11年高考数学总复习教学抛物线
高考数学抛物线复习
抛物线复习【高考会这样考】1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．考点梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口 方向向右 向左 向上 向下【助学·微博】一个重要转化 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”． 六个常见结论直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图． ①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 考点自测1．(陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )． A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x2．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.743．(四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 54．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．(新乡模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．考向一抛物线的定义及其应用【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【训练1】设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【训练2】(郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x考向三抛物线的焦点弦问题【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【训练3】 若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．方法优化——有关抛物线焦点弦的解题技巧【真题探究】► (安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )．A.22B. 2C.322 D ．2 2【试一试】 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与该抛物线相交于A (x 1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是()．A．4 B．8 C．12 D．16A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )． A.34 B ．1C.54D.742．(东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为 ( )．A ．2B ．18C ．2或18D ．4或163．(全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝ ( )．A.45B.35C ．－35D ．－454．(山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )． A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y二、填空题(每小题5分，共10分)5．(郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．6．(陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．三、解答题(共25分)7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．(13分)(温州十校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( )．A ．9B ．6C ．4D ．32．(洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )．A. 3B. 5 C ．2 D.5－1二、填空题(每小题5分，共10分)3．(北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．4．(重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.三、解答题(共25分)5．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP→＝λAQ →. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．6．(13分)(新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C 上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．。
高考数学——抛物线-考点复习
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. @#网
典例 2 抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为 1，则 p =
1
A．
2
C．2
B．1 D．4
【答案】C
本题选择 C 选项. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合 抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.
3
B．
2 9
D．
4
8．曲线 y = 2x2 上两点 A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) 关于直线 y=
3
A．
2 5
C．
2
B． 2 D． 3
x
+
m 对称，且
x1
⋅
x2
=− 1 2
，则
m
的值为
9．已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 H 作抛
PF= x + p 或 PF= y + p ，使问题简化．
2
2
3
典例 1 平面内动点 P 到点 F (0, 2) 的距离和到直线 l ： y = −2 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是
_____________.
【答案】 x2 = 8 y
【解析】由题意知，该点轨迹是以 F (0, 2) 为焦点，y = −2 为准线的抛物线，其中 p = 4 ，所以方程为 x2 = 8 y .
则 △OFM 的周长为
A． 4
B． 2 5 +1
C． 5 + 2 或 4
高考数学第一轮复习：《抛物线》
高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3， 所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0， 所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一 抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二 抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值． 【反思归纳】 直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点． 又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】 直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点 所获信息 抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4， 所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14， 所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ， 解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0， 则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2， 可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0， 所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第七节 抛物线(课件)
答案：B
答案：(1)D
答案：A
反思感悟 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：根据焦点或准线的位置． (2)再定形：即根据条件求p. 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方 程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
解析：当焦点在x轴上时，根据y＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(4，0)，所 以抛物线的标准方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，根据x＝0，x－2y－4＝0可得 焦点坐标为(0，－2)，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.
答案：B
关键能力—考点突破
答案：(1)A
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)， 则|PB|＋|PF|的最小值为__4______．
3．[选修1－1·P64A组T4(2)题改编]顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛 物线的标准方程是__________________.
答案：D
5．(忽视焦点的位置致误)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上， 则此抛物的标准方程为___y_2＝__1_6_x或__x_2_＝_－__8_y__.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系 数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
答案：B
微专题35 活用抛物线焦点弦的几个结论
数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命 题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论 有助于数学运算，两者相辅相成，本课时抛物线的焦点弦问题的四个 常用结论即为具体表现之一．
向右 |PF|＝
高考数学(理科)总复习 9.5 抛物线及其性质
(1)设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),直线与抛物线交点的个数等价于
方程组
y y
kx 2 2
b, px
解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.
①当k≠0时,若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若Δ=0,则直线
②当k=0时,直线y=b与抛物线y2=2px(p>0)相交,有一个公共点.特别地,当 直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m>0时,l与抛物线相交,有两个公共 点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m<0时,l与抛物线相离,无 公共点. (2)直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的 最小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之, 二是利用切线法求. (3)相切时,求切线斜率,一种方法是利用Δ=0求,另一种方法是利用导数求. 3.焦点弦的性质 以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F
焦点 弦长
y2=2px(p>0)
p
2 +x0 p+(x1+x2)
y2=-2px(p>0)
p
2 -x0 p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
p
2 +y0 p+(y1+y2)
x2=-2py(p>0)
p
2 -y0 p-(y1+y2)
考向突破
考向 抛物线的几何性质
例
(2018贵州贵阳一模,8)过点M
k
方法技巧
方法 抛物线焦点弦问题的求解方法
(1)求抛物线的焦点弦长时,可应用公式求解,解题时,需要依据抛物线的 标准方程确定弦长是由p与交点横坐标确定,还是由p与交点纵坐标确 定,进一步还要确定是p与交点横(纵)坐标的和还是差,这是正确解题的 关键. (2)熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的选择题和 填空题的关键.
