教学案例：对数函数——两种不同案例的比较

对数函数
——两种不同教学案例的比较
1950年代，苏联凯洛夫的《教育学》引入我国，其中设计的五环节教学（组织教学—引入新课—讲解新课—巩固新课—布置作业）深入人心，至今仍然支配着广大数学教师的课堂教学设计，其中引入往往是数学教师最精心设计的部分。

这符合人的认知规律，也与现代认知主义理论、建构主义思想相一致。

“温故而知新”课堂教学的开始多以复习提问的形式，教师设计了一系列的复习问题，让学生在对与新知识相关的已知内容的“温故”之中，水到渠成地学习新知识。

而随着新课改的实施，一些以问题情境引入课题的方式的大量涌现。

以下是两个不同有关对数函数的案例。

案例1（由指、对数函数之间互为反函数的关系引入对数函数）
教学程序：
教学实录(引入片段):
师：同学们，上一节课我们学习了指数函数，大家还能回想起它的图像与性质吗？
群生：回答问题。

师：下面我们来看一下这个指数函数，你能用列表法将其表示出来吗？（叫一名学生在黑板上板演）
生：学生列表表示出指数函数（如下表所示）
…
-3
-2
-1
1
2
…
…
1
2
4
8
…
师：回忆一下我们学过的函数的概念，你能说出函数中的对应关系吗？
生：
师：现在我们将上述表格中自变量与应变量的位置调换，变成如下表格，你能说出y关于x 的表达式吗？
…
1
2
4
8
…
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
生：y关于x的表达式为
师：根据函数的定义，判断他是否是一个函数？
生：是。

师：我们知道上述两个函数定义域和值域互换，对应关系互逆，我们称他们的关系为互为反
函数。

（教师要求学生做出两个函数的图象，由特殊推广到一般研究，根据对数函数是指数函数的反函数的关联性，借助图象研究对数函数的性质）
…………
案例分析：该案例的引入采取了为“温故而知新”的策略，而该案例能够取得成功，主要取决于以下两个因素：（1）学生对函数的概念的理解透彻；（2）学生已经学习了指数函数的概念，而且对它的图象及其性质掌握较好。

在此案例中，之所以将指、对数函数结合起来研究是因为这两个函数之间存在一种关联性——同底的指数函数和对数函数互为反函数。

这样设计的好处是，可以将指数函数与对数函数联系起来，使学生对知识的认知结构更为完整，对指数函数与对数函数有一个更深刻的理解，其次教师在设计时，由两个简单的指、对数函数入手，从特殊推广到一般，使概念广泛化，这样为后面利用图象研究性质打好了基础。

不好的一点是，在此设计过程中，我们无法避免反函数概念的引入，这是否加大了学生的负担呢，这种教学过程是否能够适用于所有学生仍值得商榷。

而为了加深学生对反函数概念的理解，教师也在后面加了一些关于该概念巩固的习题，但是这样做是否有点冲淡了我们的主题——对数函数。

案例二（通过问题情境由学生自己探究习得新知识）：
教学程序：
教学实录（引入片段）
师：材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．
师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：
（1）P和t之间的对应关系是一一对应；
（2）P关于t是指数函数；
t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；它仍是一个函数，但不是我们曾经学过的函数，由于函数中有对数符号，我们称其为对数函数。

师：现在，你能给出对数函数的定义吗？
生：（叙述对数函数的定义）
师：强调对数函数定义的形式化，组织学生做一些练习巩固对概念的理解……
（先让学生描点作图，画出对数函数的图象，让学生展示其结果，然后辅助多媒体技术让学生探究对数函数图像及其性质）
…………
案例分析：在案例二中教师让学生先根据函数概念判断t关于P的模型是否是函数，由于这个函数学生以前从未见过，因而引出这样的函数究竟是什么的问题，这样的过度自然而然，学生在接受时也比较容易理解。

在对数函数的教学过程中，教师采用了先让学生去做，然后再结合学生研究的结果，但是通过一两个函数图象，要说明一大类函数的性质，在说理上有些牵强，因而教师借助了多媒体，让学生通过观察探究得出函数的性质，这样既能提高学生的积极性，又能提高课堂效率，做到教与学的完美结合。

下面是教师在演示对数函数中底数a的取值不同函数单调性不同的片段：
师：当a在0-1之间增大时，大家注意观察图像的走势（如图表1所示）。

生：都是向下走的。

师：当a大于1时，大家注意观察图像的走势（如图表2所示）。

生：都是向上增长的。

师：你还能得到它们有什么共性？
…………
我们可以看到通过多媒体演示，学生可以很容易的看出，并总结出对数函数的一些性质，这样就避免了由有限几个函数得出函数性质的牵强性，在此过程中不仅培养了学生的识图能力，也能提高他们的总结概括能力。

图表1
图表2
两种案例的比较：
案例1比较注重知识之间的联系，学生通过学习对指数函数与对数函数有了深层次的认识；案例2在教学过程中比较注重学生自己的思考以及自己做数学的过程，注重多媒体的应用。

与案例2比较，由于案例1中始终贯穿了指对数函数互为反函数这一关系，因而学生在学习之前必须对指数函数的图象及其性质有较好的掌握；而案例中的知识几乎是单一的对数函数的知识，这样使学生学习负担小些，因而降低了学习这一节内容的门槛。

从学生的课堂学习过程中来看，案例1中需要教师自始至终的引导，而且还要对反函数这一“脚手架”进行巩固练习；而案例2中，学生的做与教师的讲解相互结合，这样更能激发学生学习的积极性。

当然，这两种案例孰优孰劣是见仁见智的事，这不仅与教师自己的专业水平相关，还与学生的学习接受能力有关。

在平时教学中，教师要选择最适合学生及自己水平的教学策略，同时也要向他人多学习，借鉴，以达到更大的进步。