2019-2020学年人教A版宁夏银川一中高三第二学期第六次月考(文科)数学试卷 含解析

2019-2020学年高三第二学期第六次月考数学试卷（文科）一、选择题1．已知i是虚数单位，则＝（）A．1+i B．C．D．1﹣i2．设集合，N＝{（x，y）|y＝2x}，则M∩N的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．03．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（）A．7尺B．14尺C．21尺D．28尺4．已知tan（）＝3，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．若p：，q：，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，m⊥n⇒n∥αB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β7．某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品总共有（）A．1000件B．1200件C．1400件D．1600件8．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣3B．0C．D．39．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝sin（3x+）B．f（x）＝sin（2x+）C．f（x）＝sin（x+）D．f（x）＝sin（2x+）10．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）11．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．12．点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知＝（2，1），＝（3，m），若⊥（﹣），则m等于14．已知抛物线C：y2＝8x，O为坐标原点，直线x＝m与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的重心为抛物线C的焦点F，则|AF|＝．15．在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81，则数列{log3a n}的前n项和为．16．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①y＝，②y ＝2x2+1，③y＝sin x，④y＝ln（x+2），其中是原点O的“限定函数”的序号是．已知点A（a，b）在函数y＝2x的图象上，若函数y＝2x是点A的“限定函数”，则a的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin（B+C）＝（2sin B﹣sin C）b+（2sin C﹣sin B）c．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，b＝4，求△ABC的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．19．2019年7月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元．经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率．附：临界值表k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．20．如图，已知圆E：x2+（y﹣）2＝经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与直线OA（O为原点）平行的直线l交椭圆C于M，两点．使＝﹣，若存在，求直线l的方程，不存在说明理由．21．已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，过点P（l，0）作倾斜角为的直线l，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝1，将曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2，直线l与曲线C2交于不同的两点M，N．（1）求直线l的参数方程和曲线C2的普通方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x﹣1|+ax+3．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，则＝（）A．1+i B．C．D．1﹣i【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则及虚数单位i的幂运算性质，化简所给的式子，可得结果．解：＝＝＝1﹣i，故选：D．2．设集合，N＝{（x，y）|y＝2x}，则M∩N的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．0【分析】集合M∩N表示椭圆和指数函数y＝2x的交点坐标，而椭圆和指数函数y＝2x有2个交点，所以集合M∩N的元素个数是2个，所以集合M∩N的子集个数为：22＝4个．解：集合M∩N表示椭圆和指数函数y＝2x的交点坐标，因为指数函数y＝2x恒过点（0，1），而点（0，1）在椭圆内部，所以椭圆和指数函数y＝2x有2个交点，所以集合M∩N的元素个数是2个，所以集合M∩N的子集个数为：22＝4个，故选：B．3．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（）A．7尺B．14尺C．21尺D．28尺【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为a1＝5的等差数列，由＝390，解得d＝，由此能求出第30天织布数量．解：由题意该女每天织布数量构成首项为a1＝5的等差数列，则＝390，解得d＝，∴第30天织布＝21．故选：C．4．已知tan（）＝3，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα，进而利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．解：∵tan（）＝＝3，∴解得tanα＝，∴sin n2α＝＝＝＝．故选：C．5．若p：，q：，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】先指数函数和对数函数的性质求出各自a的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．解：由＝，则a＞，由＝（）0，则a﹣1＞0，解得a＞1，则p是q的必要不充分条件，故选：B．6．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，m⊥n⇒n∥αB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β【分析】根据线面的平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．