2021届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上学期第四次月考数学(文)试卷及解析
宁夏大学附属中学2021届高三第一学期期中考试文科数学试卷word版
宁大附中2020-2021学年高三第一学期高三期中暨第三次月考数学（文）试卷一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合A ={−1,0,1,2,3,4}，集合B ={x |(x +3)(x −4)<0}，则A ∩B =（）A ．{−1,0,1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{−1,0,1,2}D ．{−1,0,1,2,3,4}2．已知向量a ⃑=(4,x ),b ⃑⃑=(−4,4)，若a ⃑//b⃑⃑，则x 的值为( )． A ．0B ．4C ．−4D ．±43．已知a >b >1，则下列不等式正确的是（）A ．2a <2bB ．a −2<b −2C ．ab <baD ．ln a <ln b4．“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知△ABC 为正三角形，则tan (A +π4)的值为（）A ．−2+√3B ．−2−√3C ．2−√3D ．2+√36．已知向量a ⃑＝(1，0)，b ⃑⃑＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．−725B ．725C ．−2425D ．24257．设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A ．－15B ．－9C ．1D ．98．函数f(x)=(12)x−x +2的零点所在区间为（）A ．(−1,0)B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)9．将函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)=sin(2x +π6) B ．f(x)=sin(2x −π3) C ．f(x)=sin(8x +π6)D ．f(x)=sin(8x −π3)10．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →−OC →)⋅(OB →+OC →−2OA →)=0，则△ABC 的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形11．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过（）天能达到最初的16000倍（参考数据；ln1.050≈0.0488，lnl.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803）．A．198 B．199 C．197 D．200<0恒成立，则使12．已知偶函数f(x)的图象经过点(−1，2)，且当0≤a<b时，不等式f(b)−f(a)b−a得f(x−1)<2成立的x的取值范围是A．(0,2)B．(−2,0)C．(－∞,0)∪(2,+∞)D．(－∞,−2)∪(0,+∞)二、填空题（每空5分，共20分）13．曲线y=x ln x在点(1,0)处的切线的方程为__________.，则|a⃗+2b⃑⃗|=__________．14．设向量a⃗,b⃑⃗满足|a⃗|=|b⃑⃗|=1,a⃗⋅b⃑⃗=−1415．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，A=2B，则c=______．16．设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−3.2]=−4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+⋯+ [lg100]=________．三、解答题（共70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，a5=11.（1）求{a n}的通项公式；S=，求n.（2）若120nAD=，AC=7，DC=3. 18．（12分）如图，在ΔABC中，已知∠B=30°，D是BC边上的一点，5（1）求ΔADC的面积；（2）求边AB的长.19．（12分）自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养x 百头猪(5≤x ≤15)，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入F(x)（万元）与x （百头）满足如下的函数关系：F(x)={30x −40,(5≤x ≤10)−x 2+40x −40,(10<x ≤15)（注：一个养猪周期内的总利润()R x （万元）=销售收入-固定成本-变动成本）. （1）试把总利润()R x （万元）表示成变量x （百头）的函数；（2）当x （百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.20．（12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A −√3a =0． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．21．（12分）已知O 为坐标原点，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos x ,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2cos x ,√3sin 2x)，x ∈R ，若 f (x )=OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗. （1）求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； （2）设g(x)=f (12x +π8)，求函数y =g (x )在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.22．（12分）已知函数f (x )=ax 2−(a +2)x +ln x （1）若1a =，求函数f (x )的极值；（2）当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围.参考答案1．A2．C3．B4．A5．B6．C7．A8．D 9．A 10．A 11．B 12．C 13．y =x −1 14．2 15．52 16．9217．（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2=5，a 5=11， 所以a 1+d =5，a 1+4d =11，解得a 1=3，d =2. 所以a n =a 1+(n −1)d =3+2(n −1)=2n +1，n ∈N ∗， 所以{a n }的通项公式为a n =2n +1，n ∈N ∗. （2）由（1）知a 1=3，a n =2n +1，因为120n S ，所以n (a 1+a n )2=120，即(3+2n+1)n2=120，化简得n 2+2n −120=0，解得n =10. 18．详解：（1）在ΔADC 中，由余弦定理得 cos ∠ADC =AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC=52+32−722×5×3=−12，∵∠ADC 为三角形的内角， ∴∠ADC =120°， ∴sin ∠ADC =√32， ∴S ΔADC =12AD ⋅DC ⋅sin ∠ADC =12×5×3×√32=15√34．（2）在ΔABD 中，∠ADB =60°， 由正弦定理得：ABsin ∠ADB=AD sin B∴AB =512×√32=5√3．19．（1）R(x)={16x −60,(5⩽x ⩽10)−x 2+26x −60,(10<x ⩽15)；（2）x =13，最大利润为109万元.【详解】（1）由题意可得：F(x)={30x −40,(5≤x ≤10)−x 2+40x −40,(10<x ≤15)所以，总利润R (x )=F (x )−(14x +20)={16x −60,(5≤x ≤10)−x 2+26x −60,(10<x ≤15).（2）当5≤x ≤10时，R (x )=16x −60，当x =10时，R (x )的值最大，最大值为100， 当10<x ≤15时，R (x )=−x 2+26x −60，当x =−262×(−1)=13时，R (x )的值最大，最大值为109， 综上所述，当x =13时，该企业所获得的利润最大，最大利润为109万元.20．（I ）B =π3；（II ）√3+12,32（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin B sin A =√3sin A ,∴sin B =√32△ABC 为锐角三角形，故B =π3. （II ）结合(1)的结论有：cos A +cos B +cos C =cos A +12+cos (2π3−A)=cos A −12cos A +√32sin A +12=√32sin A +12cos A +12=sin (A +π6)+12.由{0<23π−A <π20<A <π2可得：π6<A <π2，π3<A +π6<2π3， 则sin (A +π3)∈√32,1，sin (A +π3)+12∈√3+12,32.即cos A +cos B +cos C 的取值范围是√3+12,32.21．（1）π,[kπ−π3,kπ+π6],k ∈Z ；（2）2.（1）由题意OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos x ,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2cos x ,√3sin 2x)，x ∈R ， 所以f(x)=2cos2x +√3sin 2x =cos 2x +√3sin 2x +1=2sin (2x +π6)+1， 所以函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π，由−2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ， （2）由（1）得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴g(x)=2sin (x +5π12)+1， ∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴x +5π12∈[π3,5π6]，∴当x +5π12=5π6，即x =5π12时，g (x )有最小值， 且min 55()2sin 12126g x g ππ⎛⎫==+=⎪⎝⎭， ∴函数y =g (x )在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2. 22．(1) 函数f (x )的极大值为−54−ln 2函数f (x )的极小值为2- (2) 1,+∞) 解析：1）a =1，f (x )=x 2−3x +ln x ，定义域为(0,+∞)， 又f ′(x )=2x −3+1x =2x 2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x .当x >1或0<x <12时f ′(x )>0；当12<x <1时f ′(x )<0 ∴函数f (x )的极大值为f (12)=−54−ln 2 函数f (x )的极小值为f (1)=−2.（2）函数f (x )=ax 2−(a +2)x +ln x 的定义域为(0,+∞)， 且f ′(x )=2ax −(a +2)+1x=2ax 2−(a+2)x+1x=(2x−1)(ax−1)x，令f ′(x )=0，得x =12或x =1a ，当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,e ]上单调递增， ∴f (x )在[1,e ]上的最小值是f (1)=−2，符号题意；当1<1a <e 时，f (x )在[1,e ]上的最小值是f (1a )<f (1)=−2，不合题意； 当1a ≥e 时，f (x )在[1,e ]上单调递减，∴f (x )在[1,e ]上的最小值是f (e )<f (1)=−2，不合题意 故a 的取值范围为1,+∞)。
宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学文试题含答案
6 c
6 ，即 c2 4c 2 0 . 3
若 ABC 满足②，③，④由正弦定理 a b ，即 sin A sin B
6 3
22 sin B
，解得 sin
B
1，
2
所以 c
2
，所以
ABC
的面积
S
1 2
bc
sin
A
3.
