式； (2)连接OC ，求△AOC 的面积.9.(1)如图，过反比例函数xky =(x >0)图象上任意一点P (x ，y )，分别向x 轴与y 轴作垂线，垂线段分别为P A 、PB ，证明：S 矩形OAPB =k ，S △OAP =21k ，S △OPB =21k . (2)如图，反比例函数xky =(x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、 E ，若四边形ODBE 的面积为9，求k 的值.能力培优1.如图所示，已知点P 为反比例函数xy 4=(x >0)图象上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，P A ，PO 分别交于反比例函数xy 1=图象于B ，C 两点，则△P AC 的面积为( ) A . 1 B . 1.5 C . 2 D . 32.如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A . D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B . E 在反比例函数xky =的图象上，OA =1，OC =6，则正方形ADEF 的边长为 .3.函数x y 4=和x y 1=在第一象限内的图象如图，点P 是x y 4=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交xy 1=的图象于点B . 给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②P A 与PB 始终相等；③四边形P AOB 的面积大小不会发生变化；④CA =31AP .其中所有正确结论的序号是（ ）A . ①②③B . ②③④C . ①③④D . ①②④4.如图，点A 在双曲线xy 3=第三象限的分支上，连结AO 并延长交第一象限的图象于点B ，画BC ∥x 轴交反比例函数xky =的图象于点C ，若△ABC 的面积为6，则k 的值是 .5.如图，点B 1在反比例函数xy 2=(x >0)的图象上，过点B 1分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，得到第一个矩形AOC 1B 1，点C 1的坐标为(1，0)；取x 轴上一点C 2(23，0)，过点C 2作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 2，过B 2作线段B 2A 1⊥B 1C 1，交B 1C 1于点A 1，得到第二个矩形A 1C 1C 2B 2；依次在x 轴上取点C 3(2，0)，C 4(25，0)…按此规律作矩形，则第10个矩形A 9C 9C 10B 10的面积为 .6.如图，双曲线x k y =与xy 6-=上分别有两点A . B ，AB ∥x 轴，直线y =x +b 过点A ，另交xky =于C ，交x 轴、y 轴于M 、N ，若MC =CA =AN ，且△ABC 面积为1，则k = .7.如图,P 是反比例函数xky =(k >0)的图象上的任意一点,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,已知S △OPM =3.(1)求k 的值；(2)若直线y =ax (a >0)与上述反比例图象在第三象限交于一点A ,Q 为反比例函数图象上一点,过Q 作y 轴的垂线,垂足为N (0,3).假设四边形AOQN 的面积为21，求a 的值。
反比例函数面积问题
反比例函数的应用：与面积有关的问题知识点回顾：1．反比例函数的三种常见形式：__ _____．2．当0>k 时，双曲线在__ 象限， ，y 随x 的增大而_______；当0<k 时，双曲线在__ 象限， ，y 随x 的增大而_______．1．如图,点P 是反比例函数3y x =-图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,则阴影部分面积为______．．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则变式：如图，过反比例函数2(0)y x x=>图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，⊿AOE 与梯形ECDB 的面积分别为1S 、2S ，比较它们的大小，可得1S 2S ．3．如图,点P 是反比例函数图象上的一点,且PD ⊥x 轴于D .如果△POD 面积为3，则这个反比例函数的解析式为___ ___．变式1：点P 是反比例函数图象上的一点,且PD ⊥x 轴于D .如果△POD 面积为3，则这个反比例函数的解析式为___ ___．变式2：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ,点P 在x 轴上，△ABP 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为___ ___．变式3：如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C 为y 轴上的一点，若△ABC 的面积是3，则反比例函数的解析式为___ ___．当堂练习：1．双曲线14y x=和2y 在第一象限的图像如图，过1y 上的任意一点A 作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若AOB S =1，则2y 的解析式是_______．2．双曲线1y x =与2y x=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为_______．3．双曲线1y x =与2y x=在x 轴上方的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为_______． 4．如图，A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积为_______．5．如图，在反比例函数的图象2(0)y x x=>上，有点P 1,P 2,P 3,P 4,它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别过这些点作x 轴，y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S 、2S 、3S 则123S S S ++=_______．6．如图，双曲线2(0)y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点D ，则矩形OABC 的面积为_______． 7．如图，已知双曲线2(0)y x x =>经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝_______．变式1：如图，双曲线(0)k y k x=>经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 交于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为_______． 变式2：如图，双曲线2(0)y x x =>经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB'C ，B'点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是_______．变式3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B ，C 在反比例函数3(0)y x x=>的图象上，求△OAB 的面积．作业：2．如图，平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P(3a ，a)是反比例函数y ＝k x（k>0）的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_______． ．如图，直线与反比例函数（＜）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC4．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2k y x=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，（1）图中阴影部分面积是 ；（结果用含有1k 、2k 的代数式表示）（2）若四边形OABC 是菱形，则1k 、2k 要满足关系式 ；（3）AM CN = ；（结果用含有1k 、2k 的代数式表示）5．如图，直线AB 交双曲线x k y =于Ａ、B ，交x 轴于点C,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA ，若S ⊿OAC =12，（1）探索OM 与MC 的数量关系，并说明理由；（2）求k 的值．。
