数列的概念第一课时
数列数列的概念ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第一讲数列的概念PPT教学课件
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
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题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
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知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
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由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
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题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式
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[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…； 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
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(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
＋
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[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一 般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序 号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变 化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
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[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由 ，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
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(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.
第四章《数列》第一课时 等差数列的概念与通项公式
4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…；①我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题数列①②③有什么共同的特点？提示从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.1.等差数列的概念等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”从第2项起条件每一项与它的前一项的差都等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a 与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.3.等差数列的通项公式一般形式：a n＝a m＋(n－m)d(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.(2)等差数列与一次函数的关系：①公差d≠0的等差数列{a n}的图象是点(n，a n)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k.拓展深化[微判断]1.常数列是等差数列.(√)2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)提示差都是同一个常数.3.数列{a n}满足a n＋1－a n＝1(n＞1)，则数列{a n}是等差数列.(×)提示{a n}不一定是等差数列，忽略了第1项.[微训练]1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝()A. 5B.±5C.3D.±3解析由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案 C2.等差数列{1－3n}的公差d等于()A.1B.3C.－3D.n解析∵a n＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.答案 C3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为a n＝________.解析由题知，a1＝－3，d＝2，a n＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案2n－5[微思考]1.如果数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)或2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)，那么数列{a n}是等差数列吗？提示是等差数列.2.等差数列{a n}的单调性与其公差d有什么关系？提示当公差d＝0时，{a n}是常数列；当公差d>0时，{a n}是递增数列；当公差d<0时，{a n}是递减数列.题型一等差数列的通项公式及相关计算【例1】在等差数列{a n}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求a n；(2)已知a1＝3，a n＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；(4)已知d＝－13，a7＝8，求a1和a n.解 (1)a n ＝a 10＝a 1＋(10－1)d ＝2＋9×3＝29.(2)由a n ＝a 1＋(n －1)d 得3＋2(n －1)＝21，解得n ＝10. (3)由a 6＝a 1＋5d 得12＋5d ＝27，解得d ＝3. (4)由a 7＝a 1＋6d 得a 1－2＝8，解得a 1＝10， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－13(n －1)＝－13n ＋313. 规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系【训练1】 n 743d ＝( ) A.－2 B.－12 C.12D.2(2)在数列{a n }中，已知a 1＝3，当n ≥2时，1a n －1a n －1＝15，则a 16＝( )A.25B.310C.23D.32解析 (1)由条件得⎩⎨⎧a 1＋6d －2（a 1＋3d ）＝－1，a 1＋2d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－12.(2)因为当n ≥2时，1a n －1a n －1＝15，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以13为首项，以15为公差的等差数列，故1a 16＝13＋15×15＝103，故a 16＝310. 答案 (1)B (2)B题型二 等差中项及其应用【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列.解∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7.规律方法(1)由等差数列的定义知a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，即2a n＝a n－1＋a n＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.【训练2】若a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A. 3B. 2C.32 D.22(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9解析(1)由题知a，b的等差中项为12⎝⎛⎭⎪⎫13＋2＋13－2＝12(3－2＋3＋2)＝ 3.(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m ＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为m＋n2＝3.答案(1)A(2)B题型三等差数列的判定角度1 等差数列的证明【例3－1】 (1)已知数列{a n }是等差数列，设b n ＝2a n ＋3，求证：数列{b n }也是等差数列.证明 因为数列{a n }是等差数列，可设其公差为d ，则a n ＋1－a n ＝d .从而b n ＋1－b n ＝(2a n ＋1＋3)－(2a n ＋3)＝2(a n ＋1－a n )＝2d ，它是一个与n 无关的常数， 所以数列{b n }是等差数列.(2)已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式.证明 由于a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝2a n ＋2n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列.∴a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴a n ＝n ·2n .角度2 等差数列的探究【例3－2】 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *). (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ，使数列{a n }为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.解 (1)∵a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)及a 1＝2，a 2＝－1，∴a 2＝(λ－3)a 1＋2， ∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)不存在.∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4，a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{a n }为等差数列.规律方法 (1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.②等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a 1，a 2，a 3)不是等差数列即可.【训练3】 已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2（6a n －4）－2（a n ＋2）＝a n ＋24a n －8＝（a n －2）＋44（a n －2）＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N *，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列. (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法： (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.3.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.二、素养训练1.给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1 111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中是等差数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析数列(1)，(4)是等差数列，故选B.答案 B2.若数列{a n}的通项公式是a n＝2(n＋1)＋3，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差－a n＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{a n}是公差为2的等差数列. 解析a n＋1答案 A3.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5＝()A.5B.6C.8D.9解析因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.答案 A4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.解析d＝－1－1＝－2，设a n＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n ＝46.答案465.在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 解 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .基础达标一、选择题1.设数列{a n }(n ∈N *)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A.4 B.3 C.2D.1解析 由a 2＝a 1＋d ＝4，a 4＝a 1＋3d ＝6，解得d ＝1. 答案 D2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7D.29解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎨⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 答案 A3.在数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝8，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2(n ＋1)2 B.a n ＝4(n ＋1) C.a n ＝8n 2D.a n ＝4n (n ＋1) 解析 由题意得a n ＋1－a n ＝2，故数列{a n }是首项为a 1＝22，公差为2的等差数列，所以a n ＝22＋2(n －1)＝2n ＋2，故a n ＝2(n ＋1)2. 答案 A4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( ) A.73斤 B.72斤 C.52斤D.3斤解析 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a 1＝4，则a 5＝2，设公差为d ，则2＝4＋4d ，解得d ＝－12，所以a 2＝4－12＝72. 答案 B5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2>0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项. 答案 B 二、填空题6.在△ABC 中，B 是A 和C 的等差中项，则cos B ＝________.解析 ∵B 是A 和C 的等差中项，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，cos B ＝12. 答案 127.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝a 4，a 10＝11，则a 12＝________. 解析 由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 1＋d ＝a 1＋3d ，a 1＋9d ＝11，解得⎩⎨⎧a 1＝2d ＝1.故a 12＝2＋11＝13. 答案 138.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案 6766三、解答题9.在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项.(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎨⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5.令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.10.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由. (2)求a n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列.理由如下： 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， 所以1a n ＋1－1a n＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差d ＝12 的等差数列.(2)由(1)可知，1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，所以a n ＝2n . 能力提升11.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11等于( ) A.0B.16C.13D.12解析 ∵11＋a 3＝13，11＋a 5＝12， 设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧11＋a 1＋2d ＝13，11＋a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧11＋a 1＝16，d ＝112.∴11＋a n ＝16＋(n －1)·112， ∴11＋a 11＝16＋11－112＝11＋112＝1，∴a 11＝0. 答案 A12.在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n≥λ对任意的n ≥2恒成立，求实数λ的取值范围. (1)证明 由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2，n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列.(2)解 由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝13n －2. (3)解 λa n ＋1a n≥λ对任意的n ≥2恒成立， 即λ3n －2＋3n －2≥λ对任意的n ≥2恒成立， 整理得λ≤（3n －2）23n －3，对任意的n ≥2恒成立. 令f (n )＝（3n －2）23n －3，则只需满足λ≤f (n )min 即可. 因为f (n ＋1)－f (n )＝（3n ＋1）23n －（3n －2）23n －3＝9n 2－9n －13n （n －1）＝3－13n （n －1）， 所以当n ≥2时，f (n ＋1)－f (n )>0，即f (2)<f (3)<f (4)<…，所以f (2)最小.又f (2)＝163，所以λ≤163， 所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，163. 创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，则下列说法正确的有( )A.数列{a n }是等差数列B.a 2k ＝7－2k (k ∈N *)C.a 2k －1＝12－2k (k ∈N *)D.a n ＋a n ＋1＝18－3n解析 由a n －a n ＋2＝2得a 3＝a 1－2＝8，由于2a 2≠a 1＋a 3，所以{a n }不是等差数列，A 不正确；由a n －a n ＋2＝2，知{a n }的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＝a 2＋(k －1)×(－2)＝7－2k ，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k －1＝a 1＋(k －1)×(－2)＝12－2k ，故B ，C 都正确；当n ＝2时，a 2＋a 3＝5＋8＝13不满足a n ＋a n ＋1＝18－3n ，故D 错误.答案 BC14.(多选题)在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{a n}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有()A.若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B.数列{(－1)n}是等方差数列C.若数列{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{a n}一定是常数列D.若数列{a n}是等方差数列，则数列{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列解析根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确；若数列{a n}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a2n－a2n－1＝(a n－a n－1)·(a n＋a n－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p.又p为常数，所以d＝0，C正确；若数列{a n}是等方差数列，则a2n－a2n－1＝p，a2kn－a2k（n－1）＝(a2kn－a2kn－1)＋(a2kn－1－a2kn－2)＋(a2kn－2－a2kn－3)＋…＋(a2kn－k＋1－a2kn－k)＝kp为常数，D正确.答案ABCD。
