基于UWHA算子和IUOWHA算子的区间数多属性群决策方法

, k = 1, 2,3。试确定最佳投资方案。
4×7
⎡[37,47] [59,69][30,40][80,90] [30,50][90,100]⎤
A% 1
=
⎢⎢[15,25] ⎢⎢[30,40]
[40,70][65,75][40,60][55,60][60,70] [42,52][60,70][40,60][35,45][70,90]
( ) ( ) ( ) A%k 转化为规范化矩阵 R%k =
r%ij( k )
，其中，
m×n
r%ij(k )
=
⎡ ⎢⎣
rijL
(k)
,
riUj
(
k
)
⎤ ⎥⎦
。
⎧
( ) ( ) ∑( ) ⎪⎪
rijL
(k) =
aiLj
(k)
⎨
⎪
( ) ( ) ∑( ) ⎪⎩
riUj
(k) =
aiUj
(k)
m aiUj (k )
和 G6 为 效 益 型 指 标 。 属 性 权 重 向 量 为 ω=(0.15 0.20 0.30 0.10 0.10 0.15) 。 3 位 专 家
Ek (k = 1, 2,3) 的 权 重 向 量 ν = (0.3, 0.5, 0.2) 。 区 间 数 决 策 矩 阵 为
( ) A%k =
a%i(jk )
定义 3 [7] 设UOWHA : Qn → Q ,若
∑ UOWHAw (r%1, r%2 ,L, r%n ) = 1
n wj j=1 g% j
(3)
其中： w = ( w1, w2,L, wn )T 是与 UOWHA 相关联的加权向量(位置向量)， wj ∈[0,1], 且
n
∑ wj = 1 ， r%j = ⎡⎣rjL , rjU ⎤⎦ ，且 g% j 是数据组 (r%1, r%2,L, r%n ) 中第 j 个最大的元素，称函数
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣[35,45] [45,55][35,45][70,90][60,80][80,90] ⎥⎦
⎡[30,40][65,75][34,48][80,90][30,50][92,98] ⎤
A% 2
=
⎢⎢[20,35] ⎢⎢[35,45]
[40,70][65,75][45,60][65,80][60,70] [45,50][60,78][40,60][40,55][70,90]

基于 UWHA 算子和 IUOWHA 算子的区间数多属性 群决策方法
卫贵武
重庆文理学院经济与管理系，重庆 (402160)
E-mail：weiguiwu@
摘 要：研究了属性权重和专家权重均以实数的形式给出，属性值以区间数的形式给出的多
属性群决策问题。利用区间数的运算法则，给出了一种基于区间数运算法则的新算子：诱导
3. 基于 UWHA 算子和 IUOWHA 的区间数多属性群决策方法
基于 UWHA 算子和 IUOWHA 算子，提出了一种属性权重和专家权重均为实数，
属性值为区间数形式的多属性群决策方法。具体步骤为；
第一步，对于某一多属性群决策问题，设决策者 Ek (k = 1, 2,L, t ) 对于方案
( ) ( ) Ai
4×7
⎡[0.137,0.249] [0.240,0.371] [0.130,0.211] [0.145,0.225] [0.207,0.467] [0.257,0.333]⎤
R%1
=
⎢⎢[0.257,0.614] ⎢⎢[0.161,0.307]
w = (1 n ,1 n ,L,1 n)T ，则 IUOWHA 算子就退化为 UHA 算子；如果对所有的 i ，有 ui = r%i
成立，则 IUOWHA 算子就退化为 UOWHA 算子；如果对所有的 i ，有 ui = No. i 成立，其 中 No. i 是 r%i 的有序位置，则 IUOWHA 算子就退化为 UWHA 算子。
优方案。
4. 实例分析
为了开发新产品，某企业邀请 E1 ，E2 和 E3 三位专家对四个投资方案 A1, A2 , A3 和 A4 进
-3-

