高考数学一轮复习考点题型课下层级训练12对数与对数函数(含解析)

课下层级训练(十二) 对数与对数函数

[A 级 基础强化训练]

1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )

A ．log 2x

B ．12x

C ．log 12x

D ．2x －2

【答案】A [由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .]

2．(2019·山东烟台月考)函数f (x )＝x a

满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C [方法一 函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为：{x |x ＞－1}，从而排除D ；由g (x )＝|log a (x ＋1)| ≥0，排除B ；x ＝0时，g (x )＝0，排除A ．

方法二 由f (2)＝4，即2a ＝4，得a ＝2.先作出y ＝log 2x 的图象，再将此函数图象向左平移1个单位，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，最后将此函数图象x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称进行翻折，即得g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象．]

3．(2019·山西晋中月考)已知a ＝2-13 ，b ＝log 213，c ＝log 13

，则( ) A ．a ＞b ＞c

B ．a ＞c ＞b

C ．c ＞b ＞a

D ．c ＞a ＞b

【答案】D [∵0＜2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213

＝log 23＞log 22＝1，∴c ＞a ＞B ．] 4．(2019·福建龙岩月考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )

A ．x 2＜x 3＜x 1

B ．x 1＜x 3＜x 2

C ．x 1＜x 2＜x 3

D ．x 3＜x 2＜x 1

【答案】A [分别作出三个函数的大致图象，如图所示，

由图可知，x 2＜x 3＜x 1.]

5．(2019·山东济南月考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( )

A ．11＋ab

B ．a 1＋ab

C ．b 1＋ab

D ．a ＋11＋ab 【答案】D [∵log 23＝a ，log 35＝b ，∴lg 3lg 2＝a ，lg 5lg 3＝1－lg 2lg 3＝b ，解得lg 2＝11＋ab ，lg 3＝a 1＋ab

.∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝11＋ab ＋a 1＋ab ＝1＋a 1＋ab

.] 6．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )

A ．[1，2)

B ．[1，2]

C ．[1，＋∞)

D ．[2，＋∞) 【答案】A [令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上

递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g ，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．]

7．(2019·山东青岛月考)已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2

x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.

【答案】－1 [由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－1.]

8．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.

(1)求a 的值及f (x )的定义域；

(2)求f (x )在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0， 32上的最大值． 【答案】解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，

∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1，3)，

∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．

(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2

＋4]，

∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；

当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，

故函数f (x )在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0， 32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12

x . (1)求函数f (x )的解析式；

(2)解不等式f (x 2

－1)>－2.

【答案】解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12

(－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为

(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，

所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．

又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2

－1|<4，解得－5

[B 级 能力提升训练]

10．(2019·山东青岛二中月考)设函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是( )

A ．f (a ＋2)＞f (3)

B ．f (a ＋2)＜f (3)

C ．f (a ＋2)＝ f (3)

D ．不能确定 【答案】A [由函数f (x )＝log a |x －1|，可知函数关于x ＝1对称，且f (x )在(－∞，1)上单调递增，易得0＜a ＜1.∴2＜a ＋2＜3.又∵函数在(1，＋∞)上单调减函数，∴f (a ＋2)＞f (3)．]

11．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1) ≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )

A ．⎣⎢⎡⎭

⎪⎫14，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，－12 【答案】A [当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14

－m ，由题意可知原条件等价于f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，所以m ≥14

.] 12．(2019·山东临沂月考)已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y

＝2，则A 的值是________.