浙江台州市高中数学第二章平面向量24平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角新人教A版4.
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识表格素材新人教版必修4
第一页，共7页。
性质 运算律
设a和b都是非零向量，则
(1)a b a b 0
(2)当a与b同向时，a b=|a||b|，当a与b反向时，a b=|a||b|
(3)a a |a|2或|a|= a a
2
a
(4) cos a b |a||b|
(5)|a b| |a||b|
交换律：a b b a 结合律：(a) b (a b) a (b) 分配律：a (b c) a b a c
解得 =3 或-3. 答案：3 或-3
第六页，共7页。
4．已知 a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量 c，使得 a·c
＝4，b·c＝－9，试求向量 c 的坐标．
【解】 设 c＝(x，y)，
则 a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.
①
由 b·c＝－9，得 b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9. ②
第二页，共7页。
2.三个重要(zhòngyào)公式
向量模公式：设 a (x1, y1), 则 a x12 y12
三 个
两点间距离公式：若 A(x1, y1), B(x2, y2 )，
重 要
则 AB (x2 x1)2 (y2 y1)2
向量的夹角公式：设两非零向量
公
a (x1, y1), b (x2, y2 )，a与b的夹角为，
第五页，共7页。
6.设向量 a =（3,3），b =（1，-1），若 a b a b ，
则实数 =________. 【解析】因为 a b (3 ,3 ) ， a b (3 ,3 ) ，
因为 a b a b ，所以 (3 )(3 ) (3 )(3 ) =0，
1.平面向量(xiàngliàng)的数量积
高中数学第二章平面向量24平面向量的数量积242平面向量数量积的坐标表示模夹角课件新人教A版必修4
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 已知向量 a= (1,2),b= (2,-3),若向量 c 满足(a+ c)
∥ b,c⊥(a+ b),则 c 等于( )
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
垂直问题
【例2】 已知向量 a= (1,2),向量b= (x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于
()
A.9 B.4 C.0 D.-4
解析:∵ a⊥(a-b), ∴ a·(a-b)= 0, ∴ a2-a·b= 5-(x-4)= 0,解得x=9.
答案:A 反思有关向量垂直的问题 ,通常利用它们的数量积为 0来解决.本 题也可先求出 a-b的坐标,再代入a·(a-b)= 0,解得x.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
数量积的坐标运算
【例1】 已知a= (2,-1),b= (3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 分析:先求出 a·b,a2,b2,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解 ;或先将3a-b,a2b的坐标求出 ,再进行运算 .
解法一:∵ a·b= 2×3+ (-1)×(-2)= 8,a2= 22+ (-1)2= 5,b2= 32+ (-2)2= 13, ∴ (3a-b)·(a-2b)= 3a2-7a·b+ 2b2= 3×5-7×8+ 2×13=- 15. 解法二:∵ a= (2,-1),b= (3,-2), ∴ 3a-b= (6,-3)-(3,-2)= (3,-1),
| a| =
??
