八年级下册(2013年11月第1版)_第五章 分式与分式方程_2. 分式的乘除法
北师版八年级下册数学第5章 分式与分式方程 解分式方程
感悟新知
1.
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
2
x x－3
＋
5 3－2
x
＝4.
知1－练
解：(1)
3＝ x－1
4 x
.
方程两边都乘x(x－1)，得3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
感悟新知
(2)
x 2x－3
＋
3－52 x ＝4.
感悟新知
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程时1，x小亮的1 解法2 如下: x2 2x
方程两边都乘x－2,得 1－x＝－1－2(x－2). 解这个方程，得x＝2.
你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴交流.
知2－讲
感悟新知
归纳
知3－讲
在这里，x＝2不是原方程的根，因为它使得原 分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.
知1－练
感悟新知
例2 解分式方程：
(1) x (2) x2 4
2 x2
1； x2
x1 x1
3 x2 x
. 2
导引：解分式方程的步骤： ①去分母，化分式方程为整式方程； ②解整式方程； ③检验，并写出原分式方程的根．
知1－练
感悟新知
(1) x
2
1；
x2 4 x 2 x 2
解：
x
2 1,
x 2x 2 x 2 x 2
第5章分式与分式方程
5.4分式方程
第2课时解分式方程
学习目标
1 课时讲解
解分式方程 分式方程的根（解） 分式方程的增根
北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.1认识分式5.2分式的乘除法优秀PPT课件
a 1 11 解:(1)当a=1时, 2. 2a 1 2 1 a 1 2 1 1. 当a=2时, 2a 1 4 1 a 1 1 1 0. 当a=-1时, 2a 1 2 1
(2)当分母的值为零时,分式没有 意义,除此以外,分式都有意义.
b by (1) (y≠0); 2 x 2 xy
〔解析〕
(2)
ax a . bx b
据分式的基本性质,分子b 也要乘y,才能得到 2 xy .(2)
b (1) 的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根 2x by
得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知 解:(1)因为y≠0,所以
ax 的分子ax除以x bx ax
的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.
无意义.试求m,n的值.
x m n1 4.对于分式 ，已知当x=-3时,分式的值为0；当x=2时,分式 m 2n 3m
解:∵当x=-3时，分式的值为0,
3 m n 0， m+n -3， 即 m 2n 9 0， m 2n 9.
问题2
如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影
部分的面积是多少?
问题3 这两块阴影部分的面积相等吗?
请看下面的问题:
问题1
如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形
的宽怎么表示呢? 问题2 如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起, 它的宽怎么表示呢? 问题3 两图中长方形的宽相等吗?
2.若分式
2x 1 有意义,则x的取值范围是 3x 5
5 3
.
5 解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠- 5 ,因此x的取值范围是x≠5 填x≠- . 3 3
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程
第五章分式与分式方程1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号意识.2.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的解,发展运算能力.1.经历通过观察、归纳、类比、猜想,从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力,积累类比的活动经验.2.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.培养学生的观察能力和类比意识,培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度.本章主要学习分式的概念、基本性质与运算,分式方程及其应用.分式是代数式的重要组成部分.分式的基本性质与运算法则是代数式恒等变形的重要依据,是有关比例的学习基础.分式与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数等联系密切,在中学数学、物理、化学等学科和生产实践中有着广泛的应用.根据《标准》的要求,本章教科书特别关注了下列几个方面:(1)分式、分式方程是描述现实世界数量关系的模型.在学习分式、分式方程的概念时,教科书通过用字母表示现实情境中的数量关系,丰富了分式、分式方程的实际背景,以帮助学生领会分式、分式方程的模型作用,体会分式、分式方程与现实生活的密切联系.(2)在学习分式的基本性质及其运算法则时,十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用.(3)分式运算的教学重点是运算法则建立的过程和对算理的理解.在分式运算的设计中,教科书适当降低了分式纯运算的难度,只对较简单的分式进行化简、求值与运算.具体地,教科书设计了4节内容:第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式的概念,体会分式的模型作用;通过类比分数的基本性质,理解分式的基本性质.第2节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则,获得分式乘除法的法则,并会用法则进行分式运算.第3节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则,获得分式加减法的法则,并会用法则进行分式运算.第4节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程,分析所列出方程的共同特征,理解分式方程的概念,进而学习怎样解分式方程,并会用分式方程解决简单的实际问题.【重点】1.分式的概念,正确理解分式的基本性质.2.运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算.3.会进行简单的分式加减运算.4.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来;会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性.【难点】1.理解和掌握分式有意义的条件;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形.2.分式乘除法法则的推导.3.确定公分母,分式方程的正确变形,检验根的合理性.4.列分式方程解应用题.1.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,进一步发展符号感.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程是发展学生符号感的重要环节,与以前用字母表示数量关系相比,本章表示量与量之间关系的代数式可以是分式.教学时应鼓励学生独立思考、自主探索问题情境中的数量关系,并运用符号进行表示.在此基础上可根据教学的实际情况组织学生对一些难点问题展开讨论、交流.2.让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则,发展学生的合情推理能力.教科书为学生探索分式运算的法则提供了丰富的素材,教学时应将重点放在对法则的探索过程上,使学生充分活动起来,在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中,发现法则、理解法则、应用法则.