20．【解析】解：（1）
，
平面
，
平面
，
平面
，即 平面 BEF，
-7-
又 正方体
(1)若 P 为 AA1 上的一点，则 P 到平面 BDD1B1 的距离． (2)求三棱锥 E-ABF 的体积．
21．(12 分)
-3-
已知函数 f x 1 x2 2ax ln x ， a R .
2
（1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个极值点 x1 、 x2 x1 x2 ，求 f x2 2 f x1 的取值范围.
的棱长为 1，
到平面 BEF 的距离为 到 的距离 ，
若 P 为 上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 ，故 正确；
（2）
，
设 AC，BD 交于点 O，
平面
，
，
，
21．（1）见解析；（2）
,
1 2
3 2
ln
2
.
【解析】
（1）函数 f x 1 x2 2ax ln x 的定义域为 0, ，
中点，则下列结论中不成立的是
A． EF 与 BB1 垂直
B． EF 平面 BDD1B1
C． EF 与 C1D 所成的角为 45
D． EF // 平面 A1B1C1D1
【解析】宁夏银川市宁大附中2020届高三上学期第四次月考数学(文)试题
数学（文）试卷一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A. {}1A B ⋂=B. R A B A ⋂=ðC. ()(]R 0,1A B ⋂=ðD.A B =R U【答案】B1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或ð 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ð ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a -> B. 0x ∀>，使()21xx a -≤ C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =r ，()0,1b =-r ，(),3c k =r.若()()2//a b b c -+r r r r ，则k 的值为（ ）A.83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【分析】分别求出2,a b b c -+r r r r的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-r r r r rr r ，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==r r r r Q .故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意； 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意； 若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意； 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意， 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--， 显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-，所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【分析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解： ()31y x ax a R =++∈Q 在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--Q ，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】Q 0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式. 【详解】构造函数()()xf xg x e=，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>， 所以，函数()y g x =为R 上的增函数， 由()02f =Q ，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________. 【答案】55()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --= 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360y x y =⎧⎨+-=⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A ，所以z 2x y =-的最小值为83-.故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 ． 【答案】50π解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球， ∵长方体的对角线长等于球的直径， ∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π． 故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a 中，12n n a a +-=且1239a a a ++=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=Q ，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-； （2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦L()123[135(21)]2222n n =++++-+++++L L ，()21212(121)22212nn n n n +-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2） 【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）1sin()sin 0,sin (sin )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=，130,sin 0,sin cos ,tan 32B B C C C π<<∴≠=-=-Q ， 20,3C C ππ<<∴=； （2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 422322S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .【答案】（1）证明见解+析（2）证明见解+析【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB ，,E G Q 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂Q 平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G Q 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=，∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求点A 到平面PEC 的距离.【答案】（1）见解+析；（2）30d =.【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d .由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=， 131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅， 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）. （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-.【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可.【详解】（1）(),()x x f x e ax f x e a '=-=-， 当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞；（2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增，无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值， Q 函数()f x 在0x =处取得极小值，1a \=1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解， 1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈ 不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>， 22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==， 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增， 1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ) 1【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=，直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入()2224x y -+=，化简得210t ++=，则12t t +=-121t t =，设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅= 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。
2021届宁夏大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021届宁夏大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，集合()(){}340B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}0,1,2,3C ．1,0,1,2D ．{}1,0,1,2,3,4-【答案】A【分析】先由一元二次不等式的解法求集合B ，再运用集合的交集运算可得选项. 【详解】由()(){}{}34034B x x x x x =+-<=-<<， 又{}{}251,0,1,2,3,4A x Z x =∈-<<=- 所以{}1,0,1,2,3A B ⋂=-， 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．已知向量()()4,,4,4a x b ==-，若//a b ，则x 的值为( )． A ．0 B ．4 C ．4- D ．4±【答案】C【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得x 的值. 【详解】由于//a b ，故()4440x ⨯--=，解得4x =-. 故选:C.【点睛】本小题主要考查平面向量平行的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题. 3．已知1a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b < B ．22a b --<C ．a bb a< D ．ln ln a b <【答案】B【分析】利用函数2xy =、21y x=、ln y x =的单调性比较函数值大小，即可知正确选项；【详解】由1a b >>，1、2x y =为递增函数，故22a b >，故A 错误；2、21y x =在1x >上单调递减，故22a b --<，故B 正确； 3、1a bb a>>，故C 错误；4、ln y x =在0x >上单调递增，故ln ln a b >，故D 错误； 故选：B【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，注意各对应函数在区间中的单调性，结合已知参数的关系比较函数值大小；4．“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据x 轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 5．已知ABC 为正三角形，则tan 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A．2-B．2-C．2-D．2+【答案】B【分析】由三角形为正三角形可得3A π=，然后利用两角和的正切公式求解即可【详解】解：因为ABC 为正三角形，所以3A π=，所以tantan34tan 241tan tan 34A πππππ+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-故选：B.【点睛】此题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题6．已知向量a＝(1，0)，b＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于()A．725-B．725C．2425-D．2425【答案】C【分析】首先根据向量夹角公式求出cosθ的值，然后求出sinθ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.【详解】33cos155a ba bθ⋅==-=-⨯⋅，∵0θπ≤≤，∴24sin1cos5θθ=-=，24sin22sin cos25θθθ==-，故选C.【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 7．设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z＝2x＋y的最小值是（）A．－15 B．－9 C．1 D．9【答案】A【分析】作出可行域，z表示直线2y x z=-+的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y=+，z表示直线2y x z=-+的纵截距，()223066,3303x y xBy y+-==-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨+==-⎩⎩，数形结合知函数2y x z=-+在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.8．函数1()22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】D【分析】利用零点存在性定理即可判断零点所在的区间. 【详解】由复合函数的单调性知，()f x 是减函数()11(1)12502f -⎛⎫-=--+=> ⎪⎝⎭,1(0)02302f ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，113(1)12022f ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，211(2)22024f ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，317(3)32028f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，因为(2)(3)0f f ⋅<，由零点存在性定理知在区间()2,3内存在零点. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，属于基础题. 9．将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( )A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()sin(2)3f x x π=-C ．()sin(8)6f x x π=+D ．()sin(8)3f x x π=-【答案】A【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．若O 为ABC △所在平面内任一点，且满足20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC △的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形 【答案】A【分析】由20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推出0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可知ABC △的中线和底边垂直，则ABC △为等腰三角形.【详解】∵20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，∴AC CB AB →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⊥,∴ABC △的中线和底边垂直， ∴ABC △是等腰三角形． 故选：A.【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.11．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则经过（ ）天能达到最初的16000倍（参考数据；ln 1.050≈0.0488，lnl.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803）． A ．198B ．199C ．197D ．200【答案】B【分析】设过x 天能达到最初的16000倍，得到方程00(10.05)16000xN N +=，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】设过x 天能达到最初的16000倍，由已知可得，N 0（1+0.05）x ＝16000N 0， 所以x ＝ln16000ln1.05≈198.4，又x ∈N ，故x ＝199天能达到最初的16000倍． 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．已知偶函数()f x 的图象经过点(12)-，，且当0a b ≤<时，不等式()()f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是 A ．(0,2) B ．(2,0)-C ．,02),()(∞⋃+∞－D ．,2()0,()∞-⋃+∞－【答案】C【分析】由题意，得到函数()f x 在0x ≥时是减函数，在函数()f x 在0x <时是增函数，且()()112f f -==，进而可求解不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在0x ≥时是减函数，又由偶函数()f x 的图象经过点()1,2-，所以函数()f x 在0x <时是增函数，()()112f f -==，当1x ≥时，由()()121f x f -<=，得11x -＞，即2x ＞ 当1x <-时，由()()121f x f -<=-，得11x -<-，即0x <， 所以，x 的取值范围是()(),02,-∞⋃+∞【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中合理应用函数的单调性和函数的奇偶性转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题13．曲线ln y x x =在点()10，处的切线的方程为__________. 【答案】1y x =-【分析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程． 【详解】ln 1yx ，∴切线斜率为1|ln111x k y ='==+=，切线方程为1y x =-． 故答案为：1y x =-．14．设向量a b ，满足114a b a b ==⋅=-,，则2a b +=__________. 【答案】2【分析】利用向量的数量积公式可知2a a a ⋅=，所以可推出向量的模长公式：22a a a ==，利用公式计算可得.【详解】114a b a b ==⋅=-,，2222(2)44112a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=-+=故答案为：2.【点睛】本题主要考查对向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，2b =，2A B =，则c =______． 【答案】52【分析】根据题意，先由正弦定理，以及二倍角公式，求出cos A ，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】因为3a =，2b =，2A B =，由正弦定理可知sin sin a bA B =，即32sin 2sin B B =，所以3cos 4B =，因此21cos 2cos 18A B =-=，由余弦定理可得：2221cos 28b c a A bc +-==，即25148c c -=，即22100c c --=，解得：2c =-（舍）或52c =. 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，涉及二倍角公式，属于常考题型. 16．设[]x 表示不超过 x 的最大整数，如[]3π=，[]3.24-=-，则[][][][]lg1lg2lg3lg100++++=________．【答案】92【解析】lg10,lg101,lg1002===,故原式0901292=+⨯+=.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解,考查对数运算等式知识.[]x 表示不超过x 的最大整数，这是一个很常见的新定义的条件,结合本题中的对数运算的性质lg10,lg101,lg1002===可以得到,第一项到第九项是零,第10到第99项都是1,最后一项是2,由此可求得最后的值.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，511a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若120n S =，求n .【答案】（1）21n a n =+；（2）10.【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由等差数列的通项公式代入25a =，511a =，即可得解；（2）由（1）求出通项公式n a ，进而求出n S ，代入求和公式即可的解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为25a =，511a =， 所以15a d +=，1411a d +=， 解得13a =，2d =.所以()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，*n ∈N ， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .（2）由（1）知13a =，21n a n =+， 因为120n S =， 所以()11202n n a a +=， 即()3211202n n ++=，化简得221200n n +-=， 解得10n =.【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了等差数列的通项公式和求和公式，有一定的计算量，难度不大，是基础题.18．如图，在ABC ∆中，已知30B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =.（1）求ADC ∆的面积； （2）求边AB 的长. 【答案】（1153；（2）3【解析】分析：（1）在ADC ∆中，根据余弦定理求得120ADC ∠=︒，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在ABD ∆中由正弦定理可得AB 的长． 详解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，∵ADC ∠为三角形的内角，120ADC ∴∠=︒，3sin ADC ∴∠=， 113153sin 5322ADC S AD DC ADC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）在ABD ∆中，60ADB ∠=︒， 由正弦定理得：sin sin AB ADADB B=∠∴512AB == 点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用．19．自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养x 百头猪(515)x ≤≤，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入()F x （万元）与x （百头）满足如下的函数关系：23040,(510)()4040,(1015)x x F x x x x -≤≤⎧=⎨-+-<≤⎩（注：一个养猪周期内的总利润()R x （万元）=销售收入-固定成本-变动成本）. （1）试把总利润()R x （万元）表示成变量x （百头）的函数；（2）当x （百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）21660,(510)()2660,(1015)x x R x x x x -⎧=⎨-+-<⎩；（2）13x =，最大利润为109万元.【分析】（1）根据题意即可求出函数()R x 的解析式；（2）分段求出最大值，再比较即可求出当13x =时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润.【详解】（1）由题意可得：()()23040,510()4040,1015x x F x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+-<≤⎪⎩所以，总利润()()()()()21660,51014202660,1015x x R x F x x x x x ⎧-≤≤⎪=-+=⎨-+-<≤⎪⎩.（2）当510x ≤≤时，()1660R x x =-，当10x =时，()R x 的值最大，最大值为100， 当1015x <≤时，()22660R x x x =-+-，当()261321x =-=⨯-时，()R x 的值最大，最大值为109，综上所述，当13x =时，该企业所获得的利润最大，最大利润为109万元.【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.20．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）32⎤⎥⎝⎦ 【分析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11cos 222A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21．已知O 为坐标原点，(cos ,1)OA x =，(2cos 2)OB x x =，x ∈R ，若()f x OA OB =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）设1()28g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）,,,36k k k Z πππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）2.【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简化简的解析式，然后求解周期与单调区间即可；（2）化简函数的解析式，通过变量的范围求解函数的最值即可.【详解】（1）由题意(cos ,1)OA x =，(2cos 2)OB x x =，x ∈R ，所以2()2cos 2cos221f x x x x x =+=++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2T 2ππ==， 由222262k x k πππππ--≤+≤+，k Z ∈， 得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （2）由（1）得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴5()2sin 112g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴55,1236x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当51256x ππ+=，即512x π=时，()g x 有最小值， 且min 55()2sin 12126g x g ππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∴函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2. 【点睛】本题考查了利用辅助角公式求三角函数解析式，考查了正弦型三角函数的周期、单调区间以及最值问题，是三角函数基本性质的运算，整体计算量不大，属于基础题. 22．已知函数()()22ln f x ax a x x =-++ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 的极大值为5ln 24--函数()f x 的极小值为2- (2) [)1,+∞ 【解析】试题分析：⑴求出1a =的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到函数()f x 的极值；⑵求出导数，分解因式，对a 讨论，分①当101a <≤②当11e a <<③当1e a≥时，分别求出最小值，并与2-比较，即可得到a 的取值范围．解析：1）1a =，()23ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞， 又()123f x x x =-+'= ()()2211231x x x x x x---+=. 当1x >或102x <<时()0f x '>；当112x <<时()0f x '< ∴函数()f x 的极大值为15ln224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭函数()f x 的极小值为()12f =-.（2）函数()()22ln f x ax a x x =-++的定义域为()0,+∞， 且()()122f x ax a x =-++'= ()()()2221211ax a x x ax x x-++--=， 令()0f x '=，得12x =或1x a =， 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增，∴()f x 在[]1,e 上的最小值是()12f =-，符号题意； 当11e a <<时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意故a 的取值范围为[)1,+∞点睛：本题考查了导数的综合应用，求单调区间和求极值，求最值，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题．考查的知识点主要是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值．考查了学生的计算能力．。