2 1
+
??22 ;
(4)cos θ= |????·||????|? cos θ=
??1 ??1+ ??2??2 ;
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案无答案新人
12.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 学习重点：平面向量数量积及运算规律. 平面向量数量积的应用 预习案：回忆上节课所学知识思考问题1 ： 什么是与的数量积（内积）？与的数量积的公式中a 、b 、θ各是什么意思？θ＝0时有什么重要结论？阅读课本P 106—107思考问题2： 两个非零向量a ＝(x 1,x 2), b ＝(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？问题3： ＝(x ,y )，如何计算向量的模||呢？问题4：A (x 1,x 2),B (x 2,y 2)，如何计算向量AB 的模，也就是两点A 、B 间的距离呢？问题5 已知、都是非零向量，＝(x 1,y 1), ＝(x 2,y 2),如何判定⊥或计算与的夹角＜,＞呢？问题6 已知a 、b 都是非零向量，a ＝(x 1,y 1), b ＝(x 2,y 2),如何判定a ∥b 或计算a 与b 的夹角＜a ,b ＞呢？探究案例题1、已知(1,2),(3,2)a b ==-，求a 、·、cos a b <>、的值。
例题2、在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1,k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。
例题3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？本堂小结：1、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)的数量积·＝_______________或_____________.2、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)的夹角的余弦值cos a b <>、＝____________或_____________.3、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)垂直，则_____________或_____________.4、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)平行，则_____________或______________. 当堂检测：1、已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
设 Q(a，b)，因为P→Q＝B→A，③
所以(a－1，b)＝(－1，－1)，所以ba＝＝－0，1. …………………………………11 分
B→Q·A→Q＝(0，－2)·(1，－1)＝2. …………………………………………12 分
12/9/2021
第二十三页，共二十八页。
[规范与警示] 1.通过利用点在直线上消元，在①处用配方法证明P→A·P→B＞0 是解 答第一问的关键；解题时，易认为 cos∠APB＞0，则∠APB 恒为锐角，漏掉②处 方程无解说明∠APB≠0，导致失分；若忽视由四边形 ABPQ 为菱形，则无法由 向量相等、相等向量的几何意义推出③处|A→B|＝|B→P|，P→Q＝B→A，是又一易失分点． 2．(1)解答向量坐标运算问题时，要注意函数、方程有关知识的应用． (2)在解答向量问题时，恰当利用向量及其运算的几何意义可以达到建立向量模型 解题的目的．
1．若向量 b 与向量 a＝(1，－2)的夹角为 180°，且|b|＝3 5，则 b＝( )
A．(－3,6)
B．(3，－6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
解析：设向量 b＝(x，y)，因为 a＝(1，－2)，
所以|a|＝
5，cos 180°＝|aa|·|bb|＝
x－2y 5×3
5＝－1，
所以 x－2y＝－15①，又|b|＝ x2＋y2＝3 5，
12/9/2021
第十八页，共二十八页。
3．已知△ABC 中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC 边上的高为 AD. (1)求证：AB⊥AC； (2)求点 D 和向量A→D的坐标； (3)设∠ABC＝θ，求 cos θ. 解析：(1)A→B＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)， A→C＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)． ∵A→B·A→C＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.
高中数学 第二章《平面向量》2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4
记为： ab, 即ab|a||b|cos.
规定: 零向量与任一向量量 的积 数 为0，即a 0 0.
学情调查、情景导入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向,量
(1) a b a b 0
学情调查、情景导入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2)当a与b同向, 时 aba b
练习. 设 a ( 5 -,7 b ( - 6 ),-,4 求 |a ) |a ,,b .
例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)， 试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2. 已知 a(1, 3),b( 31, 31),
Байду номын сангаас
求|a|,ab及a、 b的夹 . 角
评述：已知三角形函数值求角时， 应注重角的范围的确定.
知识梳理、归纳总结
1.abx1x2y1y2.
2.a(x,y),则|a| x2 y2
3. 平面内两点间的距离公式:
|A| B(x1x2)2(y1y2)2
4. 向量垂直的判定:
ab x1x2y1y20.
