2018-2019年初中北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质同步训练课件
北师大版初中数学九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷
北师大新版九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比2．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：43．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）A．3：2B．3：2C．9：4D．27：86．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF 周长之比为（）A．4：25B．2：5C．5：2D．25：47．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定形状8．两个相似三角形的对应边的比为4：9，则它们的面积比为（）A．2：3B．9：4C．16：81D．81：169．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：410．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A．2B．4C．8D．3211．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．9：1B．1：9C．3：1D．1：312．已知△ABC∽△A1B1C1且面积之比为1：3，则边长AB：A1B1的值为（）A．1：3B．1：9C．1：D．：113．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：2714．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm15．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9二．解答题（共28小题）16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．17．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，求BC与AB的比值．19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求（1）AO的长．（2）求S．△BOD20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC ＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．21．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．22．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．（1）求CE的长；（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．26．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．27．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．28．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．29．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB＝；（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．31．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．32．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．33．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A ＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．34．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．35．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．36．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．37．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．38．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO 和AB的长．39．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．40．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．41．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1＝∠2＝∠3．42．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝7cm，∠BAC＝45°，∠C＝40°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．43．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝40°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．北师大新版九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比【分析】根据相似多边形的性质判断即可．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；②相似多边形对应角平线的比等于相似比③相似多边形周长的比等于相似比，④对应面积的比等于相似比的平方，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．2．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD 与A′D′分别是对应边，∴＝，∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，∴＝，则A′D′＝．故选：B．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．4．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵两个四边形相似，∴∠1＝138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）A．3：2B．3：2C．9：4D．27：8【分析】由两个相似三角形，其相似比3：2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF 周长之比为（）A．4：25B．2：5C．5：2D．25：4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4：25，∴它们的相似比为2：5，∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．7．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定形状【分析】直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案．【解答】解：∵一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，∴扩大后三角形三边长分别为：10，24，26，∵102+242＝676，262＝676，∴102+242＝262，∴这个三角形的形状为直角三角形．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握勾股定理的逆定理是解题关键．8．两个相似三角形的对应边的比为4：9，则它们的面积比为（）A．2：3B．9：4C．16：81D．81：16【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．【解答】解：∵两个相似三角形的对应边的比为4：9，∴它们的面积比为16：81．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．9．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：4【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，∴它们的相似比为4：9，∴面积比＝（）2＝16：81．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A．2B．4C．8D．32【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．【解答】解：设△DEF的周长为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴16：x＝2：1，解得，x＝8．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．11．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．9：1B．1：9C．3：1D．1：3【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．12．已知△ABC∽△A1B1C1且面积之比为1：3，则边长AB：A1B1的值为（）A．1：3B．1：9C．1：D．：1【分析】根据相似三角形的面积比求出相似比，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且面积之比为1：3，∴它们的相似比为1：∴△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为1：，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．13．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．15．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．二．解答题（共28小题）16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠A ＝∠E＝118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°，∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28，∴EH＝28cm．【点评】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于360°，熟记性质与公式是求解的关键．17．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．【解答】解：（1）由已知得MN＝AB＝2，MD＝AD＝BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，＝，∴DM•BC＝AB•MN，即BC2＝4，∴BC＝2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴＝，∵AB＝CD＝2，BC＝4，∴DF＝＝1，∴矩形EFDC的面积＝CD•DF＝2×1＝2．【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．也考查了矩形的面积．18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，求BC与AB的比值．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴＝，即＝，∴BC2﹣BC•AB﹣CD2＝0，解得，BC＝CD，∵BC、CD是正数，∴＝．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求（1）AO的长．．（2）求S△BOD【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例即可解决问题；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵OB＝4，∴OA＝6．（2）∵△OBD∽△OAC，∴＝（）2，＝36，∵S△AOC＝16．∴S△OBD【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC ＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∴＝，∴DE＝8（cm）．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质，准确找出对应边与对应角是解题的关键．21．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．【分析】求出AC2+BC2＝AB2，推出∠C＝90°，根据△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，即可得到△A′B′C′的周长及∠C′的度数．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2+BC2＝25＝AB2，△ABC的周长为12，∴∠C＝90°，∵△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，∴相似比＝＝，∠C＝∠C'，∴△ABC的周长为12×3＝36，∠C的度数为90°．【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，注意：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．22．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长．【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：AD＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B＝∠C＝30°，再利用垂直平分线的性质得BE＝AE，AF＝CF，则∠EAB＝∠B＝30°，∠F AC ＝∠C＝30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF＝∠AFE＝60°，于是可判断△AEF为等边三角形；（2）由D是AB中点、G是AC中点知DG是△ABC中位线，据此可得．（3）利用AE＝BE，AF＝CF可得AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，从而可确定△AEF的周长．【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠F AC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG＝BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰三角形的性质与等边三角形的判定．24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．（1）求CE的长；（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．【分析】（1）设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，依据勾股定理即可得到；（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2＝CE•CP，即，进而得到；②分两种情况讨论：若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，即可得到．【解答】解：（1）∵AE∥CD，∴＝，∵BC＝DC，∴BE＝AE，设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，∵∠ACB＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，∴，即；（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，∴∠ACQ＝∠P，又∵AE∥CD，∴∠ACQ＝∠CAE，∴∠CAE＝∠P，∴△ACE∽△PCA，∴AC2＝CE•CP，即，∴；②设CP＝t，则，∵∠ACB＝90°，∴，∵AE∥CD，∴，即＝＝，∴，若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，∴15t2﹣40t+16＝0，解之得，又∵t＞，∴．