(广东专版)2019高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 专题强化练十二 直线与圆 文.doc
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理
五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4x.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,由消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+1>1,①又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且有得k≠0,km<1,因为OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=()2+4·=0,得m=-4k,联立①,得k=±,故直线AB的方程为y=±(x-4).2.(1)解:由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(x,y),半径为r.因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得x2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立整理得x2-4kx-4b=0,其中Δ=16(k2+b)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.①由抛物线的方程可得y=x2,所以y′=x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),又y1=,代入整理得y=x1x-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2mx1-16=0,同理可得-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.②由①②可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==, 设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.斜率为的直线l的方程为y=x+m(m∈R),由得x2+mx+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(x1+x2)+2m=m,因为k1+k2=+=0,所以(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,y1x2+y2x1+2x0y0-x0(y1+y2)-y0(x1+x2)=0,所以(x1+m)x2+(x2+m)x1+2x0y0-x0×-y0(-m)=0.所以x1x2+m(x1+x2)+2x0y0+my0-x0=0,所以m(y0-x0)+2x0y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何A理
五解析几何(A)1. (201 8 •江西九江模拟)给定椭圆C：'； +' =1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为，'的圆是椭圆C的“准圆” •若椭圆C的一个焦点为F( . ,0),其短轴上的一个端点到F的距离为(1) 求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2) 点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线丨1,1 2,使得丨1,1 2与椭圆C都只有一个公共点，且I 1,1 2分别交其“准圆”于点M,N.①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求I 1,1 2的方程；②求证:|MN|为定值.2. (2018 •武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-• ,0),P为椭圆IC上不同于A,B的任意一点，且满足k AP・k BP=-.(1)求椭圆C的方程；⑵设F为椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|, 求直线PF的斜率.3. 已知抛物线C顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)至煩线l:x-y-2=0 的距离为二，设P为直线I 上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程；⑵当点P(X0,y 0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；⑶当点P在直线l上移动时，求|AF| • |BF|的最小值.4. (2018 •红桥区一模)已知椭圆C: +' =1(a>b>0)的离心率为’,椭圆C与y轴交于A,B 两点，且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程；⑵设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N 两点.1.(1)解：由题意知c=. ,a=.,所以b=1.所以椭圆的方程为:+y2=1,若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.“准圆”的方程为x2+y2=4.⑵①解：因为“准圆” x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2), 设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,联立方程组消去y,2 2得到(1+3k )x +12kx+9=0,因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△ =144k2-4 X 9(1+3k 2)=0,解得k= ± 1.所以l 1,l 2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.②证明:a.当丨1,1 2中有一条无斜率时，不妨设11无斜率，因为I 1与椭圆只有一个公共点则其方程为x=.或x=- Z.当l 1的方程为x=.时，此时11与准圆交于点，1),( •. ,-1),此时经过点(•，1)(或r ,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),即12为y=1(或y=-1),显然直线l 1,l 2垂直;同理可证l 1方程为X=- •时，直线I 1,1 2垂直.b.当l 1,l 2都有斜率时,设点P(x o,y 0),其中+ =4,设经过点P(X0,y °)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x 0)+y 0,ry = tx 4- (y0 - tx Q\联立方程组2 2消去y 得到x +3[tx+(y 0-tx 0)] -3=0,2 2 2即(1+3t )x +6t(y 0-tx 0)x+3(y 0-tx 0) -3=0,2 2 2△ =[6t(y 0-tx 0)] -4 • (1+3t )[3(y 0-tx 0) -3]=0,-3)=0,设l 1,l 2的斜率分别为t1,t 2,因为I 1,1 2与椭圆都只有一个公共点 所以 t i ,t 2满足上述方程(3- )t 2+2x o y o t+( -3)=0, 所以 t l • t 2= ' =-1, 即I 1,l 2垂直. 综合a 和b 知I i ,l 2垂直, 因为I 1,1 2经过点P(X 0,y 0),又分别交其“准圆”于点 M,N,且I 1,1 2垂直, 所以线段MN 为“准圆” x 2+y 2=4的直径， 所以 |MN|=4. 2. 解:⑴ 设 P(x,y)(x 工土.), ] y y } 所以k AP • k BP =-',所以. -• •.=-：, x 2 整理得 +y 2=1(x 工土.), 因为A,B 两点在椭圆上， 所以椭圆C 的方程为 +y 2=1. (2)由题可知，斜率一定存在且 k z 0, 设过焦点 F 的直线方程为 x=my+1,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0), fr 2 £ —+ y 2 = l, 1 2 联立 / = m y + 1“ 则(m 2+2)y 2+2my-仁0, —2^H 力十y 厂飞—・ 1 - 1y^2 - —n —，亦+ 2,A = R(m 2 + l)> 所以<'m 2 + 4所以 |OM|=!二，而 |QM|= '|PQ|1 鬧+1)〔加+四 m z + 2所以 4m 2 \m 2 + 2)2 4(/n 2 + 2)(m 2 + 2)丿J•』(亦+m2 + 1戎.肿+ 2 .因为|OM|=|QM|,^jm2+ 4 m2 + 1所以m z + 2 =富.+ 2,1所以m=‘，所以k2=2,所以k= ±..因此,直线PF的斜率为土.3. 解:⑴ 因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)至煩线l:x-y-2=0 的距离为•: \-c-2\所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x i,y i),B(x 2,y 2),I由x=4y 得y' = x,所以切线PA:y-y 1= x i(x-x 1),有y= x i x- +y i,而=4y i,I即切线PA:y= X i X-y i,I同理可得切线PB:y= X2x-y 2.因为两切线均过定点P(x o,y 0),i,y 0= x2x o-y 2,由此两式知点 A,B 均在直线y o = xx o -y 上,I所以直线AB 的方程为y °= xx o -y,I即 y= x o x-y o .⑶设点P 的坐标为（x ，,y ，）,由 x ，-y ，-2=0,得 x ， =y ， +2,则|AF| • |BF|=「 '：=(y i +1) • (y 2+1)=y i y 2+(y i +y 2)+1.x 2 = 4y t 1 y = -x r x - y r由2得 y 2+(2y ，-x ，2)y+y ，2=0,有 y i +y 2=x ，2-2y ， ,y i y 2=y ，，, 所以 |AF| • |BF|=y ，2+x ，2-2y ，2 2 =y ， +(y ，+2) -2y ，+i1 9=2(y ，+')2+3 即P （，-）时,|AF|• |BF|取得最小值 4. 解:⑴ 由题意可得，2b=2,即b=1,c ◎ - 1 3 — 7— e=：=二，得.=:解得a 2=4, x 2椭圆C 的标准方程为-+y 2=i.当y ，= 13 ,x ， = •时,+1(2)法一 设 P(x o ,y o )(O<x o w 2),A(0,-1),B(0,1), 儿 +1Vo + 1所以k pA=:,直线PA 的方程为 沪 x-1, 九-1同理，直线PB 的方程为y= " x+1,5 + 1)直线PA 与直线x=4的交点为 M(4, " -1), 直线PB 与直线x=4的交点为 N(4, : +1),4儿线段MN 的中点为(4,:),4儿 4所以圆的方程为(x-4) 2+(y- ' )2=(1- )2,— 2 2 — 因为I + ■ =1,所以 7 =-1,8所以(x-4) 2+ -5=0,设交点坐标为(x i ,0),(x 2,0),可得 X i =4+〔 ,x 2=4- ,因为这个圆与x 轴相交，该方程有两个不同的实数解£ 8所以 5— >0,解得 X o € O',2].贝V |x i -x 2|=2〔 ( <X o W 2),所以当x o =2时，该圆被x 轴截得的弦长最大值为 2.法二 设 P(x o ,y o )(0<x o < 2),A(0,-1),B(0,1), 令 y=0,则(x-4)\17一％ +儿 + 1 Vo + 1所以k pA= ,直线PA的方程为y= x-1,儿- 1同理，直线PB的方程为y " x+1.4肌+ 1)直线PA与直线x=4的交点为M(4, " -1),4(y0-D直线PB与直线x=4的交点为N(4, : +1), 若以MN为直径的圆与x轴相交，4(Vo + l) 4伽-1)则[ -1] x [ & +1]<0,16(元-1)4闵-1) 4伽+1)即%+ -1<01&(元-1)即：/ -1<0.A ±1 1因为I + ' =1,所以 "=-1 ,。
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五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4x.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,由消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+1>1,①又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且有得k≠0,km<1,因为OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=()2+4·=0,得m=-4k,联立①,得k=±,故直线AB的方程为y=±(x-4).2.(1)解:由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(x,y),半径为r.因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得x2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立整理得x2-4kx-4b=0,其中Δ=16(k2+b)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.①由抛物线的方程可得y=x2,所以y′=x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),又y1=,代入整理得y=x1x-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2mx1-16=0,同理可得-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.②由①②可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==, 设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.斜率为的直线l的方程为y=x+m(m∈R),由得x2+mx+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(x1+x2)+2m=m,因为k1+k2=+=0,所以(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,y1x2+y2x1+2x0y0-x0(y1+y2)-y0(x1+x2)=0,所以(x1+m)x2+(x2+m)x1+2x0y0-x0×-y0(-m)=0.所以x1x2+m(x1+x2)+2x0y0+my0-x0=0,所以m(y0-x0)+2x0y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019年高考数学二轮专题复习专题验收评估五解析几何
