3.7 频域抽样理论
3.7取样定理及其应用
3.7 连续信号的抽样定理 抽样定理的工程应用 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t ) f (t )
抗混叠 滤波器
H ( jω ) 1 0
ω
f1 (t )
F ( jω ) 1 − ωm
F1 ( jω ) 1
0
ωm ω
− ωm
0
ωm
ω
3.7 连续信号的抽样定理 当频谱无限宽，最高频率 无法定，人为定后， 当频谱无限宽，最高频率fm无法定，人为定后，恢 复有误差； 复有误差；
π ∞ Tω = ∑ s m f ( nT s ) Sa [ω m ( t − nT s )] π n = −∞
n = −∞
当抽样间隔
1 Ts = 2 fm
时，上式可写为
f (t ) =
n = −∞
∑
∞
f ( nT s ) Sa ( ω m ( t − nT s ))
3.7 连续信号的抽样定理
ห้องสมุดไป่ตู้
f s (t )
F ( jω ) = Fs ( jω ) ⋅ H ( jω )
H(jω)为理想低通滤波器的频率特性： 为理想低通滤波器的频率特性： 为理想低通滤波器的频率特性
Ts H ( jω ) = 0
ω ≤ ωm ω > ωm
f (t ) = f s (t ) * h (t )
h(t ) = F [ H ( jω )]
Ts
t
− ωs
ωs F1 ( jω )
ωs
ω
ω s = 2ωm
0
ω
3.7 连续信号的抽样定理 2. f(t)的恢复 的恢复
由样值函数f 及其频谱 及其频谱F 图形可知， 由样值函数 s(t)及其频谱 s(jω)图形可知，样值函数 s(t)经过一 图形可知 样值函数f 经过一 个 截 止 频率 为ω 低通 滤波器 个截 止频 率 为 m 的 理想 低通滤 波器 ， 就可 从 Fs(jω) 中 取出 F(jω)，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号f(t) ，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号
信号的频域分析及采样定理
专题一 信号的频域分析及采样定理
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信号的频域分析及采样定理
信号的分类 确定性信号的特性
连续信号的时域分析
连续信号的频域分析 离散信号的频域分析 信号的时频对应关系 采样定理
信号的频域分析及采样定理——信号的分类
x(t )
x(t ) h(t )
y(t )
信号的频域分析及采样定理 ——连续信号的时域分析 x(t) LTI y(t)
h(t)
y(t ) x(t ) h(t )
卷积的物理意义：线性时不变系统的零 状态响应等于系统的输入同系统的单位 冲激响应之卷积。
信号的频域分析及采样定理 ——连续信号的时域分析
卷积的性质
x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x1 (t )
x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )] x1 (t ) x2 (t ) x1 (t ) x3 (t )
[ x1 (t ) x2 (t )] x3 (t ) x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )]
若分解成三角函数或指数函数集，则为“傅 里叶级数”
信号的频域分析及采样定理 ——连续信号的频域分析 三角形式的傅里叶级数
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1
经三角变换：
f (t ) a0 cn cos n1t n） （
信号的频域分析及采样定理 ——确定性信号的特性 时域和频域
不同频率信号的时域图和频域图
信号分析的基本思想：将一复杂信号分解为若
《频域采样定理》课件
结论
频域采样定理对信号处理具有重要意义，我们总结了它的重要性，也提出了 该领域未来的发展趋势。 此外，我们补充了相关领域的研究方法，为进一步深入研究提供了方向。
参考文献
• Nyquist，H.（1928）Thermal agitation of electric charge in conductors。Physical Review. 32(1):110–113 • Shannon，C. E. (1949). Communication in the presence of noise. Proceedings of the IRE, 37(1), 10-21.