2021届宁夏银川一中高三上学期第四次月考数学(文)试卷及解析
2021届宁夏银川一中高三上学期第四次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}{}23525U A a ==，，，，－,{}5U C A =,则a 的值为( ) A. 2B. 8C. 2或8D. －2或8【答案】C【解析】 根据补集的性质 A ∪（C U A ）=U,再根据集合相等的概念列方程,从而可得结论．【详解】全集{}235U =，，,{}5U C A =,则{}2,3A =, 53a a ∴-=∴= 28或 故选C2. 已知命题“p q ∨”为真,“p ⌝”为真,则下列说法正确的是（ ）A. p 真q 真B. p 假q 真C. p 真q 假D. p 假q 假【答案】B【解析】根据逻辑或真假判断的真值表, p 是假命题,又“p q ∨”为真命题,进而可得q 是真命题． 【详解】解：命题“p ∨q ”和命题“非p ”均为真命题, p ∴为假命题,q 为真命题,故选B ．3. 已知i 为虚数单位,复数21i z =+,则||z =（ ）B. 2 D. 【答案】A【解析】对复数21z i=+进行化简计算,然后根据复数的模长公式,得到答案. 【详解】复数()()()2121111i z i i i i -===-++-,∴z =,故选A ． 4. 已知函数23x y a -=+ (0a >且1a ≠的图像恒过定点P ,点P 在幂函数()y f x =的图像上,则3log (3)f =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】 根据指数函数的图象与性质,求出定点P 的坐标,再利用待定系数法求出幂函数()f x ,从而求出3log (3)f 的值．【详解】解：函数23x y a -=+中,令20x -=,解得2x =,此时134y =+=,所以定点(2,4)P ；设幂函数()a y f x x ,则24a =,解得2a =；所以2()f x x =,所以2(3)(3)9f ==,33log (3)log 92f ∴==．故选D ．5. 已知将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的值可能为（ ） A. 6πB. 3πC. 8πD. 4π。
宁夏银川市宁大附中2020届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含解析
数学（文）试卷一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A. {}1A B ⋂=B. R A B A ⋂=ðC. ()(]R 0,1A B ⋂=ðD.A B =R U【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或ð 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ð ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a ->B. 0x ∀>，使()21xx a -≤C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =r ，()0,1b =-r ，(),3c k =r.若()()2//a b b c -+r r r r ，则k 的值为（ ）A.83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分别求出2,a b b c -+r r r r的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-r r r r rr r ，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==r r r r Q .故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意； 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意； 若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意； 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意， 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--，显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-， 所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ，∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解： ()31y x ax a R =++∈Q 在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--Q ，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】Q 0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数()()xf xg x e =，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>，所以，函数()y g x =为R 上的增函数， 由()02f =Q ，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________. 【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】 【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360yx y=⎧⎨+-=⎩，解得432xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A，所以z2x y=-的最小值为83-.故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为．【答案】50π【解析】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR2=50π．故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a中，12n na a+-=且1239a a a++=．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=Q ，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-； （2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦L()123[135(21)]2222n n =++++-+++++L L ，()21212(121)22212nn n n n +-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，27c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）23【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解.【详解】（1）13sin()sin 0,sin (sin cos )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=， 130,sin 0,sin cos ,tan 322B BC C C π<<∴≠=-=-Q ， 20,3C C ππ<<∴=； （2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 422322S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB ，,E G Q 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂Q 平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G Q 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=，∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求点A 到平面PEC 的距离.【答案】（1）见解析；（2）30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d .由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=， 131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅， 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）. （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-.【解析】【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可.【详解】（1）(),()x x f x e ax f x e a '=-=-， 当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞；（2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增，无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值， Q 函数()f x 在0x =处取得极小值，1a \= 1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解， 1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈ 不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>， 22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==， 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增， 1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ) 1【解析】【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l 的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=，直线l 极坐标方程为2sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为22212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入()2224x y -+=，化简得23210t t ++=，则1232t t +=-121t t =，设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅= 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。
2020届宁夏银川市宁夏大学附中高三上学期第四次月考数学(文)试卷
2020届宁夏银川市宁夏大学附中高三上学期第四次月考数学（文）试卷1. 已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则 （ ） A. {}1A B ⋂= B. A B R ⋃= C. ()(]0,1R C A B ⋂= D. ()R A C B A ⋂= 2．若复数z 满足i i z i ()1(=+是虚数单位），则z 的虚部为 （ ）A ．21 B ．21- C ．i 21 D ．i 21- 3. 命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是 （ ）A ．0x ∀>，使2()1xx a -> B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤ C ．0x ∀≤，使2()1xx a -≤ D ．0x ∀≤，使2()1xx a ->4.已知向量()()()3,,1,0,1,2k =-==c b a .若()()c b b a +-∥2,则k 的值为 ( )5.等比数列{}n a 不具有单调性,且5a 是4a 和33a 的等差中项,则数列{}n a 的公比q = ( ) A.1- B.32-C.1D.326．一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为( )A ．12 3B ．24C ．12＋ 3D ．24＋2 37．甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是 ( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 8. 函数的图象可能是A B C D9．在直三棱柱111ABC A B C-中，已知AB BC⊥，2AB BC==，1CC=，则异面直线1AC与11A B所成的角为()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒10、若函数13++=axxy（∈a R）在区间()2,3--上单调递减，则a的取值范围是（）A. [)+∞,1 B. [)0,2- C. (]3,-∞- D. (]27,-∞-11．已知0,0a b>>，若不等式banba313+≥+恒成立，则n的最大值为（）A．9 B．12 C．16 D．2012．定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)<f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2e x的解集为（）A．（－∞，0）B．（－∞，2）C．（0，＋∞）D．（2，＋∞）二．填空题（每小题5分，工20分）13．已知数列{na}为等差数列，其前n项和为nS，2a7－a8＝5，则S11为___________.14.设函数32ln)(xxxxf+=,则曲线)(xfy=在点)2,1(处的切线方程是．15.设变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+-≥,2,063,2yyyxx则yx2z-=的最小值为 .16．四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB＝3，BC＝4，又PA⊥平面ABCD ，PA ＝5，则该球的表面积为________．三．解答题17．（本小题12分）已知数列{}n a 中，12n n aa +-= 且1239a a a ++=，.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}2nn a +的前n 项和n S .18．（本小题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π3－c sin B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若a ＝4，c ＝27，求△ABC 的面积．19. （本小题12分）如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证： (1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.20．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． (1)求证：AF ∥平面PEC ； (2)求点F 到平面PEC 的距离．21．（本小题12分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）. （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1[2]2，上有解,求实数m 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O 为极点，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(I)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点M(0，1)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA||MB|的值．。