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A+∠APC＝60°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，∴∠A+∠B＝60°，∴∠APB＝120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴＝，∴CD2＝AC•BD．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．26．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．【分析】由△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝ADD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．27．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C＝47°，∠ADE＝180°﹣∠BAC﹣∠AED＝86°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得，DE＝4（cm）．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．28．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3∴EC＝3.1；（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC⊥AD．【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．29．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵△ABC∽△DEC，∴＝，∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，∴＝，∴DC＝（cm），故AD＝3+＝（cm）．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB＝2；（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA＝OB，OA＝OD，可得∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO＝∠A+∠D，可得要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA＝∠BCO ＝90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB，∠OEB＝90°，∵OB＝2，∠B＝30°，∴BE＝OB•cos∠B＝2×＝，∴AB＝2；故答案为：2；（2）连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°，∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；（3）∵∠BCO＝∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝．∴若△ACD与△BCO相似，AC的长度为．【点评】此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．31．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝35°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣35°＝70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝35°，∠AED＝∠C＝70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即30：18＝20：DE，解得DE＝12cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．32．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．【分析】（1）根据题意首先得出D点坐标，进而得出函数关系式，进而得出E点坐标答案；（2）直接利用相似三角形的判定方法分解析得出答案．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得：k＝1×3＝3；∴反比例函数的表达式y＝，∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，∵点E在双曲线上，∴y＝，∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2，∵△FBC∽△DEB，∴＝，即：＝，∴FC＝，∴点F的坐标为（0，）．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及反比例函数图象上的性质和矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．33．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A ＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．【分析】先根据OA＝2，AD＝9求出OD的长，再根据△AOB∽△DOC即可得出＝＝，再把已知数据代入进行计算即可．【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，∴OD＝9﹣2＝7，∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，∴＝＝，解得OC＝，AB＝，∵△AOB∽△DOC，∴∠D＝∠A＝58°．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，对顶角相等，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．34．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．【分析】根据相似三角形的性质即可求出AD、AE的长度．【解答】解：∵△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴，∴∴AD＝∵∴∴AE＝【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．35．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝，根据AB＝AC，得到AE＝AF，利用HL定理证明；（2）根据等腰三角形的性质得到BC＝2BD，得到BD＝AD，根据正方形的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵△AEF∽△ABC，∴＝，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD；（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD＝∠F AD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BC＝2BD，∵BC＝2AD，∴BD＝AD，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝∠BAD＝45°，∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AE＝AF，∴矩形AEDF是正方形．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．36．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等结合图形解答．（2）根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．（2）∵△ABC∽△DAC，∴，又AC＝4，BC＝6，∴CD＝＝；【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比相等是解题的关键．37．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠P AD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．所以AP＝或AP＝2或AP＝6．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．38．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO 和AB的长．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．【解答】解：∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∴＝，解得OA＝6，∴AB＝OA+OB＝4+6＝10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．39．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．【分析】根据△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，可得△ABC的周长和面积，利用最长边可求得两三角形的相似比，再根据周长比等于相似比，可求得△A′B′C′的周长，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可得△A′B′C′的面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，∴相似比为，∴＝，即＝，＝120cm，解得C△A′B′C′∵＝（）2，∴＝，＝600cm2．解得S△A′B′C′【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．40．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．。
数学九年级上北师大版4.7相似三角形的性质同步练习
相似三角形的性质一、选择题1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且那么等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：24．如图G是△ABC的重心，直线l过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、l交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（）A．1：2 B．2：1C．2：3 D．3：25. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）A.1︰2︰3︰4B.2︰3︰4︰5C.1︰3︰5︰7D.3︰5︰7︰96．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25二、填空题7. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．8.如图，△A BC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是_______________.10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且S△EFC=3S△EFD，则S△ADE：S△ABC=_______.11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________.12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，则AC边上的高为______________.三、解答题13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．……（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．参考答案一．选择题1.【答案】B【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。
北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质 同步练习(含解析)
4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）A．B．C．D．2．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．两相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为15，则面积之和是（）A．39B．75C．76D．404．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：5．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．6．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB＝4，AD＝5，若△ABD与△BCD相似，则BC的长（）A．或B．或C．D．7．如图，下面方格纸中小正方形边长均相等．△ABC和△DEP的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若△ABC∽△PDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3D．P48．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16B．3：4C．9：4D．3：210．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OP A与△OAB相似，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD ＝．12．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是．13．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为．14．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P 在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．如图，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠ACB的度数；（2）求CD的长．参考答案1．解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：3．故选：C．2．解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故选：C．3．解：∵这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，∵它们的面积之差为15cm2，∴9x﹣4x＝15，解得：x＝3，∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝39．故选：A．4．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．5．解：∵△ABC∽△ADE，∴．故选：D．6．解：由勾股定理得，BD＝＝＝3，当△ABD∽△BCD时，＝，即＝，解得，BC＝，当△ABD∽△DCB时，＝，即＝，解得，BC＝，故选：A．7．解：如图，连接EP4．∵AB＝2，BC＝1，DE＝2，P4D＝4，∴＝＝，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴△ABC∽△P4DE（不全等），故选：D．8．解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：EC＝3：1，∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．故选：B．10．解：由点D的画法可知AD平分∠OAB．∵△OP A∽△OAB，∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB．∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°，∴AP＝2OP．在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2，∴OA＝＝OP，∴OP＝，∴点P的坐标为（，0）．故选：C．11．解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AB＝9，AC＝6，∴＝，解得：AD＝4．故答案为：4．12．解：因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是1：2，所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，故答案为：1：2．13．解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9．故答案为：1：9．14．解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，∴其对应边＝＝．故答案为：．15．解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴＝，∵点A（8，0）和点B（0，6），∴AB＝＝10，∵点C是AB的中点，∴AC＝5，∴＝，∴AP＝，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）16．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∠D＝117°，∴∠BAC＝∠D＝117°．∵∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣36°﹣117°＝27°．（2）∵△ABC∽△DAC，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∴＝，即＝，解得CD＝．。