专题验收评估(五) 解析几何(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心，且倾斜角为π6的直线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x －2y ＋3＝0C ．x －3y ＋23－1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 已知圆的圆心坐标为(1,2)，所以经过已知圆的圆心，倾斜角为π6的直线方程为x －3y ＋23－1＝0.2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：选B 两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.5．(2017·宁波效实中学模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为( )A.214B ．6C ．8D ．12解析：选B 由题意得F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP ―→·FP ―→＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP ―→·FP ―→的最大值为6.6．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.7．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233。
推荐学习K12(广东专版)2019高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何专题强化练十四圆锥
专题强化练十四圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．若双曲线x2λ－y21－λ＝1(0＜λ＜1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为() A.12，1B ．(1，2)C ．(1，4)D.14，1解析：易知c ＝1，a ＝λ，且e ∈(1，2)，所以1＜1λ＜2，得14＜λ＜1.答案：D2．(2018·河南信阳二模)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3,3)，则双曲线的离心率为()A.233B ．2C.233或2D.3或2解析：由题意可得b a ＝33，即b 2a 2＝13，得c 2－a 2a 2＝13，则e 2－1＝13，e 2＝43，解得e ＝233(舍负)．答案：A3．(2018·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为()A ．210－5B ．210－4C ．410－11D ．410－10解析：易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，所以m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去．所以m ＝4.联立（x －2）2＋y 2＝1，x24＋y23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.因为x≤2，所以x＝8－210.故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－210)＝210－5.答案：A4．(2018·山东德州一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )A.x24－y220＝1 B.x212－y24＝1C.x24－y212＝1 D.x220－y24＝1解析：双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，由双曲线的一条渐近线过点(3，3)，可得ba＝3，①双曲线的一个焦点(－c，0)在抛物线y2＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4，即有a2＋b2＝16，②由①②解得a＝2，b＝23，则双曲线的方程为x24－y212＝1.答案：C 二、填空题5．(2018·山西太原一模)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．解析：由过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得ba＜2，所以e＝ca＝a2＋b2a2＜1＋4＝5，因为e＞1，所以1＜e＜5，所以此双曲线离心率的取值范围为(1，5)．答案：(1，5)6．(2018·济南模拟)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，(y2＜0)．。
2019届高考数学二轮复习大题分层练五解析几何函数与导数A组文
大题分层练(五)解析几何、函数与导数(A 组)1.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C 的顶点是原点,以x 轴为对称轴,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C 的方程.(2)设点A,B 在抛物线C 上,直线PA,PB 分别与y 轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB 的斜率.【解析】(1)依题意,设抛物线C 的方程为y 2=ax(a≠0).由抛物线C 经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线PA 与PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0.依题意,直线AP 的斜率存在且不为零,设直线AP 的方程为y-2=k(x-1)(k≠0),将其代入抛物线C 的方程,整理得k 2x 2-2(k 2-2k+2)x+k 2-4k+4=0.设A(x 1,y 1),则1×x 1=,y 1=k(x 1-1)+2=-2,所以Ak 2-4k +4k 24k .以-k 替换点A 坐标中的k,得B .((k +2)2k 2,-4k -2)所以k AB ==-1.即直线AB 的斜率为-1.2.已知函数f(x)=e x -2(a-1)x-b,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a 的取值范围.(2)已知函数g(x)=e x -(a-1)x 2-bx-1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)根据题意,函数f(x)=e x -2(a-1)x-b,其导数为f′(x)=e x -2(a-1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f′(x)=e x -2(a-1)≥0在区间[0,1]上恒成立,所以2(a-1)≤(e x )min =1(其中x∈[0,1]),解得a≤;当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f′(x)=e x -2(a-1)≤0在区间[0,1]上恒成立,所以2(a-1)≥(e x )max =e(其中x∈[0,1]),解得a≥+1.综上所述,实数a 的取值范围是e 2∪.(-∞,32](2)函数g(x)=e x -(a-1)x 2-bx-1,则g′(x)=e x -2(a-1)x-b,分析可得f(x)=g′(x).由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x 0,则g(x)在区间(0,x 0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x 0)内存在零点x 1,同理,f(x)在区间(x 0,1)内存在零点x 2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当a≤时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当a≥+1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以<a<+1.令f′(x)=0,得x=ln(2a-2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间32e 2[0,ln(2a-2)]上单调递减,在区间(ln(2a-2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x 1,x 2(x 1<x 2),因此x 1∈(0,ln(2a-2)],x 2∈(ln(2a-2),1),必有f(0)=1-b>0,f(1)=e-2a+2-b>0.由g(1)=0,得a+b=e,所以f = +1-(a+b)=+1-e<0,又f(0)=a-e+1>0,f(1)=2-a>0,所以e-1<a<2.综上所述,实数a 的取值范围为(e-1,2).。
广东省2019届高三数学二轮复习精选试题汇编 复数几何意义 含答案
复数几何意义一、选择题1 ．复数2i2i -=+ （ ）A ．34i 55-B ．34i 55+C ．41i 5-D ．31i 5+2 ．如果复数212aii++的实部和虚部互为相反数,那么实数a 等于（ ）AB ．2C ．-23D ．233. 给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数;(2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆; (3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4.若122ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．0 C．3 D．1-5. 已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( )A ． 1 BCD．6. 设t 是实数，且23131i it-+-是实数，则t= （ ）A ．21B ．1C ．23 D ．27. 复数cos sin Z i θθ=+（(0,2)θπ∈）在复平面上所对应的点在第二象限上，则θ的取值范围是 （ ） A. (0,)2π B. (,)2ππ C. 3(,)2ππ D. 3(,2)2ππ8. 已知复数)2)(1(i i z +-=，则||z 等于 A ．5 B.6 C ．10D.239. 复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 23m <B ． 1m <C ．213m <<D ． 1m >10. 定义运算||bc ad d c ba -=，则对复数),(R y x yi x z ∈+=符合条件x z =111的点在复平面上所表示的曲线形状是A ．直线B ． 圆C ．椭圆D ．抛物线二、填空题 11.复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在第________象限. 12. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-∈若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .13. O 为复平面中坐标原点，对应的复数为i 31-，将A 点向右平移3个单位，再向上平移1个单位后对应点为B ，则对应的复数为14.若复数z=2812(43)(1)(1)i i --+-，则z =_________ 15. 设f (z )=2z (cos π6 +icos 2π3 )，这里z 是复数，用A 表示原点，B 表示f (1+ 3 i )，C 表示点-i 4，则∠ABC = .16. 在△ABC 中，A 为动点，)0)(0,2(),0,2(<-a a C a B 为定点且动点A 的轨迹方程是1316162222=-ay ax 的右支（1≠y ），且△ABC 的三个角∠A ，∠B ，∠C 满足 （ ）A ．ABC sin 21sin sin =- B ．A B C sin 21sin sin -=-C ．A B C sin 21sin sin =+D ．A B C sin sin sin =-17. 已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A ．B ．C,若(.)OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的值是___________. 18. 复数对应的点位于复平面的第 ▲ 象限.答案一、选择题1. A解:2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,选A. 2. D解:2(2)(12)22(4)22412(12)(12)555ai ai i a a i a a i i i i ++-++-+-===+++-,因为实部和虚部为相反数,则有224=055a a +-+,解得23a =,选D.3. C4. B 详细分析： 422110ωωωω++=++=5. C 详细分析： 2222121212122()3,z z z z z z z z +=+--=+=6. D7. B 8. C 9. A 10. D二、填空题 11. 二12. 详细分析： 22222233log (33)2log (3)10,log 1(3)m m m m m m ------+==--22331,3,(3)2m m m m m m --==>=-而13. i 24- 14. 100 15. 30︒16. 设非零相异复数y x ,满足,022=++y xy x 则代数式 [的值为)(]))((2006200620062y x y x y x xy +-+ .17. 1 18. 答案：一。
2019高考数学二轮复习专题五解析几何学案理
专题五 解析几何[全国卷3年考情分析]第一讲 小题考法——直线与圆[典例感悟][典例] (1)“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为( ) A ．y ＝2 B ．4x －3y ＋2＝0 C ．x ＝2D ．y ＝2或4x －3y ＋2＝0[解析] (1)因为两直线平行，所以2×2－ab ＝0，可得ab ＝4，必要性成立，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设该直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] (1)C (2)D[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况．[演练冲关]1．(2018·洛阳模拟)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m·m ＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m ＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823. 3．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________.解析：因为两直线关于点A (1,0)对称，在直线x ＋2y －3＝0上取两点M (1,1)，N (5，－1)，M ，N 关于点A (1,0)对称的点分别为M ′(1，－1)，N ′(－3,1)，则M ′(1，－1)，N ′(－3,1)都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－3a ＋4＋b ＝0，解得a ＝b ＝2.答案：2[典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43(2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．