预习指导、新课链接
1、习题2.4 2、同步练习册60~63页。
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
学情调查、情景导入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
若|a|4， |b|3,它们的3夹 00，角 求 ab为
学情调查、情景导入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 已知两个非零a向 和量 b，它们的
夹角为 ，我们把数 |a|量 |b|cos 叫做
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案含解析新人教A版必修
学习资料2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角内 容 标 准学 科 素 养 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算。
2。
能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式。
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 提升数学运算 发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第64页［基础认识]知识点一 平面向量数量积的坐标表示阅读教材P 106～107，思考并完成以下问题已知两个非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2,y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢? 设i ，j 是两个互相垂直且分别与x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量．（1)i ·i ，j ·j ，i ·j 分别是多少?提示：i ·i ＝1，j ·j ＝1,i ·j ＝0.（2）a ＝（x 1,y 1），b ＝（x 2，y 2）用i ，j 如何表示?提示：a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j 。
(3)用x 1,y 1,x 2，y 2如何表示a ·b .提示：a ·b ＝（x 1i ＋y 1j ）·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2＋y 1y 2。
知识梳理 设向量a ＝1,y 1），b ＝（x 2，y 2),a 与b 的夹角为θ。
数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2向量垂直 x 1x 2＋y 1y 2＝0知识点二 思考并完成以下问题设a ＝(x ，y ），用x 、y 如何表示－|a ｜。
（1）设错误!＝a ＝(x ，y ），则A 点坐标为________．提示：(x ，y )．(2)｜a ｜＝|错误!|用x ，y 如何表示?提示：｜错误!|＝错误!。
（3)若A （x 1，y 1），B (x 2，y 2），如何计算向量错误!的模？提示：｜AB ，→|＝错误!.向量 模长a ＝(x ,y ） |a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1），B （x 2,y 2)为端点的向量错误! |错误!|＝错误!思考并完成以下问题设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2,y 2），设θ＝〈a ，b 〉，那么cos θ用x 1，y 1,x 2，y 2如何表示？（1）a ,b 为非零向量,用a ·b 及|a |·|b ｜如何求cos θ？提示：cos θ＝错误!.（2)用坐标(x1，y1），(x2，y2）如何表示cos θ?提示：cos θ＝错误!。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e 1,e 2},已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =(a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2)=a 1b 1e 12+(a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22.因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0,故a ·b =a 1b 1+a 2b 2. 疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e 1,e 2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),如果a ⊥b ,则a 1b 1+a 2b 2=0,反之,若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b .当a ⊥b 时,若b 1b 2≠0,则向量(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,这是因为a ⊥b ,a 1b 1+a 2b 2=0,即a 1b 1=-a 2b 2,1221b ab a =-.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,特别地,向量k(-b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直,k 为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直. 疑难疏引设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),a 1b 1+a 2b 2=0⇒a ⊥b 且a ⊥b ⇒a 1b 1+a 2b 2=0. 3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a =(a 1,a 2),则|a |2=a 2=a 12+a 22,即|a |=2221a a +.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),||=212212)()(y y x x -+-. 此式可视为A 、B 两点的距离公式.(2)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),故cos 〈a ,b 〉=222122212211||||b b a a b a b a b a ba +++=∙.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式. 活学巧用1.设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值. 解析：利用a ·b =|a |·|b |·cos θ建立方程,解方程即可. a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5, |a +t b |=20)1(52++t ,由(a +t b )·b =|a +t b |·|b |·cos45°得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量OA 绕原点O 按逆时针旋转90°得向量OB ,求点B 的坐标.解析：要求点B 的坐标,可设为B(x,y),利用⊥,| |=||列方程解决之. 设点B 坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,所以⎩⎨⎧=+=+.13,03222y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2,3y x 或⎩⎨⎧-==2,3y x (舍去). 所以B 点坐标为(-3,2).3.已知a =(2,32-4),b =(1,1),求a 与b 的夹角θ. 解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决. a ·b =(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,|a |·|b |=).13(42)32(1611)432(22222-=∙-=+∙-+ ∴cos θ=21)13(4232=--. 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.4.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7,求〈a ,b 〉的值. 解析：∵a +b +c =0,∴a +b =-c .∴|a +b |=|c |.∴(a +b )2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2.∴a ·b =2152925492||||||2222222=--=--=--b a c b a c . ∴cos〈a ,b 〉=215||||=∙b a b a ÷(3×5)= 21.∴〈a ,b 〉=3π.。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案无答案新人教
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1 i·i，j·j，i·j分别是多少？答案i·i＝1×1×cos0＝1，j·j＝1×1×cos0＝1，i·j＝0.思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j 表示，并计算a·b.答案∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3 若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？答案a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1 若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．答案∵a＝x i＋y j，x，y∈R，∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝x2＋y2.思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？答案 ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.梳理向量模长 a ＝(x ，y )|a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答案 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × ) 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一 数量积的坐标运算例1 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 43解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 为BC 的中点，∴E (2，1)， ∵点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →， ∴F ⎝⎛⎭⎪⎫223，2.