北师大版九年级数学上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习
4.7 相似三角形的性质一．选择题1．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．5：4B．4：5C．2：D．：22．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．63．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°4．如果两个相似三角形对应角平分线之比是2：3，那么它们的对应边之比是（）A．2：3B．4：9C．16：81D．：5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：97．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：18．已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积比为（）A．1：4B．1：16C．1：2D．4：19．已知△ABC∽△A'B'C'，∠A＝45°，∠B＝105°，则∠C'的度数是（）A．30°B．45°C．30°或45°D．75°10．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15C．10+D．15+311．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，将△ABC绕着点A顺时针旋转α°（0＜α＜180），并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE，连接BE，当△ABE 的面积为时，则α的值为（）A．60B．70C．80D．9012．若两个相似三角形的周长比为1：3，则它们的面积比为（）A．1：9B．1：6C．1：3D．6：113．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A．60B．70C．80D．9014．已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（）A．18平方厘米B．8平方厘米C．27平方厘米D．平方厘米15．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°二．填空题16．两个相似三角形对应边的比为1：9，则它们的面积之比为．17．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．18．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是．19．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．20．已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比是．21．已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么△DEF的周长是．22．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F为射线AD上的一个动点，△AEF沿着EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和EH于点N和M，已知AB＝，BC ＝2，若△EMN与△AEF相似，则AF的长是．23．已知△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，若边FB上的中线长为10，则边EA 上的中线长为．24．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为cm．25．两个相似三角形的对应边的比为3：2，则这两个相似三角形周长的比为，面积的比为．三．解答题26．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．27．在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝9，点D为AB上一点，AD＝AB，在AC上取一点E，得到△ADE．若两个三角形相似，求DE的长．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．29．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．30．E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．选择图中任意一对相似三角形证明．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝5：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：2，故选：D．2．解：∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．3．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，故选：B．4．解：∵相似三角形对应角平分线的比是2：3，∴它们的相似比为2：3，故选：A．5．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴＝＝，＝（）2＝，∴选项C正确，选项D错误，∵无法确定，的值，故选项A，B错误，故选：C．6．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．7．解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，故选：A．8．解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．故选：B．9．解：∵∠A＝45°，∠B＝105°，∴∠C＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠C'＝∠C＝30°．故选：A．10．解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．11．解：如图，过点B作BH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2，AC＝，∴AE＝AC＝3，∵S△ABE＝•AE•BH＝，∴BH＝，∴sin∠BAH＝＝，∴∠BAH＝60°，∴旋转角为90°，故选：D．12．解：∵两个相似三角形的周长之比为l：3，∴两个相似三角形的相似比为l：3，∴它们相应的面积之比是1：9．故选：A．13．解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，故选：D．14．解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为12平方厘米，那么较大三角形的面积为27平方厘米，故选：C．15．解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故选：C．二．填空题16．解：∵两个相似三角形的对应边的比为1：9，∴它们的面积比等于1：81；故答案为：1：81．17．解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．18．解：设EC＝x，∵AC＝8，∴AE＝8﹣x，∵△ABC∽△ADE，∴，∴，解得：x＝，故答案为：．19．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．20．解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比是1：4，故答案为：1：4．21．解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：，解得：x＝24，y＝15；∴△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3；∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，∴△DEF的周长为60，故答案为：60．22．解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE•tan30°＝×＝1，②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，可得AF＝AE•tan60°＝3，故答案为1或3．23．解：∵△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，∴△FBC和△EAD的相似比为2：1，∵边FB上的中线长为10，∴边EA上的中线长为5，故答案为：5．24．解：设另一个三角形的最长边为xcm，∵两个三角形相似，∴＝，解得，x＝，则另一个三角形的最长边为cm，故答案为：．25．解：∵两个相似三角形的相似比为3：2，∴它们对应周长的比为3：2；对应面积的比是（3：2）2＝9：4．故答案为：3：2；9：4．三．解答题26．解：∵AD＝4，CD＝2AD，∴CD＝8，∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，即＝＝，解得，AB＝9，BC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝5．27．解：∵∠A是公共角，∴当＝，即＝时，△ADE∽△ABC，解得：DE＝6；当＝，即＝时，△ADE∽△ACB，解得：DE＝，综上可得：当DE＝6或时，△ADE与原三角形相似．28．解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝3，∴AH＝DH＝3，在Rt△BDH中，BD＝＝＝3，故答案为：3；（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥P A交P A的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．29．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；30．解：△ADF∽△ECF；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．。
2019秋北师大版九年级数学上册拓展训练：4.7相似三角形的性质含答案
7 相似三角形的性质基础闯关全练拓展训练1.△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,且AD∶A'D'=2∶3,那么( )A.△ABC与△A'B'C'的周长之比为4∶9B.AB∶A'B'=2∶3C.S△A'B'C'∶S△ABC=∶D.S△ABC∶S△A'B'C'=2∶3答案 B 相似三角形对应边上高的比等于相似比,故B正确.2.已知△ABC和△DEF相似,且△ABC的三边长为3、4、5,如果△DEF的周长为6,那么下列不可能是△DEF的边长的是( )A.1.5B.2C.2.5D.3答案 D ∵△ABC的三边长为3、4、5,∴△ABC的周长=12,∴==2.选项A,1.5×2=3,与△ABC一边长相符,故本选项不符合题意;选项B,2×2=4,与△ABC一边长相符,故本选项不符合题意;选项C,2.5×2=5,与△ABC一边长相符,故本选项不符合题意;选项D,3×2=6,故本选项符合题意.故选D.3.如图,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,G,H分别为DE,EF的中点,则△GEH与△ABC的面积比为( )A.1∶4B.1∶16C.1∶32D.1∶64答案 B 根据题意得△GEH∽△DEF∽△CAB,∴GH∶DF=1∶2,DF∶BC=1∶2,∴GH∶BC=1∶4,∴△GEH与△ABC的面积比为1∶16.故选B.4.已知△ABC的三边之比为2∶3∶4,若△DEF与△ABC相似,且△DEF的最大边长为20,则△DEF的周长为.答案45解析∵△DEF∽△ABC,△ABC的三边之比为2∶3∶4,∴△DEF的三边之比为2∶3∶4,又∵△DEF的最大边长为20,∴△DEF的另外两边长分别为10、15,∴△DEF的周长为10+15+20=45.能力提升全练拓展训练1.如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是.(结果可用根号表示)答案2-2解析要求题图中矩形内阴影部分的面积,可以通过将小正方形平移到大矩形的一边上去,剩下的阴影部分就变成了一边长为小正方形的边长其邻边长是大正方形的边长减去小正方形的边长的小矩形,而此时利用两个正方形相似,可以求得两个正方形的边长的关系,于是即可求得小矩形的面积.设小正方形的边长为x,大正方形的边长为y,则题图中矩形内阴影部分的面积是x(y-x)=xy-x2,因为任意两个正方形都相似,所以=,即=,所以xy=y2=2,所以阴影部分的面积=xy-x2=2-2.2.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°,∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.(2)由(1)知△ADF∽△DEC,∴=.∵AE⊥BC,AD∥BC,∴AE⊥AD,∴DE==6.∴=,∴AF=2.3.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC.(1)若AD=DF=FB,求S1∶S2∶S3;(2)若S1∶S2∶S3=1∶8∶27,求AD∶DF∶FB.解析∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.(1)∵AD=DF=FB,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3.∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶4∶9.令S△ADE=k,k>0,则S△AFG=4k,S△ABC=9k,∴S1=k,S2=4k-k=3k,S3=9k-4k=5k.∴S1∶S2∶S3=1∶3∶5.(2)∵S1∶S2∶S3=1∶8∶27,∴可设S1=m,m>0,则S2=8m,S3=27m,∴S△ADE=m,S△AFG=m+8m=9m,S△ABC=m+8m+27m=36m.∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶9∶36.∴AD∶AF∶AB=1∶3∶6,∴AD∶DF∶FB=1∶2∶3.4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点P(与点A,C不重合)在AC边上,PQ∥AB交BC于点Q.(1)当△PCQ的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;(2)当△PCQ的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;(3)试问在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.