[解析] (1)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)易知直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)， 即圆C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心(－1,0)到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径r ，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋y 2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法[演练冲关]1．(2018·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.2．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝23．(2018·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x 轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5[典例感悟][典例] (1)(2019届高三·齐鲁名校联考)已知圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0，当圆的面积最小时，直线y ＝x ＋b 与圆相切，则b ＝( )A ．±1B ．1C ．± 2D. 2(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32](3)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [解析] (1)由题意可知，圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0化为标准形式为(x －1)2＋(y －m )2＝m 2－2m ＋2，圆心为(1，m )，半径r ＝m 2－2m ＋2，当圆的面积最小时，半径r ＝1，此时m ＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知|b |2＝1，解得b ＝± 2.故选C.(2)设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ， 则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． (3)设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.[答案] (1)C (2)A (3)33，－33[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：换求解m ＝(x －a )2＋(y －b )2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题[演练冲关]1．(2018·宁夏银川九中模拟)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2×2－12＝ 6.故选C. 2．(2018·江苏苏州二模)已知直线l 1：x －2y ＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l 2与圆M ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0交于A ，C 两点，其中A (－1,0)，B ，D 在圆M 上，且位于直线l 2的两侧，则四边形ABCD 的面积的最大值是________．解析：由题意知，tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 直线l 2过点A (－1,0)，则l 2：y ＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋4＝0，又A 是圆M 上的点，则(－1)2＋2×(－1)＋F ＝0，得F ＝1， 圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心M (－1,1)， 其到l 2的距离d ＝|－4－3＋4|5＝35.则|AC |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝85. 因为B ，D 两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当BD 垂直平分AC (即BD 为直径)时，两三角形的面积之积S ＝12和最大，即四边形ABCD 的面积最大，此时AC ，BD 相交于点E ，则最大面×|AC |×|BE |＋12×|AC |×|DE |＝12×|AC |×|BD |＝12×85×2＝85.答案：853．(2018·广西桂林中学5月模拟)已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为____________．r ＝ 2.因为|PM |解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35 [必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．直线方程的五种形式2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))． 4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切． (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含．[二级结论要用好]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[针对练1] 若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1.答案：12．若点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则圆过该点的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2. [针对练2] 过点(1，3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线l 的方程为____________． 解析：∵点(1，3)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴切线方程为x ＋3y ＝4，即x ＋3y －4＝0. 答案：x ＋3y －4＝0[易错易混要明了]1．易忽视直线方程几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，未讨论截距为0的情况，直接设为x a ＋ya＝1；再如，未讨论斜率不存在的情况直接将过定点P (x 0，y 0)的直线设为y －y 0＝k (x －x 0)等．[针对练3] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________． 解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，代入P (1,5)，得a ＝6， ∴直线方程为x ＋y －6＝0. 答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直，若一条直线的斜率不存在，则另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0间的距离为________． 解析：把直线6x ＋8y ＋5＝0化为3x ＋4y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋42＝32.答案：324．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y －6)2＝61－m .当两圆外切时，有－2＋－2＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有－2＋－2＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C 在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k2|2k ＋1|＝6.故选B.8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选 B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B. 9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t >0)，则－x 2＋－1－y 2－x2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧aa －－2×3＝0，a －a －3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3.答案：315．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33 B.34 C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－＋－1＋323＝3－33，故选D. 2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝－2m 2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B.4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252－1＝－910. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·重庆模拟)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，P 是该抛物线上任意一点，M (5,3)，则|PF |＋|PM |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3(3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] (1)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意知，抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，过点P 作PE ⊥l 于点E ，由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，易知当P ，E ，M 三点在同一条直线上时，|PF |＋|PM |取得最小值，即(|PF |＋|PM |)min ＝5－(－1)＝6，故选A.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由点P (2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，则c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)B (2)A (3)A[方法技巧]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1.(2018·合肥一模)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：选D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：103.如图，F 1，F 2是双曲线x 2a2－y224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF 1F 2的面积为________．解析：由|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得|BF 2|＝4a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，化简得c ＝7a ，由a 2＋b 2＝c2得，a 2＋24＝7a 2，解得a ＝2，则双曲线的方程为x 24－y 224＝1，△BF 1F 2的面积为12|BF 1|·|BF 2|sin ∠F 1BF 2＝12×2a ×4a ×32＝8 3. 答案：x 24－y 224＝1 8 3[典例感悟][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝ 1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4， 所以e ＝c a ＝14.(3)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′， 则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点， ∴M 为A ′B ′的中点， ∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] (1)A (2)D (3)2[方法技巧]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 3．抛物线几何性质问题求解策略涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用．[演练冲关]1．(2018·长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝π3，ba＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，选C.2．(2018·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为( )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：选A 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线ABM 的面积为12×8×4上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△＝16，故选A.3．(2018·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bc b 2＋c 2≤b 2a，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018·开封模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.5＋1D.5＋12(2)(2018·洛阳模拟)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83D.53(3)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55[解析] (1)抛物线y 2＝4cx 的焦点F 1(c,0)，准线l ：x ＝－c ，连接PF 1和EO (O 为坐标原点)，如图，则|PF 1|＝2|EO |＝2a ，所以点P 到准线l ：x ＝－c 的距离等于2a ，所以点P 的横坐标为2a －c ，由点P 在抛物线y 2＝4cx 上，得P (2a －c,2c a －c )．连接OP ，则|OP |＝|OF |＝c ，所以(2a －c )2＋[2ca －c ]2＝c 2，解得e ＝ca ＝5＋12，故选D. (2)因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)， 故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D＝2pp8＝16.