宁夏银川市宁大附中2021届高三数学上学期第四次月考试题 文(含解析)
宁夏银川市宁大附中2021届高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A. {}1A B ⋂=B. RA B A ⋂=C.()(]R0,1A B ⋂=D.A B =R【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a ->B. 0x ∀>，使()21xx a -≤C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =，()0,1b =-，(),3c k =.若()()2//a b b c -+，则k 的值为（ ） A. 83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分别求出2,a b b c -+的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解 【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解.【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意； 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意； 若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意； 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意， 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--， 显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-， 所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，1CC =1BC ==∴1tan BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解：()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式. 【详解】构造函数()()xf xg x e=，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>， 所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________.【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】 【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360yx y=⎧⎨+-=⎩，解得432xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A，所以z2x y=-的最小值为83-.故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为．【答案】50π【解析】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR2=50π．故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a中，12n na a+-=且1239a a a++=．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-； （2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()123[135(21)]2222n n =++++-+++++，()21212(121)22212nn n n n +-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）13sin()sin 0,sin (sin cos )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=， 130,sin 0,sin cos ,tan 322B BC C C π<<∴≠=-=-，20,3C C ππ<<∴=； （2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 422322S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明： （1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B . （2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=，131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅， 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-. 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可. 【详解】（1）(),()xxf x e ax f x e a '=-=-，当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞； （2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增， 无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值， 函数()f x 在0x =处取得极小值，1a1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解，1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>，22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==， 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增，1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ)1【解析】【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入()2224x y -+=，化简得210t ++=，则12t t +=-121t t =， 设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。
《精编》宁夏银川市高三数学第四次月考试题 文 新人教A版.doc
银川一中2021届高三年级第四次月考数 学 试 卷〔文〕第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1． 300cos 的值是( ) A ．21B ．21-C ．23 D ．23-2．集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 且≠B φ，假设A B A =⋃那么( ) A ．43≤≤-m B ．43<<-mC ．42<<mD ．42≤<m3．3(,),sin ,25παπα∈=那么tan()4πα+等于( )A ．17 B. 7 C. 17- D. 7- 4. 等差数列{}241071510S n a a a ==中，，，则前项和＝( )A.420B.3805. a>0,b>0，那么ab ba 211++的最小值为( ) A ．2 B. 22 C. 4 D.25 6. f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=,)31(x 那么)21(f 的值是( )A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－37. 设0,0>>b a ，那么以下不等式中不恒成立的是〔 〕 A ．4)11)((≥++ba b a B ．b a b a 22222+≥++C ．3223b ab b a a +≥+ D ．b a b a -≥-8．凸多边形各内角依次成等差数列，其中最小角为120°，公差为5°，那么边数n 等于〔 〕A ．16B ．9C ．16或9D ．129．函数a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2〔a 为常数〕的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，)(x f 的最大值为6，那么a 等于〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．610. 向量)4,(),2,1(x b a == ，假设向量a∥b ，那么x=( )A. 21-B.21D. -2 D. 211．对于R 上可导的任意函数()f x ，假设满足(1)()0x f x '-≥，那么必有〔 〕A ．(0)(2)2(1)f f f +≥B. (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +<12. 0,1||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在AOC ∠30o=的边AC 上，设),(+∈+=R n m OB n OA m OC ，那么mn等于( ) A.13B. 3第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．〕 13．00>>b a ，，且满足3=+b a ，那么ba 41+的最小值为 ．2=2=，a 与b 的夹角为 45，要使λ-b a 与a 垂直，那么λ=15. O 是坐标原点，点()1,1A -.假设点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，那么OA OM ⋅的取值范围是__________. 16． 函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，假设函数()()g x f x m =-有三个零点，那么实数m 的取值范围是 。
宁夏银川一中2021届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含答案
银川一中2021届高三班级第四次月考数 学 试 卷（文）命题人：张金荣第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}223M x x x =-≥，集合{}2680N x x x =-+<，则M N ⋂= A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-2．已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ．()p q ∧⌝为真3．若a >b >0, c <d <0, 则肯定有 A ．a b d c > B ．a b d c < C ．a b c d > D ．a b c d< 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 3＋a 6＝16，a n ＝31，则n 为 A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 5.．曲线y =sinx + e x 在点（0，1）处的切线方程是A ．x-3y +3=0B ．x -2y +2=0C ．2x -y +1=0D ．3x -y +1=0 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A ．y ＝－4sin(π8x ＋π4)B ．y ＝4sin(π8x －π4)C ．y ＝－4sin(π8x －π4)D ．y ＝4sin(π8x ＋π4)7．若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =，E F 、为另始终径的两个端点，则DE DF ⋅= A ．3-B ．4-C ．8-D ．6-8．设函数f (x )=22(x 1)sin 1xx +++的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．已知A ，B 是球O的球面上两点，∠AOB =900，C为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的体积为A ．72πB ．144πC ．288πD ．576π 10．若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积是A ．2＋22＋ 6B ．2＋2＋ 6C ．23D ．2＋322＋ 611．已知函数的定义域为R ，当x <0时，f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时，f (-x )=-f (x );当x>12时，11()()22f x f x +=-.则f (6)= A ．-2B ．-1C ．0D ．212．已知变量a ,b 满足b =－12a 2+3lna (a >0),若点Q (m ,n )在直线y =2x +12上, 则(a -m )2+(b -n )2的最小值为 A ．9 B ．553C ．59D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答．第22题～第23题为选考题，考生依据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设x , y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z =x +2y 的最大值为_________.14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A 21中，不等式12111nA A A +++≥________成立． 15．设a ,b ,m ,n ∈R,且a 2+b 2=5,ma +nb =5, 22m n +的最小值为____________.16．已知函数f (x )=2|54|,x 02|2|,0x x x x ⎧++≤⎨->⎩.若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分。
宁夏回族自治区银川市宁夏大学附属中学2021届高三数学上学期第四次月考试题文含解析
【详解】解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为d．
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）由（1）知 ，∴ ，
∴
．
20.已知函数 的图像如图所示.