解：对于A，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，即A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则直线m和n可以分别看作平面α和β的法线，由二面角的求法，可知m与n的夹角是90°，即B正确；对于C，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β或α∥β，即C错误；对于D，由面面平行的判定定理可知，只有加上条件“m与n相交”，才能推出α∥β，即D错误．故选：B．7．某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品总共有（）A．1000件B．1200件C．1400件D．1600件【分析】求出甲、丙两个车间的产品数量，即可求出乙、丁两车间生产的产品数量．解：由题意，＝20，甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，∴甲、丙两个车间的产品数量为60×20＝1200，∴乙、丁两车间生产的产品总共有2800﹣1200＝1600件，故选：D．8．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣3B．0C．D．3【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z＝x﹣y 的最小值．解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t＝x﹣y的最大值是1﹣1＝0，最小值是0﹣3＝﹣3；故选：A．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式是（）A．f（x）＝sin（3x+）B．f（x）＝sin（2x+）C．f（x）＝sin（x+）D．f（x）＝sin（2x+）【分析】根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式．解：由图象知函数的最大值为1，即A＝1，函数的周期T＝4（﹣）＝4×＝，解得ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+φ），由五点对应法知2×+φ＝，解得φ＝，故f（x）＝sin（2x+），故选：D．10．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D．11．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【分析】由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，因此计算体积．解：由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，体积为＝；故选：D．12．点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A．B．C．D．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣2c＝2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，所以e＝＝．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知＝（2，1），＝（3，m），若⊥（﹣），则m等于﹣1【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出m的值．解：已知＝（2，1），＝（3，m），若⊥（﹣），则（2，1）•（﹣1，1﹣m）＝﹣2+1﹣m＝0，则m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．已知抛物线C：y2＝8x，O为坐标原点，直线x＝m与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的重心为抛物线C的焦点F，则|AF|＝5．【分析】由三角形的重心公式及抛物线的焦点坐标，求得丨OF丨及丨DF丨，代入抛物线方程求得丨AD丨，利用勾股定理即可求得|AF|．解：由题意可知：抛物线C：y2＝8x，焦点坐标为F（2，0），由△OAB的重心为抛物线C的焦点F，则丨OD丨＝3，丨DF丨＝1，A点纵坐标y＝2，则丨AF丨＝＝＝5，故答案为：5．15．在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81，则数列{log3a n}的前n项和为．【分析】由已知求得等比数列的公比，得到数列{a n}的通项公式，代入log3a n，求得数列{log3a n}的通项公式，再由等差数列的前n项和公式求解．解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2＝3，a5＝81，得，即q＝3，∴，则log3a n＝log33n﹣1＝n﹣1．∴数列{log3a n}的前n项和为．故答案为：．16．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①y＝，②y ＝2x2+1，③y＝sin x，④y＝ln（x+2），其中是原点O的“限定函数”的序号是①③．已知点A（a，b）在函数y＝2x的图象上，若函数y＝2x是点A的“限定函数”，则a的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得a的范围．解：要判断是否是原点O的“限定函数”，只要判断：∀x∈[﹣1，1]，都有y∈[﹣1，1]．对于①y＝，由x∈[﹣1，1]可得y∈[﹣，]⊆[﹣1，1]，则①是原点O的“限定函数”；对于②y＝2x2+1，由x∈[﹣1，1]可得y∈[1，3]⊈[﹣1，1]，则②不是原点O的“限定函数”；对于③y＝sin x，由x∈[﹣1，1]可得y∈[﹣sin1，sin1]⊆[﹣1，1]，则③是原点O的“限定函数”；对于④y＝ln（x+2），由x∈[﹣1，1]可得y∈[0，ln3]⊈[﹣1，1]，则④是原点O的“限定函数”．点A（a，b）在函数y＝2x的图象上，若函数y＝2x是点A的“限定函数”，可得b＝2a，由x∈[a﹣1，a+1]，y∈[b﹣1，b+1]，即y∈[2a﹣1，2a+1]，即[2a﹣1，2a+1]⊆[2a﹣1，2a+1]，可得2a﹣1≤2a﹣1＜2a+1≤2a+1，可得a≤1且a≤0，即a≤0．a的范围是（﹣∞，0]．故答案为：①③；（﹣∞，0]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin（B+C）＝（2sin B﹣sin C）b+（2sin C﹣sin B）c．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，b＝4，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，所以，又A∈（0，π），故；（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，所以．又，故或，分别求面积即可；解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以，又A∈（0，π），故；（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，所以．又，故或，若，则，于是，若，则，于是．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．【分析】（1）设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，证明四边形AEQF为平行四边形，得到AF∥EQ，即可证明AF∥平面PEC．