解析(1)∵S△PCQ=S四边形PABQ,∴S△PCQ∶S△ABC=1∶2.∵PQ∥AB,∴△PCQ∽△ACB.∴==,∴=,∴CP=AC=×4=2.(2)∵△PCQ的周长与四边形PABQ的周长相等,∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ,∴PC+CQ=PA+AB+QB=(AB+BC+AC)=6.∴CQ=6-CP.又∵PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC,∴=,即=.解得CP=.(3)存在.根据题意分两种情形:①如图a,当PQ为等腰直角三角形的腰,即∠MPQ=90°时.∵BC2+AC2=32+42=52=AB2,∴∠C=90°,∴△ABC中AB边上的高为.设PM=PQ=x,∵△PQC∽△ABC,∴=,解得x=.∴当∠MPQ=90°,PM=PQ时,PQ=.同理,当∠M'QP=90°时,PQ=.②如图b,当PQ为等腰直角三角形的底,即∠PMQ=90°时,M到PQ的距离为PQ.设PQ=x,∵△PQC∽△ABC,∴=,解得x=,即PQ=.5.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2.(1)当t=3时,求S的值;(2)当t=5时,求S的值.解析(1)作PE⊥QR于点E.∵PQ=PR,∴QE=RE=QR=4cm.在Rt△PQE中,根据勾股定理,得PE===3cm.当t=3时,QC=3cm.设PQ交CD于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴==.∵S△QEP=·QE·PE=×4×3=6cm2,∴S=×6=(cm2).(2)当t=5时,点B与点Q重合.CR=3cm,过P作PE⊥BC于E,设PR与DC交于点M.∵PE∥DC,∴△RCM∽△REP.同(1)可求出S△RCM=cm2,∴S=S△PQR-S△RCM=2S△QEP-S△RCM=12-=(cm2).三年模拟全练拓展训练1.(2016天津河北模拟,6,★★☆)如果一个三角形的三边长为5、12、13,与其相似的三角形的最长的边长为39,那么较大的三角形的面积为( )A.90B.180C.270D.540答案 C ∵52+122=132,∴三边长为5、12、13的三角形是直角三角形,面积为×5×12=30,由题意得两个三角形的相似比为=,则两个三角形的面积比为=,∴较大的三角形的面积为30×9=270,故选C.2.(2016浙江杭州朝晖中学月考,17,★★☆)如图,△ADE∽△ABC,=,△ABC的面积为18,求四边形BCED的面积.解析∵=,∴=,∵△ADE∽△ABC,=,∴△ADE与△ABC的面积比为,又△ABC的面积为18,∴△ADE的面积为2,∴四边形BCED的面积=△ABC的面积-△ADE的面积=16.五年中考全练拓展训练1.(2016湖北随州中考,7,★★☆)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是( )A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶25答案 B ∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,∵S△DOE∶S△COA=1∶25,∴=,∵DE∥AC,∴==,∴=,∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4,故选B.2.(2016湖南永州中考,10,★★☆)圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2m,桌面离地面1m,若灯泡离地面3m,则地面圆环形阴影的面积是( )A.0.324πm2B.0.288πm2C.1.08πm2D.0.72πm2答案 D 如图所示:∵AC⊥OB,BD⊥OB,∴△AOC∽△BOD,∴=,即=,∴BD=0.9m,同理可得BD'=0.3m,∴S圆环形阴影=0.92π-0.32π=0.72π(m2).故选D.3.(2015四川德阳中考,19,★★☆)如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABC=2∠BAM.(1)求证:AG=BG;(2)若M为BC的中点,同时S△BGM=1,求三角形ADG的面积.解析(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴BD平分∠ABC,∴∠ABG=∠ABC.又∵∠ABC=2∠BAM,∴∠BAG=∠ABG,∴AG=BG.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△BGM∽△DGA.∵M为BC的中点,∴BM=BC=AD.即△BGM与△DGA的相似比为1∶2,∴S△BGM∶S△DGA=1∶4.∵S△BGM=1,∴S△DGA=4.核心素养全练拓展训练1.(2015广东珠海中考,10,★★☆)如图,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中点,得△A3B3C3,……,则△A5B5C5的周长为.答案1解析∵A2、B2、C2是△A1B1C1的三边中点,∴可证△A1B1C1∽△A2B2C2,∴=,即△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长;同理,△A3B3C3的周长=△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长,…….由此类推,△A5B5C5的周长=△A1B1C1的周长=×(7+4+5)=1.2.课本中有一道作业题:小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题:(8分)(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的,如图①,此时,这个矩形零件的两条邻边长又分别为多少mm?请你计算;(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图②,这样,此矩形零件的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长.图①图②解析(1)设PQ=x mm,∵△APN∽△ABC,∴=,∴=,解得x=,∴PN=2x=mm.∴这个矩形零件的两条邻边长分别为mm,mm.(2)设PQ=x mm,∵△APN∽△ABC,∴=,∴=,∴PN=mm,∴S矩形PQMN=x=-x2+120x=-(x-40)2+2400mm2,∴当x=40,即PQ=40mm,PN=60mm时,矩形面积最大.。
数学九年级上北师大版4.7相似三角形的性质同步训练B
相似三角形的性质定理（B ）一、选择题1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的周长之比为( )A ．4∶3B ．3∶4C ．16∶9D ．9∶162．已知△ABC∽△A′B′C′且AB A′B′＝12，则S △ABC ∶S △A ′B ′C ′为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1 3．下列命题中错误的是( )A ．相似三角形的周长比等于对应中线的比B ．相似三角形对应高的比等于相似比C ．相似三角形的面积比等于相似比D ．相似三角形对应角平分线的比等于相似比4．已知两个三角形相似，对应中线之比为1∶4，那么对应周长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶16 C ．1∶4 D ．无法确定5．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA ＝20 cm ，OA ′＝50 cm ，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是( )A ．5∶2B ．2∶5C ．4∶25D ．25∶46.△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC 与△A2B2C2的相似比为( )A. B. C.或 D.7.如图，△ABC ， AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD= AB ，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于( )A. B.10 C.或10 D.以上答案都不对8.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是( )A.1：2B.1：3C.2：3D.3：2二、填空题9．已知△ABC与△DEF相似且周长比为2∶5，则△ABC与△DEF的相似比为________．10．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，则S△ADE∶S△ABC＝________.11．某小区广场有两块相似三角形的草坪，相似比为2∶3，面积差是30 m 2，则小区广场两块相似三角形的面积分别是____________．12.两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是________度，最小角是________度． 三、解答题13．已知△ABC∽△A′B′C′，AB A′B′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm ，△A ′B ′C ′的面积是64 cm 2，求： (1)A′B′边上的中线C′D′的长； (2)△A′B′C′的周长； (3)△ABC 的面积．14．某施工地在道路拓宽施工时，遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被消去了一个角△ADE，变成了一个梯形BCED ，原绿化地一边AB 的长由原来的30米缩短成BD 长18米，现在的问题是：被消去的部分面积有多大？它的周长是多少？15．(乐山中考)如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O.M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．16．(绍兴中考改编)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．参考答案一、选择题1．B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B 二、填空题9.2∶5 10.1∶4 11.24 m 2、54 m 2 12.80，40． 三、解答题13.(1)∵△ABC∽△A′B′C′，AB A′B′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，∴CD C′D′＝12.∴C ′D ′＝2CD ＝4×2＝8(cm)．∴A ′B ′边上的中线C′D′的长为8 cm.(2)∵△ABC∽△A′B′C′，AB A′B′＝12，△ABC 的周长为20 cm ，∴C △ABC C △A ′B ′C ′＝12，即20C △A ′B ′C ′＝12.∴C △A ′B ′C ′＝20×2＝40(cm)．∴△A ′B ′C ′的周长为40cm.(3)∵△ABC∽△A′B′C′，AB A′B′＝12，△A ′B ′C ′的面积是64 cm 2，∴S △ABC S △A ′B ′C ′＝(12)2＝14.∴S △ABC 64＝14.∴S △ABC ＝64÷4＝16(cm 2)．∴△ABC 的面积是16 cm 2. 14.由题意可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC.故AD AB ＝DE BC ＝AE AC ＝C △ADEC △ABC .∵AB 的长由原来的30米缩短成BD 长18米，∴AD ＝12 m ．∴1230＝C △ADE C △ABC ＝C △ADE 80.解得C △ADE ＝32 m.S △ADE S △ABC ＝(25)2＝425＝S △ADE100.解得S △ADE ＝16 m 2.∴绿化地被消去的面积为16 m 2，周长为32 m ． 15.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD.∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN ＝∠NBC.∴△MND∽△CNB.∴MD BC ＝DN BN .∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MDBC＝12.∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN.设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1，∴x ＋1＝2(x －1)．解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6.(2)∵△MND∽△CNB，且相似比为1∶2，∴MN ∶CN ＝1∶2.∴S △MND ∶S △CND ＝1∶2，∵△DCN 的面积为2，∴△MND 的面积为1.∴△MCD 的面积为3.∵S ABCD ＝AD·h，S △MCD ＝12MD ·h ＝14AD ·h ，∴S □ABCD ＝4S △MCD ＝12.∴S□ABCM＝S □ABCD －S △MCD ＝12－3＝9.16.设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC ＝AEAD ，即2y 120＝80－y 80.解得y ＝2407.∴PN ＝2407×2＝4807(mm)． 答：这个矩形零件的两条边长分别为2407 mm ，4807mm.。
北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质定理》 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.7.2相似三角形的性质定理(二) 同步测试题一、选择题1．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)A.BCDF＝12B.∠A的度数∠D的度数＝12C.△ABC的面积△DEF的面积＝12D.△ABC的周长△DEF的周长＝122．如图，△ABC的面积为12，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE的面积为(D)A．6 B．5 C．4 D．33．两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(D)A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm4．制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是(C)A．360元 B．720元C．1 080元D．2 160元5．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(C)A．1 B．2 C．3 D．46.如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶37.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－628.如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，△BEF 的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A ．30B ．27C ．14D ．32二、填空题9．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比35进行缩小，得到的直角三角形的面积是9．10．如图，把△ABC 沿着AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的14.若AB ＝2，则△ABC 平移的距离是1．11．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2∶3的两部分，连接BE ，AC 相交于点F ，则S △AEF ∶S △CBF 是4∶25或9∶25．12．如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是26．13．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE.下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ∶BD ＝21∶7；④FB 2＝OF ·DF.其中正确的结论有①③④．(填写所有正确结论的序号)三、解答题14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 与△EFC 的面积分别为4 cm 2和9 cm 2，求△ABC 的面积．解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠FEC ，△ADE ∽△ABC. ∴△ADE ∽△EFC. ∵S △ADE S △EFC ＝49， ∴AE EC ＝23.