（1）求 的值；
（2）设 ，求函数 的单调递增区间.
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）由图象可知 ，则 ，可求出 ，再根据图象过点 ，求出 的值；
21.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
点睛：该题考查的是有关等差数列的性质问题，在解题的过程中，灵活应用等差数列中， 还成等差数列，根据题中所给的条件，求得 的值，最后相加求得结果.
16.已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝a（a+c），则 的取值范围是_____.
【答案】（ ， ）
【解析】
【分析】
由 利用余弦定理，可得 ，正弦定理边化角，再消去 ，可得 ，利用三角形 是锐角三角形，结合三角函数的有界性，可得 的取值范围．
【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
【精准解析】宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学(文科)试卷
银川一中2021届高三年级第四次月考文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}{}23525U A a ==，，，，－，{}5U C A =，则a 的值为( ) A. 2 B. 8 C. 2或8 D. －2或8【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的性质 A ∪（C U A ）=U ，再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论．【详解】全集{}235U =，，，{}5U C A =，则{}2,3A =， 53a a ∴-=∴= 28或 故选C【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念．是基础题．2. 已知命题“p q ∨”为真，“p ⌝”为真，则下列说法正确的是（ ） A. p 真q 真 B. p 假q 真C. p 真q 假D. p 假q 假【答案】B 【解析】 【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p 是假命题，又“p q ∨”为真命题，进而可得q 是真命题． 【详解】解：命题“p ∨q ”和命题“非p ”均为真命题，p ∴为假命题，q 为真命题，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．3. 已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则||z =（ ）B. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】 对复数21z i=+进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】复数()()()2121111i z i i i i -===-++-，∴z =， 故选A ．【点睛】本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.4. 已知函数23x y a -=+ (0a >且1a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =（ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P 的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()f x ，从而求出3log (3)f 的值．【详解】解：函数23x y a -=+中，令20x -=，解得2x =， 此时134y =+=，所以定点(2,4)P ； 设幂函数()a yf x x ，则24a =，解得2a =； 所以2()f x x =， 所以2(3)(3)9f ==，33log (3)log 92f ∴==．故选D ．【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题． 5. 已知将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ） A.6π B.3π C.8π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，再结合图象关于y 轴对称列出式子即可求解. 【详解】将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后，得到()cos 44y x ϕ=-的图象，由题意，得()4k k ϕπ=∈Z ，则()4k k πϕ=∈Z ，取1k =，得4πϕ=.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题. 6. 在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时，n 的最小值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得811520a a a =+<，891160a a a a +=+>，由等差数列前n 项和的公式，能求出0n S >时，n 的最小值．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和n S 有最小值 ∴公差0d >，首项10a <，{}n a 为递增数列 ∵981a a <-∴8900a a <>，，890a a +>由等差数列的性质知：115820a a a +=<，116890a a a a +=+>. ∵()12n n n a a S +=，15160,0S S ∴<> ∴当0n S >时，n 的最小值为16． 故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，考查数列的函数特性． 7. 函数()3cos 1x f x x+=的部分图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由()()f x f x -=-得()f x 为奇函数排除选项A ，由函数值的变化趋势可以排除选项D ，求特殊点的函数的正负可排除C ，得到答案． 【详解】函数()f x 的定义域为()()00+，，-∞∞. ()()()3cos +13cos +1x x f x f x xx--==-=--,所以()f x 为奇函数，故排除选项A. 由当0x >且0x →时，()f x →+∞，故排除选项D. 由23034f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故排除选项C. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题．8. 若OA AB ⊥，||1OA =，则()OA OA OB ⋅+=（ ） A. 2 B. 1C. -1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】由OA AB ⊥可得0OA AB ⋅=，可根据()AB AO O OA OA B ⋅=⋅+求得1OA OB ⋅=，进而可求出()OA OA OB ⋅+的值. 【详解】OA AB ⊥，||1OA =，2()||10OA OA O AB AO A O OB A OB OA OB ∴⋅=⋅+=-+⋅=-+⋅=， ∴1OA OB ⋅=，2()2OA OA OB OA OA OB ∴⋅+=+⋅=.故选：A.【点睛】本题考查数量积的运算，考查垂直关系的向量表示，属于基础题.9. 若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 79-B.23C. 23-D.79【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据诱导公式得出1cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，然后根据二倍角公式即可得出结果. 【详解】因为1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以2217cos 2cos 22cos 12133669πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有2sin cos a a π⎛⎫=-⎪⎝⎭、2cos 22cos 1a a =-，考查计算能力，是简单题.10. 已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]1,4a ∈-均成立，则m 的取值不可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和单调性的性质可得到()f x 的奇偶性和单调性，由此将恒成立的不等式化为241m a a >-+，通过求解241a a -+的最大值，可知()2max 41m a a >-+，由此得到结果.【详解】()()11211221211212xxx x xxf x f x ------====-+++，()f x ∴是定义在R 上的奇函数，又()212212121x x x f x +-==-++，21x y =+为增函数，221x y ∴=+为减函数，()f x ∴为增函数. 由()()22120f a a m f a --+-<得：()()()221221f a a m f a f a --<--=-，2221a a m a ∴--<-，整理得：241m a a >-+，[]1,4a ∈-，()()()22max 4114116a a ∴-+=--⨯-+=，6m ∴>，m ∴的取值不可能是6.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.11. 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若 AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面11BDD BC. EF 与1C D 所成的角为45︒D. //EF 平面1111D C B A 【答案】C 【解析】 【分析】连接1A B 、11A C 、1A D ，则E 为1A B 的中点，可得11//EF A C ，利用11A C 与1BB ，平面11BDD B ，1C D ，平面1111D C B A 的关系可判断各选项．【详解】连接1A B 、11A C 、1A D ，则E 为1A B 的中点， 对于A 选项，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，E 、F 分别为1A B 、1BC 的中点，则11//EF A C ， 1EF BB ∴⊥，A 选项正确；对于B 选项，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 又111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11A C ∴⊥平面11BDD B ， 11//EF AC ，EF ∴⊥平面11BDD B ，B 选项正确；对于C 选项，易知11AC D 为等腰三角形，11//EF AC ，则EF 与1C D 所成的角为11AC D ∠，∵2221111A D C D A C +>，∴11A DC ∠始终是锐角，而1111AC D C A D ∠=∠，∴1145AC D ∠=︒不可能成立．C 选项错误； 对于D 选项，11//EF AC ，EF ⊄平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D CB A ， //EF ∴平面1111DC B A ，D 选项正确.故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系的判断．解题关键是掌握线面垂直的判断定理与性质定理，线面平行的判定定理，掌握异面直线所成的角．本题考查了学生的空间想象能力． 12. 