同时,还要关注学生对算理的理解,以培养学生的代数表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力.3.解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.在引导学生探索分式方程的解法时,要注意体现这种“转化”的思想.另外,对分式方程的解法,只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程,教学过程中要注意把握这一要求.4.列分式方程解决应用问题比列一元一次方程(组)要稍复杂一些.教学时要引导学生抓住寻找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示等量关系等关键环节.对于常用的数量关系,虽然学生以前大都接触过,但在本章的教学中仍要注意复习、总结,引导学生举一反三,进一步提高分析问题与解决问题的能力.此外,教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,注意检验、理解所获得结果的合理性.回顾与思考1课时1认识分式1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别,会用分式表示生活情境中的数量关系.2.掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法.3.在分数性质的基础上掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质对分式进行变形.让学生观察、分析分式的特点,提高学生分析问题、解决问题的能力.培养学生类比的思维习惯,培养学生严谨认真的科学态度.【重点】分式的概念与基本性质.【难点】分式有意义和分式值为零的条件及其应用.第课时1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.2.了解分式的概念,明确分式与整式的区别.1.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程,了解分式的概念,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.2.使学生经历分析、类比、归纳等活动,培养学生的自学能力,获得学习代数知识的常用方法.1.通过教材土地沙化问题的情境,体会保护人类生存环境的重要性.2.培养学生类比联想的思维习惯.【重点】分式的概念.【难点】理解和掌握分式有意义的条件.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.导入一:【问题】下列式子中哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,.解:a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,是整式;a,-3x2y3,是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.[设计意图]因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.导入二:【问题】学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:(1)面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要个月,实际完成造林任务用了个月.,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?【师生活动】让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.解:(1)(2)-册.[设计意图]让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.一、认识分式思路一(针对导入一)(1)一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为m kg,箱子的质量为n kg,则每千克苹果的售价是多少元?(2)一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?(3)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?根据学生交流、讨论,可得出结果.解:(1)-.(2) kg.(3)-册.2.认识分式问题1刚才这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.它们的共同特征:(1)它们是由分子、分母与分数线构成的;(2)分母中都含有字母.它们与整式的不同点:它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,-,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.问题2分式中,字母可以取任意实数吗?学生领会分式的概念并思考得出:不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.问题3在什么情况下分式的值为0?学生通过类比分数的性质得出:分式的分子为0的时候,分式的值为0.思路二(针对导入二)讨论内容:(针对前面列出的三个代数式)这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?老师提出思考问题:(1)整式中的分母有没有字母?(2)前面的三个代数式中,分母中有没有字母?(3)前面的三个代数式是不是分数呢?(4)前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?(5)前面的三个代数式的值在什么情况下为零?问题预设:学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.2.认识分式根据学生的观察、讨论,老师进行总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.[设计意图]让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.[知识拓展]1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.3.分式的概念包括3个方面:(1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;(2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;(3)在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.二、例题讲解(教材例1)(1)当a=1,2,-1时,分别求分式-的值;(2)当a取何值时,分式-有意义?〔解析〕(1)分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.(2)只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.解:(1)当a=1时,-=-=2.当a=2时,-=-=1.当a=-1时,-=---=0.(2)当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.由分母2a-1=0,得a=.所以当a≠时,分式-有意义.[设计意图]让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度,需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.1.分式的概念.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.2.分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不为0.3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.1.(2015·随州中考)若代数式-+有意义,则实数x的取值范围是()A.x≠1B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠1解析:若代数式-+有意义,则有-解得x≥0且x≠1.故选D.2.