运筹学第三章TP
运筹学第三章习题答案详细
运筹学第三章习题答案详细运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它运用数学和逻辑的方法来解决实际问题。
在运筹学的学习中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和应用。
本文将详细解答运筹学第三章的习题，帮助读者更好地掌握该章节的内容。
第一题是关于线性规划的基本概念和性质的。
线性规划是运筹学中的重要分支，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。
这个问题可以用一个线性规划模型来描述，其中包括决策变量、目标函数和约束条件。
在解答这个问题时，我们需要先确定决策变量、目标函数和约束条件，然后使用线性规划的方法求解最优解。
具体的计算过程可以通过线性规划的算法来完成。
第二题是关于线性规划的图解法的。
线性规划的图解法是一种直观的解法，它通过绘制变量的可行域和目标函数的等高线图来求解最优解。
在解答这个问题时，我们需要先将约束条件转化为直线或者曲线的形式，然后绘制出这些直线或曲线，并确定它们的交点。
最后，我们需要在可行域内找到使目标函数取得最大或最小值的点，这个点就是线性规划的最优解。
第三题是关于整数规划的应用的。
整数规划是线性规划的一种特殊形式，它要求决策变量取整数值。
在解答这个问题时，我们需要先确定整数规划的模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
然后，我们可以使用整数规划的算法来求解最优解。
在实际应用中，整数规划可以用来解决很多实际问题，比如生产计划、运输调度等。
第四题是关于线性规划的灵敏度分析的。
灵敏度分析是线性规划中的一种重要技术，它用来分析目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响。
在解答这个问题时，我们需要计算目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响程度，并进行相应的调整。
通过灵敏度分析，我们可以了解到线性规划模型对参数变化的敏感性，从而做出更加准确的决策。
第五题是关于线性规划的对偶问题的。
线性规划的对偶问题是线性规划的一个重要概念，它可以用来求解原始问题的最优解。
《运筹学教程》第三章习题答案
《运筹学教程》第三章习题答案1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。
它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。
又称效率价格。
影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。
只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。
市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。
2.证明：当原问题约束条件右端变为b i′时，原问题变为： maxz=∑C i X js.t. ∑a ij X i≤b i′(i=1,2,3,……,m)X j≥0 (j=1,2,3,……,n)对偶问题为： minp=∑b i′y is.t. ∑a ij y i≥C iy i≥0(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n) 设，当b i变为b i′原问题有最优解（X1′X2′X3′……X n-1′X n′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……y n-1′y n′）,则有：又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：所以3（1）.minp=6y1 + 2y2s.t. -y1+2y2≥-33y1+3y2≥4y1,y2≥0(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5-2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5-6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-610X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0则对偶规划为：.minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3≥2y1′-y1〞+5y2 + 9y3≥-23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞-5y2 + 4y3≥2-3y1′+3y1〞+5y2 -4y3≥-2即：minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3=23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞+5y2 + 4y3=2令 y1〞- y1′= y1，得：minp= 5y1 -6y2 + 12y3s.t. -2y1-6y2 + 10y3≥2y1-5y2 -9y3=2-3y1+y2 + 6y3≥-5-3y1-5y2 + 4y3=24、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
运筹学第三章课件
B3
3 2 10 ３
B4
10 8 5
日产量
罚金成本
A1 A2 A3
销量 罚金成本
7 4 9-6
0 1 1
０ 1 ２
②
6 5
5 1
6 -３ 3
①
1.5 表上作业法
③重复步骤②，直至求得求得初始调运方案。与最小元素法相同，最后表中 应有m＋n－1个数字格。对应初始基本可行解的m＋n－1个基变量。
