高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案

1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）

解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．

∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．

2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}

3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)

解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,

∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。

4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．

解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3

②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.

由①、②得：p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．

分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，

a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．

∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．

（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，

∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，

即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21

．

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11

∈A ，1≠a 且1∉A.

⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.

⑶若a∈A，证明：1－a 1

∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.

解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21

∈A ⇒ 2∈A

∴ A 中至少还有两个元素：－1和21

⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11

即12+-a a ＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集

⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a

--1111

∈A ⇒111---a a

∈A ，即1－a 1

∈A

⑷由⑶知a∈A 时，a -11

∈A， 1－a 1

∈A .现在证明a,1－a 1, a -11

三数互不相等.

①若a=a -11

,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11

②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1

③若1－a 1 =a -11

，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11

.

综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；

（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

一共有27个映射

（2）符合条件的映射共有4个0

222

,2,2,0,0,2220

a a a a

b b b b

c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩

8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域

解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]

9根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .

（2）已知1)f x x x =+，求()f x

（3）若()f x 满足1

()2(),f x f ax x +=求()f x

解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，

又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++

即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++

21

1021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21

1

22x x +

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）

（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解

用1

x 代x 可得：1

1

()2(),f f x a x x +=与 1

()2()f x f ax x +=

联列可消去1

()f x 得：()f x ＝233a ax

x -.

点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.

分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02

≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.

解 由 x y x 62322=+得.

20,0323

,0.

323

2222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x

x y 又,29

)3(21

32322222+--=+-=+x x x x y x

∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429

)32(21

2=+--

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由 x y x 62322=+得 ,323

22x x y +-=

1(0),1(1)

u x x x u u =+≥=-≥