∴AE →＝(2，1)，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2， ∴AE →·BF →＝－23＋2＝43.反思与感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于( )A．－1B．0C．1D．2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 C解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二平面向量的模例2 已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模解(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.反思与感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于( )A.5B.10C．5D．25考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.类型三 平面向量的夹角问题例3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2B.π4C.π3D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．类型四 平面向量的垂直问题例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A.17B ．－17C.16D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0. 因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365B.65C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365. 2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3B ．－3C.53D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求参数 答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 答案 A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b |＝λ2＋－2λ2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)． 5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝－12＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， (a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]． ∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝0 C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0， 所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3B ．3C ．－3D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的投影 答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1B.2C ．2D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( ) A ．(3,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎪⎫31313，21313或⎝ ⎛⎭⎪⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )， ∵(x ，y )是单位向量的坐标形式， ∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，① 又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ， ∴2x －3y ＝0，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝31313，y ＝21313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( ) A ．－1＋ 3 B ．－2 C ．－1± 3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋k ＋22，|a ＋b |＝12＋－12＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2， 又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos120°＝k a －b ·a ＋b |k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22×k 2＋k ＋22， 化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1± 3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)．二、填空题8．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)．11．(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________． 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题12．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)．(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，所以2×5＋3a ·b －2×54＝0， 所以a ·b ＝－52.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.13．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB 的值．考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线．又OP →＝(2,1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )．又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos∠AQB ＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－834×2＝－41717. 四、探究与拓展 14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，B 2(1，3)．又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)．15．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值． 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 平面向量模的坐标表示的应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件1新人教A版必修4
所以k a b与a 3b方向相反.
注意(zhù yì)反向 时系数为负数，正
向时系数为正数
第二十三页，共25页。
数
向量数量积公式
量
积
的
坐
标
两点间距离公式
(zu
òbi
āo)
表
示
向量的模、夹角、垂直公式
第二十四页，共25页。
有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍 耐精神的人，是非常(fēicháng)幸运的. ——塞涅卡
第三页，共25页。
探究一：平面向量(xiàngliàng)数量积的 坐标表示
已知两个向量a = (x1, y1), b = (x 2 , y2 )，
如 何 用 a与 b的 坐 标 表 示 a b呢 ？
y A(x1,y1)
B(x2,y2) a
bj
oi x
第四页，共25页。
提示(tíshì):
因为a x1i y1 j ，b x2i y2 j ，
边形ABCD的形状(xíngzh矩uà形n)是
.
(jǔxíng)
第十二页，共25页。
探究二：平面向量夹角(jiā jiǎo)的坐标表示
设 a （ x1, y1 ), b (x 2 , y 2 ), 且 a与 b夹 角 为 (0 180 )， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？
提示(tíshì):
答案 : | a | 5,| b | 29,a b=-7.
第十页，共25页。
例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断
△ABC的形状(xíngzhuàn)，并给出证明y .
C(-2,5)
解 :因为AB =(2 - 1,3 - 2)=(1,1)，
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4(2021
2018版高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4的全部内容。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2。
能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式。
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直。
知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考1 i·i，j·j，i·j分别是多少?答案i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0。
思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1),b＝(x2,y2），试将a，b用i，j表示，并计算a·b。
答案∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝（x1i＋y1j）·(x2i＋y2j）＝x1x2i2＋（x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2。
思考3 若a⊥b，则a,b坐标间有何关系？答案a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。
高中数学第2章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角aa高一数学
2021/12/12
第二十七页，共四十三页。
解 A→B＝(－3，－4)，A→C＝(c－3，－4)．
(1)若 c＝5，则A→C＝(2，－4)．
∴cosA＝cos〈A→C，A→B〉＝
→→ AC·AB →→
＝
|AC||AB|
5 5.