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题通常是指与反比例函数相关的图形面积的计算
问题。
例如，给定反比例函数y=k/x的图像与坐标轴所围成的区域，要求该区域的面积。
解决这类问题通常需要应用积分学知识，因为反比例函数的图像通常是一个双曲线，与坐标轴围成的区域是一个不规则图形。
通过积分，我们可以求出这个不规则图形的面积。
具体地，如果要求反比例函数y=k/x在第一象限内与x轴、y轴所围成的区域面积，可以先求出该函数在第一象限内的图像与x轴之间的面积，然后再乘以2（因为反比例函数在第一、三象限内是对称的）。
这个面积可以通过定积分来计算，积分区间是从0到正无穷大，被积函数是y=k/x。
需要注意的是，由于反比例函数的图像在x轴和y轴上都趋于无穷大，
因此所求得的面积也是无穷大的。
但是，在某些特定情况下，例如给定一个特定的矩形区域，我们可以通过计算该矩形区域内反比例函数图像的面积来得到一个有限的数值。
总之，反比例函数面积问题需要根据具体情况进行具体分析，通常需要应用积分学知识和几何知识来解决。
以上是对于反比例函数面积问题5的回答，希望对你有所帮助。
(完整版)八年级下学期数学专题-反比例函数有关的面积问题
的面积与 的面积之和为 时，则 。
9.（2008武汉5月调考）如图，正方形ABCD的边BC在 轴负半轴上， 是对角线AC的中点，函数 的图象过D、E两点，则 。
10．(2007武汉4月调考)如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，与 轴、 轴分别交于E、F两点， 轴于C， 轴于D，求当 的值为多少时，
P是AC的中点,若△ABP的面积为3,则k＝．
【练习7】(2009年莆田市)如图21,在 轴的正半轴上依次截取 ,
过点 分别作 轴的垂线与反比例函数
的图象相交于点 ,得直角三角形
并设其面积分别为
则 的值为．
【练习8】(2009年成都市)如图16-1,正方形OABC的面积是4,点B在反比例函数 的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点,过点R分别作x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积,记剩余部分的面积为S．则当S=m(m为常数,且0<m<4)时,
18如图，直线 与 轴、 轴交于点A、B，与双曲线 交于C，若 ，则 =。
19如图，双曲线 与直线 交于A、C两点， 轴于B点，且 ，则 。
线段问题
20如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 交于C、D两点，且 ，则 。
21如图，将直线 沿 轴正方向平移 个单位后与双曲线 交于点P，与两坐标轴交于A、B两点， 轴于C点．则 。
29如图， 是双曲线 上的一点，P为 轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，则P点的坐标为。
2.（2011武汉中考）如图，□ 的顶点A，B的坐标分别是 ，顶点C，D在双曲线 上，边AD交 轴于点E，且四边形 的面积是 面积的5倍，则 。
反比例函数与图形面积
反比例函数与图形面积中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。
下面笔者就有关反比例函数与图形面积的题型略加以说明。
图形面积的题型略加以说明。
一. 反比例函数与矩形面积反比例函数与矩形面积 例1. （01年山东荷泽）如图（1），P 是反比例函数y k xk =¹()0的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（析式为（ ）图1 A. y x =-6B. y x =6 C. y x=-3D. y x=3解：设点P 的坐标为（x ，y ），则||||x y =6又 点P 在第四象限，\-=\=-xy y x 66，评析：如图（2），若A 点是反比例函数y kxk =¹()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积Sk ABOC =||。
图2 例2. （01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，轴上，点点B 在函数y k xk x =>>()00，的图象上，的图象上，点点P （m ，n ）是函数y kxk x =>>()00，的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。
（1）求B 点坐标和k 的值；的值；（2）当S =92时，求点P 的坐标；的坐标； （3）略）略图3 解：（1）依题意，得||||OA OB ==3，\B 点的坐标为（3，3） 依题意易得||k =9，又 点P 在第一象限在第一象限 \>\=k k 09， （2）由题意易得SSOABCOEPF==9\=m n 9 ① S S m n==-923，()\-=()m n 392② 联立①②解，得m n ==632， \点P 的坐标为（6，32）或（32，6）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再详解）详解）二. 反比例函数与三角形面积反比例函数与三角形面积1. 反比例函数与直角三角形面积反比例函数与直角三角形面积例3. （04年辽宁锦州）如图（4），点A 在反比例函数y kxk =¹()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB D =4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。
万能解题模型（一）反比例函数中的面积问题
万能解题模型（一）反比例函数中的面积问题万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题类型1 单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积S △AOP ＝12|k| S △ABC ＝12|k| S △ABC ＝12|k|1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上．若AB ＝1，则k 的值为(A)A ．1B.22C. 2 D ．2类型2 单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积S 四边形PMON ＝|k| S 四边形ACDE ＝S 四边形EFGB2．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x 上，分别经过A ，B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝(D)A ．3B ．4C ．5D ．6类型3 双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积S △ABM ＝|k| S △ABM ＝|k|S △CDE ＝S △ACD ＋S △ADE ＝12AD·|y C －y E | S △ABC ＝S △BCD ＋S △ACD ＝12CD·|x B －x A |3．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数y ＝k x(k>0)相交于点A 、点B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC.若△ABC 面积为8，则k ＝8．