高考数学科学复习创新方案：抛物线(一)
抛物线(一)[课程标准]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的02焦点，直线l叫做抛物线的03准线．2．抛物线的标准方程与几何性质O(0，0)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F |PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．1．(人教A 选择性必修第一册P133练习T 2改编)抛物线y ＝2x 2的准线方程为()A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18.故选A.2．(2023·绍兴模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若点P (1，m )在抛物线上，且|PF |＝3，则p ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8答案C解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为x ＝－p 2，点P (1，m )在抛物线上，且|PF |＝3，由抛物线的定义可知1＋p2＝3，则p ＝4.故选C.3．(人教B 选择性必修第一册2.7.1练习B T 5改编)若动点M (x ，y )到点F (4，0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，则点M 的轨迹方程是()A ．x ＝－4B ．x ＝4C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x答案D解析∵点M 到F (4，0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，∴点M 到F的距离和它到直线x ＝－4的距离相等，故点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＝－4为准线的抛物线，得点M 的轨迹方程为y 2＝16x .4．(人教A 选择性必修第一册3.3.1练习T 3改编)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，|PF |＝6，则点P 的横坐标为()A ．6B ．5C ．4D ．2答案C解析设点P 的横坐标为x 0，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2.∵点P 在抛物线上，|PF |＝6，∴x 0＋2＝6，∴x 0＝4.故选C.5．(人教B 选择性必修第一册习题2－7C T 1(1)改编)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案4解析如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.()A ．y 2＝－92xB ．y 2＝92xC ．x 2＝－43yD ．x 2＝43y答案AD解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .故选AD.(2)(2021·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________；作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________．答案545解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1，0)．因为|FM |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝45.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，常采用以下两种模式设抛物线的标准方程：焦点在x 轴上设为y 2＝ax (a ≠0)焦点在y 轴上设为x 2＝ay (a ≠0)1.动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案D解析设动圆的圆心为C ，半径为r ，则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1，而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ，所以动圆圆心到直线x ＝2的距离为r ＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C 的方程为()A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案C解析抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点M (x 0，y 0)，由抛物线的定义，知|MF |＝x 0＋p 2＝5，得x 0＝5－p 2，则以MF 为直径的圆的圆心横坐标为52，而圆的半径为52，于是得该圆与y 轴相切于点(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即－p 2，42＝2p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()C ．(1，0)D ．(2，0)答案B解析因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，不妨设点D 在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2，2)，代入y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1故选B.(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．答案x ＝－32解析解法一：不妨设点P 在第一象限，如图，由已知可得k OP ＝2，又PQ ⊥OP ，所以k PQ ＝－12.所以直线PQ 的方程为y －p 令y ＝0，得x ＝52p .所以|FQ |＝52p －p 2＝2p ＝6，所以p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－p 2＝－32.解法二：由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．1.已知抛物线C ：y 2＝4x 与圆E ：(x －1)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则△MNE 周长的取值范围为()A ．(3，5)B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]答案C解析如图所示，圆E 的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线为x ＝－1.由2＝4x ，x －1）2＋y 2＝9，解得＝2，＝22或＝2，＝－22，不妨令A (2，22)，B (2，－22)，所以2<x M <4.设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线x ＝－1于D ，根据抛物线的定义可知|NE |＝|ND |，所以△MNE 的周长为|ME |＋|NE |＋|MN |＝3＋|ND |＋|MN |＝3＋|MD |.而|MD |＝x M ＋1∈(3，5)，所以3＋|MD |∈(6，8)，即△MNE 周长的取值范围是(6，8)．故选C.2．(2023·湖北校考模拟预测)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的射线与抛物线交于点A ，与准线交于点B ，若|AF |＝2，|BF |＝6，则p 的值为________．答案3解析过点A 作AM ⊥准线于点M ，则|AM |＝|AF |＝2，∵|AF |＝2，|BF |＝6，∴|AB |＝4，由AM ∥DF 可得|AM ||DF |＝|AB ||BF |，即2p ＝46，解得p ＝3.多角度探究突破角度到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题例3(多选)(2023·湖北部分重点中学联考)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P 是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是()A．|PF|的最小值为1B．|QF|的最小值为10C．|PF|＋|PQ|的最小值为4D．|PF|＋|PQ|的最小值为10＋1答案AC解析抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1.对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|＝1，故A正确；对于B，注意到F是定点，由圆的性质可知，|QF|的最小值为|CF|－r＝10－1，故B错误；对于C，D，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确，D错误．故选AC.角度到定直线的距离最小问题例4(2023·浙江模拟)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是() A．2B．3C.115D.3716答案B解析拋物线x2＝4y 的焦点F (0，1)，准线l ：y＝－1，设动点P 到直线l ，l 1，l 2的距离分别为d ，d 1，d 2，点F 到直线l 1的距离为d 3＝|3×0－4×1－6|32＋（－4）2＝2，由d 2＝d ＋1＝|PF |＋1，可得d 1＋d 2＝d 1＋|PF |＋1≥d 3＋1＝3，当且仅当PF ⊥l 1且P 在F 与l 1之间时，等号成立，即动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是3.故选B.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．