离散数学王元元习题解答
离散数学王元元习题解答 (5)
第二篇集合论第四章集合及其运算4.1 集合的基本概念容提要4.1.1集合及其元素集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的对象的总体。
组成集合的对象称为集合的成员或元素（member）。
通常用一对“{ }”把集合的元素括起来，表示一个集合。
元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念。
即当对象a是集合A的元素时，称元素a属于集合A，记为a∈A当对象a不是集合A的元素时，称a不属于A，记为⌝(a∈A)或a∉A对任何对象a和任何集合A，或者a∈A或者a∉A,两者恰居其一。
这正是集合对其元素的“确定性”要求。
定义4．1空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。
有限集合中元素的个数称为基数（cardina lit y）（无穷集合的基数概念将在以后重新严格定义）。
集合A的基数表示为|A|。
4.1.2 外延公理、概括公理和正规公理集合论依赖于三大基本原理：外延公理（extensionality axiom）、概括公理（comprehension axiom）和正规公理（regularity axiom）。
它们从根本上规定了集合概念的意义。
外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。
即对任意集合A，B,A=B ↔∀x(x∈A↔x∈B)外延公理事实上刻划了集合的下列特性：集合元素的“相异性”、“无序性”，及集合表示形式的不唯一性。
概括公理: 对任意个体域，任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。
即对给定个体域U，对任意谓词公式P(x)，存在集合S，使得S＝{x ⎢x∈U∧P(x)}概括公理规定了集合元素的确定性,以及集合的描述法表示的理论依据，它还规定了空集的存在性。
正规公理：不存在集合A1，A2, A3，…，使得…∈A3 ∈ A2 ∈A1正规公理的一个自然推论是：对任何集合A，{A}≠A（否则有…∈A∈A∈A）。
从而规定了集合{A}与A的不同层次性,因而正规公理也就规定了集合不能是自己的元素。
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第三篇图论第八章图图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合 E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G) ?V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG 为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = ?V ?，m = ?E ? 。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ? v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作Kn。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
离散数学王元元习题解答
离散数学王元元习题解答-（)————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ＊第三章消解原理3.１斯柯伦标准形内容提要我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句，seｎteｎcｅs),所说前束范式均指前束合取范式。
全称量词的消去是简单的。
因为约定只讨论语句,所以可将全称量词全部省去,把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。
例如A(x）实指∀xA(x)。
存在量词的消去要复杂得多。
考虑∃xＡ（ｘ)。
(1）当Ａ(x）中除x外没有其它自由变元,那么,我们可以像在自然推理系统中所做那样,可引入A(e/ｘ）,其中ｅ为一新的个体常元,称e为斯柯伦(Skolem)常元，用Ａ(e/x)代替∃ｘＡ(ｘ),但这次我们不把A(e/ｘ)看作假设,详见下文。
(2)当A中除x外还有其它自由变元y1,…,yｎ,那么∃ｘA(ｘ,y1,…,yｎ）来自于∀y1…∀y n∃ｘＡ（x, ｙ1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于ｙ1,…，ｙn的取值。
因此简单地用A(ｅ/x,ｙ１,…,y n)代替∃xA(x,y1,…,y n）是不适当的,应当反映出x对ｙ１,…,ｙn的依赖关系。
为此引入函数符号f,以Ａ(ｆ(y1,…，ｙn)/x，ｙ1,…,y n)代替∃xA(x, y１,…,ｙn），它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x,使x, ｙ1,…,yｎ满足Ａ。
这里f是一个未知的确定的函数,因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。
定理３.１(斯柯伦定理)对任意只含自由变元x,y1，…,yｎ的公式Ａ(x，y１，…,y n),∃xA(x, y1,…,y n）可满足，当且仅当A（f(y1,…,y n), y1，…,y n)可满足。
这里ｆ为一新函数符号；当n = 0时,f为新常元。
定义3．1设公式Ａ的前束范式为B。
离散数学教程-王元元-第12章 群环域
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.2.1 群及其基本性质
定义12.3 称代数结构<G,>为群，如果 （1）<G, >为一半群。 （2）<G, >中有幺元e。 （3）<G, >中每一元素都有逆元。 简言之，群是每个元素都可逆的独异点。
群的载体常用字母G表示，G也常用于表示一个群。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
定理12.3 设<S,>为一半群,那么 (1) 存在<S,>到<SS,◦ >的半群同态h。 (2) <S,>在含有幺元时同构于<h(S),◦>, 后者是<SS,◦ >的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意aS，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意xS， fa(x)= ax 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,bS ， h(ab)＝fab (l2－1) 而对任何xS，fab(x)= abx = fa(fb(x))= fa◦fb (x)，故fab= fa◦fb ,
由此及式(l2－1)即得 h(ab)= fab = fa◦fb ＝h(a)◦h(b)
证(2)：只需证明a,bS，如果a≠b，则fa≠fb。因为<S,>含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在xS，fa(x)≠fb(x)，定理得证。
离散数学 第12章 群、环、域 12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