∵∠A 是△ABC 的内角，
故 sinA＝
1－cos2A＝2
5
5 .
2021/12/12
第二十五页，共四十三页。
由①②可得xy＝＝11，. ∴D(1,1)． ∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5， 即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
2021/12/12
第二十六页，共四十三页。
探究 4 平面向量的夹角问题 例 4 已知△ABC 顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)， C(c,0)， (1)若 c＝5，求 sinA 的值； (2)若∠A 是钝角，求 c 的取值范围．
(2)由于 0≤θ≤π，利用 cosθ＝|aa|·|bb|来判断角 θ 时，要注
意 cosθ<0 有两种情况：一是 θ 是钝角，二是 θ＝π；cosθ>0
也有两种情况：一是 θ 是锐角，二是 θ＝0.
2021/12/12
第三十四页，共四十三页。
2021/12/12
课堂(kètáng)达标自测
第三十五页，共四十三页。
第十页，共四十三页。
[条件探究] 若将例 1 改为 a 与 b 反向，b＝(1,2)，a·b
＝－10，求：
(1)向量 a 的坐标；
(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解 (1)∵a 与 b 反向，且 b＝(1,2)，
∴设 a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，
「精品」高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角知识巧解学案新人
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角疱工巧解牛知识•巧学一、两个向量数量积的坐标表示设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，取与x 轴、y 轴分别同向的两个单位向量i 、j ，则a =(x 1，y 1)=x 1i +y 1j ，b =(x 2，y 2)=x 2i +y 2j .由数量积的定义可知：i ·i =1，j ·j =1，i ·j =0，j ·i =0.所以a ·b =(x 1i +y 1j )·(x 2i +y 2j )=x 1x 2i 2+x 1y 2i ·j +x 2y 1j ·i +y 1y 2j 2=x 1x 2+y 1y 2.学法一得 通过坐标形式用i 、j 表示以后，数量积的运算就类似于多项式的乘法，展开后再合并同类项.也就是“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和”，即a ·b =x 1x 2+y 1y 2.引入坐标后，把向量的数量积的运算与两向量的坐标运算联系起来，即可用a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+ y 1y 2来求值. 二、向量的模的坐标表示和平面内两点间的距离公式1.a ·a =(x i +y j )·(x i +y j )=x 2+y 2.又a ·a =a 2=|a |2，∴|a |2=x 2+y 2.∴|a |=22y x +.2.平面直角坐标系下的两点间的距离等于以这两点中的一个点为起点，另一个点为终点的向量的模.图2-4-4已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则=(x 2，y 2)-(x 1，y 1)=(x 2-x 1，y 2-y 1)， 所以|AB |=212212)()(y y x x -+-. 这就是平面内两点间的距离公式. 学法一得 向量a 的模|a |=22y x +也具有一定的几何意义，即|a |==+22y x22)0()0(-+-y x ，通过简单的构造，它表示点(x ，y)到原点(0，0)的距离.3.向量垂直的坐标表示我们已经知道平面上两个向量b =(x 2，y 2)，a =(x 1，y 1)共线的充要条件：x 1y 2-x 2y 1=0.由数量积的定义看，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，已知两向量垂直的充要条件是a ·b =0，可得a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.学法一得 公式x 1x 2+y 1y 2=0是判定两个向量垂直的条件，在实际中可通过它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形等.4.用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角 设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，由数量积的定义 a ·b =|a ||b |cos θ，得cos θ=||||b a ba ∙，即cos θ=222221212121y x y x y y x x +∙+++.