1.已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A.3 B.5C ．2 D.5－1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F (1，0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.2．已知点M (20，40)不在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，抛物线C 的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值为________．答案42或22解析当点M (20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，＝41，解得p＝42；当点M(20，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋p240)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为4141，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，抛物线C：y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.课时作业一、单项选择题1．(2023·成都模拟)抛物线y＝16x2的焦点坐标为()A．(0，4)B．(4，0)答案C解析抛物线的标准方程为x2＝1y故选C.162．(2023·济南期末)已知抛物线的准线方程为x＝1，则该拋物线的标准方程为()A．x2＝－4y B．x2＝4yC．y2＝4x D．y2＝－4x答案D解析由题意知，抛物线的准线方程为x＝1，所以抛物线开口向左，设拋物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则p＝1，即p＝2，所以拋物线的标准方程为y22＝－4x.故选D.3．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M 到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B.6C.5D.4答案D解析因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.4．(2023·邯郸一模)抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，一条平行于x轴的光线，经过点A(3，1)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是()A．x＝－4B．x＝－2C．x＝－1D．x＝－12答案B＝5，解得p＝4，则抛物线C的解析由抛物线的定义可得|AB|＋|BF|＝3＋p2＝－2.故选B.准线方程是x＝－p25．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意可知，点F又F为△ABC的重心，故x A＋x B＋x C3＝12，即x A ＋x B ＋x C ＝32.又由抛物线的定义可知|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋x B ＋x C ＋32＝32＋32＝3.故选C.6．(2023·十堰二模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 的准线与坐标轴交于点P ，点M (3，2)，且△MFP 的面积为2，若Q 是抛物线C 上一点，则△FMQ 周长的最小值为()A ．4＋2B ．4＋22C ．4＋10D ．4＋210答案B解析由题意可知，△MFP 的面积为12×p ×2＝2，解得p＝2，则F (1，0)，准线方程为x ＝－1，|MF |＝（3－1）2＋22＝22，点Q 到准线的距离为|QQ ′|，△FMQ 的周长最小，需|QF |＋|MQ |最小，即|QQ ′|＋|MQ |最小，所以当MQ 垂直于抛物线C 的准线时，△FMQ 的周长最小，且最小值为4＋2 2.故选B.7．(2023·咸阳模拟)若F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，P 是抛物线C 上任意一点，|PF |的最小值为1，且A ，B 是抛物线C 上两点，线段AB 的中点到y 轴的距离为2，则|AF |＋|BF |＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案D解析由条件可得P (x 0，y 0)(x 0≥0)，则|PF |2＝0＋2px 00，当且仅当x 0＝0时取等号，所以＝1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AB 的中点到y 轴的距离为2，所以x 1＋x 2＝4，所以由抛物线的定义可知|AF |＋|BF |＝p ＋x 1＋x 2＝6.故选D.8．已知点P 为抛物线x 2＝4y 上任意一点，点A 是圆x 2＋(y －6)2＝5上任意一点，则|PA |的最小值为()A.5B ．25C ．35D ．6－5答案A解析圆x 2＋(y －6)2＝5的圆心为C (0，6)，半径r ＝5.设0则|PC |2＝x 20＝116x 40－2x 20＋3620－＋20，当x 20＝16时，|PC |2有最小值20，数形结合可知|PA |min ＝|PC |min －5＝25－5＝5.二、多项选择题9．(2023·衡水联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，则下列结论正确的是()A ．焦点F 到抛物线准线的距离为2B ．若|PF |＝2，则点P 的坐标为(1，2)C ．过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D ．若点M 的坐标为(1，4)，则|PM |＋|PF |的最小值为4答案AD解析由抛物线的解析式知p ＝2，所以抛物线的焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，所以焦点F 到抛物线准线的距离为2，故A 正确；设抛物线上点P (x ，y )，则|PF |＝x ＋1＝2，解得x ＝1，故y ＝±2，则点P 的坐标为(1，2)或(1，－2)，故B 错误；过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦长为2p ＝4，故C 错误；如图，当M ，P ，F 三点共线且P 在线段MF 上时，|PM |＋|PF |取得最小值，即|MF |＝（1－1）2＋42＝4，故D 正确．故选AD.10．(2023·大庆模拟)已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A．点F的坐标为18，0B．若直线MN过点F，则x1x2＝－116C．若MF→＝λNF→，则|MN|的最小值为12D．若|MF|＋|NF|＝32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58答案BCD解析易知点F的坐标为0，18，A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－116，B 正确；若MF→＝λNF→，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即12，C正确；抛物线x2＝12y的焦点为0，18，准线方程为y＝－18，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝32，所以|PP′|＝|MM′|＋|NN′|2＝34，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－18＝34－18＝58，D正确．故选BCD.11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F 为圆心，|F A|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则()A．|BF|＝3B．△ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x答案BCD解析根据题意，作出图形如图所示．因为以|FA|为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以|FA |＝|FB |，又|FA |＝|AB |，所以△ABF 为等边三角形，B 正确；因为∠ABD ＝90°，所以AB ∥x 轴，所以∠BFO ＝60°，所以|BF |＝2p ，S △ABF ＝34|BF |2＝34·4p 2＝93，解得p ＝3，所以|BF |＝6，所以A 不正确；焦点到准线的距离为p ＝3，所以C 正确；抛物线C 的方程为y 2＝6x ，所以D 正确．故选BCD.三、填空题12．(2023·全国乙卷)已知点A (1，5)在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．答案94解析由题意可得(5)2＝2p ×1，则2p ＝5，抛物线C 的方程为y 2＝5x ，准线方程为x ＝－54，所以A 到C 的准线的距离为1－－54＝94.13.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________．答案1＋2解析依题意知C a 2，－a ，F a 2＋b ，b，因为点C ，F 在抛物线上，所以a 2＝pa ，b 2＝p （a ＋2b ），两式相除得b a 2－2·b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)．14．(2023·江苏二模)已知点P 在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若∠HPF ＝60°，点P 的横坐标为1，则p ＝________．答案23解析如图所示，不妨设点P 在第一象限，联立y 2＝2px ，x ＝1，＝1，＝±2p，即点P(1，2p)．