若分式-有意义,则x的取值范围是.解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠-,因此x的取值范围是x≠-.故填x≠-.3.若分式-的值为0,则x的值是.解析:在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式-的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.4.对于分式---,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式无意义.试求m,n的值.解:∵当x=-3时,分式的值为0,∴-----即--又∵当x=2时,分式无意义,∴m-2n+3×2=0,即m-2n=-6.解方程组---得-第1课时一、认识分式1.分式初探2.认识分式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第109页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第109页习题5.1的1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式是分式的是()A. B. C.+y D.2.(2015·金华中考)要使分式有意义,则x的取值应满足()A.x=-2B.x≠2C.x>-2D.x≠-23.若分式-的值为0,则()A.x=-2B.x=0C.x=1或-2D.x=14.若分式-有意义,则x的取值范围是()A.x≠3B.x=3C.x>3D.x<3【能力提升】5.使分式--无意义的a的值为()A.2B.-2 C ±2 D.36.若分式--的值为1,则x的值为()A.1B.-2 C ±1 D.27.一项工作,甲单独做x小时完成,乙单独做比甲多用6小时完成,那么乙单独做t小时(t<6)能完成这项工作的()A. B. C. D.-8.下列各式中,可能取值为0的是()A.-B.-C.-D.9.若-的值为正数,则x的取值范围是()A.x<-2B.x<1C.x>-2且x≠1D.x>110.要使分式-的值为负,则x.11.当x时,分式--有意义.【拓展探究】12.把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中,水面高度为 cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为.13.已知当x=1时,分式-无意义;当x=4时,此分式的值为零,求a+b的值.【答案与解析】1.B(解析:由分式的定义可知,分母中含有字母的是分式,注意π为实数,不是字母.故选B.)2.D(解析:分式有意义的条件是分母不为0,则由题意得x+2≠0,则x≠-2.故选D.)3.D(解析:分式值为0的条件是分子为0且分母不为0,所以有-解之即可.故选D.)4.A(解析:分式有意义的条件是分母不为0,即3-x≠0,解之即可.故选A.)5.C(解析:分式无意义的条件是分母为0,即-2=0,解之即可.故选C.)6.D(解析:分式值为1的条件是分子等于分母,且分母不为0,即---解之即可.故选D.)7.C(解析:乙单独做完这项工作需要(x+6)小时,则单独做t小时(t<6)能完成这项工作的.故选C.)8.B(解析:A中分子m2+1>0;B中当m=1时,分子为0,分母不为0,分式的值为0;C中当m=-1时,分子为0,分母为0,分式无意义;D中分子m2+1>0.故选B.)的分母x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以若分式的值为正数,则有x+2>0且x-1≠0,即x>-2 9.C(解析:因为分式-且x≠1.故选C.)的值为负,需使分母3-x<0,即x>3.故填>3.)10.>3(解析:要使分式-有意义,则x2-1≠0,解之即可.故填≠±1.)11.≠±1(解析:若分式--12.无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解13.解:因为当x=1时,分式-得b=-2,所以a+b=1+(-2)=-1.在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻.对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充.在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出来,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们.随堂练习(教材第109页)1.解:(1)当x取1以外的任何实数时,分式都有意义.(2)当x取±3以外的任何实数时,分式都有意义.2.解:当x=0时,-=-.当x=-2时,-=.当x=时,-=0.3.提示: kg.习题5.1(教材第109页)1.解:(2)(4)是整式,(1)(3)是分式.2.提示:(1)x=.(2)x=-2.3.解:当a=-1,b=时,-=--=.-元/kg.4.提示:这箱橘子的零售价至少应定为-5.提示:(1)平均每公顷的棉产量是 kg.(2)这种商品每件的成本是元.易错点考虑问题不全面导致错误已知分式的值为整数,求整数x的所有可能值.-的值为整数,则x-1的值可为1,2,3,6.∴x=2,3,4,7.错解:若分式-的值为负整数时x的值,造成漏解.错因分析:忽略了分式-正解:若分式的值为整数,-则x-1的值可为±6,±3,±2,±1,∴x=7,4,3,2,-5,-2,-1,0.第课时1.能正确理解和运用分式的基本性质.2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.3.会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力.4.增强学生的代数推理能力与应用意识.通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比的思想方法.通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.【重点】理解分式的基本性质,会进行分式的化简.【难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形.【教师准备】预设学生学习过程中容易出错的地方.【学生准备】复习分数的基本性质.导入一:【问题】有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话后,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?这里涉及了分数的基本性质,那么分式也有这样的性质吗?[设计意图]创设故事情境导入新课,激发了学生学习的好奇心,同时复习了分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫.导入二:上节课我们类比整式和分数的概念学习了分式的概念,今天我们来继续学习分式的相关知识,请看下面的问题:问题1如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,则阴影部分的面积是多少?问题2如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影部分的面积是多少?问题3这两块阴影部分的面积相等吗?这个问题同学们会很快说出答案,依据就是分数的基本性质,那么分式是否具有和分数一样的性质呢?[设计意图]提示学生运用类比的思想进行本课时的学习,为学生提供本课时学习方法方面的指导.请看下面的问题.(1)填空:==;==.(2)你认为分式与相等吗?为什么?与呢?与同伴交流.学生独立思考第(1)题,根据分数的基本性质,的分子分母同乘4,可得,的分子分母同时除以2,可得,小组讨论类比第(1)题解决第(2)题.类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗?学生尝试归纳,相互补充,总结得出分式的基本性质.分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.这一性质可以用式子表示为:=,=(m≠0).问题1如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?问题2如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?问题3两图中长方形的宽相等吗?