x13 =5,x14 =2,x 21 =3,x 24 =1,x 32 =6,x 34 = 3
······
0
i=m j=1 j=2
0 1 0
······
······ 0 ···· ···· ·· 0 ······ 0 0 1 ······
0 1 0
······
······ 1 ···· ···· · 0 ······ 0 0 1
0 ······ 0 ···· ···· ·· 1 ······ 0 ······
日产量（吨）
A1 A2 A3
日销量（吨）
7 4 9
问该公司应如何确定调运方案，在满足各销地需求量的前提下可 使得总运费最小？
1.5 表上作业法
最小元素法确定初始基本可行解的步骤：
① 从全部单位运价中找出最低单位运价（若有两个以上最低单位运 价，则可在其中任选其一）。然后比较最低运价所对应的加工厂的日 产量和销地的日销量，并且确定第一笔供销关系。
1.5 运输问题
运输问题（Transportation Problem）： 一类特殊的线性规划问题：它们的约束方程组的系数矩阵 具有特殊的结构，利用这一特点，可能找到比单纯形法更 简便的算法。
运输问题及其数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题
运筹学第三章TP
收点 B1 发点 A1 6 A2 42 A3 7 收量 2
kj 2
B2 B3 B4 发量 hi
5 33 4 4 11 4 7 5 6 11 6 58 32 4 3 4 13 1 21
Operations Research
收 点 B1 B2 B3 B4 发 量 hi 发点 A 1 6 5 3 3 4 4 11 A 2 4 2 4 7 5 6 11 A 3 7 63 5 8 3 2 收 量 2 4 3 4 13
收 点 B1 B2 B3 B4 发 量 发点
A1 6 2 5
34
4
A2 4
4
75
6
A3 7
6
58
3
收 量 2 4 3 4 13
Operations Research
（2）向a1，b1较大方向移动一格（或向 右，或向下）此时向右移动一格（A1，B2） B2需要4吨，而A1只有2吨，A1已发完，划 去A1行，并把b2改成（4-2）=2。
A 2 42 41 7 53 6
A 3 7 63 5 8 3 收 量 2 4 3 4 13
kj
Operations Research
西北角法得到初始方案：x11=2，x12=2， x22=2，x23=3，x24=1，x34=3，总运费 =6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元）
最小元素法得到初始方案：x13=3，x14=1， x21=2，x22=4，x34=3，总运费 =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）
Operations Research
运输问题的图表形式
Ai Bj
运筹学(第三章)课件
i =1
例1：
某市有三个造纸厂A1,A2和A3，其纸的产量分别为 8，5和9个单位。由各造纸厂到各用户的单位运价 如表所示，请确定总运费最少的调运方案。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 3 11 6
4
B2 12 2 7
3
B3 3 5 1
5
B4
产量
4 8
9 5
5 9
6
运筹学(第三章)
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
运筹学(第三章)
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
价为 cij (i = 1,2,..., m; n = 1,2,..., n) ，又假设产销是平衡的，即：
m
n
ai = b j ，问应如何安排运输可使总运费最小？
i =1
j =1
运筹学(第三章)
二、运输问题的数学模型
假定 xij 表示由 Ai 到 B j 的运输量，则平衡条件下的运输问题可写出
用表上作业法求解运输问题
运筹学课件 第三章
OR
Graphical Solution
In a similar fashion, the restriction 2x2 < 12 (or, equivalently, x2< 6) implies that the line 2x2=12 should be added to the boundary of the permissible region. The final restriction, 3x1 + 2x2 < 18, provides another line to complete the boundary. The resulting region of permissible values of (x1, x2) , called the feasible region, is shown in Fig. 3.2. The final step is to pick out the point in this feasible region that maximizes the value of Z = 3x1 + 5x2 through trial-and-error procedure.
Chapters 4 and 5 focus on the simplex method. Chapter 6 discusses the further analysis of linear programming problems after the simplex method has been initially applied. Chapter 7 presents several widely used extensions of the simplex method. Chapters 8 and 9 consider some special types of linear programming problems.