∴AE AC ＝25. ∴S △ADE S △ABC ＝(AE AC )2＝425. ∴S △ABC ＝25 cm 2.15.如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.16．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON ＝1.(1)求BD 的长；(2)若△DCN 的面积为2，求四边形ABCM 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD. ∴△MND ∽△CNB.∴MD BC ＝DNBN .∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD BC ＝12.∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN. 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3. ∴BD ＝2x ＝6.(2)∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2， ∴MN ∶CN ＝1∶2. ∴S △MND ∶S △CND ＝1∶2. ∵△DCN 的面积为2， ∴△MND 的面积为1. ∴△MCD 的面积为3.∵S ▱ABCD ＝AD ·h ，S △MCD ＝12MD ·h ＝14AD ·h ，∴S ▱ABCD ＝4S △MCD ＝12.∴S 四边形ABCM ＝S ▱ABCD －S △MCD ＝12－3＝9.17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°，∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.18．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，点P 在AC 上(与A ，C 不重合)，点Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，CP (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，CP 的长等于247；(3)试问：在AB 上是否存在一点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ 的长．解：存在．∵CA ＝4，AB ＝5，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝25.∴△ABC 是直角三角形且∠C ＝90°. ∴△ABC 中AB 边上的高为125.①如图a 所示，当∠MPQ ＝90°，且PM ＝PQ 时， ∵△CPQ ∽△CAB ， ∴PQ AB ＝△CPQ 中PQ 边上的高△CAB 中AB 边上的高. ∴PQ 5＝125－PQ 125.∴PQ ＝6037. ②当∠PQM ＝90°且QM ＝PQ 时，结果与①相同；③如图b 所示，当∠PMQ ＝90°且PM ＝MQ 时，过点M 作ME ⊥PQ ，则ME ＝12PQ ，∴△CPQ 中PQ 上的高为125－ME ＝125－12PQ.∵PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高， ∴PQ 5＝125－12PQ 125.∴PQ ＝12049. 综上可知，存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，此时PQ 的长为6037或12049.1、在最软入的时候，你会想起谁。
北师大版九年级数学上册第四章 相似三角形的性质与判定 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 相似三角形的性质与判定 同步测试题一、选择题1．如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，交DC 延长线于点E ，则AE EF的值为(B) A.53 B.52 C.32 D ．22．如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F.若BF ＝10，则AB 的长为(C)A ．12B ．10C ．8D ．53．如图所示，在矩形ABCD 中，点F 是BC 的中点，DF 的延长线与AB 的延长线相交于点E ，DE 与AC 相交于点O ，若S △COD ＝2，则S △AOE ＝(C)A ．4B ．6C ．8D ．104.如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF＝CF ，则AG GF的值是(C)A.43B.54C.65D.765.如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DC AB等于(B)A.23B.14C.13D.356.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B)A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶257．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为(B)A ．(1，52) B ．(43，83) C ．(5，25) D ．(3，23) 二、填空题8．如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，E 是边BC 延长线上一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中的相似三角形共有4对．。
北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质 同步测试
北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质同步测试一．选择题1如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BDAD的值为( )A．1 B．22 C．2－1 D．2＋12．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：14．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．17 B．19 C．21 D．245．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6．已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（）A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.57．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形8．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.5 cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3 cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．9．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E．F分别是PB．PC（靠近点P）的三等分点，△PEF．△PDC．△PAB的面积分别为S1．S2．S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A． B． C．D．410．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE．BE分别交于点G．H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC =4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个 C．3 个 D．4个二．填空题11.如果两个相似三角形的周长分别为15 cm和25 cm，那么这两个相似三角形对应的角平分线的比为_______．12.一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为.13．已知两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则这两个三角形的周长分别为______________．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF= ．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是_________16．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．17．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.18．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．三．解答题19．如图，M是□ABCD的AB边的中点，CM与BD相交于点E，连接DM．设□ABCD 的面积为1，求图中阴影部分的面积．20．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN ，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．21．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A 端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高多少米？22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．24．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC．CD在同一条直线上，点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，连接AE．BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP．BD分别交于点G．H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．答案提示1.C 2．C． 3．C 4．D 5．D． 6．D 7．C 8．6 9．A．10．D．11. 3：5 12.1∶3 13．24 cm和80cm 14．4．15．7416．7． 17．5和20 18．．19．1 320．（1）解：由已知得MN=AB ， MD= AD= BC ，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴，∵MN=AB ， DM= AD ， BC=AD ，∴，∴由AB=4得，AD= ；（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为．21．1米22．（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．23．解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．24．解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．。
九年级数学上4.7相似三角形的性质同步练习(北师大附答案和解释)
九年级数学上4.7相似三角形的性质同步练习（北师大附答案和解释）北师大版数学九年级上册第三章第7节相似三角形的性质同步检测一、选择题 1、如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（） A、 B、 C、 D、 2、如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（） A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 3、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（） A、1：2 B、2：1 C、1：4 D、4：1 4、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（） A、1：4 B、2：1 C、1：2 D、4：1 5、给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（） A、1听 B、2听 C、3听 D、4听 6、已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（） A、7.5 B、6 C、5或6 D、5或6或7.5 7、如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（）A、4：5 B、16：25 C、196：225 D、256：625 8、两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（） A、45cm，85cm B、60cm，100cm C、75cm，115cm D、85cm，125cm 9、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（） A、17 B、19 C、21 D、24 10、若△ABC∽△DEF ，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数是（） A、50° B、60° C、70° D、80° 11、如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（） A、 B、 C、D、 12、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（） A、等腰三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形 13、△ABC∽△A1B1C1 ，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（） A、 B、 C、或 D、 14、如图，△ABC ， AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD= AB ，在AC上取一点E ，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（） A、 B、10 C、或10 D、以上答案都不对 15、如图，△ADE∽△ABC ，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（） A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：2 二、填空题 16、已知△ABC∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为________ ． 17、已知△ABC与△ 的相似比为2：3，△ 与△ 的相似比为3：5，那么△ABC与△ 的相似比为________。
北师大版九年级数学上册：4.7相似三角形的性质 课时练习(附详细解析)