问题4通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到?变形的依据是什么?问题5若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢?学生分析得出答案为.教师进一步追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?问题6若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?问题7能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上补充完善.总结:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.这一性质可以用式子表示为:=,=(m≠0).教师强调:a,b,m均为整式,m≠0.引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一的确定值,在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.[设计意图]一方面提高学生对分式的基本性质的认识,另一方面通过师生归纳,进一步加深对分式基本性质的理解.(1)=(y≠0);(2)=.处理方式:引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路.〔解析〕(1)的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子b也要乘y,才能得到.(2)的分子ax除以x得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知,所以x≠0.解:(1)因为y≠0,所以==.(2)因为x≠0,所以==.(教材例3)化简下列分式:(1);(2)--.处理方式:引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式,利用分式的基本性质,对分式进行化简.〔解析〕(1)的分子和分母均有因式ab,所以根据分式的基本性质,可以同时除以ab,则分式可化为ac.(2)对于分式--,先对分子和分母进行因式分解,x2-1=(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,发现分子分母有公因式x-1,由分式的基本性质可化简.解:(1)==ac.(2)--=--=-.总结:像上面的例3,把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.[知识拓展]1.从已知的两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知,是解决这类题的方法.2.应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题:(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算;(2)所乘或除以的必须是同一个整式;(3)所乘或除以的整式的值应该不等于零.三、做一做化简下列分式:(1);(2).〔解析〕根据分式的基本性质进行化简.解:(1) ==.(2)==.四、议一议在化简时,小颖和小明出现了分歧,小颖认为=,而小明认为==,你对他们两人的做法有何看法?与同伴交流.解:在小明的化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式.小明的做法正确.[知识拓展]化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同时除以同一个整式,使分式的值不变,所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式或整式.[设计意图]通过做一做和议一议,检查学生对分式的约分的掌握情况,对于错误及时指出并纠正.五、想一想与有什么关系?(1)--(2)-,与-有什么关系?-的分子分母都乘-1与相等.解:(1)--与-相等.(2)同样的道理,-与-相等.-分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.[设计意图]通过想一想的设计,让学生掌握分式的符号法则.1.分式的基本性质:=,=(m≠0).(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式的基本性质时,必须注意分式的分子分母同时乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式的基本性质的研究方法:从分数类比到分式,从特殊到一般.2.分子和分母已没有公因式的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.3.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.1.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值()A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的C.不改变D.缩小为原来的解析:此分式中的字母分别扩大为原来的2倍,则分式的分子扩大为原来的2倍,分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.2.填写下列等式中未知的分子或分母.。
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程4 第1课时 分式方程的概念及列分式方程
x x 20
1400 1400 9 1400 2.8 1400
x 2.8x
y
y9
4800 5000 x x 20
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有 什么共同特点？
分母中都含有未知数.
知识要点
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分式； （3）分母中含有未知数.
归纳总结
列分式方程的步骤： （1）审清题意，适当设出未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式 方程
分式 方程
列方程 步骤
1. 审清题意，适当设出未知数； 2. 根据题意找等量关系，列出分式 方程
1. 下列属于分式方程的是（ A ）
A. 1 3 x2 x
___x ___x__3__.
3. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管 道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际
施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天 完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方 程 5000 5000 15
____x____x___2_0______.
y9
1400 1400
关系式 高铁列车平均速度 = 2.8×特快列车平均速度
做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校 团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数 比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果 设第一次捐款人数为 x 人， 那么 x 应满足怎样的方程？
典例精析
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程(知识点)
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
八年级数学下册 5 分式与分式方程 2 分式的乘除法课件 (新版)北师大版
计算:(1) 2 4 ，5 2 ； (2) 2 4 ，5 2 .
3 57 9
3 57 9
问题1 上面运算的根据是什么?
问题2 你能回忆并说出分数的乘法和除法法则吗?
问题3 你能类比分数的运算,计算下面的式子吗?
(1)bd； (2)bd. ac ac
问题4 再举几个这样的例子试一试.与同伴交流你的想法.
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流.