运筹学第三章
第 4 次课 2学时本次课教学重点：会用运筹学软件、能分析运筹学软件的输出结果本次课教学难点：分析输出结果 ，百分百法则本次课教学内容：第三章 线性规划问题的计算机求解随书软件为“管理运筹学”2.0版（Window 版），是1.0版（DOS 版）的升级版。
它包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。
第一节 “管理运筹学”软件的操作方法软件使用演示：（演示例1）例1. 目标函数：2110050x x Z Max +=约束条件：t s . 30021≤+x x400221≤+x x2502≤x 0,021≥≥x x第一步：点击“开始”→ “程序”→ “管理运筹学2.0”，弹出主窗口。
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。
本题中选用“线性规划”方法。
点击按钮弹出如下界面：第三步：点击“新建”按钮，输入数据。
本题中共有2个变量，3个约束条件，目标函数取MAX 。
点击“确定”后，在表中输入j ij i b a c ,,等值，并确定变量的正负约束。
输入数值后的界面如下。
第四步：点击“解决”按钮，得出计算结果。
本题的运行结果界面如下。
第二节 “管理运筹学”软件的输出信息分析一、分析运行结果本题中目标函数的最优目标值 27500=z ，最优解250,5021==x x1、相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。
2、 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。
如果为零，则表示与之相对应的资源已经全部用上。
3、对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的最优值。
4、目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量系数的变化范围。
当前值是指当前的最优解中的系数取值。
运筹学习题答案(第三章)
2
4
3 3
4
3
2
3
8
2 2
2
5
3
0
3
2
6
14
3
0
销量
School of Management
运筹学教程
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加 工厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加 工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位 运价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加 工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和 11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面 粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位)。
表3-37
城市
电站 Ⅰ Ⅱ page 21
11 August 2013
1
2
3
15 21
18 25
22 16 21
School of Management
运筹学教程
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市 城市 城市 城市 城市 产量 1-1 1-2 2 3-1 3-2 电站
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ 销量
page 22 11 August 2013
page 11 11 August 2013
B1
B2
B3
B4
产量
4 5 1 3 4 6 6 1 2 5 2 0 3 7 3 5 1 1
6 5 6 3
8
8 4 20
11
销量
School of Management
运筹学教程
第三章习题解答
表3-33 销地 产地 A1 A2 A3 销量
page 12 11 August 2013
运筹学第3章
§3.2 表上作业法
运输表上任何有序的至少四个以上 不同格被称为圈, 如果它们满足:
任何两个接续格在同一行或同一列； 在同一行或同一列不存在三个或三个 以上的接续格; 最后一个格应和第一个格在同一行或 同一列。
§3.3 特殊情况的处理
例3·：某农场有四种土壤，面积分别为 6 500亩、1000亩、600亩和500亩，准备将不 同的三个小麦品种播在这四种土壤上。根据 市场需求和本场的具体情况，确定这三个品 种的播种面积分别为400亩、1000亩和1200 亩，又根据过去的生产规律和未来气候的变 化以及生产物资供应的保证情况，用多元回 归方程预测得不同品种的小麦播在不同土壤 上的亩产量（公斤）如后表所示，问怎样安 排播种才能使小麦的总产量最高？
x21 x22 x23 27
s.t.
xij 0, (i 1, 2; j 1, 2,3)
例3·：一般运输问题 2 一般的运输问题可以描述为: 有 m 个供应点, n 个需求点, 第 i 个供应点的 供应量 ai ,第 j 个需求点的需求量 bj , 从 i 到 j的运费为 cij, 求费用最小的运输方 案。
6
35 10
5
0 2
工厂2 25
10
12
7
vj
8
仓库一
5
仓库三
仓库二
ui
工厂1 工厂2
7
15 10
17 +
- 174 0 6
6 12
18 35 - 10+ 27
5
5 7
0 2
25 8
运筹学-第3章
主讲人：朱建明
应用数学系 2014 年 11 月
第3章 目标规划（Goal Programming）
1 2 3 4 目标规划模型
目标规划的解法
目标规划的单纯形法（自学） 目标规划的应用举例
引言
1、线性规划（Linear Programming） 单一标准：最小成本、最大利润 2、实例 1：厂房选址问题 （1）交通是否便利？ （2）招聘和留住员工是否有吸引力？ （3）能源成本和当地税率 实例 2：毕业生工作选择问题 （1）工作地点 （2）工资 （3）晋升机会 3、目标规划—提供一个最接近多个目标的解 多重标准：同时考虑多个目标