4.7相似三角形的性质一、选择题（本题包括15个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（）A. B. C. D.2. 如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：14. 若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：4B. 2：1C. 1：2D. 4：15. 给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（）A. 1听B. 2听C. 3听D. 4听6. 已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF 的周长为（）A. 7.5B. 6C. 5或6D. 5或6或7.57. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（）A. 4：5B. 16：25C. 196：225D. 256：6258. 两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A. 45cm，85cmB. 60cm，100cmC. 75cm，115cmD. 85cm，125cm9. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A. 17B. 19C. 21D. 2410. 若△ABC∽△DEF ，∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°11. 如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.12. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形13. △ABC∽△A1B1C1，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A. B. C. 或 D.14. 如图，在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB ，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A. B. 10 C. 或10 D. 以上答案都不对15. 如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：2二、填空题（本题包括4个小题）16. 已知△ABC∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为________ ．17. 已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，那么△ABC与△ A2B2C2的相似比为________.18. 已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.19. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM=8，则△DEF中EF 边上的中线DN=________.三、解答题（本题包括2个小题）20. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．21. 已知：如图，△ABC∽△ADE， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．(1)求∠ADE的大小；(2)求DE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】根据题意得，选项A中两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例；选项B、C中，正方形、菱形分别相似，四条边均相等，故对应边成比例；选项D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，故选D．2. 【答案】B【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴，即，∴△RPQ的高为6．故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．故选B．考点：相似三角形的性质．3. 【答案】C【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选：C．考点：相似三角形的性质．4. 【答案】C【解析】∵两个相似多边形面积比为1：4，等于相似比的平方，周长的比等于相似比，∴周长之比为=1：2，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5. 【答案】B【解析】设小标牌的面积为S1，大标牌的面积为S2，则，故S2=4S1，∵小标牌用漆半听，∴大标牌应用漆量为：4×0.5=2（听），故选B．6. 【答案】D【解析】∵△ABC∽△DEF，如果2与4是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：4，即△DEF的周长：（4+5+6）=2：4，∴△DEF的周长为7.5；如果2与5是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：5，即△DEF的周长：（4+5+6）=2：5，∴△DEF的周长为6；如果2与6是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：6，即△DEF的周长：（4+5+6）=2：6，∴△DEF的周长5，故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．解此题时要注意对应边不确定，即相似比不确定，要分情况进行讨论，否则容易漏解．7. 【答案】D【解析】根据两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴162：252=256：625，即它们的面积比为256:625，故选D．8.【答案】C【解析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm，故选C．9. 【答案】D【解析】设另一个三角形的最短边为x ，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，得，∴x=9，y=15，∴x+y=24，故选D．10. 【答案】C【解析】在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=70°，又∵△ABC∽△DEF ，∴∠F=∠C=70°，故选C．11. 【答案】D【解析】∵△ABC∽△ADE ，∴，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．12. 【答案】C【解析】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等可知得到的三角形是直角三角形，故选C．13. 【答案】A【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，∴△ABC 与△A2B2C2的相似比为，故选A．14.【答案】C【解析】如图，①当∠AED=∠C时，即DE∥BC时，，∵AD=AB，AC=15，∴，∴AE =AC=10；②当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC，∴，∵AB=12，AC=15，AD=AB=8，∴，∴ AE= ；综合①，②，AE=10或，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是分△AED∽△ACB与△AED∽△ABC 两种情况进行讨论．15. 【答案】B【解析】因为△ADE∽△ABC，所以故选B二、填空题16. 【答案】2：3【解析】因为S△ABC：S△DEF=4：9=，所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，故答案为：2：3．17.【答案】2：5【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，∴AB:A1B1=2:3，A1B1:A2B2=3:5，∴AB：A2B2=2:5,即△ABC与△ A2B2C2的相似比为2：5，故答案为：2：5.18. 【答案】5和20【解析】根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．多边形的面积的比是：（1：2）2=1：4，设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．根据题意得：x+4x=25，解得x=5．因而这两个多边形的面积分别是5和20．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．19.【答案】6【解析】因为△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，所以AM:DN=4：3，因为AM＝8，所以DN＝6. 考点：相似三角形的性质.三、解答题20. 【答案】（1）（2）【解析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；（2）相似比即为是对应边的比；解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝.∴＝，即x＝4 (舍负)．∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：＝.21. 【答案】（1）∠ADE =95°；（2）DE=cm【考点】相似三角形的性质【解析】（1）先由三角形的内角和是180°求得∠ABC=95°；再由相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠ABC ，最后由等量代换求得∠ADE的大小；（2）由AE：EC=5：3求得AE：AC=5：8，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长度．解：（1）在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；又∵△ABC∽△ADE ，∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），∴∠ADE =95°；（2）∵AE：EC=5：3，∴AE：AC=5：8；又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，∴，即，∴DE=cm．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．熟记相关性质是解题的关键.。
度第一学期北师大版九年级数学上册_4.7_相似三角形的性质_同步课堂检测题
度第一学期北师大版九年级数学上册_44.7 相似三角形的性质 同步课堂检测题考试总分： 100 分 考试时间：90 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题〔共 10 小题 ，每题 3 分 ，共 30 分 〕1.某块面积为4000m 2的多边形草坪，在嘉兴市政树立规划设计图纸上的面积为250cm 2，这块草坪某条边的长度是40m ，那么它在设计图纸上的长度是〔 〕A.4cmB.5cmC.10cmD.40cm2.如图，△ACD ∽△ABC ，那么以下式子：①CD 2=AD ⋅DB ；②AC 2=AD ⋅AB ；③AC CD =AB BD ．其中一定成立的有〔 〕A.3个B.1个C.2个D.0个 3.如图，假定△ABC ∽△ACD ，∠A =60∘，∠ACD =40∘，那么∠BCD 的度数为〔 〕A.30∘B.40∘C.50∘D.30∘或50∘4.如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，BC =4cm ，假定矩形CEFB 与矩形ABCD 相似，那么矩形CEFB 的面积是〔 〕A.2cm 2B.4cm 2C.8cm 2D.16cm 25.△ABC 与△DEF 相似，且∠A =∠D ，那么以下结论中，一定成立的是〔 〕 A.∠B =∠E B.AB DE =AC DFC.相似比为AB DED.相似比为BC EF6.两个相似三角形对应高之比为2:3，那么它们的面积比为〔 〕A.√2:√3B.2:3C.4:9D.无法确定 7.两个相似多边形的面积比是9:16，其中较小多边形的周长为36cm ，那么较大多边形的周长为〔 〕A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm8.△ABC 与△A′B′C′的相似比为23，△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为54，那么△ABC 与△A″B″C″的相似比为〔 〕 A.56 B.65 C.56或65D.815 9.，如图，△ABC ∽△AED ，那么AE ⋅BC 等于〔 〕A.AC ⋅DEB.AB ⋅DEC.AC ⋅AED.AB ⋅AE 10.如图，D 、E 是AB 的三等分点，DF // EG // BC ，图中三局部的面积区分为S 1，S 2，S 3，那么S 1:S 2:S 3=( )A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:4二、填空题〔共 10 小题 ，每题 3 分 ，共 30 分 〕11.如图，假定△ABC ∽△DEF ，那么∠D 的度数为________．12.两个相似多边形的一组对应边的长区分是2cm 和3cm ，它们的面积之和为78cm 2，那么较大的多边形面积是________cm 2．13.△ABC 的长区分是6，8，10，与其相似的三角形的两条边长是3和4，那么这个三角形第三边的长是________．14.△ABC 与△DEF 相似，且∠A =∠E ，AB =4，BC =5，AC =6，EF =12，那么DF=________．15.△ABC的三条边长区分为3cm，4cm，5cm，△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的外形是________，又知△A′B′C′的最大边长为20cm，那么△A′B′C′的面积为________．16.两个相似五边形，一组对应边的长区分为3cm和4.5cm，假设它们的面积之和是78cm2，那么较大的五边形面积是________cm2．17.把一个长为2的矩形剪去一个正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的宽为________．18.两个相似三角形的面积之比为9:25，且这两个三角形的周长之和为16cm，那么其中较大三角形的周长为________cm．19.△ABC与△DEF相似且面积的比为9:16，那么△ABC与△DEF的周长比为________．20.假定△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是________，△A′B′C′的周长是________．三、解答题〔共 4 小题，每题 10 分，共 40 分〕21.如下图，∠C=90∘，BC=8cm，AC:AB=3:5，点P从点B动身，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C动身沿CA向点A以1cm/s的速度移动，假设P、Q区分从B、C同时动身，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？22.如图，一条东西走向的蜿蜒公路，点A、B表示公路北侧距离150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他抵达点P的位置时，观察树A恰恰挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米抵达点Q的位置时，以异样方法观察电视塔，观察树B也恰恰挡住电视塔．假定公路两侧AB // PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．23.如图，△ABC中，AI、BI区分平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延伸线于E，衔接CI．(1)△ABC变化时，设∠BAC=2α．假定用α表示∠BIC和∠E；(2)假定AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长．24.如下图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时区分从A，B动身沿AB，BC向终点B，C方向行进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时动身多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？答案1.C2.B3.B4.C5.D6.C7.A8.A9.B10.C11.30∘12.5413.514.10或1515.直角三角形96cm216.5417.√5−118.1019.3:420.2:537.521.解：∵∠C=90∘，BC=8cm，AC:AB=3:5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，那么BC=√AB2−AC2=4x(cm)，即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，那么BP=2tcm，CP=BC−BP=8−2t(cm)，CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当CPCB =CQCA，即8−2t8=t6时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当CPCA =CQCB，即8−2t6=t8时，△CPQ∽△CAB，解得：t=3211，∴过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．22.电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．23.解：(1)∠BIC=90∘+α，∠E=α(2)解：∵CI是∠BCA的平分线，CE是∠ACB 的外角平分线，∴∠ICE=∠ICA+∠ACE=12∠ACB+12∠ACD=90∘，分状况讨论：①事先△ABC∽△ICE，∠ABC=∠ICE=90∘，∠ACB=∠IEC=α，所以α=30∘，AC=2②事先△ACB∽△ICE，∠ACB=∠ICE=90∘，∠ABC=∠IEC=α，所以α=30∘，AC=12．③事先△BAC∽△ICE，∠BAC=∠ICE=90∘，∠IEC=12∠BAC=45∘，所以∠ABC=∠ACB=45∘，AC=AB=1．24.解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90∘，事先PBCD =BQDA，即10−x10=2x20，解得x=5；②设经x秒后，△QBP∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90∘，事先PBAD =BQDC，即10−x20=2x10，解得x=2．故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．。