解:(1)可设整个西瓜的半径为R,则西瓜瓤的体积V1=
的体积V=
4 3
πR3.
4 3
π(R-d)3,整个西瓜
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是
V1 (1 d )3
V
乘,其他与乘法运算步骤相同.
当分式的分子、分母中有多项式时,运算步骤:①先分解因式;②如果 分子与分母有公因式,先约分再计算;③如果分式的分子(或分母)的符号
是负号,应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.
做一做
购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我
们把西瓜都看成球形,并且4 西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜皮的厚度都是d, 已知球的体积公式为V= 3 πR3 (其中R为球的半径),那么:
b anb ab a
aaa b bb
b ab an n.(n为 正 整 数 )
n个
n个
归纳:分式乘方的法则:分式的乘方等于分子分母分
别乘方.
（教材例1)计算:
(1)
3a 4y
2 y2 3a 2
；
(2)
a2 1 a2 a2 2a
八年级数学下册第五章分式与分式方程2分式的乘除法教案(新版)北师大版
2 分式的乘除法1．类比分数的乘除运算法则，探究分式的乘除法法则，研究分式的运算算理．2．会利用分式的乘除法运算法则，进行简单的分式的乘除法运算．3．提升学生的思维迁移能力，发展符号运算水平．重点会进行简单的分式的乘除法运算．难点解决一些与分式有关的简单的实际问题．一、情境导入有一次，鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子．鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法．上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？今天我们研究“分式的乘除法”．(板书课题)二、探究新知1．探究分式的乘法法则(1)计算，并说出分数的乘法法则：①23×45； ②57×29. 分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．(2)猜一猜：b a ×d c＝________． 你能总结分式的乘法法则吗？与同伴交流．b a ×dc ＝b×d a×c. 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．2．探究分式的除法法则(1)计算，并说出分数的除法法则．①23÷45； ②57÷29. 分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘．(2)猜一猜：b a ÷d c＝________． 你能总结分式的除法法则吗？与同伴交流．b a ÷dc ＝b a ×cd ＝b×c a×d. 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．三、举例分析例1 计算：(1) 3a 4y ·2y 23a 2； (2) a ＋2a －2·1a 2＋2a. 处理方式：师生共同完成解题过程．解：(1) 3a 4y ·2y 23a 2＝3a·2y 24y ·3a 2＝y 2a .(2)a ＋2a －2·1a 2＋2a ＝a ＋2（a －2）·a（a ＋2）＝1a 2－2a. 注意：①分子、分母有多项式的，一般是分子和分母先分解因式，并在运算过程中约分；②运算结果要化成最简分式．例2 计算：(1) 3xy 2÷6y 2x； 处理方式：学生自主完成计算过程．解：3xy 2÷6y 2x ＝3xy 2·x 6y 2＝3xy 2·x 6y 2＝12x 2. 提出问题：就计算过程谈谈你的想法？引导学生得出计算分式除法的步骤：① 除法变乘法； ②再按乘法法则运算；③结果为最简分式．(2) a －1a 2－4a ＋4÷a 2－1a 2－4. 处理方式：师生共同完成计算过程．解：原式＝a －1a 2－4a ＋4·a 2－4a 2－1＝（a －1）（a 2－4）（a 2－4a ＋4）（a 2－1）＝（a －1）（a ＋2）（a －2）（a －2）2（a －1）（a ＋1）＝a ＋2（a －2）（a ＋1）. 注意：①分式的分子和分母是多项式，先要对分子和分母进行因式分解；②结果要化为最简分式或整式．四、练习巩固1．计算：(1)b a 2－9·a ＋3b 2－b ；(2)a a －b ·(b －a b)2. 2．购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d ，已知球的体积公式为V ＝43πR 3 (其中R 为球的半径)．那么(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴交流．3．对于a÷b·1b ，小明是这样计算的：a÷b·1b＝ a÷1＝a.他的计算过程正确吗？为什么？五、课堂小结通过这节课的学习，你学到了哪些知识？要注意什么问题？六、课外作业1．教材第115页“随堂练习”．2．教材第116页习题5.3第1、2、4题．本节课中的运算法则的运用不难，但有的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项式、单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差．另外，部分学生在结果的化简上存在问题，化简意识不够，因此在本节课的教学中应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约分类比分式的约分，加强化简意识．还有些学生因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关联的，所以课前有必要巩固分式的约分和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练习．。
八年级数学下册(新版北师大版)第五章_分式与分式方程
第五章 分式与分式方程第一节 认识分式（一）一、学习准备1、分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成AB的形式，如果 中含有字母，那么我们称AB为__________。
2、分式与整式的区别：分式一定含有分母，且分母中一定含有 ；而整式不一定．．．含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母。
3、分式有意义、无意义或等于零的条件： （1）分式AB有意义．．．的条件：分式的 的值不等于零； （2）分式AB 无意义．．．的条件：分式的 的值等于零； （3）分式AB的值为零的条件：分式的 的值等于零，且分式的 的值不等于零； 二、教材精读1、理解分式的概念253817233312y x x x xy y x y x y x x -++-， ， ，－，－， ， ， ？些是整式？哪些是分式 在下列式子中，哪例π解：有意义？取何值时， 当例112-x x模块二 合作探究 1、下列代数式：132m -，31，x π，1x ，1xx -，32(1)x y x x --，其中是分式的有：__________________________________________。