学法一得 利用此公式，可直接求出两向量的夹角. 典题•热题知识点一 平面内两点间的距离公式例1 已知A(-3，4)，B(5，2)，则||=___________. 解：直接利用公式.|AB |=172)42()35(22=-++. 也可先求，再求||.∵=(5，2)-(-3，4)=(8，-2)，∴||172)2(822=-+=.知识点二 两个非零向量的数量积与垂直例2 已知四边形ABCD 的顶点分别为A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)， 求证：四边形ABCD 是正方形. 证明：∵A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，∴AB=(5-2，4-1)=(3，3)，DC =(2+1，7-4)=(3，3). ∴=，从而四边形ABCD 为平行四边形. 又∵=(-1-2，4-1)=(-3，3)，=(3，3)， ∴·=(-3，3)·(3，3)=-9+9=0. ∴⊥.∴平行四边形ABCD 为矩形.又∵AB =(3，3)，AD =(-3，3)，∴|AB |=|AD |=23. ∴矩形ABCD 为正方形.例3 在△ABC 中，=(2，3)，AC =(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.思路分析：由于没指出哪个内角是直角，故需分别讨论，借助向量减法的运算法则求出△ABC 中一边BC 对应的向量，再用两个向量垂直的条件，构造出k 的方程，从而求出k 的值. 解：(1)当∠A=90°时，∵·AC =0， ∴2×1+3k=0.∴k=32-. (2)当∠B=90°时，=-=(1-2，k-3)=(-1，k-3)， ∵·=0，∴2×(-1)+3(k-3)=0.∴k=311. (3)当∠C=90°时，∵AC ·BC =0，∴-1+k(k-3)=0，即k 2-3k-1=0.∴k 1=2133-或k 2=2133+. 综合(1)(2)(3)可知k 的值为k=32-或k=311或k=2133±.例4 如图2-4-5，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，使∠B=90°，求点B 和向量的坐标.图2-4-5思路分析：关键是求出B 点的坐标，设B(x ，y)，由⊥和||=||，则可列出x 、y 的方程组，解方程组，则可求得x 、y ，再求的坐标. 解：设B 点坐标为(x ，y)，则OB =(x ，y)，AB =(x-5，y-2). ∵⊥，∴x(x -5)+y(y-2)=0，即x 2+y 2-5x-2y=0. ① 又||=||，∴x 2+y 2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29. ②解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==23,2711y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.27,2322y x∴B 点坐标为(27，-23)或(23，27). ∴AB =(-23，27-)或AB =(27-，23).方法归纳 本题是构造方程的题目，主要是用两个向量垂直的条件、向量的减法、向量的模的定义，紧紧抓住“等腰”“直角”两个条件，把方程组列出来.在解方程组时，应注意代入消元思想的运用. 知识点三 用平面向量数量积求实数例5 设I 为△ABC 的内心，AB=AC=5,BC=6,=m +n BC ,求m 和n 的值.图2-4-6解：如图2-4-6，建立坐标系.由题意知A(0,4),B(-3,0),C(3,0),因为I 为△ABC 的内心，AB=AC ，所以点I 在y 轴上，设其坐标为I(0,k). 又=(-3,-4),BC =(6,0)，因为点I 在∠ABC 的平分线上，所以BI 与BA 及BC 的单位向量的和向量共线.设这个和向量为u ， 则u =(54,53)+(1,0)=(54,58).u 的单位向量u 0=(51,52)，它与BI 的单位向量相等，BI =(3,k)，由此得方程29352k+=.解方程得k=23(另一负根不合题意，舍去). 所以，=(0,23-4)=(0,25-).又AI =m AB +n BC ，故(0,25-)=m(-3,-4)+n(6,0)，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-.524,063m n m 解得m=101,n=201. 方法归纳 利用平面向量的数量积的坐标表示及其运算律可用来证明几何问题，它一般分为三步：一是建立适当的坐标系，用点的坐标表示几何关系；二是进行向量的坐标运算；三是还原为几何结论.例6 平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),且⊥，求实数m 、n 的值.