2019秋北师大版九年级数学上册拓展训练：4.7相似三角形的性质
7 相似三角形的性质基础闯关全练拓展训练1.△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,且AD∶A'D'=2∶3,那么( )A.△ABC与△A'B'C'的周长之比为4∶9B.AB∶A'B'=2∶3C.S△A'B'C'∶S△ABC=∶D.S△ABC∶S△A'B'C'=2∶3答案 B 相似三角形对应边上高的比等于相似比,故B正确.2.已知△ABC和△DEF相似,且△ABC的三边长为3、4、5,如果△DEF的周长为6,那么下列不可能是△DEF的边长的是( )A.1.5B.2C.2.5D.3答案 D ∵△ABC的三边长为3、4、5,∴△ABC的周长=12,∴==2.选项A,1.5×2=3,与△ABC 一边长相符,故本选项不符合题意;选项B,2×2=4,与△ABC一边长相符,故本选项不符合题意;选项C,2.5×2=5,与△ABC一边长相符,故本选项不符合题意;选项D,3×2=6,故本选项符合题意.故选D.3.如图,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,G,H分别为DE,EF的中点,则△GEH与△ABC的面积比为( )A.1∶4B.1∶16C.1∶32D.1∶64答案 B 根据题意得△GEH∽△DEF∽△CAB,∴GH∶DF=1∶2,DF∶BC=1∶2,∴GH∶BC=1∶4,∴△GEH与△ABC的面积比为1∶16.故选B.4.已知△ABC的三边之比为2∶3∶4,若△DEF与△ABC相似,且△DEF的最大边长为20,则△DEF的周长为.答案45解析∵△DEF∽△ABC,△ABC的三边之比为2∶3∶4,∴△DEF的三边之比为2∶3∶4,又∵△DEF的最大边长为20,∴△DEF的另外两边长分别为10、15,∴△DEF的周长为10+15+20=45.能力提升全练拓展训练1.如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是.(结果可用根号表示)答案2-2解析要求题图中矩形内阴影部分的面积,可以通过将小正方形平移到大矩形的一边上去,剩下的阴影部分就变成了一边长为小正方形的边长其邻边长是大正方形的边长减去小正方形的边长的小矩形,而此时利用两个正方形相似,可以求得两个正方形的边长的关系,于是即可求得小矩形的面积.设小正方形的边长为x,大正方形的边长为y,则题图中矩形内阴影部分的面积是x(y-x)=xy-x2,因为任意两个正方形都相似,所以=,即=,所以xy=y2=2,所以阴影部分的面积=xy-x2=2-2.2.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°,∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.(2)由(1)知△ADF∽△DEC,∴=.∵AE⊥BC,AD∥BC,∴AE⊥AD,∴DE==6.∴=,∴AF=2.3.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC.(1)若AD=DF=FB,求S1∶S2∶S3;(2)若S1∶S2∶S3=1∶8∶27,求AD∶DF∶FB.解析∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.(1)∵AD=DF=FB,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3.∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶4∶9.令S△ADE=k,k>0,则S△AFG=4k,S△ABC=9k,∴S1=k,S2=4k-k=3k,S3=9k-4k=5k.∴S1∶S2∶S3=1∶3∶5.(2)∵S1∶S2∶S3=1∶8∶27,∴可设S1=m,m>0,则S2=8m,S3=27m,∴S△ADE=m,S△AFG=m+8m=9m,S△ABC=m+8m+27m=36m.∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶9∶36.∴AD∶AF∶AB=1∶3∶6,∴AD∶DF∶FB=1∶2∶3.4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点P(与点A,C不重合)在AC边上,PQ∥AB交BC于点Q.(1)当△PCQ的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;(2)当△PCQ的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;(3)试问在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.解析(1)∵S△PCQ=S四边形PABQ,∴S△PCQ∶S△ABC=1∶2.∵PQ∥AB,∴△PCQ∽△ACB.∴==,∴=,∴CP=AC=×4=2.(2)∵△PCQ的周长与四边形PABQ的周长相等,∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ,∴PC+CQ=PA+AB+QB=(AB+BC+AC)=6.∴CQ=6-CP.又∵PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC,∴=,即=.解得CP=.(3)存在.根据题意分两种情形:①如图a,当PQ为等腰直角三角形的腰,即∠MPQ=90°时.∵BC2+AC2=32+42=52=AB2,∴∠C=90°,∴△ABC中AB边上的高为.设PM=PQ=x,∵△PQC∽△ABC,∴=,解得x=.∴当∠MPQ=90°,PM=PQ时,PQ=.同理,当∠M'QP=90°时,PQ=.②如图b,当PQ为等腰直角三角形的底,即∠PMQ=90°时,M到PQ的距离为PQ.设PQ=x,∵△PQC∽△ABC,∴=,解得x=,即PQ=.5.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2.(1)当t=3时,求S的值;(2)当t=5时,求S的值.解析(1)作PE⊥QR于点 E.∵PQ=PR,∴QE=RE=QR=4cm.在Rt△PQE中,根据勾股定理,得PE===3cm.当t=3时,QC=3cm.设PQ交CD于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴==.∵S△QEP=·QE·PE=×4×3=6cm2,∴S=×6=(cm2).(2)当t=5时,点B与点Q重合.CR=3cm,过P作PE⊥BC于E,设PR与DC交于点M.∵PE∥DC,∴△RCM∽△REP.同(1)可求出S△RCM=cm2,∴S=S△PQR-S△RCM=2S△QEP-S△RCM=12-=(cm2).三年模拟全练拓展训练1.(2016天津河北模拟,6,★★☆)如果一个三角形的三边长为5、12、13,与其相似的三角形的最长的边长为39,那么较大的三角形的面积为( )A.90B.180C.270D.540答案 C ∵52+122=132,∴三边长为5、12、13的三角形是直角三角形,面积为×5×12=30,由题意得两个三角形的相似比为=,则两个三角形的面积比为=,∴较大的三角形的面积为30×9=270,故选C.2.(2016浙江杭州朝晖中学月考,17,★★☆)如图,△ADE∽△ABC,=,△ABC的面积为18,求四边形BCED的面积.解析∵=,∴=,∵△ADE∽△ABC,=,∴△ADE与△ABC的面积比为,又△ABC的面积为18,∴△ADE的面积为2,∴四边形BCED的面积=△ABC的面积-△ADE的面积=16.五年中考全练拓展训练1.(2016湖北随州中考,7,★★☆)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是( )A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶25答案 B ∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,∵S△DOE∶S△COA=1∶25,∴=,∵DE∥AC,∴==,∴=,∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4,故选B.2.(2016湖南永州中考,10,★★☆)圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2m,桌面离地面1m,若灯泡离地面3m,则地面圆环形阴影的面积是( )A.0.324πm2B.0.288πm2C.1.08πm2D.0.72πm2答案 D 如图所示:∵AC⊥OB,BD⊥OB,∴△AOC∽△BOD,∴=,即=,∴BD=0.9m,同理可得BD'=0.3m,∴S圆环形阴影=0.92π-0.32π=0.72π(m2).故选D.3.(2015四川德阳中考,19,★★☆)如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABC=2∠BAM.(1)求证:AG=BG;(2)若M为BC的中点,同时S△BGM=1,求三角形ADG的面积.解析(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴BD平分∠ABC,∴∠ABG=∠ABC.又∵∠ABC=2∠BAM,∴∠BAG=∠ABG,∴AG=BG.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△BGM∽△DGA.∵M为BC的中点,∴BM=BC=AD.即△BGM与△DGA的相似比为1∶2,∴S△BGM∶S△DGA=1∶4.∵S△BGM=1,∴S△DGA=4.核心素养全练拓展训练1.(2015广东珠海中考,10,★★☆)如图,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中点,得△A3B3C3,……,则△A5B5C5的周长为.答案1解析∵A2、B2、C2是△A1B1C1的三边中点,∴可证△A1B1C1∽△A2B2C2,∴=,即△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长;同理,△A3B3C3的周长=△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长,…….由此类推,△A5B5C5的周长=△A1B1C1的周长=×(7+4+5)=1.2.课本中有一道作业题:小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题:(8分)(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的,如图①,此时,这个矩形零件的两条邻边长又分别为多少mm?请你计算;(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图②,这样,此矩形零件的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长.图①图②解析(1)设PQ=x mm,∵△APN∽△ABC,∴=,∴=,解得x=,∴PN=2x=mm.∴这个矩形零件的两条邻边长分别为mm,mm.(2)设PQ=x mm,∵△APN∽△ABC,∴=,∴=,∴PN=mm,∴S矩形PQMN=x=-x2+120x=-(x-40)2+2400mm2,∴当x=40,即PQ=40mm,PN=60mm时,矩形面积最大.。
4.7相似三角形的性质-北师大版九年级数学上册假期同步测试
北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质同步测试一．选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．如图，如图，A．B．C．P．Q．甲．乙．丙．丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲．乙．丙．丁四点中的（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则S△EFG ∶S△ABG＝( )A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A． B． C． D．5．给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（）A．1听 B．2听 C．3听 D．4听6．用一放大镜看一个直角三角形，该三角形的边长放大到原来的10倍后，下列结论错误的是 ( )A．斜边上的中线是原来的10倍 B．斜边上的高是原来的10倍C．周长是原来的10倍 D．最小内角是原来的10倍7．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE．DB相交于点M，N，则MN的长为（）A． B． C．D．8．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm9．如图，△ABC ， AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD= AB ，在AC 上取一点E ，使以A．D．E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A． B．10 C．或10 D．以上答案都不对10．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B．C不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB ：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题11.若两个相似三角形的面积比是4：9，则这两个三角形的周长比为_______，对应边上的中线的比为_______．12．如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B= °．13．两个三角形相似，一组对应边长分别为3 cm和2 cm，若它们对应的两条角平分线的长度之和为15 cm，则这两条角平分线的长分别为______________．14．已知△ABC与△的相似比为2：3，△与△的相似比为3：5，那么△ABC与△的相似比为________.15．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG 的长为．16.两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°．60°．那么另一个三角形的最大角是________度，最小角是________度．17．若三角形的三条中位线的长度分别是5 cm ．12 cm ．13 cm ，则这个三角形的面积是_______．18．如图，已知△ABC ．△DCE ．△FEG ．△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ．CE ．EG ．GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．三．解答题19．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为5 cm ．12 cm ，另一个与其相似的直角三角形的斜边长为20 cm ，求另一个直角三角形斜边上的高．20．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的41，若AB=2，则△ABC 平移的距离是多少？21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC．BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD 交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．23．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E．H分别在AB．AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．答案提示1．D ．2．B 3.C 4．A ． 5．B 6．D 7．B ． 8．C 9．C 10．D ．11. 2：3 2：3 12．37．13．9cm 和6 cm 14．2：5 15．3﹣． 16．80；40 17．120 cm 2 18．．19．解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm 、12cm ，由勾股定理得，斜边设斜边上的高为h ， 则h ⨯⨯=⨯⨯132151221 解得，h=1360 设另一个直角三角形斜边上的高为n ， 由题意得，n13602013= 解得，n=1200169答：另一个直角三角形斜边上的高为cm 1691200．20．解：∵把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，∴AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△DA ′B ，∵S △ABC ：S △DA ′B =4，∴AB ：A ′B=2，∵AB=2，∴A ′B=1，∴AA ′=2-1=1．21．解：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD=BC ，OB=OD ，∴∠DMN=∠BCN ，∠MDN=∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴=，∵M 为AD 中点，∴MD=AD=BC ，即=， ∴=，即BN=2DN ，设OB=OD=x ，则有BD=2x ，BN=OB+ON=x+1，DN=x ﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为，∴△MCD面积为2.5，∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10．22．解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BEC相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1，∴E（2，2），或（3，）．23．（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．24．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，．由题意知：BM=2t，，∴，∵BM=BN，∴，解得：．（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：．综上所述：当或时，△MBN与△ABC相似．（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y===∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．此时，．。
