第二章 单纯形法
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ˆ= z+ cT x
å
jÎ J N
ˆj = z + s kx ˆk = z ， s jx
ˆ 也是 (LP) 的最优解，而且由 q > 0 知， x ˆ 不同于 x ．这样，由 (LP) 的可行域 故x ˆ 与 x 连线上的任意一点都是 (LP) 的可行解，并且它们的目标 为凸集的性质知， x
函数值为 z ．因此， (LP) 有无穷多个最优解．
2.1 单纯形法的原理
单纯形法的迭代过程主要由以下三个基本部分 构成：确定初始基本可行解、判别当前基本可行 解是否是最优解、从一个基本可行解转换到相邻 且改善了的基本可行解．单纯形法要解决的三个 问题是： （1） 如何判断当前的基本可行解是否已达到了最 优解； （2） 若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善 了的基本可行解； （3） 如何得到一个初始的基本可行解。
则在第一个不等式约束的两端乘以 1 ，将其变换为“ ”形式，然 后在不等式的左端添加松弛变量 x4 ； 在第二个不等式约束左端减去剩 余变量 x5 后，再加上人工变量 x6 ；在第三个等式约束的左端添加人工 变量 x7 ，得到：
3 x1 2 x2 4 x3 x4 2 x1 x2 3 x3 x1 x2 x3 x j 0, j 1, 2, , 7 x5 x6
ci bi
i 1 m n
m
m
i 1 j m 1
ca x
i ij
n
j
j m 1
cx
j
n
j
(2-5)
m ci bi c j ci aij x j i 1 j m 1 i 1
若用 z 表示当前基本可行解 x 对应的目标函数值，则根据(2-3)式容 易计算 z
骣 - Ak ÷ ç ÷ = 轾 e 鬃 鬃 e A 鬃 A 鬃 ? A ç 1 m m+ 1 k n ç ÷ 臌 ç 桫0 ÷ = - Ak + Ak = 0
x + qd ? 0 且 A(x + qd ) = Ax + q Ad = b ． 因此， 对充分大的正数 q ， 这说明 x + qd
得到基变量的值 xi bi i 1, 2, , m ．因为 bi 0 i 1, 2, , m ，故得到 初始基本可行解 x (0) ห้องสมุดไป่ตู้b1 , b2 , , bm , 0, , 0 ．
2.1.2
最优性检验和解的判别
ci bi ，即 z 为(2-5)式的第一项．
i 1
m
这样，引进如下记号：
j c j ci aij ,
i 1
m
j 1, 2, , n
(2-6)
则(2-5)式可简单地记为：
zz
j m 1
n
j
xj
(2-7)
我们称(2-6)定义的 j 为变量 x j 的检验数。注意到，当 j 1, 2, , m 时，
xn1, xn2 , , xnm 所对应的系数向量组成的矩阵就为 m 阶单位阵．
（2）若线性规划的第 i 个约束条件为“ ”的形式且右端项非负，则 在该约束条件左端减去剩余变量化成标准形式后，再加上一个非负的新 变量，称为人工变量．显然，该人工变量的系数列向量也为 m 维单位向 量 ei ．
这样，可得到如下线性规划模型：
min z j 1 c j x j
n
s.t. x1 x2
a1, m1 xm 1 a1n xn b1 a2, m1 xm 1 a2 n xn b2 xm am, m 1 xm 1 amn xn bm
（3）若线性规划的第 i 个约束条件为等式且右端项非负， 则直接 在该等式左端添加人工变量． 例如，某线性规划问题的约束条件为：
3 x1 2 x2 4 x3 3 2 x1 x2 3 x3 5 x1 x2 x3 20 x1 0, x2 0, x3 0
第二章
单纯形法
由上章的定理知，若线性规划问题有最优解，则一定存在一个 基本可行解是最优解．因此，一种最直接的想法是，把线性规划问 题的所有基本可行解都找出来，然后通过比较目标函数值大小来求 最优解，但在一般情况下，要通过计算这么多个基本解来找出所有 的基本可行解显然是行不通的． G. B. Dantzig 在 1947 年提出了一种非常实用的寻找最优基本 可行解的方法，称为单纯形法．它的基本思想是：先找出一个基本 可行解(称之为初始基本可行解)，判断其是否为最优解，如果不是， 则转换到相邻的且改善了当前目标函数值的基本可行解，一直找到 最优解为止．该方法无论在理论上还是在实际应用中都取得了巨大 成功，并且今天仍是求解线性规划问题的最有效方法之一．