故选A.(3)设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，故选C.[答案] (1)D (2)A (3)C[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．已知椭圆的短轴长为8，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为9π4，则椭圆的离心率为( ) A.45 B.22 C.35D.223解析：选C 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2b ＝8，即b ＝4，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有S △PF 1F 2＝12(2a ＋2c )r ＝12×2c |y P |，即r ＝c |y P |a ＋c ，当点P 运动到椭圆短轴的端点时，r 有最大值32，此时|y P |＝b ，于是有4c a ＋c ＝32，即3a ＝5c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝35. 2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b ax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ， 所以e ＝c a＝ 3.3．(2018·贵阳模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则p ＝________.解析：过点A ，B 向抛物线的准线x ＝－p2作垂线，垂足分别为C ，D ，过点B 向AC 作垂线，垂足为E ，∵A ，B两点在抛物线上，∴|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∵BE ⊥AC ，∴|AE |＝|AF |－|BF |，∵直线AB 的倾斜角为60°，∴在Rt △ABE 中，2|AE |＝|AB |＝|AF |＋|BF |， 即2(|AF |－|BF |)＝|AF |＋|BF |，∴|AF |＝3|BF |. ∵|AF |＝2，∴|BF |＝23，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝83.设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得3x 2－5px ＋3p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝53p ，∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝83，∴p ＝1. 答案：1[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆 双曲线 抛物线 PF PM F[二级结论要用好]1．椭圆焦点三角形的3个结论设椭圆方程是x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)． (1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a . 3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)； (4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径 (1)椭圆通径长为2b2a；(2)双曲线通径长为2b2a；(3)抛物线通径长为2p . 5．圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a (长轴长)． (2)双曲线上两点间的最小距离为2a (实轴长)．(3)椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．[易错易混要明了]1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a ＜|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，。
2019届高考数学二轮复习大题专项练五解析几何A文
五解析几何(A)1.(2018·黄陵高三期中)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,点Q的坐标为(-2,3).(1)若P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)求|MQ|的最大值和最小值;(3)设M(m,n),求的最大值和最小值.2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足k AP·k BP=-.(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率k.3.(2013·广东卷)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.1.解:(1)由点P(a,a+1)在圆C上,可得a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即P(4,5).所以|PQ|==2,k PQ==.(2)由x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.可得|QC|==4,因此|MQ|max=|QC|+r=4+2=6,|MQ|min=|QC|-r=4-2=2.(3)分析可知,表示直线MQ的斜率.设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则=k.由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.2.解:(1)设P(x,y)(x≠±),所以k AP·k BP=-,所以·=-,整理得+y2=1(x≠±),但A,B两点在椭圆上,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且k≠0,设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),联立则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以所以|OM|=,而|QM|=|PQ|=·=·=·,因为|OM|=|QM|,所以=·,所以m2=,所以k2=2,所以k=±.因此,直线PF的斜率为±.3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y′=x,所以切线PA:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切线PA:y=x1x-y1,同理可得切线PB:y=x2x-y2.因为两切线均过定点P(x0,y0),所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上, 所以直线AB的方程为y0=xx0-y,即y=x0x-y0.(3)设点P的坐标为(x′,y′),由x′-y′-2=0,得x′=y′+2,则|AF|·|BF|=·=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,所以|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1=y′2+(y′+2)2-2y′+1=2(y′+)2+,当y′=-,x′=时,即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e==,得=,解得a2=4,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)法一设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以k PA=,直线PA的方程为y=x-1,同理,直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1),线段MN的中点为(4,),所以圆的方程为(x-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,则(x-4)2+=(1-)2,因为+=1,所以=-,所以(x-4)2+-5=0,设交点坐标(x1,0),(x2,0),可得x1=4+,x2=4-,因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解,所以5->0,解得x0∈(,2].则|x1-x2|=2(<x0≤2),所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长最大值为2. 法二设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以k PA=,直线PA的方程为y=x-1, 同理,直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1), 若以MN为直径的圆与x轴相交,则[-1]×[+1]<0,即-+-1<0,即+-1<0.因为+=1,所以=-,代入得到5->0,解得x0∈(,2].该圆的直径为-1-[+1]=2-, 圆心到x轴的距离为-1+[+1]=,该圆在x轴上截得的弦长为2=2(<x0≤2), 所以该圆被x轴截得的弦长最大值为2.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理
五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1;+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E;2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证;直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C;y2=2p(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(1,y1),B(2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系Oy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解;(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB;y=+m,由消y得(1+22)2+4m+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=162m2-4(1+22)(2m2-2)=0,得m2=22+1>1,①又由消y得22+(2m-4)+m2=0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=,12=,且有得≠0,m<1,因为OA⊥OB,所以·=12+y1y2=(1+2)12+m(1+2)+m2=()2+4·=0,得m=-4,联立①,得=±,故直线AB的方程为y=±(-4).2.(1)解;由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明;由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=+b.联立整理得2-4-4b=0,其中Δ=16(2+b)>0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=4,12=-4b.①由抛物线的方程可得y=2,所以y′=.所以过A(1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=1(-1),又y1=,代入整理得y=1-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2m1-16=0,同理可得-2m2-16=0.所以1,2为方程2-2m-16=0的两个根,所以1+2=2m,12=-16.②由①②可得12=-4b=-16,1+2=4=2m.所以b=4,=,AB的方程为y=+4.当=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解;(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB;y=(-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4.(2)设D(0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为EF=-,AD⊥EF,所以AD=,故直线AD;y+=(-),即2-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==, 设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD;-y-3=0,当t=-2时,AD;+y-3=0.4.解;(1)设动点M的坐标为(,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(1,y1),B(2,y2),直线PA,PB的斜率分别为1,2.斜率为的直线l的方程为y=+m(m∈R),由得2+m+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(1+2)+2m=m,因为1+2=+=0,所以(y1-y0)(2-0)+(y2-y0)(1-0)=0,y12+y21+20y0-0(y1+y2)-y0(1+2)=0,所以(1+m)2+(2+m)1+20y0-0×-y0(-m)=0.所以12+m(1+2)+20y0+my0-0=0,所以m(y0-0)+20y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理2