采定理的推导
为了理解采样定理，首先需要了解采样的基本过程以及与频域采样定理的联 系。 我们将阐述采样定理的推导过程及相关公式，并详细讨论Nyquist采样定理。
应用
频域采样定理在通信领域中有着广泛的应用，它可以保证信号在传输过程中 不失真。
此外，频域采样定理也在音频与视频处理、DAC与ADC芯片的设计与应用中发 挥着重要作用。
《频域采样定理》PPT课 件
欢迎来到本次《频域采样定理》的PPT课件。本次课件将深入浅出地介绍频域 采样定理的概念、推导、应用及未来发展趋势。
什么是频域采样定理
频域采样定理是指在信号采样过程中，要使得信号能够完全还原，采样频率必须满足一定的条件。 这一定理与信号重构密切相关，我们将探讨其原理和应用。
《频域抽样定理》课件
频域抽样定理是信号处理中的重要概念，用于描述信号在频域和时域之间的 相互转换关系。
频域抽样定理的公式及原理解 析
频域抽样定理通过公式和原理解析来说明在频域中如何对信号进行采样，以 便在时域中进行准确重构。
频域抽样定理的应用领域
音频信号处理
频域抽样定理广泛应用于音频信号的压缩、 编码和解码等处理过程。
3
更广阔的应用领域
随着技术的不断推进，频域抽样定理将在更多领域中发挥作用，如虚拟现实、人 机交互等。
结论及展望
频域抽样定理作为信号处理的重要基础理论，为实现高效、精确的信号处理和数据分析提供了强有力的 支持。 未来，我们可以期待频域抽样定理在更多领域的应用和发展，助力科技和人类社会的进步。
பைடு நூலகம்
频域抽样定理在处理非平稳信号和信噪比 低的情况下可能存在一定的误差和限制。
频域抽样定理的实际案例分析
无线通信
频域抽样定理在无线通信中的信号调制和解调 过程中起到了至关重要的作用。
医学成像
利用频域抽样定理，可以实现医学图像的采集、 处理和诊断，促进医学成像技术的进步。
音频压缩
频域抽样定理被广泛应用于音频压缩算法中， 实现了音频数据的高效传输和存储。
通信系统
频域抽样定理在调制解调、通信信道的分析 和设计等各个方面都起到了重要的作用。
图像处理
通过频域抽样，可以对图像进行压缩、增强 和恢复，为图像处理提供强大的工具。
信号分析与识别
利用频域抽样进行信号分析和识别，可以提 取信号特征并实现模式识别。
频域抽样定理的优势和局限性
1 优势
2 局限性
频域抽样定理可以实现高效的信号处理和 数据压缩，提高系统的性能和效率。
抽样定理
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。
E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。
此外，V。
A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。
采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。
采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。
如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。
限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。
抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。
大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。
抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。
抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。
1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。
1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。
抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。
§3.7 取样定理
(2) 需解决的问题
时域抽样简图
信号经抽样进行离散化、数字化，是为了传输、 处理的方便，最终还是要还原为原来的信号。 由 fs(t)能否恢复 f(t)？即信号被抽样后是否携带 了原来信号的全部信息？ Fs( jω)与F( jω)的关系
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信号与系统 连续 信号
电子教案
(4) 冲激抽样信号频谱的混叠