?, ami ) ．下面分两种情形讨论： i = m + 1, m + 2, 鬃 ?, n 时， Ai = (a1i , a2i , 鬃
T
（1）非基变量 xk 所对应的系数向量 Ak 中至少有一个分量 aik > 0 ．令
禳 镲 xi x q = min 镲 | aik > 0 = l ， 睚 1＃ i m镲 aik alk 镲 铪
(2-3)
或简记作
xi bi
j m 1
ax,
ij j
n
i 1, 2, , m
(2-4)
将(2-4)式代入问题(2-1)的目标函数中，得到
n n z c x ci xi c j x j ci bi aij x j c j x j i 1 j m 1 i 1 j m 1 j m1 m n m
xi bi
j m 1
ax,
ij j
n
i 1, 2, , m
(2-2)
式中的 bi 和 aij 为原始数据．为了不引起混淆，对当前基本可行解 x (可能 是经若干次迭代后得到的基本可行解)， 其基变量用非基变量表示的式子 的一般形式为：
x1 x2
b1 (a1, m 1 xm 1 a1n xn ) b2 (a2, m 1 xm 1 a2 n xn ) xm bm (am , m 1 xm 1 amn xn )
（2）非基变量 xk 所对应的系数向量 Ak £ 0 ．此时，任取 q > 0 ，并按(2-10)
ˆ ，则类似情形(1)的讨论，也可证明 (LP) 有无穷多个最优解． 式定义向量 x
定理 2-3
若当前基本可行解 x 的某个非基变量的检验数 s k < 0 ，而相应
的系数向量 Ak £ 0 ，则线性规划问题 (LP) 具有无界解．
2.1.1 确定初始基本可行解
对任意线性规划问题，我们总可以在标准化过程中设法使所得到的 标准型线性规划 LP 的约束系数矩阵 A 中存在一个 m 阶单位阵．因为： （1）若线性规划的 m 个约束条件都是“ ”的形式且右端项都为非 负，则在标准化时，每一个约束条件的左边都加上一个松弛变量 xn i ，该 松弛变量所对应的系数列向量是 m 维单位向量 ei ．因此， m 个松弛变量
3 5 x7 20
显然，向量 A4 , A6 , A7 就构成一个 3 阶单位矩阵． 当然， 在引进人工变量后， 所得到的线性规划的约束条件与原来 的约束条件不完全等价．为此，我们需要在线性规划的目标函数上作 些“修正”，这将在 2.3 节中进行详细讨论． 为了讨论方便， 我们将标准型线性规划 LP 中的变量次序重新调整并 编号，使对应单位阵的变量排在前 m 个变量的位置上(这对所讨论的 结果没有影响，而在实际计算时，可不必调换次序)．
骣 - Ak ÷ ÷ 证明：令 d = ç ç ÷+ ek ，其中 ek 是第 k 个元素为 1 而其它元素为 0 的一个 n 维单 ç ç 桫0 ÷
位向量．由 Ak £ 0 知，向量 d ³ 0 ．注意到，
Ad = 轾 A1 鬃 鬃 Am Am+ 1 鬃Ak 鬃 ? An 臌 骣 - Ak ÷ 轾 ç ÷ 鬃 Am Am+ 1 鬃 Ak 鬃 ?An ek ç ÷ A1 鬃 ç ç 桫0 ÷ 臌 轾 e1 鬃 鬃 em Am+ 1 鬃 Ak 鬃 ? An ek 臌
则由 x 的非退化性知， q > 0 ．定义如下向量：
ˆ := ( x1 - qa1k , x2 - qa2 k , 鬃 x ?, xm qamk , 0, 鬃 鬃 , q, 鬃 , 0)
T
(2-10)
ˆ 的第 k 个坐标的值，则显然有 x ˆ ³ 0 成立．另外， 其中 q 是 x
ˆ 邋A x
i i= 1
N
x
□
是线性规划 LP 的最优解．
定理 2-2
假设当前基本可行解 x 是非退化的，若它的所有非基
变量检验数 j 0 j J N 且存在某个 k J N 使 k 0 ，则线性规划 LP 有无穷多最优解．
证明： 根据定理 2-1 知，x 是线性规划问题 (LP) 的最优解． 记(2-3)式中变量 xi 所 对应的系数向量为 Ai ．那么，当 i = 1, 2, 鬃 ?, m 时， Ai 为 m 维单位向量 ei ，而当
n
m
i
=
i= 1
Ai xi -
?