已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A. （e ，4）B. （e 14+，4] C. （e 14+，4） D. （14，4] 【答案】B 【解析】 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减， 在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴， 又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．【解析】 【分析】 等体积法【详解】334421=33R ππ⨯⨯⨯ R ⇒=【点睛】等体积法14. 已知向量(2,1)AB x =--，(,1)BC x =，若A ，B ，C 三点共线，则实数x =_____. 【答案】2x =或1x =- 【解析】 【分析】由向量共线定理即可求得x 的值. 【详解】解：A ，B ，C 三点共线，R λ∴∃∈，使AB BC λ=， 21xx λλ-=⎧∴⎨-=⎩ ， 解得：2x =或1x =-. 故答案为：2x =或1x =-.15. 在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，若12AA AB ==，则该三棱柱外接球的表面积为_______. 【答案】16π 【解析】 【分析】利用对称性可得到上下底面的中心连线的中点即为外接球的球心，然后在有关三角形中计算，求得球的半径，最后利用球的表面积公式计算即得.【详解】解：如图所示：取11,AC A C 的中点,M N ,两底面的中心分别为1,G G ,线段1GG 的中点O 即为该三棱柱的外接球的球心，连接OB .OB 即为外接球的半径,RABC 为正三角形，AB =221332GB MB AB ∴==⨯=,1AA =,2OG OB ∴=∴==, 2O 416S R ππ∴==球,故答案为：16π.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积问题，关键是利用对称性找到球心的位置，属基础题.16. 如图，在平面上作边长为1的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，⋅⋅⋅如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n 个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.【答案】51122 n n S⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】【分析】设第n个正方形边长为n a，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为n S，得出1n a+与n a满足的递推公式，可知数列{}n a为等比数列，并求出n S关于n a的表达式，可得出数列{}nS也为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用比数列的和可求出结果.【详解】设依次所作的第n个正方形的边长为n a，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为n S，则第nn ，且11a =. ∴第1n +个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=，22221524n n n n S a a a =+⨯=⎝⎭，22221111225145224n n n n n n n n a S a a S a a a ++++⎛⎛⎫∴===== ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 且22115551444S a ==⨯=，所以数列{}n S 是以54为首项，12为公比的等比数列.51(1)22n n S =-.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n项和为nT . 【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)n nT n =+.【解析】 【分析】（1）由基本量法求得1a 和d ，然后可得通项公式； （2）由裂项相消法求和．【详解】（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意215235a a a a ⎧=⎨=⎩，得()()21111425a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩. ∴a n ＝a 1+(n ﹣1)d ＝1+2(n ﹣1)＝2n ﹣1； （2）由（1）知，a n ＝2n ﹣1. 则()()1111111122(1)41n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴111111142231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111414(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）数列，需用倒序相加法求和． 18. 已如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，PA AD a ==.（1）求证：//MN 平面PAD （2）求证：MN ⊥平面PCD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，可证//NE PD ，//EM DA ，从而面//NEM 面PDA ，即可证明//MN 平面PAD ；（2）先证明MN CD ⊥，由PM MC =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，可证MN PC ⊥，CDPC C =，从而得证．【详解】证明：（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，//NE PD ∴，//EM DA又NE ⊄面PDA ，PD ⊂面PDA ，所以//NE 面PDA 又ME ⊄面PDA ，AD ⊂面PDA ，所以//ME 面PDA 因为NEME E =，,NE ME ⊂面NEM∴面//NEM 面PDA ，因为MN ⊂面NEM//MN ∴平面PAD ；（2）底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，CD PA ∴⊥，CD AD ⊥，PA AD A =，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PADCD 平面PAD ，PD ⊂平面PAD CD PD ∴⊥，EN CD ∴⊥又CD EM ⊥，EM EN E =CD 平面ENMMN CD ∴⊥PM MC ===，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，MN PC ∴⊥，CD PC C =，,CD PC ⊂面PCD MN ∴⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键 19. 已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①33()b ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =b =. （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2【解析】 【分析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.【详解】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以2226cos 2a c b B ac +-==-， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=， 因为61cos 2B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2686263c c =++⨯⨯⨯，即2420c c +-=. 解得62c =-.所以ABC ∆的面积1sin 322S ac B ==-. 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=，即622sin 32B =，解得sin 1B =， 所以2c =，所以ABC ∆的面积1sin 32S bc A ==. 【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.20. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =.（1）若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离.（2）求三棱锥E ABF -的体积. 【答案】（1）2；（2）112. 【解析】 【分析】（1）由1//AA 平面11BB DD ，可得P 到平面BEF 的距离等于1A 到平面BEF 的距离，而由正方体性质知1A 到平面BEF 的距离等于1A 到11B D 的距离，由此即得．（2）利用等体积法计算即可. 【详解】解：（1）11//AA BB ，1AA ⊄平面11BB DD ，1BB ⊂平面11BB DD ，1//AA ∴平面11BB DD ，即1//AA 平面BEF ，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，1A 到平面BEF 的距离为1A 到11B D 的距离22，∴若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22，（2）1221224BEFS=⨯=， 由（1）知A 到平面BEF 的距离等于1A 到平面BEF 的距离为22， 122134212E ABF A BEF V V --∴==⨯=.【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，考查求棱锥的体积．掌握如下定理是求点面距离的常用方法：//a α，则直线a 上所有点到平面α的距离相等．求棱锥的体积常用用到换底法，换成高易求的面为底．然后由体积公式计算即得． 21. 已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）13,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析导函数()y f x =的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）由（1）可知1x 、2x 是关于x 的二次方程2210x ax -+=的两根，利用韦达定理可将()()212f x f x -表示为以2x 为自变量的函数，换元221t x =>，可得出()()211132ln 122f x f x t t t -=-+++，令()113ln 122g t t t t =-+++，利用导数求出函数()y g t =在()1,t ∈+∞上的值域，由此可得解.【详解】（1）函数()212ln 2f x x ax x =-+的定义域为()0,∞+， ()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，令221y x ax =-+. 当2440a ∆=-≤，即11a -≤≤时，0y ≥，则()0f x '≥对任意的0x >恒成立， 此时函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； 当1a <-时，()0f x '>对任意的0x >恒成立， 此时函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；当1a >时，2210x ax -+=有两个正根，分别1x a =，2x a =当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<.