类型4 双曲线上不在同一象限上两点两垂线形成的三角形或四边形的面积S △APP′＝2|k| S ?AMBN ＝2|k|4．如图，A ，B 是函数y ＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则(B)A ．S ＝2B ．S ＝4C ．2＜S ＜4D ．S ＞45．(2019·郴州)如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝4x的图象的交点，过A 点作AD ⊥x轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为8．类型5 双曲线上在同一象限上任意两点与原点形成的三角形的面积作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点M ，BF ⊥x 轴于点F ，S △OAM ＝S 四边形MEFB ，S △AOB ＝S 直角梯形AEFB .6．如图，AB 是反比例函数y ＝3x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是1和3，则S △AOB＝4．类型6 两条双曲线与一条平行于坐标轴的直线所形成的几何图形的面积S 矩形ABCD ＝|k 1－k 2| S ?ABCD ＝|k 1－k 1| S △AOB ＝12|k 1－k 2| S △ABC ＝S △AOB ＝12|k 1|＋12|k 2|7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x 上，顶点B 在反比例函数y ＝5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是(C) A.32 B.52 C ．4 D ．68．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝kx(k ＞0)上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则(B)A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 2310．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 和菱形OCDE 的边OA ，OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S △ABD ＝3，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过点B ，则k。
反比例函数中的面积问题
A. 3
B.2
C.3
D.1
2
C
趁热打铁，大显身手（提高篇）
2上.（，2点01B2在湖双北曲孝线感）y 如3x 图上，，点且AA在B双∥曲x轴线，yC、1x D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的 面积为 .
E
趁热打铁，大显身手（提高篇）
3.（2011年陕西）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x
y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
A
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1
x
4.如图，在反比例函数y
2 x（x>0)
的图象上，有点 P1，P2，P3，P4
，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作 x轴与 y
课前热身：
反比例函数的性质（一）
y
反比例函数：
yk x
(k≠0)
x
1.当 k>0 时,图象的两个分支分 0
别在 第一、三 象限内，在每
一个象限内y随x的 增大而减小。
y
2.当k<0 时,图象的两个分支 分
别在 第二、四 象限内，在每一
x
个象限内y随x的 增大而增大 .
0
反比例函数与矩形面积
如图，是y=6/x的图象，点P是图象上的一个动点。
x
B两点分别向x轴、y轴作垂线，若S阴影=1，
则S1+S2= 4
y
A
S1 B
S2
O
x
4.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
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2y x =
x
y
O
P 1
P 2
P 3 P 4 1 2
3
4
图5
例3如图4，在反比例函数2
y x
=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所
构成的
阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．
例4、如图5，已知直线1
2
y x =
与双曲线 (0)k
y k x =>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k
y k x
=>上一点C 的纵坐标为8，
求AOC △的面积；
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，
例5已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图6-1所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
例6 （1）探究新知：如图7-1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由. （2）结论应用：①如图7-2，点M 、N 在反比例函数y=
)0(>k x
k
的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN ∥EF.②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图7-3所示，请判断MN 与EF 是否平行.
三、反比例函数中的面积问题 【例3】如图3，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角 三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）
A ．12
B ．9
C ．6
D ．4
【迁移训练】如图4 ，已知点A 在双曲线y=
6
x
上，且 OA=4，过A 作AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ． （1）则△AOC 的面积= ，（2）△ABC 的周长为 【迁移训练】如图7，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．
（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数x
m
y =
（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数x
m
y =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 14．如图，双曲线x
k
y =
(k ＞0)经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
若梯形ODBC 的面积
为3，则双曲线的解析式为(
17．已知：如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数x
k
y =
的图象交于点A (3，2)．
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； (3)M (m ，n )是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．
18．如图，已知点A ，B 在双曲线)0(>=
x x
k
y 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，
P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，求k 的值．。