m
Ai qaik + q Ak = b - q Ak + q Ak = b ，
i= 1
ˆ 满足(2-3)中的方程组，从而满足 (LP) 的等式约束 Ax = b ．这说明(2-10)式 即x ˆ 是 (LP) 的一个可行解．而由 (LP) 的典则形式(2-9)， 定义的 x
0, i j aij 1, i j
，
故
c j ci aij 0,
i 1
m
j 1, 2, , m ．
(2-8)
即，基变量所对应的检验数为 0 ．为了书写方便，后面用 J B 表示基变量 的下标集， J N 表示非基变量的下标集． 标准型线性规划 LP 可表述为如下典则形式：
证 明 ： 设 x 为 线 性 规 划 LP 的 任 一 可 行 解 ． 由 x 0 可 知 ，
jJ N
j x j 0 ， 而 根 据 LP 的 典 则 形 式 (2-9) ， 有
z c x z jJ j x j z c x ．这说明
下面，我们来建立最优性准则．根据这些准则，不仅可以判别已得 到的初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基本可行解 (统称为 当前基本可行解)是否为最优解， 而且还可清楚地知道所要求解的线性规 划问题的解的情况． 由问题(2-1)的 m 个等式约束知， 初始基本可行解 x (0) 的基变量用非基 变量表示的式子为：
x j 0,
j 1, 2, , n
(2-1) 由于约束条件的系数矩阵中含有一个 m 阶单位矩阵 A1 A2 Am ，故
x1 , x2 , , xm 为 基 变 量 ， xm1 , xm2 , , xn 为 非 基 变 量 ． 令 xm1 0, xm2 0, , xn 0 ，并将其代入到上述模型的 m 个等式约束中，
min z z s.t. xi bi x0
j m 1
n
j
xj
j m 1
n
aij x j , i 1, 2, , m
(2-9)
定 理 2-1
若当前基本可行解 x 的所有非基变量的检验数
j 0 j J N ，则基本可行解 x 为线性规划 LP 的最优解.
å
jÎ J N
ˆj = z + s kx ˆk = z ， s jx
ˆ 也是 (LP) 的最优解，而且由 q > 0 知， x ˆ 不同于 x ．这样，由 (LP) 的可行域 故x ˆ 与 x 连线上的任意一点都是 (LP) 的可行解，并且它们的目标 为凸集的性质知， x
函数值为 z ．因此， (LP) 有无穷多个最优解．
2.1 单纯形法的原理
单纯形法的迭代过程主要由以下三个基本部分 构成：确定初始基本可行解、判别当前基本可行 解是否是最优解、从一个基本可行解转换到相邻 且改善了的基本可行解．单纯形法要解决的三个 问题是： （1） 如何判断当前的基本可行解是否已达到了最 优解； （2） 若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善 了的基本可行解； （3） 如何得到一个初始的基本可行解。
则在第一个不等式约束的两端乘以 1 ，将其变换为“ ”形式，然 后在不等式的左端添加松弛变量 x4 ； 在第二个不等式约束左端减去剩 余变量 x5 后，再加上人工变量 x6 ；在第三个等式约束的左端添加人工 变量 x7 ，得到：
3 x1 2 x2 4 x3 x4 2 x1 x2 3 x3 x1 x2 x3 x j 0, j 1, 2, , 7 x5 x6
ci bi
i 1 m n
m
m
i 1 j m 1
ca x
i ij
n
j
j m 1
cx
j
n
j
(2-5)
m ci bi c j ci aij x j i 1 j m 1 i 1
若用 z 表示当前基本可行解 x 对应的目标函数值，则根据(2-3)式容 易计算 z
骣 - Ak ÷ ç ÷ = 轾 e 鬃 鬃 e A 鬃 A 鬃 ? A ç 1 m m+ 1 k n ç ÷ 臌 ç 桫0 ÷ = - Ak + Ak = 0
x + qd ? 0 且 A(x + qd ) = Ax + q Ad = b ． 因此， 对充分大的正数 q ， 这说明 x + qd