此时函数()y f x =在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上可得：当1a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间； 当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间是(0,a，()a +∞，单调递减区间是(a a ；（2）由（1）可知1x 、2x 是关于x 的二次方程2210x ax -+=的两根，由韦达定理可得122x x a +=，121x x ⋅=，1a >，21121ax x =+，22221ax x =+，1a >，()10,1x ∴∈，()21,x ∈+∞，()()22212221111122ln 22ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫∴-=-+--+ ⎪⎝⎭2221211ln 2ln 12x x x x =-++-+2222222222211111ln 2ln 13ln 122x x x x x x x ⎛⎫=-++-+=-+++ ⎪⎝⎭，令22t x =，则1t >，设()113ln 122g t t t t =-+++， ()()()222212113322222t t t t g t t t t t----+-'=--+==， 当12t <<时，()0g t '<，当2t >时，()0g t '<.所以，函数()y g t =在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，()()max 132ln 222g t g ∴==+， 因此，()()212f x f x -的取值范围是13,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解代数式的取值范围，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l：y =(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 2的方程为22(2)4x y +-=；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为8sin ρθ=．（1）写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；（2）已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求MN 的值．【答案】（1）:(0)3l πθρ=≥，221:194x y C +=（2）MN =【解析】 【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线():03l πθρ=≥，消去曲线1C 参数方程中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点,M N 对应的极径分别为12,ρρ，然后根据12MN ρρ=-求解可得所求．【详解】（1）依题意，因为射线():0l y x =≥，故射线():03l πθρ=≥消去方程32x cos y sin αα=⎧⎨=⎩中的参数可得22194x y +=，所以曲线1C 的普通方程为：22194x y +=．（2）曲线2C 的方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，把222,sin x y y ρρθ+==代入上式可得曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设点,M N 对应的极径分别为12,ρρ，则12=4sin8sin33MN ππρρ=--=【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题． 23. 已知()12f x x x =++-. （1）求不等式()4f x x ≤+的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：111++2ma b b c c a ≥+++. 【答案】（1）[]1,5-；（2）证明见解析. 【解析】- 21 - 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出3m =，再利用基本不等式证明不等式.【详解】解：（1）21,(1)()123,(12)21,(2)x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，由214x x -+≤+，得1x >-，此时()4f x x ≤+无解；当12x -≤≤时，由34x ≤+，得1x ≥-，此时()4f x x ≤+的解为12x -≤≤；当2x >时，由214x x -≤+，解得5x ≤，此时()4f x x ≤+的解为25x <≤.综上，不等式()4f x x ≤+的解集为[]1,5-；证明：（2）∵()()12123x x x x ++-≥+--=，故()f x 的最小值为3m =，∴3a b c ++=. ∵[]111()()()a b b c c a a b b c c a ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭，9≥=， 等号当且仅当a b b c c a +=+=+，即a b c ==时等号成立.∵3a b c ++=， ∴11169a b b c c a ⎛⎫++≥⎪+++⎝⎭， ∴11132a b b c c a ++≥+++，即1112m a b b c c a ++≥+++. 【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题主要运用了综合法.。
宁夏大学附属中学2021届高三第四次模拟考试数学(文)试卷(有答案)
宁夏大学附属中学2021届高三第四次模拟考试数学（文）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|0A x x x =-≤，|{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB =A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．∅2．若复数z 满足()24i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3. 设直线l 1：2x －my ＝1，l 2：(m －1)x －y ＝1，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是A ．12B ．38C ．13D ．235．已知()1,1a =-，()1,3b =-，则()2a a b ⋅+= A ．0B ．1C ．1-D ．26．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为n S ，满足4325a a =+，则9S = A ．35B ．40C ．45D ．507．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则判断框内的条件 可以是A ．6n ≥B ．8n ≥C ．10n >D ．10n ≥ 8．过点P (2,4)作圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线，则切线方程为 A ．3x +4y -4=0B ．4x -3y +4=0C ．x =2或4x -3y +4=0D ．y =4或3x +4y -4=09．已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作斜率为7l 交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的长度正好等于双曲 线的焦距，则该双曲线的离心率为 A 22- B 22+ C．22 D ．22+10．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()10f -=，若()3log 8a f =-，()2b f =-，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，PC 为球O 的2，则球O 的表面积为 A ．16πB ．8πC ．12πD ． 4π12．已知()f x 为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，若当0x >时，()()ln 0f x f x x x+<'，则不等式()()10x f x -<的解集是 A ．()1,+∞ B ．()0,1 C ．()(),01,-∞⋃+∞ D ．(),0-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若33sin 2πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=______. 14．在等比数列{}n a 中，已知4268a a a =，则35a a =________． 15．某社团计划招入女生x 人，男生y人，若满足约束条件246122312x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．16．下列命题中正确的个数为________.①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点共线； ②若三条直线,a ,b c 互相平行且分别交直线l 于,A ,B C 三点，则这四条直线共面；③若直线a ､b 异面，b ､c 异面，则a ､c 异面； ④若a c ⊥，b c ⊥，则//a b .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏大学附属中学2021届高三上学期期中考试 数学文 Word版含答案
宁夏高校附属中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（每小题只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共60分）1、已知全集R U =，集合{}21x M x =>，集合{}2log 1N x x =>，则下列结论中成立的是 A ．MN M = B ．M N N = C ．()U MN φ= D ．()U M N φ=2、已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是3、设角α的终边与单位圆相交于点34(,)55P -，则sin cos αα-的值是 A ．15 B ．15- C ． 75- D ．754、设向量OA =a ，OB =b 不共线，且1+=a b ，3=a -b ，则OAB ∆的外形是 A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．直角三角5、已知函数()sin(2)f x x α=+在12x π=时有极大值，则α的一个可能值是A ．3π-B ．3πC ．6πD ．6π-6、下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为A ．1y x= B ．lg y x = C ．sin y x = D ． e e 2x x y --=7、设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0αβπ<<<，若22+=-a b a b ，则βα-等于 A ．2π-B ．2πC ．4πD ．4π-8、已知平面对量(1,2),(1,)m ==-a b ，假如⊥a b ，那么实数m 等于 A ．2 B ．12- C ．12D ．2- 9、函数()sin()cos()63f x x x ππ=+-+的最小值为A ．2B ．3C ．22D ．3210、函数ln 2()x xf x x-=的图象在点(1,2)-处的切线方程为 A ．240x y --= B ．20x y += C ．10x y ++= D ．30x y --=11、等差数列{}n a 中的1a ，4027a 是函数321()41213f x x x x =-++的极值点，则22014log a = A ．3 B ．2 C ．4 D ．5 12、当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是 A ．22 B ．2) C ．2(2D ．(2,2) 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、已知1sin cos 2αα+=，则cos 4α= 。