取样信号
①ωs > 2ωm 不发生混叠 ωm 原信号最大
角频率； ωs 抽样角频率。
②ωs=2ωm
＞2
不发生混叠 ③ωs < 2ωm 发生混叠
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信号与系统
电子教案
(5) 冲激抽样的物理意义
抽样
取样信号
① 抽样信号 fs(t) 的频谱Fs( jω) 是原信号频谱 F ( jω) 的周期性重复，每隔ωs 重复出现一次。
信号与系统
电子教案
例1：一连续信号频谱如下图示，若对此信号进行理想抽样 抽样时间间隔 Ts ，试画出抽样后信号的频谱图。 0.25 s 解： 信号经过理想抽样后频谱的表达式为
1 Fs ( j ) Ts
n
F j( n )
s
抽样周期 Ts 0.25 s ， s
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信号与系统
电子教案
(4) 抽样的物理意义
抽样 频谱周期性重复
抽样
ns Fs ( j ) Sa( )F [ j ( ns )] Ts n 2
抽样是无限重复复制原信号频谱的过程，抽样 信号频谱重复间隔为抽样频率fs ，其频谱所占的频 带几乎是无限宽，但抽样信号脉冲幅度以Sa函数的 2π 1 规律变化。
3.频域抽样及DFT应用
频域抽样及DFT 应用实验目的：1.理解频域抽样定理，能在MATLAB 中实现频域抽样并验证频域抽样定理；2.掌握利用DFT 计算DTFT 抽样点并近似绘制X(e j Ω)曲线的方法；3.掌握利用DFT 计算线性卷积方法。
实验原理：一、信号的频域抽样根据频域抽样定理，若对序列x[k]的频谱X(e j Ω)按间隔02/N πΩ=进行离散化得到序列[]X m ，则[]X m 对应的时域序列[]x k 是[]x k 以N 为周期的周期化序列[]N xk 。
当x[k]是长度为L 的有限长序列，且满足N L ≥时，则时域周期化过程中没有混叠，即周期化后的序列在主值周期区间与原序列数值相同，此时可无失真恢复原序列。
当不满足N L ≥时，则时域周期化时序列样本点将会重叠。
例：已知序列x[k]={2,3,3,2; k=0,1,2,3}，对其频谱X(e j Ω)进行抽样，分别取N=4，8，3观察其抽样后频谱的差别。
计算X(e j Ω)并绘出序列的幅度谱图|X(e j Ω)|： x=[2,3,3,2];L=4; N=256;omega=[0:N-1]*2*pi/N;X0=2+3*exp(-j*omega)+3*exp(-2*j*omega)+2*exp(-3*j*omega);%确定频谱值 plot(omega./pi,abs(X0));%绘制连续频谱图 xlabel('Omega/PI'); hold on分别以N=4、8、3进行频域抽样，并求其对应时域还原序列： N=input('请输入频域抽样点数N 的值：'); omegam=[0:N-1]*2*pi/N;Xk=2+3*exp(-j*omegam)+3*exp(-2*j*omegam)+2*exp(-3*j*omegam);%确定离散抽样频谱值stem(omegam./pi,abs(Xk),'r','o');%定义曲线色彩为红色，点型为空心圆，绘制离散频谱图 hold offx1=ifft(Xk);% ifft 函数实现由频域抽样点计算其对应时域序列 figure(2);stem(0:N-1,x1)二、用DFT 计算DTFT 抽样点并近似绘制X(e j Ω)曲线有限长序列x [k ]的DFT （离散傅里叶变换）X [m ]是其DTFT （离散时间傅里叶变换）X(e j Ω)在一个周期[0,2π)的等间隔抽样。
频域采样定理
频域采样定理
频域采样定理是数字信号处理的基本定理之一。
对于有限时宽序列x(n)的周期连续频谱X(e'`})进行均匀取样，当一个周期内的取样点数N大于或至少等于x(n)的有限时宽时，则有可能从频谱样点X(k)中无失真地恢复原来的周期连续频谱。
频域取样定理之所以重要，在于它揭示了连续周期频谱与离散周期频谱之间的内在联系。
如果已知一个信号的频谱，只要符合频域取样定理，对它进行频率取样，则有可能利用数字的方法求得相应的信号，从而为数字信号处理技术开拓了新的途径。
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
频域抽样定理
零点：z
e
j
2 N
r，r
0,1,...,
N
1
极点：z
e
j 2 N
k，
0
(N -1)阶
4、用频域采样 X (k) 表示 X (e j ) 的内插公式
N 1
X (e j ) X (z) ze j X (k )k (e j )
k 0
k (e j ) k (z)