得到基变量的值 xi bi i 1, 2, , m ．因为 bi 0 i 1, 2, , m ，故得到 初始基本可行解 x (0) ห้องสมุดไป่ตู้b1 , b2 , , bm , 0, , 0 ．
2.1.2
最优性检验和解的判别
ci bi ，即 z 为(2-5)式的第一项．
i 1
m
这样，引进如下记号：
j c j ci aij ,
i 1
m
j 1, 2, , n
(2-6)
则(2-5)式可简单地记为：
zz
j m 1
n
j
xj
(2-7)
我们称(2-6)定义的 j 为变量 x j 的检验数。注意到，当 j 1, 2, , m 时，
xn1, xn2 , , xnm 所对应的系数向量组成的矩阵就为 m 阶单位阵．
（2）若线性规划的第 i 个约束条件为“ ”的形式且右端项非负，则 在该约束条件左端减去剩余变量化成标准形式后，再加上一个非负的新 变量，称为人工变量．显然，该人工变量的系数列向量也为 m 维单位向 量 ei ．
这样，可得到如下线性规划模型：
min z j 1 c j x j
n
s.t. x1 x2
a1, m1 xm 1 a1n xn b1 a2, m1 xm 1 a2 n xn b2 xm am, m 1 xm 1 amn xn bm
（3）若线性规划的第 i 个约束条件为等式且右端项非负， 则直接 在该等式左端添加人工变量． 例如，某线性规划问题的约束条件为：
3 x1 2 x2 4 x3 3 2 x1 x2 3 x3 5 x1 x2 x3 20 x1 0, x2 0, x3 0
第二章
单纯形法
由上章的定理知，若线性规划问题有最优解，则一定存在一个 基本可行解是最优解．因此，一种最直接的想法是，把线性规划问 题的所有基本可行解都找出来，然后通过比较目标函数值大小来求 最优解，但在一般情况下，要通过计算这么多个基本解来找出所有 的基本可行解显然是行不通的． G. B. Dantzig 在 1947 年提出了一种非常实用的寻找最优基本 可行解的方法，称为单纯形法．它的基本思想是：先找出一个基本 可行解(称之为初始基本可行解)，判断其是否为最优解，如果不是， 则转换到相邻的且改善了当前目标函数值的基本可行解，一直找到 最优解为止．该方法无论在理论上还是在实际应用中都取得了巨大 成功，并且今天仍是求解线性规划问题的最有效方法之一．
?, ami ) ．下面分两种情形讨论： i = m + 1, m + 2, 鬃 ?, n 时， Ai = (a1i , a2i , 鬃
T
（1）非基变量 xk 所对应的系数向量 Ak 中至少有一个分量 aik > 0 ．令
禳 镲 xi x q = min 镲 | aik > 0 = l ， 睚 1＃ i m镲 aik alk 镲 铪
(2-3)
或简记作
xi bi
j m 1
ax,
ij j
n
i 1, 2, , m
(2-4)
将(2-4)式代入问题(2-1)的目标函数中，得到
n n z c x ci xi c j x j ci bi aij x j c j x j i 1 j m 1 i 1 j m 1 j m1 m n m
xi bi
j m 1
ax,
ij j
n
i 1, 2, , m
(2-2)
式中的 bi 和 aij 为原始数据．为了不引起混淆，对当前基本可行解 x (可能 是经若干次迭代后得到的基本可行解)， 其基变量用非基变量表示的式子 的一般形式为：
x1 x2
b1 (a1, m 1 xm 1 a1n xn ) b2 (a2, m 1 xm 1 a2 n xn ) xm bm (am , m 1 xm 1 amn xn )
（2）非基变量 xk 所对应的系数向量 Ak £ 0 ．此时，任取 q > 0 ，并按(2-10)
ˆ ，则类似情形(1)的讨论，也可证明 (LP) 有无穷多个最优解． 式定义向量 x
定理 2-3
若当前基本可行解 x 的某个非基变量的检验数 s k < 0 ，而相应
的系数向量 Ak £ 0 ，则线性规划问题 (LP) 具有无界解．
2.1.1 确定初始基本可行解
对任意线性规划问题，我们总可以在标准化过程中设法使所得到的 标准型线性规划 LP 的约束系数矩阵 A 中存在一个 m 阶单位阵．因为： （1）若线性规划的 m 个约束条件都是“ ”的形式且右端项都为非 负，则在标准化时，每一个约束条件的左边都加上一个松弛变量 xn i ，该 松弛变量所对应的系数列向量是 m 维单位向量 ei ．因此， m 个松弛变量