1800
3U+5H=9000
1600 U=800,H=1200 (最优解）
d1+=0
25U+50H=80000
U
0 1400 3000 3200
第二节 目标规划的解法
二、目标规划的一般解法
1、实例的目标规划模型的一般解法
P1 问题：
min p1 .d1+ + p2 .d2s.t. 25U+ 50H ≤ 80000 0.5U+0.25H - d1+ + d1- =700 3U+ 5H – d2+ + d2-=9000 U, H, d1+ , d1- , d2+ , d2-≥ 0
第二节 目标规划的解法
一、目标规划的图解法
1、实例的目标规划模型的图解法
H
2800
0.5U+0.25H=700
min p1 .d1+ + p2 .d2s.t. 25U+ 50H ≤ 80000 0.5U+0.25H - d1+ + d1- =700 3U+ 5H – d2+ + d2-=9000 U, H, d1+ , d1- , d2+ , d2-≥ 0
运筹学第三章运输问题课件
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ 16 14 19 M
Ⅰ’’ 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
12
A B C D
2015年6月10日星期三
第二步见表3-6，3-7
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
cij xij
i 1 j 1
2015年6月10日星期三
5
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
m n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
0
0
5
-18
2015年6月10日星期三
20
3.表中还有负检验数。说明未得最优解，利用闭回路调 整法，见表3-21
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ’’
A B C D 销量(万吨)
(-10) 30 10 10 (+10)
50 20 30 (-10) 0 (+10) 70 30 10 10
30
20
' cij cij,
' cij 0,
当 i=1,…，m，j=1,…，n时 当 i=1,„，m，j=n+1时
将其分别代入，得到
' ' min z ' cij xij cij xij ci' , n 1 i 1 j 1 m n i 1 j 1 i 1 m n 1 m n m
运筹学第三章课后习题答案PPT课件
16
表3-29
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：（2）表3-29用三种方法计算，用位势法检验。因 为总产量=13，总销量=10，所以该题的总产量＞总销 量，所以该题是产销不平衡的问题，故假设一销地B5 ①用最小元素法计算如下表所示
3.1 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数 学模型具有什么特征？
答： 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数 学模型具有如下特征：1.运输问题不象一般线性规划问 题那样，线性规划问题有可能有无穷多最优解，运输问 题只有有限个最优。2.运输问题约束条件系数矩阵的元 素等于0或1；且每一列有两个非零元素。3.运输问题的 解的个数不可能大于(m+n-1)个。 3.2 运输问题的基可行解应满足什么条件?试判断形表 3-26和表3-27中给出的调运方案是否作为表上作业法迭 代时的基可行解?为什么?
17
①最小元素法求解：
销地 B1
B2
4
排运输。这就是最小元素法和沃格尔法质量不同的原因。
3.7 表3-28和表3-29分别给出了各产地和各销地的产量 和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业 法求最优解。
表3-28
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
运筹学 第三版 清华大学出版社 第3章运输问题
运输问题应用—建模
1
1.运输问题的数学模型.
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
2
例3.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
32
2.运输问题求解 —表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
33
2.运输问题求解 —表上作业法
表3-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 b1
cm2 b2
┇ ┇ … cmn
┇
a1 a2
am
… bn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 3-4）。
2.运输问题求解 —表上作业法
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输 问题的初始基本可行解，必须保证 找到 m + n – 1 个不构成闭回路的 基变量。 一般的方法步骤如下：
26
2.运输问题求解 —表上作业法
(教育学)运筹学第3章
03
约束条件可以是等式或 不等式，限制了决策变 量的取值范围。
04
决策变量是问题中需要 优化的未知数。
非线性规划的求解方法
01
02
03
04
非线性规划的求解方法可以分 为直接法和迭代法两大类。
直接法是通过直接搜索和计算 来寻找最优解的方法，如梯度
法、牛顿法等。
迭代法是通过不断迭代和逼近 最优解的方法，如序列二次规