( k 2 )
ze j
x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M
1) N≥M ，不失真 2) N<M， 混叠失真
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
时，才有
NM
xN (n)RN (n) IDFS[ X (k)]RN (n) x(n)
即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号x(n) ，否则产生时域混叠现象。
k 0 m
m
x(m)[ 1 N
N 1
W (mn N
)
k
]
k 0
x(n rN )
r
1
N
N 1
W (mn)k Nk 0Fra bibliotek1 0
m n rN 其它m
r为任意整数
可见，由 X~ (k)得到的周期序列 x~N (n)是非
周期序列x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点 数N。
所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓
1 N
N 1 k 0
X
(k
)
1 WN Nk 1 WNk
zN z 1
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插公式：X (z)
《频域抽样定理》课件
这对于数字信号处理、通信系统等领域具有重要意义，因为在实际应用中，我们 通常需要处理的是离散时间信号。通过频域抽样定理，我们可以将连续时间信号 转换为离散时间信号，从而方便进行数字信号处理和传输。
复。
实验二：通过数字信号验证频域抽样定理
要点一
总结词
要点二
详细描述
数字信号具有精度高、稳定性好的优点，通过数字信号验 证频域抽样定理可以更精确地验证定理的正确性。
实验二采用数字信号源，通过数字合成方法生成各种复杂 度的信号。在采样过程中，利用高精度计时器和数据采集 卡进行采样。实验结果表明，当采样频率满足抽样定理的 条件时，信号在频域能够得到精确的恢复。
升。
THANKS
感谢观看
频域抽样定理在数字信号处理中广泛应用于信号的频谱分析 和重构。通过对信号进行频谱分析，可以得到信号的频率成 分和幅度信息，从而对信号进行滤波、调制和解调等操作。
在频域抽样定理的指导下，可以对信号进行离散化处理，将 连续的频谱转换为离散的频谱，便于数字信号处理器的计算 和存储。
在通信系统中的应用
在通信系统中，频域抽样定理用于信号的调制和解调。通 过将信号的频谱进行离散化处理，可以将模拟信号转换为 数字信号，便于数字通信系统的传输和处理。
非均匀抽样的频域抽样定理
总结词
非均匀抽样的频域抽样定理描述了如何在非均匀频率域进行抽样以重建信号。
详细描述
在实际应用中，信号的频率成分可能在不同频率上具有不同的重要性。非均匀抽样的频域抽样定理允许在频域内 进行非均匀抽样，以便更有效地表示和重建信号。这种非均匀抽样可以提高信号处理的效率和精度。
六节抽样z变换频率抽样理论
（6）例子--2
• 解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时 域延拓相加……,时域延拓旳周期个数等 于频域旳抽样点数N=5，因为N=M，所 以时域延拓恰好无混叠现象。
（6）例子--3
• 按N=4时进行抽样，因为N=4，而序列长度为 M=5，N<M,时域延拓后产生混叠现象。（原 信号为红色，延拓取主值区间后旳恢复信号 为兰色。）
• 各 抽 样 点 之 间 旳X(ejw) 值, 则 由 各 抽 样 点 旳加权内插函数在所求点上旳值旳叠 加 而 得到.
• 频 率 响 应 旳 内 插 函 数(w) 具 有 线 性 相 位.
第七节 DFT旳应用
一、引言
• FT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统 分析、通讯理论方面有广泛旳应用。
• y(n)是鼓励经过系统后旳响应,即 y(n)=x(n)*
h(n).
4）圆卷积替代线卷积 旳实现措施---2
• 取L ≥N1+N2-1情况下,圆周卷积替代线性 卷
积旳实 际 实 现 旳 框 图 如 下
x(n) L点DFT
L点DFT y(n)
h(n)
L点DFT
• 上图根据旳是圆周卷积定理,做旳是圆周卷 积.然而因为L选用符合条件, 因而成果是 与 线性卷积成果一致旳.
• 所以利用圆周卷积定理计算圆周卷积比计算线性卷
积旳计算速度快得多.
h(n)
• 实际问题中x(n)
线性时不变系统
y(n)=x(n)*h(n)
• 即信号经过线性时不变系统h(n)后旳响应y(n)是线 性卷积运算.