3 5 x7 20
显然，向量 A4 , A6 , A7 就构成一个 3 阶单位矩阵． 当然， 在引进人工变量后， 所得到的线性规划的约束条件与原来 的约束条件不完全等价．为此，我们需要在线性规划的目标函数上作 些“修正”，这将在 2.3 节中进行详细讨论． 为了讨论方便， 我们将标准型线性规划 LP 中的变量次序重新调整并 编号，使对应单位阵的变量排在前 m 个变量的位置上(这对所讨论的 结果没有影响，而在实际计算时，可不必调换次序)．
骣 - Ak ÷ ÷ 证明：令 d = ç ç ÷+ ek ，其中 ek 是第 k 个元素为 1 而其它元素为 0 的一个 n 维单 ç ç 桫0 ÷
位向量．由 Ak £ 0 知，向量 d ³ 0 ．注意到，
Ad = 轾 A1 鬃 鬃 Am Am+ 1 鬃Ak 鬃 ? An 臌 骣 - Ak ÷ 轾 ç ÷ 鬃 Am Am+ 1 鬃 Ak 鬃 ?An ek ç ÷ A1 鬃 ç ç 桫0 ÷ 臌 轾 e1 鬃 鬃 em Am+ 1 鬃 Ak 鬃 ? An ek 臌
则由 x 的非退化性知， q > 0 ．定义如下向量：
ˆ := ( x1 - qa1k , x2 - qa2 k , 鬃 x ?, xm qamk , 0, 鬃 鬃 , q, 鬃 , 0)
T
(2-10)
ˆ 的第 k 个坐标的值，则显然有 x ˆ ³ 0 成立．另外， 其中 q 是 x
ˆ 邋A x
i i= 1
N
x
□
是线性规划 LP 的最优解．
定理 2-2
假设当前基本可行解 x 是非退化的，若它的所有非基
变量检验数 j 0 j J N 且存在某个 k J N 使 k 0 ，则线性规划 LP 有无穷多最优解．
证明： 根据定理 2-1 知，x 是线性规划问题 (LP) 的最优解． 记(2-3)式中变量 xi 所 对应的系数向量为 Ai ．那么，当 i = 1, 2, 鬃 ?, m 时， Ai 为 m 维单位向量 ei ，而当
n
m
i
=
i= 1
Ai xi -
?
m
Ai qaik + q Ak = b - q Ak + q Ak = b ，
i= 1
ˆ 满足(2-3)中的方程组，从而满足 (LP) 的等式约束 Ax = b ．这说明(2-10)式 即x ˆ 是 (LP) 的一个可行解．而由 (LP) 的典则形式(2-9)， 定义的 x
0, i j aij 1, i j
，
故
c j ci aij 0,
i 1
m
j 1, 2, , m ．
(2-8)
即，基变量所对应的检验数为 0 ．为了书写方便，后面用 J B 表示基变量 的下标集， J N 表示非基变量的下标集． 标准型线性规划 LP 可表述为如下典则形式：
证 明 ： 设 x 为 线 性 规 划 LP 的 任 一 可 行 解 ． 由 x 0 可 知 ，
jJ N
j x j 0 ， 而 根 据 LP 的 典 则 形 式 (2-9) ， 有
z c x z jJ j x j z c x ．这说明
下面，我们来建立最优性准则．根据这些准则，不仅可以判别已得 到的初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基本可行解 (统称为 当前基本可行解)是否为最优解， 而且还可清楚地知道所要求解的线性规 划问题的解的情况． 由问题(2-1)的 m 个等式约束知， 初始基本可行解 x (0) 的基变量用非基 变量表示的式子为：
x j 0,
j 1, 2, , n
(2-1) 由于约束条件的系数矩阵中含有一个 m 阶单位矩阵 A1 A2 Am ，故
x1 , x2 , , xm 为 基 变 量 ， xm1 , xm2 , , xn 为 非 基 变 量 ． 令 xm1 0, xm2 0, , xn 0 ，并将其代入到上述模型的 m 个等式约束中，
min z z s.t. xi bi x0
j m 1
n
j
xj
j m 1
n
aij x j , i 1, 2, , m
(2-9)
定 理 2-1
若当前基本可行解 x 的所有非基变量的检验数
j 0 j J N ，则基本可行解 x 为线性规划 LP 的最优解.