五 解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C 1:+y 2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F 1,F 2,直x 2a222线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴,动直线l 2垂直l 1于点P,线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M.(1)求点M 的轨迹C 2的方程;(2)当直线AB 与椭圆C 1相切,交C 2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB 的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C 与圆E:x 2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.1412(1)求动圆圆心C 的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB 恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F 的直线交C 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,y 1y 2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B 在准线l 上的投影为E,D 是C 上一点,且AD ⊥EF,求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy 中,动点M 到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M 的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l 交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB 的斜率的12和恒等于0,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由e 2===,得a=,c=1,c 2a 2a 2-1a2122故F 1(-1,0),F 2(1,0),依条件可知|MP|=|MF 2|,所以点M 的轨迹是以l 1为准线,F 2为焦点的抛物线,所以C 2的方程为y 2=4x.(2)显然当AB 斜率不存在时,不符合条件.当AB 斜率存在时,设AB:y=kx+m,由消y 得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0,{y =kx +m ,x22+y 2=1因为AB 与C 1相切,所以Δ=16k 2m 2-4(1+2k 2)(2m 2-2)=0,得m 2=2k 2+1>1,①又由消y 得k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0,{y =kx +m ,y 2=4x 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1x 2=,4-2km k2m 2k2且有得k ≠0,km<1,{k 2≠0,Δ=(2km -4)2-4k 2m 2>0,因为OA ⊥OB,所以·=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=()2+4·=0,得m=-4k,→OA →OB m k m k联立①,得k=±,1414故直线AB 的方程为y=±(x-4).14142.(1)解:由题意知,圆E 的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(x,y),半径为r.12因为圆C 与直线y=-相切,所以d=r,12即y+=r.①12因为圆C 与圆E 外切,所以|CE|=+r,12即=+r.②x 2+(y -1)212联立①②,消去r,可得x 2=4y.所以C 点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线AB 的斜率一定存在.不妨设直线AB 的方程为y=kx+b.联立整理得x 2-4kx-4b=0,{x 2=4y,y =kx +b ,其中Δ=16(k 2+b)>0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4b.①由抛物线的方程可得y=x 2,所以y ′=x.1412所以过A(x 1,y 1)的抛物线的切线方程为y-y 1=x 1(x-x 1),12又y 1=,代入整理得y=x 1x-.14x 211214x 21因为切线过P(m,-4),代入整理得-2mx 1-16=0,x 21同理可得-2mx 2-16=0.x 22所以x 1,x 2为方程x 2-2mx-16=0的两个根,所以x 1+x 2=2m,x 1x 2=-16.②由①②可得x 1x 2=-4b=-16,x 1+x 2=4k=2m.所以b=4,k=,AB 的方程为y=x+4.m 2m2当x=0时,y=4,所以直线AB 恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),p 2当直线AB 的斜率不存在时,y 1y 2=-p 2=-4,p=2,当直线AB 的斜率存在时,设AB:y=k(x-),p2由化简得y 2-y-p 2=0,{y 2=2px,y =k (x -p 2),2pk由y 1y 2=-4得p 2=4,p=2,所以抛物线方程为y 2=4x.(2)设D(x 0,y 0),B(,t),则E(-1,t),t 24又由y 1y 2=-4,可得A(,-),4t 24t因为k EF =-,AD ⊥EF,所以k AD =,t 22t 故直线AD:y+=(x-),4t 2t 4t 2即2x-ty-4-=0,8t2由化简得y 2-2ty-8-=0,{y 2=4x,2x -ty -4-8t 2=0,16t2所以y 1+y 0=2t,y 1y 0=-8-.16t2所以|AD|=|y 1-y 0|1+t 24==,1+t 24(y 1+y 0)2-4y 1y 04+t 2t 2+16t2+8设点B 到直线AD 的距离为d,则d==,|t 22-t 2-4-8t 2|4+t2|t 2+16t2+8|24+t2所以S △ABD =|AD|·d=≥16,1214(t 2+16t2+8) 3当且仅当t 4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点M 的坐标为(x,y),因为动点M 到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M 的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的 椭圆.所以解得{c =1,2a =4,c 2=a 2-b 2,{b =3,a =所以轨迹Γ的方程为+=1.x 24y 23(2)假设存在定点P(x 0,y 0),使得直线PA,PB 的斜率的和为0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2.斜率为的直线l 的方程为y=x+m(m ∈R),1212由{y =12x +m,x 24+y 23=1,得x 2+mx+m 2-3=0,所以Δ=m 2-4(m 2-3)=-3(m 2-4)>0,所以m 2<4,解得-2<m<2.又{x 1+x 2=-m,x 1x 2=m 2-3,所以y 1+y 2=(x 1+x 2)+2m=m,1232因为k 1+k 2=+=0,y 1-y 0x 1-x 0y 2-y 0x 2-x 0所以(y 1-y 0)(x 2-x 0)+(y 2-y 0)(x 1-x 0)=0,y 1x 2+y 2x 1+2x 0y 0-x 0(y 1+y 2)-y 0(x 1+x 2)=0,所以(x 1+m)x 2+(x 2+m)x 1+2x 0y 0-x 0×-y 0(-m)=0.12123m2所以x 1x 2+m(x 1+x 2)+2x 0y 0+my 0-x 0=0,3m2所以m(y 0-x 0)+2x 0y 0-3=0对于-2<m<2恒成立,32所以{y 0-32x 0=0,2x 0y 0-3=0,解得或{x 0=1,y 0=32,{x 0=-1,y 0=-32,所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB 的斜率的和恒等于0.3232。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何b理
五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4x.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,由消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+1>1,①又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且有得k≠0,km<1,因为OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=()2+4·=0,得m=-4k,联立①,得k=±,故直线AB的方程为y=±(x-4).2.(1)解:由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(x,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得x2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立整理得x2-4kx-4b=0,其中Δ=16(k2+b)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.①由抛物线的方程可得y=x2,所以y′=x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),又y1=,代入整理得y=x1x-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2mx1-16=0,同理可得-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.②由①②可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==, 设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.斜率为的直线l的方程为y=x+m(m∈R),由得x2+mx+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(x1+x2)+2m=m,因为k1+k2=+=0,所以(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,y1x2+y2x1+2x0y0-x0(y1+y2)-y0(x1+x2)=0,所以(x1+m)x2+(x2+m)x1+2x0y0-x0×-y0(-m)=0.所以x1x2+m(x1+x2)+2x0y0+my0-x0=0,所以m(y0-x0)+2x0y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理
五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1;+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E;2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证;直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C;y2=2p(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(1,y1),B(2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系Oy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解;(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB;y=+m,由消y得(1+22)2+4m+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=162m2-4(1+22)(2m2-2)=0,得m2=22+1>1,①又由消y得22+(2m-4)+m2=0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=,12=,且有得≠0,m<1,因为OA⊥OB,所以·=12+y1y2=(1+2)12+m(1+2)+m2=()2+4·=0,得m=-4,联立①,得=±,故直线AB的方程为y=±(-4).2.(1)解;由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明;由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=+b.联立整理得2-4-4b=0,其中Δ=16(2+b)>0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=4,12=-4b.①由抛物线的方程可得y=2,所以y′=.所以过A(1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=1(-1),又y1=,代入整理得y=1-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2m1-16=0,同理可得-2m2-16=0.所以1,2为方程2-2m-16=0的两个根,所以1+2=2m,12=-16.②由①②可得12=-4b=-16,1+2=4=2m.所以b=4,=,AB的方程为y=+4.当=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解;(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB;y=(-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4.(2)设D(0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为EF=-,AD⊥EF,所以AD=,故直线AD;y+=(-),即2-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==,设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD;-y-3=0,当t=-2时,AD;+y-3=0.4.解;(1)设动点M的坐标为(,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(1,y1),B(2,y2),直线PA,PB的斜率分别为1,2.斜率为的直线l的方程为y=+m(m∈R),由得2+m+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(1+2)+2m=m,因为1+2=+=0,所以(y1-y0)(2-0)+(y2-y0)(1-0)=0,y12+y21+20y0-0(y1+y2)-y0(1+2)=0,所以(1+m)2+(2+m)1+20y0-0×-y0(-m)=0.所以12+m(1+2)+20y0+my0-0=0,所以m(y0-0)+20y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理