整数规划的数学模型
决策变量
整数规划的决策变量是整数，通常表示为$x_1, x_2, ldots, x_n$。
约束条件
整数规划的约束条件可以是等式或不等式，如$a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或$a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
将大规模问题分解为若干 个小规模问题，分别求解 后再综合，适用于多目标、 多约束问题。
04 整数规划
整数规划的基本概念
整数规划问题
优化目标
整数规划是一类特殊的线性规划问题， 其中一部分或全部决策变量被限制为 整数。
整数规划的目标是最小化或最大化一 个线性目标函数，如成本、收益等。
约束条件
整数规划问题通常具有线性约束条件， 以确保决策变量的取值满足一定的限 制。
划、信赖域方法等。
求解非线性规划问题时，选择 合适的求解方法非常重要，需 要根据问题的性质和规模进行
选择划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解决方案， 以便在需要时重复使用它们的方法。
它是一种优化技术，用于解决多阶段决策问题，其中每个阶段的决策都会影响未来 的决策。
运筹学胡运权第三版第三章运输问题
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
运筹学第3章
x11 x21 x31 3
x12 x22 x32 8
x13 x23 x33 4 x14 x24 x34 6
xij 0 i 1,2,3; j 1,2,3,4
-9-
China University of Mining and Technology
运筹学
运输问题的数学模型
xx1111 xx1122 1 1
|DD| 11
11
xx11nn xx2211 xx2321 ... x2mn1 ... xm1 xm2 11
1 11
1
1
11 1
1
1
11 1
1
11
1
xmn
a1
a2
1
am
b1
b2
3
6
0
0
99/6/6/0
角
A2
0
5
法
A3
0
7
计
销量 3/0
88/2
4
6
算
令x12为基变量，则 x12 min{ 6,8} 6
产地A1的产量6全供给销地B2，所以 x13=x14=0，x13与x14 为非基变量。
将x12 ＝6 填到调运方案表中第1行第2列上。
画去运输数据表中第1行，B2 的销量还要8-6 =2。 得到新的产销平衡运输表。
具体的算法过程如下：
-21-
China University of Mining and Technology
运筹学
表上作业法
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Operations Research
得到初始方案： （6）得到初始方案： x13=3，x14=1，x21=2，x22=4，x34=3 =3， =1， =2， =4， 总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（ 总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元） =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61 B2 B3 B4 发量 收点 B1 发点 A1 6 5 33 41 4
mxn 列
Operations Research
运输问题解的结构 由于
∑b = ∑a
j =1 j i =1
n
m
i
其m+n个约束方程并不是独立的。实际上只 有m+n-1个是独立的。即约束方程系数矩阵 的秩为m+n-1。 运输问题是线性规划问题，由于其约 束条件的特殊性，产生了特殊的解法。 。
Operations Research
Operations Research
运输问题的图表形式
Ai A1 A2 … Am bj Bj B1 c11 x11 B2 c12 x12 … Bn c1n x1n c2n x2n … … cmn xmn … bn ai a1 a2 … am
c21 x21 c22 x22 … …
cm1 xm1 cm2 xm2 b1 b2
A2 A3 收量 kj
42 7 2
41 63 4
7 5 3
53 8 4
6 3 13
Operations Research
西北角法得到初始方案： =2， =2， 西北角法得到初始方案：x11=2，x12=2， 得到初始方案 x22=2，x23=3，x24=1，x34=3，总运费 =2， =3， =1， =3， =6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（ =6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元） 最小元素法得到初始方案： =3， =1， 最小元素法得到初始方案：x13=3，x14=1， 得到初始方案 x21=2，x22=4，x34=3，总运费 =2， =4， =3， =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元） =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（ 差值法初始方案如下： =3， =1， 差值法初始方案如下： x13=3，x14=1， 初始方案如下 x21=2，x22=1，x24=3，x32=3，总运费 =2， =1， =3， =3， =3*3+4*1+4*2+4*1+5*3+6*3=58（ =3*3+4*1+4*2+4*1+5*3+6*3=58（元）
B1 6 42 7 2 2
B2 5 4 63 4 1
B3 33 7 5 3 2
B4 发量 4 5 8 4 1 4 6 3 13
hi 1 1 2
Operations Research
收点 发点 A1 A2 A3 收量 kj
B1 6 42 7 2 2
B2 5 41 63 4 1
B3 33 7 5 3 2