易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直线PF的倾斜角为60°，易知点所以k PF＝2p1－p2＝3，整理可得22p＝3(2－p)，且2－p>0，故0<p<2，等式22p＝3(2－p)两边同时平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，解得p＝23或p＝6(舍去)．四、解答题15．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解(1)∵F(c，0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，则直线AB的方程为x＝c，c，＋y2b2＝1，b2＋c2，＝c，＝±b2a，则|AB|＝2b2a.抛物线C2的方程为y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.∵|CD|＝43|AB|，即4c＝8b23a，∴2b 2＝3ac .又b 2＝a 2－c 2，∴2c 2＋3ac －2a 2＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2，∵0＜e ＜1，∴e ＝12，∴椭圆C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，4cx ，＋y 23c 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋16cx －12c 2＝0，解得x ＝23c 或x ＝－6c (舍去)，由抛物线的定义可得|MF |＝23c ＋c ＝5c3＝5，解得c ＝3.∴曲线C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，曲线C 2的标准方程为y 2＝12x .16．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 的中点的轨迹方程．解(1)证明：由题意知设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且－12，－12，－12，记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a||x1－12|，S△PQF＝|a－b|2.由题设可得2×12|b－a||x1－12|＝|a－b|2，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由k AB＝k DE可得2a＋b ＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以所求轨迹方程为y2＝x－1.。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解60---抛物线
高考数学复习考点知识与题型专题讲解抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理 1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|F A|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(×) 教材改编题1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为() A ．y ＝－18B ．y ＝－14 C ．y ＝－12D ．y ＝－1 答案A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于() A ．9B ．8C ．7D ．6 答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得， |PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________． 答案y 2＝±42x解析由已知可知双曲线的焦点为 (－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2， 所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点1定义及应用例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于() A ．2B ．3C ．6D ．9 答案C解析设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.(2)已知A (3,2)，点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|P A |＋|PF |取得最小值，则点P 的坐标为() A ．(0,0) B ．(2,2) C ．(1，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案B解析如图所示，设点P 到准线的距离为d ， 准线方程为x ＝－12， 所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ≥|AB | ＝3＋12＝72，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，|P A |＋|PF |取得最小值， 此时点P 的坐标为(2,2)．思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为() A ．x ＝－4B ．x ＝－3 C ．x ＝－2D ．x ＝－1 答案A解析直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4,0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4,0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos60°＝12|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A．3B.32C．5D.52答案B解析由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF |＋|NF |＝|MM ′|＋|NN ′|， 所以线段MN 的中点到准线的距离为12(|MF |＋|NF |)＝52，所以线段MN 的中点到y 轴的距离为52－1＝32.2．(2022·济南模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．若直线AB 的斜率为33，点A 的纵坐标为32，则p 的值为() A.14B.12C ．1D ．2 答案C解析由题意得，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点在y 轴上， 准线方程为y ＝－p2， 设A (x A ，y A )， 则|AF |＝y A ＋p 2＝32＋p2， 设直线AB 的倾斜角为α， 则tan α＝33，因为α∈[0，π)，所以α＝π6， 所以|AF |＝y A －p 2sin α＝32－p2sin α＝3－p2sin α＝3－p 2×12＝3－p ， 所以3－p ＝32＋p2，解得p ＝1.思维升华 求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线() A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 答案B解析连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线，垂足为B ，直线AF 交准线l 于点C ，若Rt △ABC 的“勾”|AB |＝3，“股”|CB |＝33，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x 答案B解析如图，|AB |＝3，|BC |＝33， 则|AC |＝32＋(33)2＝6，设直线l 与x 轴交于点H ，由|AB |＝|AF |＝3，|AC |＝6，可知点F 为AC 的中点， 所以|FH |＝12|AB |＝32， 又|FH |＝p ，所以p ＝32， 所以抛物线的方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p 等于()A ．1B ．2C ．22D ．4 答案B解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．(2)已知弦AB 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列说法中错误的是()A ．当AB 与x 轴垂直时，|AB |最小 B.1|AF |＋1|BF |＝2pC ．以弦AB 为直径的圆与直线x ＝－p2相离 D ．y 1y 2＝－p 2 答案C解析当AB 与x 轴垂直时，AB 为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即|AB |最小，A 正确； 设AB 方程为x ＝ty ＋p 2， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋p2，y 2＝2px ，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，D 正确；∴x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22p＝4p 2t 2＋2p 22p＝2pt 2＋p ，x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2pt 2＋2p p 2＋p 2t 2＝2p (t 2＋1)p 2(t 2＋1)＝2p，B 正确； ∵AB 的中点到x ＝－p 2的距离为12(x 1＋x 2＋p )＝12|AB |，∴以AB 为直径的圆与准线x ＝－p 2相切，C 错误．教师备选1．