（4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为
离散数学教程-王元元-第12章 群环域
<I, + >： 整数a 0时，a有无限阶。
<N6 ,+ 6>：1的阶是6；2的阶是3；3的阶是2； 4的阶是3；5的阶是6。
离散数学 第12章 群、环、域
12.2 群
12.2.2 群的元素的阶
定理12.9 有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群 G的
阶数G。
证 设a为G的任一元素，考虑 a0(=e)，a1，a2，… ，aG 共有G+1个G中元素，由于G中只有G 个元素 因此，根据鸽笼原理，它们中至少有两个是同一元素
它为独异点，或含幺半群。 例12.1 <I+,＋>，<N,· >，< ,并置>都是半群，后两个又是独异点。 <SS,◦ >为一半群和独异点，这里SS为S上所有一元函数的集合，
◦为函数的合成运算，其幺元是S上的恒等函数IS。
离散数学 第12章 群、环、域
Hale Waihona Puke 12.1 半群12.1.1 半群及独异点
定理12.1 设<S,>为一半群，那么 （1）<S,>的任一子代数都是半群，称为<S,>的子半群。 （2）若独异点<S,,e>的子代数含有幺元e，那么它必为一独异点， 称为<S,,e>的子独异点。 定理12.2 设<S,>、<S’,’>是半群，h为S到S’的同态，这时称h为 半群同态。对半群同态有 （1）同态象<h(S),’>为一半群。 （2）当<S,>为独异点时，则<h(S),’>为一独异点。
离散数学
第12章 群、环、域
第12章 代数结构通论
12.1 半群
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第三篇第八章图的基本知识内容提要8. 1.1图的定义及有关术语定义图(graph) G由三个部分所组成:(1)非空集合V(G),称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点(nodes or vertices)o(2)集合E⑹,称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
(3)函数%： E(G) — (V(G), V(G))，称为边与顶点的关联映射(associatve mapping)o这里(V(G), V(G))称为VG的偶对集，其成员偶对(pair)形如(u, v), u, v为结点，它们未必不同。
M^(e)=(u,v)时称边e关联端点u, V。
当(u,v)用作序偶时(V(G), V(G)) =V(G) ?V (G), e称为有向边,e以u为起点，以v为终点，图G称为有向图(directed graph)；当(u, v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u),称e为无向边(或边)，图G称为无向图(或图)。
图G常用三元序组＜ V(G), E(G),甲6＞,或＜ V, E,叩＞来表示。
显然, 图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2设图6为＜ V, E,中(1)当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
(2)当也为单射时，称G为单图；当认为非单射时，称G为重图, 乂称满足〒(el)二中(e2)的不同边el, e2,为重边，或平行边。
(3)当(e) = (v, v)(或＜v, v＞)时，称e为环(loops)。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用(n, m)表示图G, 其中n =？V ?, m =？E ?。
(4)中为双射的有向图称为有向完全图：对每一(u, v), u ? v,均有e 使中(e) = (u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作(5)在单图G中,中⑹=(u, v)(或＜u, v＞)时，也用(u, v)(或＜u, v＞) 表示边e,这时称u, v邻接e, u, v是e的端点(或称u为e的起点，v为 e 的终点)；也称。
离散数学王元元习题解答(3)
离散数学王元元习题解答(3)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章谓词演算及其形式系统2.1 个体、谓词和量词内容提要谓词演算中把一切讨论对象都称为个体，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等到小写字母或字母串表示。
a，b，c等称为常元（constants）。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为变元（variables）。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域（domain of individuals）），常用字母D表示，并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域（universe），用字母U表示。
例如，当初中学生说“所有数的平方非负”时，实数集是个体域；而达尔文在写《物种起源》时，则以全体生物为个体域；也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项（terms）。
例如，x+y，x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分（通常是谓语）称为谓词（predicate）。
谓词携有可以放置个体的空位，当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句，它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词（quantifiers）指数量词“所有”和“有”，分别用符号(All的第一个字母A的倒写) 和(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词和分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P，需引入一个变元，同时用作量词的指导变元（放在量词后）和谓词P的命名式变元：xP(x) 读作“所有（任意,每一个）x满足P(x)”。
离散数学王元元习题解答
1命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词内容提要1.1.1 命题我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。
1.1.2 联结词否定词(negation)“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词(implication)“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p 是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”（if and only if），用符号↔表示之。
离散数学王元元习题解答 (10)