思路分析：因为A 、B 、C 三点共线，所以=λ；由⊥,知·=0，由上述两个关系列出方程，可求得m 、n 的值.解：因为A 、B 、C 三点共线，所以=λ.因为=-=(7,-1-m),=-=(n+2,1-m),所以(7,-1-m)=λ(n+2,1-m),即⎩⎨⎧-=++=).1(1),2(7m m n λλ所以mn-5m+n+9=0. ① 由·=0，得m-2n=0, ② 由①②得m=6,n=3或m=3,n=23. 方法归纳 解决此类问题，主要是利用平行、垂直的条件列出方程，通过解方程使问题解决，体现了方程思想的运用.知识点四 用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角 例7 已知向量a =e 1-e 2，b =4e 1+3e 2，其中e 1=(1，0)，e 2=(0，1). (1)试计算a ·b 及|a +b |的值； (2)求向量a 与b 夹角的余弦.思路分析：根据条件，先求出a 与b 的坐标，然后根据数量积的定义、模以及夹角的运算公式求解. 解：(1)a =e 1-e 2=(1，0)-(0，1)=(1，-1)， b =4e 1+3e 2=4(1，0)+3(0，1)=(4，3). ∴a ·b =4×1+3×(-1)=1， |a +b |=29425)13()14(22=+=-++.(2)由a ·b =|a ||b |cos θ，∴cos θ=102521||||=∙=∙b a b a . 例8 平面内有向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点M 为直线上的一动点. (1)当·取最小值时，求OM 的坐标； (2)当点M 满足(1)的条件和结论时，求cos∠AMB 的值.思路分析：因为点M 在直线OP 上，向量OM 与共线，可以得到关于OM 坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得OM ，而cos∠AMB 是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决.图2-4-7解：(1)OM =(x ，y)， ∵点M 在直线OP 上，∴向量OM 与OP 共线.又OP =(2，1)，∴x·1-y·2=0，即x=2y.∴OM =(2y ，y). 又=-OM ，OA=(1，7)，∴=(1-2y ，7-y). 同理,=-OM =(5-2y ，1-y).于是，·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y 2-12y+5+y 2-8y+7=5y 2-20y+12.由二次函数的知识，可知当25220=⨯--=y 时，·有最小值-8，此时OM =(4，2). (2)当OM =(4，2)，即y=2时，有=(-3，5)，=(1，-1)， ||=34，||=2，MA ·MB =(-3)×1+5×(-1)=-8，171742348-=∙-=. 方法归纳 与最值有关的问题，往往是先选取适当的变量，建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式)，通过求函数最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等. 问题•探究 误区陷阱探究问题 我们前面学习了两个向量的数量积、向量同实数的积、实数之间的运算，一个是向量乘向量，一个是数乘向量，一个是实数乘实数，三者有很大区别.具体说它们有哪些差别？探究过程:根据定义，两个向量的数量积等于这两个向量的模与两个向量夹角余弦的积，向量的模与两个向量夹角的余弦值均为实数，所以两个向量的数量积是一个实数，不是向量，不再具有方向，其符号由cos θ的符号所决定.向量同实数的积相当于将向量伸长或缩短了若干倍，其方向与原向量的方向相同或相反.两个向量的数量积称为内积，写成a ·b ；今后还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若a ≠0，且a ·b =0，则b =0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b=0，不能推出b=0.因为其中cos θ有可能为0.现有实数a 、b 、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a ·b =b ·ca =c ，如图2-4-8，a ·b =|a ||b |cos β=|b ||OA |，b ·c =|b ||c |cos α=|b ||OA |，∴a ·b =b ·c ，但a ≠c .这些都是与实数运算不一样的地方，应该特别注意，防止出错.图2-4-8探究结论:两个向量的数量积是向量乘向量，其结果为向量同实数的积、实数之间的运算，一个是数乘向量，一个是实数乘实数. 思维发散探究问题 设a 、b 是不相等的实数，试探求证明不等式(a 4+b 4)(a 2+b 2)>(a 3+b 3)2的方法.