抛物线y 2＝2px (p >0)准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点N (4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 答案C解析设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，则点A (－x 1，－y 1)，可得－x 1＝－p 2，则x 1＝p 2，设直线MB 的方程为x ＝my ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，y 2＝2px ，可得y 2－2mpy －8p ＝0， 所以y 1y 2＝－8p ，由题意可知，OB →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p 2＋y 1y 2 ＝64p 24p 2－8p ＝16－8p ＝0，解得p ＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1射入，经过r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论错误的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案A解析设抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1，且l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＝43x －13.由⎩⎨⎧ y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，－14，故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；直线AO ：y ＝x ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＝－14，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－14，故y C ＝y 2， 所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确．思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______________．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝______，1|AF |＋1|BF |＝________.答案21解析由p 2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与y 2＝4x联立解得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF ||BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1. 综上，1|AF |＋1|BF |＝1.题型三 直线与抛物线例4已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1. 故|AB |＝4133.教师备选如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)由(1)得直线AP 的斜率为k ，x ＝k ＋12，则直线BQ 的斜率为－1k (k ≠0)，设直线AP 的方程为kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.当k ＝0时，|P A |＝1，|PQ |＝1，|P A |·|PQ |＝1，所以|P A |·|PQ |的最大值为2716. 思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练3设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，当MA ⊥OA 时，|MF |＝2.(1)求p 的值；(2)若AM →·AN→＝0，求直线l 的方程． 解(1)当MA ⊥OA 时，此时点M 的纵坐标为2，其横坐标x M ＝2p .因为|MF |＝2，根据抛物线的定义，得|MF |＝2p ＋p 2＝2，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点F 的坐标为(1,0)．设直线l ：x ＝ky ＋1，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，化简可得y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.根据题意AM →＝(x 1，y 1－2)，AN →＝(x 2，y 2－2)，且AM →·AN →＝0，所以x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.将x 1x 2＝y 21y 2216＝1，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入化简可得4－2×4k －4＋1＝0，解得k ＝18，所以直线l 的方程为x ＝18y ＋1，即8x －y －8＝0.课时精练1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是()A ．2B ．1C.12D.14答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x 2＝12y 得p ＝14.2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案B解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝x1＋x22＝62＝3.3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|等于()A．2B．3C.2D. 3答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝ 2.4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A．26mB．46mC．42mD．12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝26，x2＝－26，所以此时水面宽度d＝2x1＝4 6.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论不正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案B解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线方程为y 2＝8x ，故B 错误；焦点F (2,0)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2， ∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2x －4，可得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．已知A ，B 为抛物线x 2＝2py (p >0)上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则|CD |的最大值为()A ．2B.2C.22D.12答案A解析根据题意，2π＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22， ∴|AB |＝2 2.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过点A 作AQ ⊥l 于Q ，过点B 作BP ⊥l 于P ，如图，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，∴在四边形ABPQ 中，2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，由勾股定理得，8＝a 2＋b 2，∵|CD |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4＝8＋2ab 4 ＝2＋ab 2≤2＋a 2＋b 24＝4，∴|CD |≤2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．7．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案54 5解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|MF |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案163解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. ∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1.又F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)， MB →＝(x 2＋2，y 2－1)． ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB→＝0， ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M (舍去)，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，过点P (3,0)的直线l 交抛物线E 于A ，B ，且OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)．(1)求抛物线E 的方程；(2)求△AOB 面积的最小值．