五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1;+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E;2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证;直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C;y2=2p(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(1,y1),B(2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD 的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系Oy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4. (1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解;(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB;y=+m,由消y得(1+22)2+4m+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=162m2-4(1+22)(2m2-2)=0,得m2=22+1>1,①又由消y得22+(2m-4)+m2=0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=,12=,且有得≠0,m<1,因为OA⊥OB,所以·=12+y1y2=(1+2)12+m(1+2)+m2=()2+4·=0,得m=-4,联立①,得=±,故直线AB的方程为y=±(-4).2.(1)解;由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明;由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=+b.联立整理得2-4-4b=0,其中Δ=16(2+b)>0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=4,12=-4b.①由抛物线的方程可得y=2,所以y′=.所以过A(1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=1(-1),又y1=,代入整理得y=1-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2m1-16=0,同理可得-2m2-16=0.所以1,2为方程2-2m-16=0的两个根,所以1+2=2m,12=-16.②由①②可得12=-4b=-16,1+2=4=2m.所以b=4,=,AB的方程为y=+4.当=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解;(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB;y=(-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4.(2)设D(0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为EF=-,AD⊥EF,所以AD=,故直线AD;y+=(-),即2-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==,设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD;-y-3=0,当t=-2时,AD;+y-3=0.4.解;(1)设动点M的坐标为(,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(1,y1),B(2,y2),直线PA,PB的斜率分别为1,2.斜率为的直线l的方程为y=+m(m∈R),由得2+m+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(1+2)+2m=m,因为1+2=+=0,所以(y1-y0)(2-0)+(y2-y0)(1-0)=0,y12+y21+20y0-0(y1+y2)-y0(1+2)=0,所以(1+m)2+(2+m)1+20y0-0×-y0(-m)=0.所以12+m(1+2)+20y0+my0-0=0,所以m(y0-0)+20y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理
五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1;+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E;2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证;直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C;y2=2p(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(1,y1),B(2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系Oy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解;(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB;y=+m,由消y得(1+22)2+4m+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=162m2-4(1+22)(2m2-2)=0,得m2=22+1>1,①又由消y得22+(2m-4)+m2=0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=,12=,且有得≠0,m<1,因为OA⊥OB,所以·=12+y1y2=(1+2)12+m(1+2)+m2=()2+4·=0,得m=-4,联立①,得=±,故直线AB的方程为y=±(-4).2.(1)解;由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明;由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=+b.联立整理得2-4-4b=0,其中Δ=16(2+b)>0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=4,12=-4b.①由抛物线的方程可得y=2,所以y′=.所以过A(1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=1(-1),又y1=,代入整理得y=1-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2m1-16=0,同理可得-2m2-16=0.所以1,2为方程2-2m-16=0的两个根,所以1+2=2m,12=-16.②由①②可得12=-4b=-16,1+2=4=2m.所以b=4,=,AB的方程为y=+4.当=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解;(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2, 当直线AB的斜率存在时,设AB;y=(-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4.(2)设D(0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为EF=-,AD⊥EF,所以AD=,故直线AD;y+=(-),即2-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0, 所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==,设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD;-y-3=0,当t=-2时,AD;+y-3=0.4.解;(1)设动点M的坐标为(,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(1,y1),B(2,y2),直线PA,PB的斜率分别为1,2.斜率为的直线l的方程为y=+m(m∈R),由得2+m+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(1+2)+2m=m,因为1+2=+=0,所以(y1-y0)(2-0)+(y2-y0)(1-0)=0,y12+y21+20y0-0(y1+y2)-y0(1+2)=0,所以(1+m)2+(2+m)1+20y0-0×-y0(-m)=0.所以12+m(1+2)+20y0+my0-0=0,所以m(y0-0)+20y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。
2019年高三数学(理)二轮专项检测：专项5解析几何专项检测
2019年高三数学（理）二轮专项检测：专项5解析几何专项检测注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
(本卷总分值150分，考试用时120分钟)【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共计60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1、过点(－2,0)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 A 、2x ＋y ＋4＝0 B 、－2x ＋y －4＝0C 、x －2y ＋2＝0D 、－x ＋2y －2＝0 解析易知所求直线的斜率为－2，所以方程为y －0＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋4＝0. 答案A2、(2017·中山模拟)假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，那么p 的值为A 、－2B 、2C 、－4D 、4解析据题意p2＝2，∴p ＝4. 答案D3、以下曲线中离心率为62的是A.x 24＋y 22＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24＋y 210＝1D.x 24－y 210＝1解析选项A 、B 、C 、D 中曲线的离心率分别是22、62、155、142. 答案B4、抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解析由⎩⎨⎧y 2＝xy ＝kx ＋1得ky 2－y ＋1＝0，当k ≠0时，Δ＝1－4k ＞0，得k ＜14.即假设直线l 与抛物线C 有两个不同的交点，那么k ＜14且k ≠0，应选D. 答案D5、圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，那么圆C 的方程为A 、(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B 、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C 、(x －1)2＋(y －1)2＝2D 、(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析设圆心坐标为(a ，－a )，∴r ＝|2a |2＝|2a －4|2， 解得a ＝1，∴r ＝2，故所求的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案B6、假设曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，那么k 的值为A 、1B 、－1 C.12 D 、2 解析曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.应选D. 答案D7、椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，那么△F 1PF 2的面积为A 、3(2＋3)B 、3(2－3)C 、2＋ 3D 、2－ 3解析由题意，得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝4，所以|PF 1|·|PF 2|＝12(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝3(2－3)、 答案B8、直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A 、相离 B 、相交 C 、相切 D 、不确定 解析圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 212＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1＜r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交、答案B9、(2017·大纲全国卷)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝A.45B.35C 、－35D 、－45 解析解法一由⎩⎨⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5 ＝－45.解法二由解法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋425×2＝－45.答案D10、椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A 、x ＝±152yB 、y ＝±152xC 、x ＝±34yD 、y ＝±34x 解析由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆的右焦点(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点(2m 2＋3n 2，0)， ∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |，∴双曲线的渐近线为y ＝±3·|n |2·|m |x ＝±34x ，即y ＝±34x . 答案D11、(2017·课标全国卷)双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3. 由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2， ∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1. 答案B12、如下图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，那么离心率为A.3＋12B.3－1C.3－12 D.3＋1解析设F 2(c,0)，那么圆O 的方程是x 2＋y 2＝c 2.与双曲线方程联立，消掉y得x 2a 2－c 2－x 2b 2＝1，解得x ＝－a b 2＋c 2c (舍去正值)、由于O 是正三角形F 2AB 的外接圆的圆心，也是其重心，故F 2到直线AB 的距离等于32|OF 2|＝3c 2，即c ＋a b 2＋c 2c＝3c 2，即2a b 2＋c 2＝c 2. 将b 2＝c 2－a 2代入上式，并平方得4a 2(2c 2－a 2)＝c 4， 整理，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，两端同时除以a 4，得e 4－8e 2＋4＝0. 解方程得e 2＝4±23，由于e 2＞1， 故e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1.答案D【二】填空题(本大题共4小题，每题4分，共计16分、把答案填在题中的横线上)13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，那么M 到抛物线焦点的距离是________、解析因为点M 的横坐标是2，故其纵坐标为8，又p 2＝18，所以M 到抛物线焦点的距离为8＋18＝658.答案65814、点P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，那么点M 的轨迹方程是________、解析设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， 那么x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1. 答案x 2－4y 2＝115、椭圆的中心在原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，那么此椭圆的方程为________、解析抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点， 那么所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，半焦距c ＝3，又离心率e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆的方程为x 2＋y 24＝1.