探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法，即求出不等式两边式子的差，再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示，因此可以根据不等式结构构造向量,利用向量知识来达到证明不等式的目的. (a 4+b 4)(a 2+b 2)-(a 3+b 3)2=a 6+b 6+a 4b 2+a 2b 4-a 6-b 6-2a 3b 3=a 4b 2+a 2b 4-2a 3b 3 =a 2b 2(a 2-ab)+a 2b 2(b 2-ab)=a 2b 2(a-b)2.由于a 、b 是不相等的实数，则(a 4+b 4)(a 2+b 2)-(a 3+b 3)2=a 2b 2(a -b)2>0，即(a 4+b 4)(a 2+b 2)>(a 3+b 3)2. 思想方法探究问题 如右图，将向量a =(2，1)围原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标是多少？图2-4-9探究过程:可设向量b 的坐标为(x ，y)，然后根据两向量的长度相等和两向量的夹角公式列出关于x 、y 的方程组解之即可. 具体步骤如下：设b =(x ，y)，由已知条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=∙=,4cos |||||,|||πb a b a a b代入坐标得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,2252,522y x y x 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==223,22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==22,223y x (舍去). 故b =(22,223). 探究结论:函数与方程思想的核心是构造函数，利用函数的性质和图象，或构造方程(组)解方程(组)，利用方程与函数的有关知识解题.由于向量的某些运算性质与实数的运算性质类似，因此可以将向量的一些等式看作以这个向量为未知数的方程，运用解方程的一些方法求这个向量.此外，本章中向量的代数运算和坐标运算的桥梁也是方程，利用向量相等或向量的运算性质构造方程(组)、解方程(组)使问题得以解决.在求字母的范围时，也可以利用函数与方程的思想，构造函数，求函数的值域，以达到求字母范围的目的.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标：1.能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；2.理解并掌握两个向量垂直的条件。
学习过程：
探究1、已知两个非零向量),(11y x =，),(2
2y x b =，怎样用a 与b 的坐标表示数量积b a ⋅呢？
小结1、若),(),,(2211y x b y x a == 则=⋅______ _；
探究2、探索发现向量的模、夹角、垂直的坐标表示
(1)若),(y x a =，如何计算向量a 的模||a 呢？
(2)若A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，如何计算向量AB 的模（两点A 、B 间的距离）呢？
小结2、（1）长度的坐标表示 ①设),(y x a =， 则 =||a __________
②设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则=||AB
(2) 夹角、垂直的坐标表示 设),(11y x a =，),(22y x b = ①=
=cos θ ； ②⇔⊥ ；③⇔b a || ；
注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直.
例1、已知)1,2(-=)2,3(-=，求)2()3(b a b a -⋅-
例2、在ABC ∆中，设),1(),3,2(k A A == 且ABC ∆为直角三角形，求k 的值
例3、设212134,e e b e e a +=-=，其中)0,1(1=e ，)1,0(2=e
(1)试求b a ⋅及||b a +的值；(2)求a 与b 的夹角大小.
课堂练习：
1、若)2,1(),2,2(-=-= ，则 =-⋅-)23()(b a b a
2、已知向量)3,2(),1,1(-==，若k 2-与a 垂直，则实数k =__________
3、已知A 、B 、C 是平面上的三个点，其坐标分别为)1,0(),1,4(),2,1(-C B A .那么AC AB ⋅=__________，=∠ACB _________， ABC ∆的形状为__________ 思维拓展：
1、与)4,3(=a 垂直的单位向量是__________
2、已知向量)1,2(-=，)1,(λ=b ，若a 与b 的夹角为钝角,求λ的取值范围；
3、已知a 与b 同向，)2,1(=b ， 10=⋅b a ，
(1)求向量a 的坐标；(2)若)1,2(-=c ，求a c b ⋅⋅)(。