解(1)设直线l 为x ＝ty ＋3，代入E ：y 2＝2px 整理得y 2－2pty －6p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－6p ，所以x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝(－6p )24p 2＝9，由OA →·OB→＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，得9－6p ＝－3，所以p ＝2，所以所求抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－12，|AB |＝1＋t 2(4t )2＋48 ＝41＋t 2t 2＋3，点O 到直线l 的距离为d ＝31＋t 2，则S △AOB ＝12|AB |·d＝12×31＋t 2×41＋t 2t 2＋3 ＝6t 2＋3≥63，当t ＝0时，等号成立，故当t ＝0时，△AOB 面积有最小值6 3.11．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析由题意可知，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 又F 为△ABC 的重心，故x A ＋x B ＋x C 3＝12， 即x A ＋x B ＋x C ＝32.又由抛物线的定义可知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋x B ＋x C ＋32＝32＋32＝3. 12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为3m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以7m 为半径的圆上，则管柱OA 的高度为()A.53mB.74mC.94mD.73m答案B解析以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，记BM ⊥OC 且垂足为M ，A 在y 轴上的投影为D ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知|AD |＝3，|BM |＝4，|OC |＝7，所以|MC |＝|OC |－|AD |＝7－3＝4，所以C (4，－4)，代入抛物线方程可知16＝8p ，所以p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝－4y ，又因为x A ＝－3，所以y A ＝y D ＝－94，所以|BD |＝94，所以|OA |＝|DM |＝|BM |－|BD |＝4－94＝74，所以OA 的高度为74m.13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，则下列结论不正确的是()A ．点P 到抛物线焦点的距离为54B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 两点，则直线MN 的斜率为12答案D解析因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，所以p ＝12，所以抛物线方程为y 2＝x ，焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.对于A ，|PF |＝1＋14＝54，A 正确；对于B ，k PF ＝43，所以l PF ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， 与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0，所以y 1＋y 2＝34，y 1y 2＝－14，所以S △OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×14×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝532，B 正确； 对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，Δ＝1－4k (1－k )＝0，即4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝12，所以切线方程为x －2y ＋1＝0，C 正确；对于D ，依题意斜率存在，设l PM ：y －1＝k ′(x －1)，与y 2＝x 联立得k ′y 2－y ＋1－k ′＝0，所以y M ＋1＝1k ′， 即y M ＝1k ′－1，则x M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12， 所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12，1k ′－1， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12，－1k ′－1， 所以k MN ＝1k ′－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12 ＝2k ′－4k ′＝－12，D 错误． 14．已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________．答案74解析由题意得M (2,0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN → 得(x －2，y ＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.15．已知抛物线C ：y 2＝4x ，其准线与x 轴交于点M ，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 21＋1k 22的最小值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析由题意，可得焦点坐标F (1,0)，准线方程为x ＝－1，可得M (－1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4，因为1k 1＝x 1＋1y 1＝my 1＋1＋1y 1＝m ＋2y 1， 1k 2＝x 2＋1y 2＝my 2＋1＋1y 2＝m ＋2y 2，所以1k 21＋1k 22＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋2y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2y 22 ＝2m 2＋4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22 ＝2m 2＋4m ·y 1＋y 2y 1·y 2＋4·(y 1＋y 2)2－2y 1·y 2y 21·y 22 ＝2m 2＋4m ·4m －4＋4·16m 2＋816＝2m 2＋2， 所以当且仅当m ＝0时，1k 21＋1k 22取得最小值为2. 16．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第九节抛物线(一) 文
第九节抛物线(一)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py图形焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率e ＝1焦半径||PF ＝ p2 ＋x 1||PF ＝ p2 ＋||x 1||PF ＝ p2 ＋y 1||PF ＝ p2 ＋||y 1基础自测1．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2C. 3D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.故选D.答案：D2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013·新课标全国Ⅰ卷)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，所以x 0＝32，所以y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12×2×26＝2 3.故选C.答案：C2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →·E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →·E B →＝(A F →＋F D →)·(E F →＋F B →)＝A F →·E F →＋A F →·F B →＋F D →·E F →＋F D →·F B →＝|A F →|·|F B →|＋|F D →|·|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·E B →取得最小值16.1．(2013·汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝⎛⎭⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积． 解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则||y 2－y 1＝42，所以S △AOB ＝12×||OF ×||y 2－y 1＝12×1×42＝2 2.。
高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件
解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B
高考数学 专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)
专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质 标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图 形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程 （二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题 （四）直线与抛物线中涉及的角的问题 （五）定值问题 （六）范围问题（七）抛物线与向量的综合 （八）最值问题 五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