2、当x 取何值时，下列分式有意义？()x 211 ()3x 71x 32-- ()132-x x3、当x 取何值时，下列分式无意义？()2x5x 1- ()5x 61x 22-+ ()2x 3x 3+-4、当x 取何值时，下列分式的值为零？()xx +21 ()x x 342- ()45233-+x x()33||4+-x x ()86452+-x x模块三 形成提升1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？①5x －7，②3x 2－1，③123+-a b ，④7)(p n m +，⑤72，⑥1222-+-x y xy x ，⑦c b +54答：______________________________。
（填序号）2、当x 取何值时，分式2132x x +-无意义？3、当x 为何值时，分式232-+x x 的值为零？4、若分式2242x x x ---的值为零，则x 的值是____________。
八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式5.1.2认识分式课件(新版)北师大版
14
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xy (xy)(xy)
(2)
y2 y2 4
_y__1_2___
精选
10
• 2.化简下列分式:
12 x 2 y 3 (1) 9 x 3 y 2(2)Βιβλιοθήκη (xy x y)3
解(1)： 19xx2 3y2y233 3xx22yy224 3xy4 3xy
(2 )(x x y y )3(xy x ) x ( y y)2(x 1 y)2
同除以的ab、
(x-1)在原分式中 充当了分母的因
式，所以默认是
(2)x2x22 x11(x( x1 )1 x () 21)x x 1 1
不等于0的，否 则原分式无意义。
这就不再交代ab、
(x-1)不等于0。
• 说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ;在（２) 中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)；把一个分式的 分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
精选
5
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项 式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因 式． 注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号 法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式 的基本性质.
精选
6
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式
精选
11
化简下列分式：
（ 1 ） a 2 bc ab
(2) x 2 1 x2 2x 1 5 xy
( 3 ) 20 x 2 y
(4) a (a b ) b (b 2 a 2 )
八年级数学下册第5章分式与分式方程分式方程第2课时分式方程的解法课件(新版)北师大版
A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7)
D.2(x-8)-5x=8
2．若关于x的分式方程
的值为 ( D )
A．－1，5
B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
无解，则m
3.解方程
2 3. x3 x
解： 方程两边乘x(x-3),得
第五章 分 式
5.4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
学习目标
1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； （重点）
2.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验 根的方法.（难点）
导入新课
复习引入
1. 解一元一次方程的步骤： 移项，合并同类项，未知数系数化为1. 2. 解一元一次方程 x x 1 1.
②
去分母后所得整式方程的解却不是
原分式方程的解呢？
我们再来视察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
两边同乘(30+x)(30-x) ① 当x=6时,(30+x)(30-x)≠090(30-x)=60(30+x)
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方 程的解与分式方程的解相同.
x 1
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，
∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)， 然后根据解的正负性，列关于未知字母的不 等式求解，特别注意分母不能为0.
例3 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分 式方程有增根．
北师大版八年级下册数学第五章 分式与分式方程第3节《分式的加减(3)》
x(x
y) y(x x2 y2
y)
y2
x2 x2 y2
因为 x 2 y
即 x 2y
所以，原式
(2 y)2 (2y)2 y2
4. 3
还有其它 解法吗？
先化简，再求值：
（1）已知
a 10
,求
a a2
1 1
a 1 1 a
的值.
答案：4 .
3
（2）已知
x
3 y，求
4xy x2 y2
xy x y
更有助于解题。
1、计算
(1)1 x 1 x 1
(2) 1 2 x x 3x 3x 2
(3)
m m
n
Байду номын сангаас
m
n
n
2m2 m2 n2
答案 - 2x x2
1 x
3x2 3x 2 9x2 6x
1
计算：
12 m2
9
3
2 m
解：（1） 12 + 2 =
12
+2
m2 - 9 3 - m (m + 3)(m - 3) -(m - 3)
解：原式 a 1 a(a 3) a(a 1)(a 1) a(a 1)(a 1)
a 1 a(a 3) a2 2a 1
a(a 1)(a 1) a(a 1)(a 1)
(a 1)2 a 1 a(a 1)(a 1) a2 a
例6
已知
x y
2，求 x
x y
y x y
y2 x2 y2
的值.