答案x 2＋y 24＝116、a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，那么直线l 的一般方程是________、解析∵a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)，∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－32，又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝23. 又l 过点A (3，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)， 化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案2x －3y －9＝0【三】解答题(本大题共6小题，共74分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(12分)(2017·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程、解析(1)由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)、因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18、(12分)(2017·安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上、证明(1)假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交、(2)解法一由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上、解法二交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x .故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上、19、(12分)(2017·开封模拟)如下图，圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值、 解析(1)证明直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ， 故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部， 所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点、 (2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k 2，而圆O 的半径r ＝2，故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝12×24－d 2×d＝4d 2－d 4＝d 2－22＋4.而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2＝11＋k 2∈(0,1]， 显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3， 此时直线m 的方程为y －1＝0.20、(12分)圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，假设|AB |＝23，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，假设向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线、解析(1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意、 假设直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，那么23＝24－d 2，得d ＝1.所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34， 故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )， 那么N 点坐标是(0，y 0)、 因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2. 又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)，所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点、21、(12分)(2017·上海)椭圆C ：x 2m 2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)、(1)假设M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)假设m ＝3，求|PA |的最大值与最小值；(3)假设|PA |的最小值为|MA |，求实数m 的取值范围、解析(1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)、(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，那么|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，|PA |min ＝22； 当x ＝－3时，|PA |max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，那么|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )、∵当x ＝m 时，|PA |取最小值，且m 2－1m 2＞0，∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.22、(14分)如下图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，假设|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，假设G 为CD 的中点，H 为BE 的中点，问|BE ||CD |·|GF 2||HF 2|是否为定值？假设是，求出定值；假设不是，请说明理由、解析(1)解法一设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，那么2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6， 得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，那么(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减，得xc ＝32，由抛物线定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，那么c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32(因∠AF 2F 1为钝角，故舍去)、所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .解法二设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线方程为y 2＝2px . 如下图，过F 1作垂直于x 轴的直线x ＝－c ，即抛物线的准线，过A 作AN 垂直于该准线于点N ，作AM ⊥x 轴于点M ， 那么由抛物线的定义，得|AF 2|＝|AN |，所以|AM |＝|AF 1|2－|F 1M |2＝|AF 1|2－|AN |2＝|AF 1|2－|AF 2|2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6. |F 2M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6＝12， 得|F 1F 2|＝52－12＝2，所以c ＝1.由p2＝c 得p ＝2. 由2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6， 得a ＝3.b 2＝a 2－c 2＝8.所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，由题意知k ≠0，代入x 29＋y 28＝1， 得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0， 即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，那么y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2. 同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4k ＝0，那么y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－ 4.所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝16k 28＋9k 22＋4×64k 28＋9k 216k 28＋9k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3，为定值、[上传人：恒谦编辑付连国，QQ:1040591891]。
2019高三大二轮(新资料)数学(理)专项阶段评估5-解析几何
2019高三大二轮（新资料）数学（理）专项阶段评估5-解析几何注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1、过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为() A 、x －2y ＋7＝0 B 、2x ＋y －1＝0 C 、x －2y －5＝0 D 、2x ＋y －5＝0解析：因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.答案：A2、与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是() A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1D 、x 2－y 22＝1解析：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)、应选B.答案：B3、抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，那么p 的值为() A.12 B 、1 C 、2 D 、4 解析：由，可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切、圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2.答案：C4、直线l 1：x －2my ＋3＝0，直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，假设l 1⊥l 2，那么m 的值为()A 、－1B 、1C 、－12D 、2解析：由直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，知直线l 2的斜率k 2＝2，∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率存在，且k 1＝12m ，由k 1·k 2＝－1，即12m ·2＝－1，得m ＝－1.应选A. 答案：A5、“ab ＜0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的() A 、必要而不充分条件 B 、充分而不必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分也非必要条件解析：假设ab ＜0，c ＝0，那么方程表示两直线，而不是双曲线；假设方程表示双曲线，那么必有ab ＜0.答案：A6、假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，那么双曲线的离心率为()A. 2B. 3C. 5D 、2解析：焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，所以e ＝ 5.答案：C7、设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，那么C 的圆心轨迹为() A 、抛物线 B 、双曲线 C 、椭圆 D 、圆解析：设圆C 的半径为r ，那么圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故点C 的轨迹为抛物线、答案：A 8、直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R)与圆x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0的交点的个数为()A 、1B 、2C 、0或2D 、1或2解析：圆(x －1)2＋(y －3)2＝9的圆心坐标为(1,3)，半径为3.由(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0，可得3mx －2my ＋8m ＋x ＋3y －12＝0，化简得(3x －2y ＋8)m ＋x ＋3y －12＝0，∵对于m ∈R 上式恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋8＝0x ＋3y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4， ∴直线恒过点(0,4)、故直线与圆的交点为2. 答案：B9、椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，那么此弦所在直线的方程是()A 、3x ＋2y －4＝0B 、4x ＋6y －7＝0C 、3x －2y －2＝0D 、4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.答案：B10、设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为()A. 2B. 3 C 、2 D 、3解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， 因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b2a ＝4a ， ∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.答案：B11、从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，那么△MPF 的面积为()A 、5B 、10C 、20 D.15解析：由抛物线方程y 2＝4x 易得准线l 的方程为：x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，故代入y 2＝4x 可求得纵坐标为±4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10，选B.