高考数学复习 知识讲解_抛物线的方程与性质_基础
高考数学复习 抛物线的方程与性质 编稿：张希勇 责编：李霞【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
高考数学一轮总复习课件：抛物线(二)
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
高考数学复习点拨 抛物线要点知识解读
抛物线要点知识解读一、要点知识精析1．深刻理解抛物线的定义（１）抛物线的定义还可以叙述为：平面内与一个定点Ｆ和一条直线l 的距离的比等于１的点的轨迹叫做抛物线．（２）定义的实质可归结为“一动三定”，即：一个动点抛物线上的任意一点M ）；一个定点（抛物线的焦点Ｆ）；一条直线（抛物线的准线l ）；一个定值（抛物线上的点到焦点和准线的距离的之比等于常数１，这个常数又叫抛物线的离心率）．（３）定点Ｆ不在定直线l 上，这是一个重要的隐含条件，否则动点Ｍ的轨迹不是抛物线，而是过点Ｆ垂直于直线l 的一条直线，比如，到点F(1,0)和直线l ：10x y +-=的距离相等的点的轨迹方程为10x y --=，轨迹是一条直线．（４）抛物线的定义是与椭圆、双曲线的第二定义统称为圆锥曲线的统一定义，从定义中揭示出了这三种曲线的内在联系——动点到定点的距离与到定直线的距离的比值都是常数e ．当０＜e ＜１时，曲线为椭圆；当e ＝１时，曲线为抛物线；当e ＞１时，曲线为双曲线．２．掌握抛物线标准方程的特点抛物线标准方程22(0)y px p =±>或22(0)x py p =±>的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应．若对称轴为x 轴时，方程中的一次项就是x 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向左时，该项取正号；开口向右时，该项取负号．若对称轴为y 轴时，方程中的一次项就是y 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号．抛物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离，若不做说明，p 一般取正值． ３．抛物线的焦半径、焦点弦的性质（１）设抛物线上有一点Ｐ，Ｆ是抛物线的焦点，那么线段ＰF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线定义，可以得到：抛物线22(0)y px p =±>上一点Ｐ(,)x y 的焦半径的长是2p PF x =±+； 抛物线22(0)x py p =±>上一点Ｐ(,)x y 的焦半径的长是2p PF y =±+． （２）设PQ 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的倾斜角为α，则： ①弦长1222sin p PQ p x x α=++=；其最短弦长为2p ,此时,090α=,即PQ x ⊥轴， 2p 称为抛物线的通径． ②221212,4p x x y y p ∙=∙=-； ③以PQ 为直径的圆与准线相切； ④设,PF m QF n ==，则有112m n p +=． 二、方法技巧归纳１．抛物线方程的求解策略（１）．求抛物线方程时，若由已知条件可确定曲线是抛物线，此时一般用待定系数法求解；由已知条件可确定曲线的动点规律，一般采用轨迹法求解．（２）．对于抛物线22(0)y px p =≠上的点的坐标可设为200(,)2y y p ，以简化运算． ２．直线与抛物线位置关系的求解策略（１）将直线方程与抛物线方程联立得方程组，消元后可得到一个关于x （或y ）的方程20ax bx c ++=，方程组解的组数，即方程20ax by c ++=的解的个数就是交点的个数． 当0a =时，方程解惟一，但直线与抛物线不是相切，而是直线与抛物线对称轴平行或重合；当0a ≠时，∆＝０，此时直线与抛物线相切；∆＜０，直线与抛物线相离；∆＞０，直线与抛物线相交于两点．（２）合理的选择设点或设线是解决直线与抛物线位置关系的常用策略．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用韦达定理，这样能避免求交点坐标的复杂运算．。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十节抛物线(二) 理
第十节 抛物线(二)基础自测1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2.圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，∴3＋p2＝4，解得p ＝2.故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A.94B.178 C ．5 D ．4解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×22－－＝5.故选C.答案：C3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，所以36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.答案：2或184．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________.解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x1．(2013·安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .1．设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，F 为抛物线的焦点．P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．答案：(2，－22)或(2,22)2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求拋物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0得k <－4或k >0，所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2，所以b >2.即b 的取值范围为(2，＋∞)．。
抛物线-高中数学总复习课件
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高中总复习·数学
2
（1） y 1 y 2＝－ p 2， x 1 x 2＝ ；
4
2
（2）焦点弦长：｜ AB ｜＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ 2 ；
si
（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2 p ；
1
（4）焦半径：｜ AF ｜＝
，｜ BF ｜＝
，
＋
1−cos
1+cos
｜｜
解析：由题意可知通径 MN ＝2 p ，所以圆
3
2
的半径是 p ，在Rt△ COF 中，（ ） ＋（ ）2
2
2
＝ p 2， p ＞0，解得 p ＝ 3 ，所以抛物线方程为
y 2＝2 3 x ，故选B.
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（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y 2＝2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹是
抛物线.
（
× ）
（2）方程 y ＝4 x 2表示焦点在 x 轴上的抛物线，焦点坐标是（1，
0）.
（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.
（
× ）
（
× ）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.
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抛物线的标准方程与几何性质
【例3】
（1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
2011届高考数学二轮复习专题六第2讲椭圆、双曲线、抛物线
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专 题 六 解 析 几 何
p 2. ∵ x2
2
(1)(2010 x2
高考 y2 1 6x 7 C
) 0 2
知 p D 4
y2
2px(p (
0) )
下 上 页
1 A. 2
B
C. y2
x 6x 7 ∴3 0 p 2 (x 4 3)2 ∴p y2 2. 16.
页
要点知识整合
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2
上 页
下 页
x
0
1 ≤λ 3
1
λ
1 [ 3
1).12
要点知识整合
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点 专 题 六 解 析 几 何 (3) (4) 究 (2) 考 (1) 热点
高考
上 页
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合
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专 题 六 解 析 几 何
4
知 x
2
焦点 4y 焦点
x e l OF 动点 2 5
2m
y1
y2)
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(1) l
F(2,0) 0≤m≤2. ≤ ≤ y k(x 2)(k≠0) ≠ 20k2 5 0.