解;原式
1 x 1
(3)
a
a
3
1 a2
9
a a
八年级数学下册第五章分式与分式方程1认识分式教学课件新版北师大版
教学课件
数学 八年级下册 BS
第五章 分式与分式方程
5.1认识分式
第1课时
1.知道分式的概念,明确分式和整式的区别. 2.掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为0的
条件.
小明在做练习题时遇到这样一道题目:下列式子中哪些是整式?
① 3x+4y,② 4a,③ ������+������,④ 8m2,⑤ ������ ,⑥ x-2,⑦ ������+������.
A.都正确
B.小强正确,小亮不正确
C.都不正确
D.小亮正确,小强不正确
2.请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简. x2-4xy+4y2 ; x2-4y2 ; x-2y.
解:如������2-4������������+4������2= (������-2������)2 =������-2������ .
小强:原式=(2������+������)(2������-������)=2a-b;
2������+������
小亮:原式=(4������2-������2)(2������-������)=2a-b.
(2������+������)(2������-������)
对于他俩的解法,你的看法是( B )
������+���;1=2或x+1=3或x+1=6,
即x=0或x=1或x=2或x=5.
2.已知分式 ������������ ,问 a 取何值时,
������-������������
(1)分式的值为 0;
(2)分式的值是正数;
(3)分式的值是负数; (4)分式无意义.
北师大版八下数学第五章分式与分式方程第2节《分式的乘除法》
5.2 分式的乘除法
知识回顾
1、约分定义？它的步骤是什么？ 2、最简分式定义？
探索新知
探索分式的乘除法法则
1.视察下列运算,你想到了什么?
(1) 2 4 2 4 8 3 5 3 5 15
(2) 2 4 2 5 2 5 5 ; 3 5 3 4 34 6
2.猜一猜 与同伴交流
（1）b c ? (2) b c ?
ab
ab
类比分数的乘法法则我们尝试计算
a c ? a c a c ac
bd
b d b d bd
类比分数的乘法法则归纳分式乘法法则
分式乘法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分 子，把分母相乘的积作为积的分母.
用符号语言表达： a c ac b d bd
更上一层楼
数学应用
你会挑西瓜吗？
通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越
大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个
西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成
球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的
皮厚都是d .
已知球的体积公式为
V 4 R3(其中R为球的半径),
(1)西瓜瓤与西瓜的体积各是多少? 3 那么:
(Rd R
)3
(1
d )3. R
3
(3) R越大，Rd 越
小
,
d R
越
大
,
1
d R
越
大
,
(1 d )3 越 大 R
.
所以，买大西瓜较划算
课堂小结
一、分式的乘除法法则 •两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分 子,把分母相乘的积作为积的分母; •两个分式相除,把除式的分子分母颠倒位置 后,再与被除式相乘. 二、利用分式的乘除法法则进行简单计算 三、解决一些与分式的乘除法有关的实际问题
八年级数学下册第五章分式与分式方程2分式的乘除法教学
【解析】
(a b)2 ab
(b a)2
(a b)2 ab
(a
1 b)
2
1 ab
答案： 1
ab
12/13/2021
第二十四页，共二十九页。
4.计算(jìsu1àn)：3x 2 y ( 2x 2 )3
y
3x2
y
(
8x6 y3
)
3x2
y
(
y3 8x6
)
3y4 8x4
2 ( x )3 ( y2 )2 ( x2y )2
500 (a 1)2
，∴“丰收2号”小麦的单位(dānwèi)面积产量高.
（ 2 ） (a 5 0 1 0 )2a 5 2 0 0 1(a 5 0 1 0 )2a 5 2 0 0 1a a 1 1 ，
∴“丰收2号”小麦的单位面积(miàn jī)产量是“丰收1号”小麦
的12单/13/位2021面积产量的
a2
1.计算(jìsuàn):
a2
4a 2a
4 1
a a2
1 4
.