• 想：若做卷积旳两序列都是有限长序列,能否用它 们旳圆周卷积成果替代它们旳线性卷积成果呢?即 圆周卷积与线性卷积旳关系是什么?
频域采样定理的基本内容
频域采样定理的基本内容频域采样定理，这个名字听起来挺复杂，但其实道理非常简单。
想象一下，你在听音乐，音符从乐器中跳出来，旋律在空中飞舞。
声音其实就是一种波，频率高的音符像小鸟一样欢快，频率低的音符则像大象一样沉稳。
频域采样定理就是教我们如何在数字世界里捕捉这些声音的秘密。
就像渔夫撒网捕鱼，撒得太慢会漏掉很多鱼，撒得太快又可能把鱼吓跑。
频域采样定理就告诉我们，采样的频率必须高于信号中的最高频率的两倍，这样才能完整无缺地抓住所有音符。
嘿，你知道吗？如果采样不够，那就像是做了一锅稀饭，吃起来没滋没味。
很多人以为只要随便采样就好，其实这可是个大误区。
要是采样频率低了，信号就会变得模糊不清，像是看了一部坏掉的老电影，画面全是马赛克，让人看得眼花缭乱，毫无美感可言。
想要清晰的声音，得遵循这个定理。
这就像做菜，要遵循食谱，才能做出美味的菜肴。
频域采样定理就是那本秘密食谱，让我们在数字音频的世界里游刃有余。
再说说奈奎斯特，这位科学家可是频域采样的“大腕儿”。
他提出了这个定理，简直就像给了我们一把打开音频世界大门的钥匙。
想象一下，他坐在那里，轻松自如地解析音频信号，就像在解锁一个个神秘的宝藏。
要知道，如果没有奈奎斯特的这番功夫，我们可能现在还在用模拟信号听音乐，想象一下，那种滋味可真不好受。
人们的耳朵和心灵都得不到满足，简直就是一种折磨。
现在，我们都知道要采样，但是如何采样呢？这就涉及到采样定理的另一面。
想象一下，你在拍照，光线不够，你的照片就会模糊不清。
同理，采样的时候也需要考虑信号的幅度。
如果信号太强，超出了我们的采样范围，那结果就像一位热情的朋友，结果把你淹没了。
为了避免这种情况，很多工程师会采取一些措施，比如使用滤波器来限制信号的频率范围。
就像是给音乐加上了一个美丽的滤镜，瞬间变得更动人。
在实际应用中，这个定理可真是无处不在。
听音乐、打电话、甚至看视频，背后都有这个定理在默默支持。
想象一下，你在街上走，听着耳机里的歌曲，旋律悠扬。
DSP 3.7-3.8 频域抽样理论
时 域 抽 样 ： fs 2 fh 频 域 抽 样 ： F0 1 / T 0
N
T0 T
fs F0
26
澡身浴德 修业及时
信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
N T0 T fs F0
则 fs
要 增 加 信 号 最 高 频 率 fh 当N给定
F0 必 ， 即 分 辨 率
要 提 高 频 率 分 辨 率 ， 即 F0
当N给定 则T fs
F0 要 不 产 生 混 叠 ， f h必
则 T0
1
同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采 样点数N。
27
澡身浴德 修业及时
信 号 最 高 频 率 f h的 确 定
t0 Th / 2
fh
1 Th
1 2t0
dt
n
x (nT )e
T
2）将 x ( n )截短成有限长序列
X ( j ) T
t 0 ~ T 0， N 个 时 域 抽 样 点
j n T
N -1
x (nT )e
n0
3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 F 0 ，时域周期延拓 周期为T 0 1 / F 0 2 F
实验四时域抽样与频域抽样
实验四 时域抽样与频域抽样一、实验目的加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理的基本内容。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、 实验原理时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率sam f 大于等于2倍的信号最高频率m f ，即m sam f f 2≥。
时域抽样是把连续信号x (t )变成适于数字系统处理的离散信号x [k ] ；信号重建是将离散信号x [k ]转换为连续时间信号x (t )。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。
计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。
三．实验内容1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