上 页
专 题 六 解 析 几 何
x2 2 y 1 (5k2 1)x2 20k2x 5 A(x1 y1) B(x2 y2) 20k2－ 5 20k2 x1 x 2 x1x2 . 5k2＋ 1 5k2＋ 1 4k y1 y2 k(x1 x2 4) 5k2＋ 1 y1 y2 k(x1 x2) → → → (MA MB) AB |MA| |MB| (x1－ m)2＋ y2 ) 1 (x2－ m)2＋ y2 ) 2
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解52---抛物线的二级结论的应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第52讲 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16， 当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2(2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)， 直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2 答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4(2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由1|BF|＋1|AF|＝2p，得1t＋12t＝2p⇒t＝34p，∴|AB|＝3t＝94p，又|AB|＝2p sin2α，∴2psin2α＝94p⇒sin α＝223，又S△AOB＝23|AB|，∴p22sin α＝23|AB|，即p2423＝23·94p⇒p＝2，∴|AB|＝9 2.(2)(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是()A．线段AB长度的最小值为2B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切C．∠HFG＝90°D．∠AMO＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立． 例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32D.52 答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)，∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ，则|BB ′|＝t ，又B 为AC 的中点，∴|AA ′|＝|AF |＝2t ，∴|BC |＝|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，又△CBB ′∽△CFE ，∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ＝9. 3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ，∴直线过定点(2p ，0)设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0， Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2，S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2| ＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( )A ．4 3B ．8 3C ．16 3D ．32 3答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ， |BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ， 又|AF |＝3|BF |，∴31－cos θ＝3·31＋cos θ， 解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3， ∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A ＝12，所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2，∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥AB D.|F A ||FB |＝25答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1， 即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)，由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，|PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。
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华侨城中学2011年高考数学总复习教学案复习内容：抛物线【知识与方法】1、若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2、抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23、抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ( )A.1716B.78 C ．1 D.15164、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π26、已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P 、Q 两点，则直线PQ 的斜率为7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为____ ____．8、过点M (1,0)作直线与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，则1|AM |＋1|BM |＝________.9、已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为_______________________． 【理解与应用】10、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5. (1)求抛物线的标准方程．(2)设点C 是抛物线上的动点，若以C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点．11、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB的值；(2)如果OA ·OB＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，拋物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求拋物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3)设过点M (m,0)(m >0)的直线交拋物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，设D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．华侨城中学2011年高考数学总复习教学案（教师版）复习内容：抛物线【知识与方法】1、若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线，故选D.答案：D2、抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2解析：设标准方程为x 2＝－2px (p ＞0)，由定义知p 到准线距离为4，故p2＋2＝4，∴p ＝4，∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.答案：C3、抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ( )A.1716B.78 C ．1 D.1516解析：抛物线化标准方程为x 2＝14y ，准线方程为y ＝－116，M 到准线的距离为1，所以到x 轴的距离等于1－116＝1516.答案：D 4、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是(a 4，0)，故直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0得y ＝－a2，故△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a216＝4，故a ＝±8.答案：B5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y ＝k (x －32)，代入抛物线方程，得k 2x 2－(3k 2＋6)x －94k 2＝0，设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3k 2＋6k2＋3＝12，解得k ＝±1，∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：B6、已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P 、Q 两点，则直线PQ 的斜率为 －12解析：由题意得M (2,2)，设P (212y ，y 1)，Q (222y ，y 2)，由k MP ＝－k MQ ，得12122y y -＝－22222y y -，推得y 1＋y 2＝－4， 故k PQ ＝21222122y y y y --＝2y 1＋y 2＝－12.答案：B 7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，∴p2＝1，抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴直线l 的斜率为1，且过点(2,2)， ∴直线方程为y －2＝x －2，∴y ＝x .答案：y ＝x8、过点M (1,0)作直线与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，则1|AM |＋1|BM |＝________.解析：设直线方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，∴1|AM |＋1|BM |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.答案：19、已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为_________________________．解析：设抛物线方程为y 2＝ax .A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，21y ＝ax 1，①y 22＝ax 2，②∴①－②得21y －22y ＝a (x 1－x 2)，∴(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝a ，∴a ＝4×1＝4，∴y 2＝4x . 10、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5. (1)求抛物线的标准方程．(2)设点C 是抛物线上的动点，若以C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点． 解：(1)依题意，得p2＋4＝5，∴p ＝2.∴抛物线标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设圆心C 的坐标为200,4y y ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为r . ∵圆心C 在y 轴上截得的弦长为4，∴r 2＝4＋204y ⎛⎫ ⎪⎝⎭2，故圆心C 的方程为204y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋(y －y 0)2＝4＋204y ⎛⎫ ⎪⎝⎭2，从而变为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 220y －2yy 0＋(x 2＋y 2－4)＝0， ①对于任意的y 0∈R ，方程①均成立，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－x2＝0，－2y ＝0，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以，圆C 过定点(2,0)．11、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB的值；(2)如果OA ·OB＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4∴OA ·OB＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ∴OA ·OB＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，拋物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求拋物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3)设过点M (m,0)(m >0)的直线交拋物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，设D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．解：(1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2＝2px . 因为点A (2,2)在拋物线C 上，所以p ＝1. 因此，拋物线C 的标准方程为y 2＝2x . (2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12，0)，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1,2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk2－1)．化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)4(1＋2mk 2)k 2＝94(m 2＋4m )．所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D (s 22，s )，E (t 22，t )．由点M (m,0)及ME ＝2DM，得12t 2－m ＝2(m －s 22)，t －0＝2(0－s )．因此t ＝－2s ，m ＝s 2.所以f (m )＝DE ＝ (2s 2－s 22)2＋(－2s －s )2＝32m 2＋4m (m >0)．。