数列的概念(第一课时)
数列的概念 (第一课时)临泉二中 李小辉一、教学分析：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，日常经济生活中的存款、储蓄、分期付款等问题都可以归结为数列模型。
本课时是通过实例归纳概括数列的概念、类比函数给出数列的几种表示方法，是后续学习的的基础。
二、教学导图三、教学目标(1)通过实例，引入数列的概念，通过对具体实例的分析理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类和表示方法。
(2)通过类比数列与函数的关系，感受数学之间的联系，了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系。
3．教学重点与难点重点：了解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型。
难点：认识数列是一种特殊的函数，运用不完全归纳法获得简单的数列的通项公式。
三、教学方法与学习方法问题引入小组讨论 归纳概括 总结修正 获得新知练习反馈 问题深入四、教学情境设计2，我国从1998到2002年间3．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数=取得最小值时，y xsin六、资料延拓：数列在日常经济生活中的应用数列在日常经济生活中的重要的数学模型。
例如存款、贷款、购物分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。
以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经济活动，银行存款计息方式有两种：单利和复利，下面分别举例说明。
单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息=本金×利率×存期以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和（简称本息和），则有S=P(1+nr)复利：复利是把上期末的本金作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是=+S P r(1)n。
2.1数列的概念与简单表示法 第一课时
2.1数列的概念与简单表示法 第一课时一、学习目标：1、理解数列及数列的通项公式的相关概念，明白数列和函数之间的关系；2、对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、自学探究：阅读课本2830P P -页，完成下列问题：1. 数列及其有关概念：① 数列的概念：②数列的一般形式可以写成：③说出{}n a 与n a 的区别：④ 数列的分类：2. 数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；136,10，、、、；1,4,9,16，、、、.（数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：（作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：___________,___________,__________3、数列与函数之间的关系：4、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？三、合作探究1、根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）2,5,8,11,14,---（2）4,0,4,0,4,0(4) (1)9,99,999,9999,(2)1,11,111,1111,(3)7,77,777,7777,⎧⎪⎨⎪⎩（5）1925,2,,8,,222（6）246810,,,,315356399--- 2、已知数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-。
（1）写出数列的第4项和第6项；（2）问-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？四、课堂检测：1、课本31页练习题4题2、课本33也A 组2题，3题，5题五、反思与小结六、课后作业根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）1,3,7,15,31,（2）0.9,0.99.0.999.0.9999,（3）222221324354,,,,;1357---- （4）414242,,,,,,5211717---。
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第一课时 数列的概念与简单表示法》课件
()
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．
()
(3)数列的项可以相等．
()
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为______．
答案：1,27,125
知识点二 数列的分类与通项公式
[对点练清]
[多选]下面四个结论中正确的是
()
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的 解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通
项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公
(1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？ 提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？ 提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
题型一 数列的概念及分类 [学透用活]
(1) 数 列 的定 义 中 要 把 握 两 个 关 键 词 ： “ 一 定 顺 序 ” 与 “ 一 列 数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序” 排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列 中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 an＝f(n)；而项数是指这个 数列共有多少项．
数列的概念第一课时教学设计
《数列的概念第一课时教学设计》一、教学目标1. 知识与技能目标-理解数列的概念，了解数列的分类。
-掌握数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的通项公式。
2. 过程与方法目标-通过实例引入数列的概念，培养学生的观察、分析和归纳能力。
-通过对数列通项公式的探究，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
3. 情感态度与价值观目标-让学生体会数列在实际生活中的应用，感受数学的魅力。
-培养学生的合作精神和探究精神。
二、教学重难点1. 教学重点-数列的概念和通项公式。
-根据数列的前几项写出数列的通项公式。
2. 教学难点-从实际问题中抽象出数列的概念。
-归纳数列的通项公式。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法。
四、教学过程1. 导入新课-通过展示一些生活中的数列实例，如银行存款利息的计算、细胞分裂的数量等，引出数列的概念。
-提问学生：在生活中还能找到哪些数列的例子？2. 讲解新课-数列的概念-定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
-举例说明数列的定义，如：1，2，3，4，5；2，4，6，8，10 等都是数列。
-强调数列中的数是有顺序的，改变顺序就变成了不同的数列。
-数列的项-数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
-排在第一位的数称为数列的第1 项（或首项），排在第二位的数称为数列的第2 项，以此类推。
-数列的分类-按项数的多少可分为有穷数列和无穷数列。
-有穷数列：项数有限的数列。
例如：1，2，3，4，5 是有穷数列。
-无穷数列：项数无限的数列。
例如：1，2，3，4，…是无穷数列。
-按项的变化趋势可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
-递增数列：从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
例如：1，2，3，4，5 是递增数列。
-递减数列：从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
例如：5，4，3，2，1 是递减数列。
-常数列：各项都相等的数列。
例如：2，2，2，2，2 是常数列。
-摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
4.1第一课时 数列的概念(课件(人教版))
A．第 127 项
B．第 128 项
C．第 129 项
D．第 130 项
解析：把该数列的第一项 1 写成11，再将该数列分组，第一组 一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四 组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、 分母之和均为该组序号加 1，且每组的分子从 1 开始逐一增加， 因此89应位于第十六组中第八位．由 1＋2＋…＋15＋8＝128， 得89是该数列的第 128 项.
＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数
列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－
1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序号
n
的关系为 n ，故所求的数列的一个通项公式为 n＋1
an＝n＋n＋n 1
由数列的前几项求通项公式
[例 1] (链接教材第 5 页例 2)(1)数列35，12，151，37，…的一个 通项公式是________；
(2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式： ①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….
由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还 要考虑分子、分母的关系； (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n＋1 或(－1)n－1 来调控； (3)熟悉一些常见数列的通项公式； (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容 易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分 解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后 再进行归纳．
数列的概念(第一课时)课件高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
叫做递减数列。
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列是特殊的函数
新知讲解
（1）按照数列定义判断，1,3,5,7是一个数列，7,5,3,1也是一个
数列，这两个数列是不是同一个数列？为什么？
（2)1,1,1,1,1，…是不是一个数列？为什么？
常数列
问题5 请同学们结合数列的定义，回答上面的问题；
实例一：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 165
162
158
153
, , , , , , , , ,
145
, , , , , , ,
138
128
120
问题1 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
、
、− 、 ...，数列的通项公式吗？
= −
通项公式为数列的函数解析式 , 根据通项公式可以写出数列各项
例题讲解
例1 根据下列数列{ }的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们
的图象.
+
；
(1) =
(2) =
−
.
(1)当通项公式中的n=1，2，3，4，5
从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，
96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
问题2 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记第天月亮可见部分的数为，那么s1=5，s2=10，…，s15=240。
所以，不能交换位置，并且具有确定的顺序。
是连续变化的,
而数列是自变量为离散的
4.2.1等差数列的概念(第一课时)课件(人教版)
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a4 15, a7 27, a10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 (n 1) 7 n 15
3.
-20是不是等差数列0，-
7 2
，-7…中的项；
20 0 (n 1) 7 n 47 (舍)
（2）-12，(-6)，0
（3）a，（ ），b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A， b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
a,A,b成等差数列
练习：已知数列8, a,2, b, c是等差数列， 则a, b, c的值分别为____,____,____ .
…
a2 a1 d
a3 a2 d
n=1时亦合适
迭代法
等差数列的通项公式是:
an = a1+(n-1)d
an a1 (n 1)d 例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3,
an 8 (n 1) (3) 3n 11
a20 8 (20 1) (3) 49
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？ 如果是，是第几项？
在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1 a12 0
例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为 10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如 果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地， 且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
2．设元技能: 三数成等差数列: a d,a,a d 四数成等差数列: a 3d,a d,a d,a 3d
6.1 数列的概念 第一课时
从实例出发使学生自然的走向知识点
新
授
过
程
*动脑思考探索新知
【新知识】
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．
【小提示】
数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为 ，这一项的项数为3.
【想一想】
上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?
【新知识】
由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作
教学
反思ห้องสมุดไป่ตู้
学生是否真正理解有关知识；
学生是否参与有关活动；
学生是否积极思考；
教案
签字
签字
时间
年月日
教学
重点
难点
教学重点
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．
教学难点
根据数列的通项公式写出数列中的项；
教学手段运用
教学课件．
学法
指导
教师教法
讲授法启发法
学生学法
练习法合作探究
教师活动
学生活动
设计意图
课
题
导
入
*揭示课题
6．1数列的概念．
*创设情境兴趣导入
将正整数从小到大排成一列数为
板
书
设
计
6．1数列的概念第一课时
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an (1)
n 1
an (1)
n
1 1 1 1 , , , . （4） 1 2 2 3 3 4 4 5
1 an n n 1
n
想一想
(2)和(3)的通项公式唯一吗?
