2018届福建省南安第一中学高三上学期第二次阶段考试数学(理)试题 Word版 含解析

南安一中2017～2018学年上学期高三年第二次阶段考
数学（理科）试卷
满分：１５０分，考试时间：１２０分钟
第I 卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题只有一项符合题目要求 1.已知复数z 是一元二次方程0522=+-x x 的一个根，则z 的值为（ ）
A ．5
B
C ．5
D ．2
2. “2
0πα<<”是“1sin 22=+αy x 表示椭圆”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立
圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =1
3，根据“开立圆
术”的方法求球的体积为（ ） A ．
481
π
B ．
6
π C ．
481
D ．
6
1 4.已知焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为1
3
，则椭圆的方程是（ ）
A ．2214x y +=
B ．22198x y +=
C ． 22143x y +=
D ．22189
x y +=
5.若函数)(x f y =的周期为2,当]2,0[∈x 时, 2)1()(-=x x f 如果1log )()(5--=x x f x g ，则函数的所有零点之和为（ ）
A ． 8
B ． 6
C ． 4
D ．10
6.等腰直角三角形ABC 中，90,2,A AB AC D =︒==是斜边BC 上一点，且3BD DC =，
则()
AD AB AC ⋅+=
（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4 7.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）
A ．
4
3
B ．7
C ．5
D ．7+
8.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ， 3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
216
3
n n S a ++的最小值为（ ） A ．3 B ． 4 C ．
2- D ． 9
2
9.已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >）
，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得
90APB ∠=︒，则a 的取值范围为（ ）
A ．(]0,3
B ． []1,3
C ．[]2,3
D ．[]1,2
10.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且满足()()'20xf x f x +>，
则不等式2017
)5(5520172017+<
++x f x f x ）（）（的解集为（ ） A ．}2012{->x x B ．}2012{-<x x C ．}02012{<<-x x D ．}20122017{-<<-x x
11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+π0,,02ωϕ⎛⎫⎡⎤>∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的周期为π，将函数()f x 的图像沿着y 轴向上平移一个单位得到函数()g x 图像．设()1g x <，对任意的ππ,312x ⎛⎫
∈-- ⎪
⎝⎭
恒成立，当ϕ取得最小值时，π4g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
12.已知函数⎩⎨
⎧=<≤--=)
2(,1)20(,1])[2()(x x x x x f ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n N ∈，定义函数
)(x f n ：)()(1x f x f =，))(()(12x f f x f =， ，)2))((()(1≥=-n x f f x f n n ，则下列说法正确的有（ ） ①
y =
的定义域为2,23
⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
； ②设{}0,1,2A =， ()3{|,}B x f x x x A ==∈，则A B =；
③201620178813
999
f f ⎛⎫⎛⎫+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|,0,2}M x f x x x ==∈，则M 中至少含有8个元素．
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
第II 卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设变量,x y 满足约束条件：222
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则44+++=x y x Z 的最大值是______．
14.已知正四棱锥O －ABCD 的体积为2
2
3，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的体积为________．
15.在满足1622=+y x 的两个实数y x ,之间插入三个实数，使这五个实数构成一个等差数列，则这个等差数列后三项和的最大值为__________．
16.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点P 的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
①13216
f π
⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=；
③32f
π
=
；④f =其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）
三．解答题：本大题共6小题，其中第22题、第23题10，其它各题都是12分，共70分。

17.已知)(x f 是递增的一次函数，且满足14)1()(2-=+x x f x f ，若点))(,(*
N n a n n ∈在函数)(x f 的图
象上．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n a n n
a b 2)1(+=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
18.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
3
，过左焦点F 且垂直于x 轴的弦长为1．
（I ） 求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）点)0,(m P 为椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 且斜率为
2
1
的直线l 交椭圆C 于A ，B 两 点，问：2
2
PB PA +是否为定值？若是，求出这个定值并证明，否则，请说明理由． 19．在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且1)1tan (tan cos cos 2=-C A C A . （I ）求B 的大小;
（II ）若D 为AC 的中点，且1=BD ，求ABC ∆面积的最大值
.
20.四棱锥ABCD -P 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
3
2π
=
∠DAB ，O BD AC =⋂，且⊥PO 平面ABCD ，3=PO ，点G F ,分别是线段PD PB ,的中点，点E 在PA 上，且PE PA 3=． （Ⅰ）求证：BD ∥平面EFG ；
（Ⅱ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面EFG 与四棱锥ABCD -P 的表面的交线，
并写出作图的步骤．
21.已知函数()2
x
f x e x x =+-， ()2
,,R g x x ax b a b =++∈．
（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；
（Ⅱ）若曲线()y f x =在点()0,1处的切线l 与曲线()y g x =切于点()1,c ，求,,a b c 的值； （Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l
的极坐标方程为3cos sin 60ρθρθ+-=，圆C
的参数方程为1x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩，
（Ⅰ）求直线被圆所截得的弦长；
（Ⅱ）已知点()0,2P -，过P 的直线'l 与圆所相交于A B 、不同的两点，求PA PB ⋅
．
23．（本小题满分10分）已知点(),P a b 在圆C ：22x y x y +=+()()
,0,x y ∈+∞上， （Ⅰ）求
11
a b
+的最小值； （Ⅱ）是否存在a ，b ，满足()()114a b ++=？如果存在，请说明理由．
南安一中2017～2018学年上学期高三年第二次阶段考。