答案：B12、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为()A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)、 又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.答案：A【二】填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分、请把正确答案填在题中横线上)13、双曲线C ：x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的离心率等于2，那么该双曲线渐近线的斜率是________、 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么a ＝2，b ＝m ，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋m 4＝2，解得m ＝12.故其渐近线的斜率为±ba ＝± 3.故填± 3.答案：± 314、过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，那么该直线的方程为________、解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.答案：2x －y ＝015、圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________、解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1， 所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1， 即x －y －2＝0. 答案：x －y －2＝016、如果以原点为圆心的圆经过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，并且被直线x ＝a 2c (c 为双曲线的半焦距)分为弧长为2∶1的两段弧，那么该双曲线的离心率等于________、解析：如下图，设直线x ＝a 2c 与圆交于点A 、B ，与x 轴交于点M ，双曲线的右焦点F 2在圆上，那么∠AOB ＝120°，M 是AB 的中点，OA ＝OB ，∴OM ＝12OA ＝12OF 2＝12c ，∴12c ＝a 2c ，∴c 2a 2＝2，∴e ＝ 2.答案： 2【三】解答题(本大题共6小题，共70分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(本小题总分值10分)F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程、解析：设|PF 2|＝m ，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝2c ＝3m ， |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝m ，∴e ＝ca ＝3，∴e 2＝3＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2， ∴b 2a 2＝2，∴b a ＝2，∴x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x . 18、(本小题总分值12分)如下图，以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切、过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点、(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程、 解析：(1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知直线l 的方程为x ＝－2，符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0.过点A 作AQ ⊥MN ，易知Q 为MN 的中点、如图 ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1.由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.19、(本小题总分值12分)离心率为45的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一点M 到椭圆两焦点的距离之和为10.以椭圆C 的右焦点F (c,0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT (T 为切点)，且点P 满足|PT |＝|PB |(B 为椭圆C 的上顶点)、(1)求椭圆C 的方程；(2)求点P 所在的直线l 的方程、解析：(1)依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 245＝ca2a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝3c ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)设点P (x ，y )、由(1)得F (4,0)，所以圆F 的方程为：(x －4)2＋y 2＝9.因为PT 为圆F 的一条切线，那么△PTF 为直角三角形，所以|PT |2＝|PF |2－r 2＝(x －4)2＋y 2－9.又|PB |2＝x 2＋(y －3)2，所以(x －4)2＋y 2－9＝x 2＋(y －3)2，化简得：直线l 的方程为4x －3y ＋1＝0.20、(本小题总分值12分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点、(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标、解析：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切， 所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k x －21得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.21、(本小题总分值12分)F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的交点，点P 关于x 轴的对称点记为M .设F 1P →＝λF 1Q →.(1)求曲线C 的方程；(2)证明：F 2M →＝－λF 2Q →.解析：(1)椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 2的坐标为(1,0)， ∴可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴p ＝2，曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)、 ∵F 1P →＝λF 1Q →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，① y 1＝λy 2,②∴y 12＝λ2y 22.∵y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，∴x 1＝λ2x 2.③③代入①得λ2x 2＋1＝λx 2＋λ， ∴λx 2(λ－1)＝λ－1.∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ. ∵F 2M →＝(x 1－1，－y 1)，由②知，－y 1＝－λy 2，∴F 2M →＝－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝－λF 2Q →，故F 2M →＝－λF 2Q →.22、(本小题总分值12分)椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上、假设右焦点F到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围、解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，那么右焦点为F (a 2－1，0)、由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )、由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0⇒m 2＜3k 2＋1，①∵x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx p ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk . 又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .那么－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2.由②，得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12.综上可得，m 的取值范围是12＜m ＜2.。
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专题强化练十二直线与圆
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()
A．－4
3B．－
3
4 C.3D．2
解析：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心为(1，4)，
由题意得d＝|a＋4－1|
a2＋1
＝1，解得a＝－
4
3.
答案：A
2．(2018·安徽合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：圆C的圆心的坐标C(6，8)，则OC的中点坐标为E(3，4)，则所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案：C
3．(2018·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
解析：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.
所以命题p是命题q的充分不必要条件．
答案：A
4．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程
为()
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．因为圆心(1，
0)与切点(3，1)连线的斜率为1
2，所以切线的斜率k＝－2，故圆的切线方程为y
－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案：B
5．(2018·广东深圳二模)已知点P(1，m)在椭圆x2
4＋y
2＝1的外部，则直线y
＝2mx＋3与圆x2＋y2＝1的位置关系为() A．相离B．相交
C．相切D．相交或相切
解析：由点P(1，m)在椭圆x2
4＋y
2＝1的外部，得m2＞3
4，则圆x
2＋y2＝1
的圆心(0，0)到直线y－2mx－3＝0的距离d＝|－3|
1＋4m2
＜
3
2＜1，所以直线y
＝2mx＋3与圆x2＋y2＝1相交．
答案：B
6．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()
A．1031B．921C．1023D．911
解析：易知最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝2，
所以最短弦的长为2r2－|PC|2＝225－2＝223，
故所求四边形的面积S＝1
2×10×223＝1023.
答案：C
二、填空题
7．(2018·河南郑州一模)如果直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a －7平行，则a＝________．
解析：因为直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，
即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，
所以a 3＝2a －1≠3a －（a －7）
，解得a ＝3. 答案：3
8．(2018·青岛质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －
3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________．
解析：由y ＝ax 2，得x 2＝y a ，
所以准线l 的方程为y ＝－14a .
又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为 3.
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝1，则a ＝12. 答案：12
9．在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，
当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，
所以半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.
故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.
答案：(x －1)2＋y 2＝2
三、解答题
10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．
解：圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，
所以圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.
由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，
所以x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.
整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线2x －4y ＋3＝0上，
要使|PM |取最小值时，只要|PO |取最小值即可，
当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小．
解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35.
故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－310，35. 11．已知过点A (1，0)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2
＜1， 解得4－73＜k ＜4＋73.
所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2
. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2
＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1，
故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。