)102cos()(1t t x ⨯=π)502cos()(2t t x ⨯=π)0102cos()(3t t x ⨯=π（1）t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*10*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs = 50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*10*t);stem(t,x);hold offtitle('x1(t)及其抽样信号')（2）t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*50*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs = 50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*50*t);stem(t,x);hold offtitle('x1(t)及其抽样信号')（3）t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*100*t0); plot(t0,x0,'r')hold onFs = 50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*100*t);stem(t,x);hold offtitle('x1(t)及其抽样信号')x 1(t)的最高谐波频率是10，x 2(t)最高谐波频率是50，x 3(t)的最高频率是100，根据采样定理，采样频率至少是最高频率的两倍，题目给出的采样频率是50hz ，大于x 1(t)的最高谐波频率的两倍，但是小于x 2(t)和x 3(t)的最高谐波频率的两倍，所以对后面两个信号的采样已经失真。
§3.7信号抽样与抽样定理
结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。
信号与系统
三、连续时间信号的重建
注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。
原因
有限时间内存在的信号， 其频谱理论上是无限宽的
解决方法
在信号被抽样之前，首先通过低通滤 波器（称为防混叠低通滤波器）
理想低通滤波器无法实现
实际中的抽样一般是 平顶的矩形脉冲抽样
Fs() F()( ns)
n
F(ns)(ns)
n
假设 FS(ω) 对应的时间信号为 fs (t) ，则有
f
s
(t)
1
s
n
f (t nTs)
说明：
频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时
间只占据(tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值F(ns
周期重复，在此情况下，只有满足条件 s 2m 各频移的频谱才不会
相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息，完 全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t)
。
如果 s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频
谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这 种现象称为频率混叠现象。
信号与系统
二、时域抽样定理
f (t)
F()
0
t
m 0 m
fs (t)
(a) 连续信号的频谱
Fs ()
0Ts
t
s
m 0 m
(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱
s
fs (t)
3.7 抽样z变换
=
n=−∞
∑ x(n)W
∞
nk N
——电子信息工程 电子信息工程
% % 令xN (n)为X (k)的IDFS：
% (k)] = 1 ∑X (k)W−nk % % xN (n) = IDFS[ X N N k=0 N−1 ∞ 1 mk − = ∑[ ∑ x(m)WN ]WN nk N k=0 m=−∞ ∞ 1 N−1 (m−n)k = ∑ x(m)[ ∑WN ] N k=0 m=−∞ = ∑ x(n + rN)
2π ) N
4π ) N
∑ X (k )Φ(ω − 2πk / N )
0
1, Φ(ω − 2πk / N ) = 0,
ω = 2πk/N = ω k ω = 2πi/N = ω i , i ≠ k
2π 4π 6π N N N
ω
所以在每个抽样点上 X ( e jω )就精确地等于 X ( k ), 各抽样点之间的 X ( e jω )值 由各抽样点的加权差值 函数 [ X ( k )Φ (ω − 2πk / N )]在所求 ω 点上的值叠加 得到 .
