浙江台州市2017高二数学下学期一元二次方程根的分布学案文.
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布(讲义)
一元二次方程根的分布（一）两根在不同区间：例1 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（3221<<k ）例2已知二次方程x 2－（m + 2）x －3m = 0的两根一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。
例3、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
例4、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122m -<<即为所求的范围。
练习：实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x +a =0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
解： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇔ -12<a <0例5、已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足：βα<<<10，求m 的取值范围。
（73-<<-m 或72<<m ）（二）两根在同一区间：例1、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由x()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+例2 已知关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k +6)x +6k =0有两个负根，求k 的取值范围。
《一元二次方程根的分布》教学设计_1
教学内容（章节）一元二次方程根的分布课程类型新授课课时安排1课时班级高一（7）班教学目标：知识与能力：加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识，通过数学结合掌握一元二次方程根的分布情况。
过程与方法：体验“观察-猜想-验证”探索问题的方法，领会由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数学结合思想的理解。
情感态度与价值观：通过一元二次方程根与二次函数图象的联系，体会事物间相互变化的辩证关系。
教学重点、难点：重点：利用函数图象求解有关一元二次方程根的分布情况。
难点：函数与方程，数形结合思想的渗透。
教具：黑板、粉笔、PPT、展台。
教学方法：讲授法、启发诱导法、练习巩固法、讨论探究法。
教学进程：【环节一：回顾旧知】回忆方程的根与函数零点的知识。
零点的定义：对于函数)(x f y =，使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
强调：零点是一个实数，不是一个点。
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点零点存在性原理：如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
【设计意图】由刚刚学过的方程的根与函数的零点的知识导入，让学生思考一元二次方程根的分布与零点的关系，充分激发学生学习的积极性。
【环节二：创设情境，层层递进】探究一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系例1.方程0122=++ax x 的两根都小于2，求实数a 的取值范围。
【设计意图】让学生进行探究，相互交流，从学生熟知的，具体的一元二次方程根的分布入手，设置学生的最近思维发展区，使新知识与原来的知识形成联系，分析出这一类题目的通法。
【师生活动】教师：方程的根等价于函数的零点，所以研究二次方程的根可以转化为研究二次函数的零点。
问题转化为12)(2++=ax x x f 有两个小于二的零点，如何保证二次函数有两个小于二的零点呢，决定二次函数图象的因素有哪些呢？学生：开口方向，对称轴位置，判别式，与y 轴交点。
一元二次方程根的分布教案
一元二次方程根的分布
【学习目标】
1. 能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2. 体会高中数学中“函数与方程”的思想方法，“数形结合”的思想。
3. 进一步理解函数与方程的关系，让学生学会借助图像辅助分析。
【学习重点】
一元二次方程根的分布。
数形结合法。
【学习难点】
数型结合思想，根的分布的复杂变形。
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
【典型例题】
例1. m 为何实数值时，关于x 的方程0)3(2=++-m mx x
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
变式题：m 为何实数值时，关于x 的方程0)3(2=++-m mx x 有两个大于1的根.
例2. 若8x 4+8(a －2)x 2－a+5>0对于任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围.
例3.关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根,求实数m 的取值范围。
课堂小练习：
【布置作业】。
一元二次方程根的分布情况归纳完整版
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布(精品)精编版
一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。
【定理1】x 1＞0，x 2＞0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＞0x 1x 2＝c a＞0， 推论：x 1＞0，x 2＞0 ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (0)＝c ＞0b ＜0或⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (0)＝c ＜0b ＞0上述推论结合二次函数图象不难得到。
例1：若一元二次方程(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ＝0有两个正根，求m 的取值范围。
【定理2】x 1＜0，x 2＜0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＜0x 1x 2＝c a＞0，推论：x 1＜0，x 2＜0 ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (0)＝c ＞0b ＞0或⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (0)＝c ＜0b ＜0由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】x 1＜0＜x 2⇔ ca ＜0例2： k 在何范围内取值，一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根？ 【定理4】①x 1＝0，x 2＞0 ⇔ c ＝0且b a ＜0； ②x 1＜0，x 2＝0 ⇔c ＝0且ba ＞0。
例3：若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。
k 为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即x 1、x 2相对于k 的位置）有以下若干定理。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
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一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则
例1若一元二次方程
0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
【定理2】⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则
【定理3】0021<<<a
c
x x ，则
例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
【定理4】 1)01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a
b
；
2)01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a
b。
例4若一元二次方程
03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
二．一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
k 为常
数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。
【定理1】⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->≥-=∆≤<k a
b k af a
c b x x k 20)(04221，则
【定理2】⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆<≤k a
b k af a
c b k x x 20)(04221，则
【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af
【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f
【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<>><<0
)(0
)(0)(0
)(021
21p f p f k f k f a
此定理可直接由定理4推出，请自证。
理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
<-<>>>≥-=∆212
1220
)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或
【定
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
<-<<<<≥-=∆212
1220
)(0
)(004k a b k k f k f a ac b
1.方程x 2
+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围
2.若关于x 的方程x 2
+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围
3.方程mx 2
+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围
4.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围
5.已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0}，若A R+，求a的取值范围
6.已知A={x| x2+2x+2-p=0}，且A∩R+=φ，求p的取值范围
7. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在外，求m范围
8.若方程2ax2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围
9.方程ax2 -2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a使它的两根都大于1
10.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的范围
11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m的取值范围。