数列 的图象表示： 数 列 的 图 象 是 一 群 孤 立 的 点
an
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
－1， 2，－ 3， 4，－ 5.
例2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前
四项分别是下列各数
(1)3,6,9,12 ( 2)0, 2, 4,6 2 3 4 5 (3) , , , 1 2 3 4 1 1 1 ( 4)1, , , 4 9 16 3 3 3 3 (5) 1, 2 , 3 , 4 ,
如： 数列（1）4，5，6，7，8，9，10。改为 数列（1’）10，9，8，7，6，5，4。 它们不是同一数列。 又如：数列（5）－1，1，－1，1，·。改为 · ·
数列（5’）1，－1，1，－1，·。则它 · · 们也不是同一数列。
可见数列与数集有本质的区别
一个数列，它的项数可以是有限的也可以 是无限的，根据数列的项数是有限的还是 无限的，数列又分为有穷数列和无穷数列。 我们规定：
堆放的钢管
4, 5, 6, 7，8，9， 10.
正整数的的倒数：
1,
1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的 一列数：
-1，1，-1， 1，-1，1，…
无穷多个1排成的一列数： 1，1，1，1，1，1，…
4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
O
1
2
3
4
5
6
7
4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 an n 3
n
(n≤7)
数列 1, 1 2 用图象表示
an
1
1 1 1 , , , , 3 4 5
1 2
1 4 1 8
O
1
2
3
4
5
6
7
n
思考题：
1、 写出下列数列的一个通项公式：
（1）、1，－1，1，－1；（2）、 2，0，2，0； （3）、9，99，999，9999； （4）、0.9，0.99，0.999，0.9999。
答案： （1）
（2）
an 1
n
n 1 n 1
（3）
（4）
an 1 1 an 10 1 an 1 10 n
小结：
本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式； 3、数列的图象表示
按一定的次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的第1 项(首项)
写出它的前5项： n （1） an n 1
（2） an
1 n
n
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2， 3，4，5，得到数列an 的前5项为
1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6
（2）在通项公式中依次取n=1，2， 3，4，5，得么数列 an 的前5项为
n
n
a
1 1 1 1 1 · · · · 如: 1， ， ， ， , ·, ，· 2 3 4 5 n
它的通项公式为:
1 an n
数列 2，4，6，8，…
的通项公式是：
an 2n
a 已知 数列 的通项公式是： nຫໍສະໝຸດ 写出数列的前3项: 3n 2
a1 1 a2 4 a3 7
例1 根据下面数列an 的通项公式，
例3 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数： 2 2 2 2 2 n 1 1 nn 2 2 1 3 1 4 1 5 1 （1） , , , ; an n 1 n 1 2 3 4 5
（2）1，－1，1，－1； (-3) -1, 1, -1, 1
序号
1
2
3
4
5
6
7
上面可以看成是一个序号的集合到 项的集合的映射 数列可以看作是一种特殊的函数,其中自变量 是序号n,项是函数值 如何找到n和
a n 的关系呢?
如果数列an 的第 项 n 与 序号 之间的函数关系可以用一个公 式来表示，这个公式就叫做这个数列的 通项公式。(即n和 an 的函数关系式)
（1）
1 1 1 1 1 1， ， ， ， , ·, ，· （2） · · · · 2 3 4 5 n
－1，1，－1，1， · . · ·
1，1，1，1， · . · ·
像上述例子中:
（3）
（4）
数列 按一定次序排列的一列数叫_______
定义：
按一定次序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项）， 第2项，··，第n项， ··。 ·· ·· ·· ·· 记作: a , a , a , … ， , …， a
{a n }
1
2
3
n
这就是数列的一般形式,简记为 {a
n
}
根据数列的定义知数列是按一定次序排列 的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但 次序不同，则不是同一数列。
用
a1 表示,第2项用 a2
表示, …….第n项用 a n
如果数列 an 的第n项 a n 与n之间的关系可以 用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
表示
布置作业
创新作业本: 数列第一次作业
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做无穷数列
－1，1，－1，1， · . · · 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
1 1 1 1 1 1， ， ， ， , ·, ，· · · · · 2 3 4 5 n
1，1，1，1， · . · ·
数列中的每一个数都对应着 一个序号，反过来，每个序号也都 对应着一个数。如数列（1） 项 4 5 6 7 8 9 10