解：原式
(a 2)2
a 1
(a
1) 2
(a
2)(a
2)
(a
(a 2)2 (a 1) 1)2 (a 2)(a
2)
12/13/2021
a2 . (a 1)(a 2)
第八页，共二十九页。
1
1
2.计算(jìsu4àn9): m2 m2 7m
内容(nèiróng)总结
2 分式的乘除法。分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式 相乘.。按照上述方法一步一步地继续进行下去，在图中画出了第一步至第五步所得到的折线的形状．。
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三、理解运用
6y 例3 计算： 3xy x
2
2
6y 解： 3 xy x x2 x 3xy 2 6y 1 2 2 x 2
2
2
三、理解运用
巩固练习3、计算：
b 3c 15x 3 (1) ; (2) (18ax ). 12 a 2a ab
4
a 1 a 1 2 例4 计算： 2 a 4a 4 a 4
四、学以致用：
四、学以致用：
购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西 瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形， 并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d， 4 3 已知球的体积公式为 ( 其中 R 为球 V R 3 的半径)，那么 (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？ (3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
北师大版八年级数学下册
第章
5.2
分式与分式方程
分式的乘除法
石行新
济南舜耕中学
一、情景引入 木工用的锯，传说是鲁班发明的。 有一次，鲁班的手不 慎被一片小草割破了， 他发现小草叶子的边 缘布满了密集的小齿， 于是便产生联想，根 据小草的结构发明了 锯子。
一、情景引入
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方 法，“类比”也是数学学习中常用的一种重 要方法。
二、新知探究 分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积 的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
b d bd a c ac
二、新知探究
n b b n 想一想：( ) 与 n 有什么关系？ a a
b n b ( ) n a a
n
二、新知探究
计算，并说出分数的除法法则：
2 4 (1) 3 5 5 2 ( 2) 7 9
四、学以致用：
(1)西瓜瓤与西瓜的体积各是多少? 4 解：西瓜瓤的体积 V1 ( R d )3 3 4 3 整个西瓜的体积 V R
3
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
解：西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是
V1 ( R d ) d 3 (1 ) 3 V R R
3
四、学以致用：
他的计算过程正确吗？为什么？
总结： 分式的乘除混合运算要注意运算顺序。
六、课堂小结
1、知识总结：
通过这节课的学习，你学到了哪些知识？ 要注意什么问题？ 分式的乘除运算的方法。运算结果要化简。
2、方法归纳：
在本节课的学习过程中，你有什么体会？ 类比是数学学习中常用的思想方法。数学 历史的发展就是不断地将原有的知识加以 推广和扩展.
七、布置作业 课本习题5.3第1、2、4题
制作单位：济南舜耕中学
录制时间：2015年3月24日
二、新知探究
计算，并说出分数的乘法法则：
2 4 (1) 3 5 5 2 ( 2) 7 9
二、新知探究
观察下列运算：
2 4 2 4 8 (1) 3 5 ; 3 5 15 5 2 5 2 10 ( 2) 7 9 . 7 9 63
b d bd 猜一猜： a c ac
2
三、理解运用
巩固练习4、计算：
a x 1 x 1 (1) (a a) ; (2) 2 ; a 1 y y
2
2
x 2x x 4 (3) 2 2 . x 6 x 9 x 3x
2 2
三、理解运用
总结：
1、分式的乘除法运算归根到底是分式的乘法运 算，分式的乘法运算的实质是分式的约分。 2、熟练地进行分式乘除法运算的前提是正确运 用分式的约分，多项式的因式分解，分式的变号 法则。 3、分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
b d b c bc a c a d ad
三、理解运用
3 a 2 y 例1 计算： 2 4 y 3a
3a 2y 2 解： 4 y 3a
2
2
3a 2 y 2 42y 3 a a y 2a
2
y
三、理解运用
巩固练习1、计算：
a b (1) 2; b a
bc 2a ( 2) 2 2 . a bc
三、理解运用
a2 1 例2 计算： 2 a 2 a 2a
a2 1 2 解： a 2 a 2a a2 (a 2) a(a 2) 1 2 a 2a
三、理解运用
巩固练习2、计算：
b a3 a ba (1) 2 2 ; (2) . a 9 b b a b b
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算? 买大西瓜合算。
d 由于d是一定的，西瓜越大，R越大，则 越 R d V1 小， 越大，则 的值也越大，即西瓜瓤 1 V R 占整个西瓜的比也越大.所以大西瓜合算。
五、拓展延伸
1 想一想：对于 a b ，小明是这样计算的： b 1 a b a 1 b a
二、新知探究
观察下列运算：
2 5 2 4 10 (1) 3 4 ; 3 5 12 5 9 5 2 45 (2) 7 2 . 7 9 14
b c bc b d 猜一猜： a d ad a c
二、新知探究
分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠 倒位置后再与被除式相乘。
2
三、理解运用
a 1 a 1 2 解：(2) 2 a 4a 4 a 4 2 a 1 a 4 2 2 a 4a 4 a 1 (a 1)(a 2)(a 2) 2 (a 2) (a 1)(a 1) a2 (a 2)(a 1)