第九章特殊图9.1 二分图内容提要9.1.1 二分图的基本概念定义9.1无向图G = <V，E，ψ>称为二分图（bipartite graph），如果有非空集合X，Y 使X∪Y = V，X∩Y = ∅，且对每一e∈E，ψ(e) = (x, y)，x∈X，y∈Y。
此时常用<X，E，Y>表示二分图G。
若对X中任一x及Y中任一y恰有一边e∈E，使ψ(e) = (x, y), 则称G为完全二分图（complete bipartite graph）。
当|X| = m，|Y| = n时，完全二分图G记为K m,n。
定理9.1无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
9.1.2 匹配定义9.2设G = <X，E，Y>为二分图，M⊆E。
称M为G的一个匹配（matching），如果M中任何两条边都没有公共端点。
G的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配（maximal matching）。
如果X(Y)中任一顶点均为匹配M中边的端点，那么称M为X(Y)-完全匹配(perfect matching)。
若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全匹配。
定义9.3设G = <X，E，Y>，M为G的一个匹配。
（1）M中边的端点称为M-顶点，其它顶点称为非M-顶点。
（2）G中v k到v l的通路P称为交替链，如果P的起点v k和终点v l为非M-顶点，而其边的序列中非匹配边与匹配边交替出现（从而首尾两边必为非匹配边，除顶点v k，v l以外各顶点均为M-顶点）。
特别地，当一边（v, v'）两端点均为非M-顶点，通路（v, v'）亦称为交替链。
以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下：（1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。
离散数学王元元习题解答 (11)1
（3）由于对任意x，y，zQ，
（xy）z=（（x+y）/2）z=（（x+y）/2）+z）/2=（x+y+2z）/4
而x(yz)=x（y+z）/2=（x+（y+z）/2）/2=（2x+y+z）/4
故不能对任意x，y，zQ使（xy）z=x(yz)，（如x=1，y=2，z=3，（xy）z≠x（yz）），
6.完成下列运算表(表10.3),使之定义的运算1 ,2满足结合律:
表10.3
1
a
b
c
d
2
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
b
a
c
d
b
b
a
d
c
b
b
a
c
d
c
c
d
a
b
c
d
d
d
c
c
d
解：为使1满足结合律，则对于b,c,a应有（b1c）1a＝b1（c1a），而由表10．3的1运算可知：b1（c1a）＝b1c＝d
∴（b1c）1a＝d1a＝d即d1a＝d
xe -= ex = x .
元素erS(elS)称为（关于运算的）右幺元(左幺元),如果er (el)对任意元素xS满足
xer = x (elx = x)
定理10.1代数结构<S，>有关于运算的幺元，当且仅当它同时有关于运算的左幺元和右幺元。
定理10.2任何含有关于运算幺元的代数结构<S，>,其所含幺元是唯一的。
xa = ya蕴涵x = y (10-2)
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1命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词容提要1.1.1 命题我们把对确定的对象作出判断的述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。
1.1.2 联结词否定词(negation)“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p 的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p 且q”。
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q 的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词(implication)“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p →q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”（if and only if），用符号表示之。
设p，q为两命题，那么p q表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时p q 为真，否则为假。
p q读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。
由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。
1.1.3 命题公式及其真值表我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s与f，t统称为命题常元（proposition constant）。
深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。
定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。
（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A B）也是命题公式。
（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。
如果公式A含有命题变元p1，p2，…，p n，记为A(p1,…,p n)，并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1,…,p n的真值函数。
对任意给定的p1,…,p n的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母，等表示，A均有一个确定的真值。
当A对取值状况为真时，称指派弄真A，或是A的成真赋值，记为 (A) = 1；反之称指派弄假A，或是A的成假赋值，记为 (A) = 0。
对一切可能的指派,公式A的取值可能可用一表来描述,这个表称为真值表（truth table）。
当A(p1,…,p n)中有k个联结词时，公式A的真值表应为2n行、k+n列（不计表头）。
1.1.4 语句的形式化用我们已有的符号语言，可以将许多自然语言语句形式化。
语句形式化要注意以下几个方面。
要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念，例如“弟兄”是一个概念，不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。
要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。
例如“风雨无阻，我去上学”一句，可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去上学”。