所以： 所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓 同样， • x(n)为无限长序列 混叠失真 为无限长序列—混叠失真 为无限长序列 • x(n)为有限长序列，长度为 为有限长序列， 为有限长序列 长度为M
1 N ≥ M，不失真 ）
2 N < M，混 ） 叠失 真
——电子信息工程 电子信息工程
——电子信息工程 电子信息工程
例：已知因果序列 x ( n) = {1, 2, 3, 2, 1, 0, − 3, − 2}, X (e jω ) = DTFT [ x ( n)] 2π jω k jω X (e ) = X (e ) |ω =ω k , ω k = k , k = 0, 1, 2, 3, 4 5 y( n) = IDFT [ X (e jω k )], n, k = 0, 1, 2, 3, 4 设 试写出 y( n)与x ( n)之间的关系式。 之间的关系式。
3.7取样定理及其应用
2 s 2f s (t ) Ts
由于 p(t) 是周期信号，可知 p(t) 的傅立叶变换为：
P( j ) 2
n
F ( n )
n s
1.矩形脉冲的取样
其中：
1 Fn Ts
Ts 2 Ts 2
p(t )e
jn s t
n s dt Sa( ) Ts 2
n
n
f (nT ) (t nT )
s s
n
(t nT )
s
F[ j ( n )]
s
冲激信号的取样示意图
f (t )
FT
0
1
p( ) s
F ( )
时 域 抽 样
P (t ) (1)
0
T (t )
n
(t nT )
Tsm f (nTs ) Sa[m (t nTs )] n
n
当抽样间隔
1 Ts 2 fm
时，上式可写为
f (t )
n
f (nT )Sa(
s
m
(t nTs ))
信号的恢复
f s (t )
Fs ( j )
0
h(t )
Ts
取样信号
• 问题：
1)取样后离散信号的频谱是什么样的？ 它与未被取样的连续信号的频谱有什 么关系？
2)连续信号被取样后，是否保留了原信 号的所有信息？即在什么条件下，可 以从取样的信号还原成原始信号？
取样信号 连续
取样 还原(有条件) 离散
自然取样 (矩形取样)
时域 理想取样 (冲激取样)
信号的采样及频率混叠现象分析
信号的采样及频率混叠现象分析
摘要
伴随着计算机技术的发展和广泛应用，信号分析与处理理论作为一门新兴学科，正 受到越来越多的关注。测试信号采样分析是信号分析的重要内容之一，它具有复杂性和 抽象性。本文详细介绍了信号方面的相关知识，以及基于Matlab 进行信号采样及频率 混叠现象分析的方法。
信号的采样及频率混叠现象分析
ANALYSIS OF SIGNAL SAMPLING AND FREQUENCY ALIASING PHENOMENON
Abstract
With the development and extensive application of computer technology,Signal analysis and processing theory is more and more being attention as a new subject.Analysising of test signal sampling is an important part of signal analysis,which is complex and abstract. It is described relevant knowledge of the signal sampling and illustrated the Matlab-based Methods of signal sampling and aliasing in the paper.
It is used Matlab software as the main tool in the design, and analysising of signal sampling and aliasing phenomenon. We can observe the change of signal in time domain sampling and frequency domain sampling by changing the sampling rate in the sampling analysis, further analysis, due to insufficient sampling rate cause frequency aliasing. Finally, it is put forward effective measures avoiding the aliasing phenomenon.
644-3-7 抽样Z变换--频域抽样理论
X (e
jk 0T
)
0 x ( nT ) s
k 0
n 0 N 1
N 1
x ( nT )e jnk 0T X (e
jk 0T
)e
jnk 0T
2 2 2 又 0T T 0 Tp s N 因此 X (e
j 2 k N
)
x(nT )e
应是N点的周期序列。
j 2rn 又由于 e e e e 所以求和可以在一个周期内进行，即
2 j ( k rN ) n N
2 j nk N
2 j kn N
~ ~ x nT X k0 e
k 0
N 1
j
2 nk N
这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在 k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。 ~ ~ ~ ~ 考虑到：x (nT ) ~ x (n)，X (k ) ~ X (k )；
e 1 e
j
2 rn N
1 e
e
j
2 r 2 N
e
j
2 r ( N 1) N
j
2 rN N 2 j r N
N (r mN时)
1 e
同样，当
k r pN时，p也为任意整数，则
e
n 0
N 1
2 j ( k r ) n N
N N (0) N [( k r ) pN ]
ik mk ~ x (i)WN WN ik mk ~ ~ x ( i ) W W x (k ) N N
~ * x (i )
和W
ik N
都是以N为周期的周期函数。
三.调制特性