初中数学北师大版九年级上册第四章7相似三角形的性质练习题
初中数学北师大版九年级上册第四章7相似三角形的性质练习题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为A. 75，115B. 60，100C. 85，125D. 45，852.如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为，轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则的最小值为A. B. C. D.3.在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为，则这块多边形地区的实际面积为A. B. C. D.4.如图，与都是正方形网格中的格点三角形顶点在格点上，那么与的周长比为A. B. 1：2 C. 1：3 D. 1：45.两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为A. 10和14B. 9和15C. 8和16D. 11和136.用放大镜观察一个五边形时，不变的量是A. 各边的长度B. 各内角的度数C. 五边形的周长D. 五边形的面积7.如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且则AB：AD的值是A. ：1B. ：1C.D.8.两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和，如果它们的面积和为，则较大多边形的面积为A. B. C. D.9.如图，∽，若，，，则BC的长是A. 4B. 6C. 8D. 710.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为______．12.将一个矩形减去一个正方形所剩的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______ ．13.如图，在一块直角三角板ABC中，，，，将另一个含角的的角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若与相似，则________．14.若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为______．三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）15.如图，点C，D在线段AB上，是等边三角形，且∽．求的大小．说明线段AC，CD，BD之间的数量关系．16.如图，在中，点D是边AB上一点且．求证：∽；若，，求AC的长．17.如图，在平行四边形ABCD中，，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且求证：∽；求证：．18.如图，平面直角坐标系中，，C是AB的中点，点M在线段OA上，直线CM截所得到的与相似，求M的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【解答】解：两相似三角形的一组对应边为15和23，两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：，，，，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了最短距离问题，相似三角形的性质的有关知识，解答的关键在于根据题意做出辅助线和正确运用相似三角形的知识作Q点关于OP的对称点E，过E作轴于F点，利用三角形的高求出，又∽，，利用相似的性质求出EF即可．【解答】解：作Q点关于OP的对称点E，过E作轴于F点，由勾股定理得，在中，由等面积法得OP边上的高为，所以，EF即为的最小值，又，，，所以∽，则即，解得：．故选D．3.【答案】B【解析】解：设这个地区的实际面积是，，，．故选：B．根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．4.【答案】A【解析】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：，，，；，，，∽，：：，故选：A．设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出、的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明∽，即可解决问题．本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，这两个三角形周长比为：3：5，周长之和是24，这两个三角形周长分别为：，．故选：B．由两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得这两个三角形周长比为：3：5，又由周长之和是24，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用．6.【答案】B【解析】解：用一个放大镜去观察一个五边形，放大后的五边形与原五边形相似，相似五边形的对应边成比例，各边长都变大，故A选项错误；相似五边形的对应角相等，对应角大小不变，故选项B正确；相似五边形的周长得比等于相似比，选项错误．故选：B．首先由用一个放大镜去观察一个五边形，可得放大后的五边形与原五边形相似，然后由相似五边形的性质即可求得答案．此题考查了相似形的性质．注意相似形的对应边成比例，相似形的对应角相等，相似形的面积比等于相似比的平方，相似形的周长得比等于相似比．7.【答案】C【解析】解：矩形ABCD∽矩形BCFE，，即，整理得，，，：，故选：C．根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：设较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为：，两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和，，解得故选：C．设较大多边形的面积为S，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列出关于S的方程．求出S的值即可．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，由题可知∽，可根据相似三角形的对应边成比例求解．，即，解得：，故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查相似多边形的性质以及矩形的性质，根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长，宽分别为b，，小长方形与原长方形相似，，．故选B．11.【答案】【解析】解：设较小三角形的对应边上的高为h两个相似三角形面积之比为2：7相似比为较大三角形一边上的高为，即较小三角形的对应边上的高为．根据相似三角形的相似比求解．本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12.【答案】【解析】解：设原矩形的长与宽分别为x、y，则剩下矩形的长是y，宽是，剩下的矩形与原矩形相似，，整理得，，解得或舍去，原矩形的宽与长的比为．故答案为：．设原矩形的长与宽分别为x、y，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解．本题主要考查了多边形对应边成比例的性质，表示出剩下的矩形的长与宽是解题的关键．13.【答案】或【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用解题的关键是对的直角顶点分类讨论由，得，从而得到是等边三角形，利用三角形边的关系得到当时∽，得，当时∽，得，将EF和DF转化为只含CF的式子，解之即可求解．【解答】解：，，．是等边三角形．，．，．．如图，若，，，，是等边三角形，，，，∽，，即．解得．．如图，若，，，即，又，∽，，即．解得．．综上所述，AD的长为或．故答案为或．14.【答案】1：2【解析】解：相似多边形的对应边的比等于相似比，它们的相似比：：2，故答案为1：2．根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可解决问题．本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15.【答案】解：是等边三角形，，，∽，，，；，理由如下：∽，，又，．【解析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理和等边三角形的性质是解决此题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可；根据相似三角形的性质结合等边三角形的性质即可得到结论．16.【答案】解：，，∽；∽，，，；【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案；根据相似三角形的性质即可求出答案；本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．17.【答案】证明：，，平行四边形ABCD，，，，，，∽；∽，，，∽，，又，．【解析】根据平行四边形的性质可得到，由等边对等角可得到，根据平行四边形的性质利用SAS可判定≌，由全等三角形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定得出即可；由∽可得到对应边成比例，已知从而可推出∽，已知，根据对应成比例不难得到结论．此题主要考查学生对平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18.【答案】解：当时，∽，由点C是AB的中点，所以M为OA的中点，此时M点坐标为；当时，如图，，∽，，点和点，，点C是AB的中点，，，，，此时M点坐标为．【解析】本题考查的时相似三角形的性质，坐标与图形的性质，分类讨论，勾股定理有关知识分类讨论为：分类讨论：当时，∽，易得M点坐标为；当时，如图，由于，则∽，得到，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AM，于是可得到OM的长，从而得到M点坐标．。
北师大版九年级上册数学 4.7 相似三角形的性质4.7 相似三角形的性质 练习
4.7 相似三角形的性质1． 若△ABC ∽△A`B`C`，则相似比k 等于（ ）A ．A`B`:AB B ．∠A: ∠A`C ．S △ABC ：S △A`B`C`D ．△ABC 周长：△A`B`C`周长2． 把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（ ）A ．10000倍B ．10倍C ．100倍D ．1000倍3． 两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）A ．2:3B ．3：2C ．9：4D ．不能确定4． 把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（ ）A ．49倍B ．7倍C ．50倍D ．8倍5． 两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积和为78cm 2，那么较大多边形的面积为（ ）A ．46.8 cm 2B ．42 cm 2C ．52 cm 2D ．54 cm 26． 两个多边形的面积之比为5，周长之比为m ，则m5为（ ） A ．1 B ．55 C ．5 D ．5 7． 在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm 2，则这块多边形地区的实际面积为（ ）A ．6m 2B ．60000m 2C ．600m 2D ．6000m 28． 已知△ABC ∽△A`B`C`，且BC ：B`C`＝3：2，△ABC 的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.9． 两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.10． 两个相似多边形最长的的边分为10cm 和25cm ，它们的周长之差为60cm ，则这两个多边形的周长分别为_______.11． 四边形ABCD ∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm ，则四边形ABCD 的周长为________.12． 如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝2，S 矩形ABCD ＝3S 矩形ECDF 。
北师大版九年级上册数学 4.7 相似三角形的性质4.7 相似三角形的性质 练习
4.7 相似三角形的性质1． 若△ABC ∽△A`B`C`，则相似比k 等于（ ）A ．A`B`:AB B ．∠A: ∠A`C ．S △ABC ：S △A`B`C`D ．△ABC 周长：△A`B`C`周长2． 把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（ ）A ．10000倍B ．10倍C ．100倍D ．1000倍3． 两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）A ．2:3B ．3：2C ．9：4D ．不能确定4． 把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（ ）A ．49倍B ．7倍C ．50倍D ．8倍5． 两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积和为78cm 2，那么较大多边形的面积为（ ）A ．46.8 cm 2B ．42 cm 2C ．52 cm 2D ．54 cm 26． 两个多边形的面积之比为5，周长之比为m ，则m5为（ ） A ．1 B ．55 C ．5 D ．5 7． 在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm 2，则这块多边形地区的实际面积为（ ）A ．6m 2B ．60000m 2C ．600m 2D ．6000m 28． 已知△ABC ∽△A`B`C`，且BC ：B`C`＝3：2，△ABC 的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.9． 两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.10． 两个相似多边形最长的的边分为10cm 和25cm ，它们的周长之差为60cm ，则这两个多边形的周长分别为_______.11． 四边形ABCD ∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm ，则四边形ABCD 的周长为________.12． 如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝2，S 矩形ABCD ＝3S 矩形ECDF 。