发量 4 6 3 13
Operations Research
（4）继续进行 ）
B2 B3 B4 收点 B1 发点 A1 6 2 5 2 3 4 A2 4 A3 7 收量 2 42 6 4 73 5 3 5 8 4
发量 4 6 3 13
Operations Research
（5）继续进行 ）
B2 B3 B4 收点 B1 发点 A1 6 2 5 2 3 4 A2 4 A3 7 收量 2 42 6 4 73 5 3 51 8 4
B2 B3 B4 发量 收点 B1 发点 A1 6 5 33 41 4 A2 4 2 A3 7 收量 2 4 6 4 7 5 3 5 8 4 6 3 13
Operations Research
（4）再从最小元素[4]开始,即 开始, 再从最小元素 开始 优先满足B 个单位， A2优先满足B2 4个单位， B2 A2 已经满足，划去B 已经满足，划去B2列A2 行。
B3 3 7 5 3 2
B4 发量 4 5 8 4 1 4 6 3 13
hi 1 1 1
Operations Research
收点 发点 A1 A2 A3 收量 kj
B1 6 42 7 2 2
B2 5 4 6 4 1
B3 33 7 5 3 2
B4 发量 4 5 8 4 1 4 6 3 13
hi 1 1 1 1 2
当发点的发量总和为Σ ， 当发点的发量总和为Σai，收点的收量总和为 相等时，称此运输问题为平衡运输问题。 Σbj相等时，称此运输问题为平衡运输问题。否 则称此运输问题为非平衡运输问题。 则称此运输问题为非平衡运输问题。
Operations Research
运输问题的数学模型： 运输问题的数学模型：
B2 B3 B4 发量 收点 B1 发点 A1 6 5 33 41 4 A2 4 A3 7 收量 2 4 6 4 7 5 3 5 8 4 6 3 13
Operations Research
开始, （3）再从最小元素[4]开始, 再从最小元素 开始 优先满足B 个单位， 即A2优先满足B1 2个单位， 已经满足，划去B B1 已经满足，划去B1列，
收点 发点 A1 A2 A3 收量 kj
B1 6 42 7 2 2
B2 5 4 6 4 1
B3 3 7 5 3 2
B4 发量 4 5 8 4 1 4 6 3 13
hi
1 1 0 0 1 1
Operations Research
收点 发点 A1 A2 A3 收量 kj
B1 6 42 7 2 2
B2 5 4 6 4 1
B4 发量 4 5 8 4 1 4 6 3 13
hi 1 1 2
Operations Research
收点 发点 A1 A2 A3 收量 kj
B1 6 42 7 2 2
B2 5 41 63 4 1
B3 33 7 5 3 2
B4 发量 41 53 8 4 1 4 6 3 13
hi 1 1 2
Operations Research
Operations Research
第三章
运输问题
3-1 运输问题及其数学模型 问题的提出 从m个发点A1, A2, …..Am向n个收点B1, B2….. Bn发送某种货物。 Ai发点的发量为ai， Bj收点的收量为bj。由Ai 运往Bj 单位货物的 运费为cij，由Ai 运往Bj 货物的运量为xij。问 如何调配，才能使运费最小？
发量 4 6 3 13
Operations Research
（6）继续进行 ）
B2 B3 B4 收点 B1 发点 A1 6 2 5 2 3 4 A2 4 A3 7 收量 2 42 6 4 73 5 3 51 83 4
发量 4 6 3 13
Operations Research
（7）得到初始方案：x11=2，x12=2， ）得到初始方案： ， ， x22=2，x23=3，x24=1，x34=3，总运费 ， ， ， ， =6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元） （
min z = ∑ ∑ cij x ij
m n
∑x
j =1 m
n
i =1 j = 1
ij
= ai
i = 1 ,L ,m
∑x
i =1
ij
= bj
j = 1,L ,n
∑b = ∑a
j =1 j i =1
n
x ij ≥ 0 i = 1 ,L ,m; j = 1 ,L ,n a i ≥ 0 , b j ≥ 0 i = 1 ,L ,m; j = 1 ,L ,n
B2 B3 B4 收点 B1 发点 A1 6 2 5 2 3 4 A2 4 A3 7 收量 2 42 6 4 73 5 3 51 83 4
发量 4 6 3 13
Operations Research
2 最小元素法 从最小运价开始确定供销关系， 从最小运价开始确定供销关系，然 后次小，如此进行，可得初始方案。 后次小，如此进行，可得初始方案。
B2 B3 B4 收点 B1 发点 A1 6 2 5 2 3 4 A2 4 A3 7 收量 2 4 6 4 7 5 3 5 8 4
发量 4 6 3 13
Operations Research
（3）继续进行 ）
B2 B3 B4 收点 B1 发点 A1 6 2 5 2 3 4 A2 4 A3 7 收量 2 4 2 7 6 4 5 3 5 8 4
Operations Research
较大方向移动一格（ （2）向a1，b1较大方向移动一格（或向 或向下）此时向右移动一格（ 右，或向下）此时向右移动一格（A1，B2） 需要4 只有2 已发完， B2需要4吨，而A1只有2吨，A1已发完，划 并把b 改成（ =2。 去A1行，并把b2改成（4-2）=2。
B1 B2 B3 收点 发点 A1 6 5 3 A2 A3 收量 4 7 2 4 6 4 7 5 3 B4 4 5 8 4 发量 4 6 3 13
Operations Research
开始, （1）从最小元素[3]开始,即A1优 从最小元素 开始 先满足B 个单位， 已经满足， 先满足B3 3个单位， B3 已经满足， 划去B 划去B3列，
B2 B3 B4 发量 收点 B1 发点 A1 6 5 33 41 4 A2 4 2 A3 7 收量 2 44 6 4 7 5 3 5 8 4 6 3 13