否定词的位置要放准确。
需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。
另外要注意的是,语句的形式化未必是唯一的。
习题解答练习1.11、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化：（1）a+b（2）x>0（3）“请进！”（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
（5）我明天或后天去。
（6）我明天或后天去的说法是谣传。
（7）我明天或后天去或天津。
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
（13）不管你和他去不去，我去。
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（非：《非子显学》）（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：《荀子劝学》）解（1）a+b 不是命题（2）x>0 不是命题（x是变元）（3）“请进！”不是命题（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
是命题可表示为p∧┐q，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死（5）我明天或后天去。
是命题可表示为p∨q，其中p：我明天去；q：我后天去（6）我明天或后天去的说法是谣传。
是命题可表示为┐(p∨q)，其中p、q同（5）（7）我明天或后天去或天津。
是命题可表示为p∨q∨r∨s，其中p：我明天去，q：我明天去天津，r：我后天去，s：我后天去天津（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
是命题可表示为┐p→┐q，其中，p：我买到飞机票，q：我出去（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
是命题可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r，其中p：他余款多，q：他出门，r：他买书（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
是命题可表示为(p∨q) r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：我去（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
是命题可表示为(p→q) ∧(q→p )或p q，其中p：你充分考虑了一切论证，q：你得到了可靠见解（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
是命题可表示为(q→p ) →┐q，其中p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图（13）不管你和他去不去，我去。
是命题可表示为(p→r) ∧(q→r) ∧( ┐p→r) ∧( ┐q→r)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（非：《非子显学》）是命题可表示为((p∧q)→r) ∧((┐p∧┐q)→┐r)，其中p：你奢侈，q：你懒惰，r：你贫困（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：《荀子劝学》）是命题可表示为(p→┐q) ∧(s→r) ∧(m∧n→┐o) ∧(m∧┐n→v)，其中p：骐骥一跃，q：骐骥一跃十步，r：驽马行千里，s：驽马不断奔跑，m：你雕刻，n：你放弃，o：将朽木折断，v：金石可雕刻2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）：（1）┐(p)（p为原子命题）（2）(p∨qr)→s（3）(p∨q)→p（4）p→(p∨q)（5）┐(p∨┐p)（6）p∧(p→q)→q（7）p∧(p→q)∧(p→┐q)（8）(p→q) (┐q→┐p)（9）┐(p∨q) ┐q∧┐p（10）┐p∨q (p→q)（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)（12）(p∨q→r) (p→r)∧(q→r)解（1）┐(p) 不是公式（2）(p∨qr)→s 不是公式（3）(p∨q)→p 是公式p q p∨q (p∨q)→p p→(p∨q)0 0 0 1 10 1 1 0 11 0 1 1 11 1 1 1 1（4）p→(p∨q) 是公式（真值表见上表，恒真）（5）┐(p∨┐p) 是公式（恒假）p ┐p p∨┐p ┐(p∨┐p)0 1 1 01 0 1 0（6）p∧(p→q)→q 是公式（恒真）p q p→q p∧(p→q) p∧(p→q)→q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1（7）p∧(p→q)∧(p→┐q) 是公式（恒假）p q ┐q p→q p∧(p→q) p→┐q p∧(p→q)∧(p→┐q)0 0 1 1 0 1 00 1 0 1 0 1 01 0 1 0 0 1 01 1 0 1 1 0 0（8p q ┐p ┐q p→q ┐q→┐p (p→q) (┐q→┐p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1（9p q ┐p ┐q p∨q ┐(p∨q) ┐q∧┐p ┐(p∨q) ┐q∧┐p0 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 11 1 0 0 1 0 0 1（10）┐p∨q (p→q) 是公式（恒真）p q ┐p ┐p∨q p→q ┐p∨q (p→q)0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 0 11 1 0 1 1 1（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r) 是公式（恒真）p q r p→q q→r p→r (p→q)∧(q→r) (p→q)∧(q→r)→(p→r)0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 （p q r p∨q p∨q→r p→r q→r (p→r)∧(q→r) (p∨q→r) (p →r)∧(q→r)0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 0 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 0 11 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1*3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。
你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。
守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不是”。