（2）点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．通过V A﹣PEC＝V P﹣AEC，求解即可．【解答】（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形所以，AF∥EQ，且EQ⊂平面PEC，AF⊄平面AEC所以，AF∥平面PEC（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．由条件易求，PE＝，PC＝2，EQ＝故，所以由V A﹣PEC＝V P﹣AEC 得，解得19．2019年7月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元．经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率．附：临界值表k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．【分析】（1）结合频率分布直方图的数据，即可得解；（2）先从频率分布直方图里可以得知，50户居民经济损失4000元以下的有50×（0.00015+0.00020）×2000＝35户，由此可以填写2×2列联表，然后利用K2的公式计算出结果即可判断；（3）利用几何概型即可计算概率．解：（1）小区平均每户居民的平均损失为（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000＝3360元，（2）根据题意，由频率分布直方图可得经济损失4000元以下的频率为（0.00015+0.00020）×2000＝0.7，则该地某小区的50户居民经济损失4000元以下的有50×0.7＝35户，则经济损失4000元以上的有15户，所以2×2列联表补充完整如下：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30939捐款低于500元5611合计351550K2＝＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（3）设王师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，把（x，y）看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，则SΩ＝1，事件A表示王师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为A＝{（x，y）|y≥x，7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，则，所以．20．如图，已知圆E：x2+（y﹣）2＝经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与直线OA（O为原点）平行的直线l交椭圆C于M，两点．使＝﹣，若存在，求直线l的方程，不存在说明理由．【分析】（1）由F1，E，A三点共线，得F1A为圆E的直径，且F1A＝3，从而F2A⊥F1F2，由圆E：x2+（y﹣）2＝经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，与椭圆C在第一象限的交点为A，求出c＝，2a＝|AF1|+|AF2|＝4，由此能求出椭圆C的方程．（2）由A（），知，假设存在直线l：y＝满足条件，由，得，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l：y＝满足条件．解：（1）∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，且F1A＝3，∴F2A⊥F1F2，∵，得x＝，∴c＝，∵|AF2|2＝|AF1|2﹣|F1F2|2＝9﹣8＝1，∴F2A＝1，∴2a＝|AF1|+|AF2|＝4，a＝2，∵a2＝b2+c2，∴b＝，∴椭圆C的方程为＝1．（2）∵A（），∴，假设存在直线l：y＝满足条件，由，得，设直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2），则，，且△＝2m2﹣4（m2﹣2）＞0，即﹣2＜m＜2，∴＝x1x2+（）（）＝＝＝，∵，∴，解得m＝±1．∴存在直线l：y＝满足条件．21．已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出导函数g′（x）＝lnx+1﹣2ax，令F （x）＝g′（x）＝lnx+1﹣2ax，求出F′（x），通过讨论a的范围，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），a＝1时，令f'（x）＞0⇒0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递增；令f'（x）＜0⇒x＜1，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减综上，f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）．（2），令g（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），g'（x）＝lnx+1﹣2ax，令h（x）＝g'（x）＝lnx+1﹣2ax，则①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）上为增函数，g'（x）≥g'（1）＝1﹣2a＞0∴g（x）在[1，+∞）上为增函数，g（x）≥g（1）＝0，即g（x）≥0．从而，不符合题意．②若，当时，h'（x）＞0，g'（x）在上单调递增，g'（x）＞g'（1）＝1﹣2a＞0，同①，所以不符合题意③当时，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立．∴g'（x）在[1，+∞）递减，g'（x）≤g'（1）＝1﹣2a≤0．从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）＝0，即．结上所述，a的取值范围是．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，过点P（l，0）作倾斜角为的直线l，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝1，将曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2，直线l与曲线C2交于不同的两点M，N．（1）求直线l的参数方程和曲线C2的普通方程；（2）求的值．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的直角坐标方程式x2+y2＝1，曲线C2的方程为（）2+y2＝1，即．（2）直线l的参数方程为，（t为参数）代入曲线C2的方程得7t2+4t﹣12＝0，S设M，N对应额参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣，t1t2＝﹣．所以：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x﹣1|+ax+3．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a 的范围．解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．。