行评估，评估指标(属性)有六项：G1 (投资额)，G2 (期望净现值)，G3 (风险赢利值)，G4 (风
险损失值)，G5 (环境污染程度)，G6 社会效益)。其中，G1, G4 和 G5 为成本型指标，G2 , G3
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣[50,55] [40,65][30,40][75,90][65,80][90,100]⎥⎦
⎡[40,45] [60,70][35,45] [85,95] [36,60][95,100]⎤
A% 3
=
⎢⎢[25,35] ⎢⎢[30,40]
[45,60][68,78][40,60][55,60][60,70] [42,52][65,78][40,60][35,45][70,90]
t
n
∑ ∑ ν k ∈[0,1], ν k = 1，同时ω = {ω1,ω2 ,L,ωn} 为属性权重向量，ω j ∈[0,1], ω j = 1。
k =1
j =1
第二步，最常见的属性类型有效益型和成本型。设 Is ( s = 1, 2) 分别表示效益型和成本
型属性的下标集。为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，用下列计算公式[5]将决策矩阵
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣[36,48] [44,56][37,47][70,90][60,80][80,90] ⎥⎦
下面利用本文所给的方法进行求解。
( ) 第 一 步 ， 利 用 式 (5) 和 (6) 将 决 策 矩 阵 A%k 转 化 为 规 范化 矩 阵 R%k =
r%ij(k )
, k = 1, 2, 3 。
n
∑ 其中,ω = (ω1,ω2 ,L,ωn )T 为数据组 (r%1, r%2,L, r%n ) 的指数加权向量, ω j ∈[0,1] , ω j = 1, j =1
r%j = ⎡⎣rjL , rjU ⎤⎦ ,则称函数 UWHA 为 n 维不确定型加权调和平均(UWHA)算子。特别地，如果
ω = (1 n ,1 n ,L,1 n)T ，则 UWHA 算子就退化为不确定型调和平均(UHA)算子。
( ) ( ) (1)
a% + b% = ⎡⎣aL , aU ⎤⎦ + ⎡⎣bL , bU ⎤⎦ ；(2)
λa% = ⎡⎣λaL , λaU ⎤⎦ ；(3)
a% k
=
⎡ ⎢⎣
aL
k
,
aU
k
⎤ ⎥⎦
；
(4)
a% ⋅ b% = [aL ⋅ bL , aU ⋅ bU ] ；(5)
a% b%
=
⎡ aL
⎢ ⎣
L(a)+ L(b)
(1)
为 a% ≥ b% 的可能度。
基于区间数运算法则，给出或提出如下 3 种算子：
定义 2[7] 设UWHA : Qn → Q ,若
-1-

∑ UWHAω (r%1, r%2 ,L, r%n ) = 1
n ωj j=1 r%j
(2)
r%i1, r%i2 ,L, r%in
=1
n ωj j=1 r%ij
n
∑ 其中，ω = (ω1,ω2 ,L,ωn )T 是属性的权重向量, ωk ∈[0,1], 且 ω j = 1。 j =1
第五步，利用公式(1)，对方案 Ai 的群体综合属性值 r%i 与 r%j ( j = 1, 2,L, m) 两两比较 得到可
2,L,
m,
j
=
1,
2,L,
n.
t
∑ 其中， w=(w1,w2,L,wt )T 是与IUOWHA算子相关联的加权向量, wk ∈[0,1], 且 wk = 1 。 k =1
第四步，利用UWHA算子对 R% d的第 i 行的属性值进行集结，得到 Ai 的群体综合属性值：
( ) ∑ r%i = UWHAω
j =1
UOWHA 为 n 维不确定型的有序加权调和平均(UOWHA)算子。
定义 4 设 IUOWHA : Qn → Q ,若
( ) ∑ IUOWHAw
u1, r%1 , u2 , r%2 ,L, un , r%n
=1
n wj j=1 g% j
(4)
其 中 ， r%j = ⎡⎣rjL , rjU ⎤⎦ ， w = ( w1, w2 ,L, wn )T 是 与 IUOWHA 算 子 相 关 联 的 加 权 向量 ，
( ) ( ) 能度 pij = p r%i ≥ r%j
, i, j = 1, 2,L, m ，并建立可能度矩阵
P=
pij
。
m×m
并用下式
∑ ci
=
1
m(m −1)
⎛ ⎜ ⎝
m j =1
pij
+
m 2
⎞ − 1⎟ , i
⎠
= 1, 2,L, m
(7)
得到方案 Ai 的排序向量 C = (c1, c2 ,L, cm )T ，并按其分量的大小对方案进行排序，即得到最
(i
= 1, 2,L,
m) 关于属性 Gj
(
j
= 1, 2,L, n)
的属性值为
a%i(jk )
=
⎡ ⎢⎣
aiLj
(k)
,
aiUj
(
k
)
⎤ ⎥⎦
，从而构
( ) { } 成 区 间 数 决 策 矩 阵 A%k =
a%i(jk )
，其中ν =
m×n
ν1,ν 2 ,L,ν t
为决策者权重向量，
-2-