2020年大兴高三一模数学试题及答案
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2019~2020 学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
数学
2020.4
本试卷共 6 页，满分 150 分．考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目
解得 m 200 . （Ⅱ）方法 1：
由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.0110=0.1 ，
……3 分 ……1 分
由已知， X 的所有可能取值为 0，1，2 ，
……2 分
则 P( X 0) C20 (1 0.1)2 0.81 ，
P( X 1) C21 0.1(1 0.1) 0.18 ，
名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90)，[90,100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于 60 分为体质不达 标。已知本次测试中不达标学生共有 20 人． （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）现从 A 校全体同学中随机抽取 2 人，以频率作为概
是
；
（13）若对任意
x
0
，关于
x
的不等式
a
≤
1 x
x
恒成立，则实数
a
的范围是
；
（14）已知 A(a，r)，B(b，s) 为函数 y log2 x 图象上两点，其中 a b ．已知直线 AB 的斜率
等于 2，且 | AB | 5 ，则 a b
；a
；
b
（15）在直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
所以 sin ADB sin B ， 即 sin ADB 21 ．
7
……2分 ……3分 ……5分 ……6分
……2 分
……4 分 ……6 分 ……7分 ……8分
②当 CAD 30 时，
在 ABC 中，由余弦定理知，
cos B AB2 BC 2 AC 2 7 1 4 2 7 ．
2AB BC
2 7 1 7
因为 A 120 ，所以 DAB 90 ，
所以 B ADB π ， 2
所以 sin ADB cos B ，
……3 分 ……4 分 ……5 分 ……7分
即 sin ADB 2 7 ． 7
……8分
（17）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知， m (0.002 0.002 0.006) 10 20 ， ……2 分
且 ai {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} ，设集合 A {ai ai1 ai2 | i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} ，集合 A 中元素 最小值记为 m( A) ，集合 A 中元素最大值记为 n( A) . （Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4 ，写出集合 A 及 m(A)，n(A) ； （Ⅱ）求证： m( A) 不可能为 18； （Ⅲ）求 m( A) 的最大值以及 n( A) 的最小值．
要求的一项．
（1）在复平面内，
1
2
i
对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（2）已知集合 A {x | x 2k，k Z}， B {x | 2 ≤ x ≤ 2} ，则 A B
（A） [1，1]
（B） [2，2]
（C） {0，2}
（D） {2，0 ，2}
（3）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， a2 0 ， a4 1，则 S4 等于
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1 ，那么该几何体的最
长棱的棱长为
（A）3
（B） 10
（C） 13
（D） 17
（9）已知函数
f
(x)
sin( x
π) 6
(
0)
．若关于
x
的方程
f
(x)
1
率，记 X 表示成绩不低于 90 分的人数，求 X 的分 布列及数学期望； （Ⅲ）另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试， 并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学生，经测试 有 20 名学生成绩低于 60 分．计算两家机构测试成 绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生 体质不达标率的估计较为合理，说明理由。
ln
4 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
（11）已知向量 a (1，1) ， b (2，t) ， 若 a ∥ b ，则 t
；
（ 12 ） 若 函 数 f (x) cos2 x sin2 x 在 区 间 [0，m] 上 单 调 减 区 间 ， 则 m 的 一 个 值 可 以
则 A( 3，0，0) ， C( 0，1，0) ， C1(0，0， 3) ，
Fra Baidu bibliotek
（B） 24 （D） 4
（6）若抛物线 y2 4x 上一点 M 到其焦点的距离等于 2，则 M 到其顶点 O 的距离等于
（A） 3
（B） 2
（C） 5
（D） 3
（7）已知数列 {an} 是等比数列，它的前 n 项和为 Sn ，则“对任意 n N* ， an 0 ”是“数
列{Sn} 为递增数列”的
（A） 1 2
（B）1
（C） 2
（D） 3
（4）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增且存在零点的是
（A） y ex
（B） y x 1
（C） y log1 x 2
（D） y (x 1)2
（5）在 (x 2)n 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x 项的系数等于
（A） 32 （C） 8
3
SABC
1 bc sin 2
A
，
所以 b 2 ．
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，
解得 a 7 ． （Ⅱ）①当 AD 1 时，
在
ABC
中，由正弦定理
b sin
B
sin
BC BAC
，
2 即 sin B
7 3 ，所以 sin B
21 ． 7
2
因为 AD AB 1，所以 ADB B ．
……6 分
所以 EX =2 0.1 0.2 . （Ⅲ）机构 M 抽测的不达标率为 20 0.1 ，
200
机构 N 抽测的不达标率为 20 0.2 ． 100
（以下答案不唯一，只要写出理由即可）
……7 分 ……1 分
……2 分
①用机构 M 测试的不达标率 0.1 估计 A 校不达标率较为合理。 ……3 分
因为 BC = AA1 = CC1 ，∠ BCC1 = 60 ，
所以 C1D BC . 因为 平面ABC 平面BCC1B1 ， 平面ABC 平面BCC1B1 BC ， C1D 平面 BCC1B1 ， 所以 C1D 平面 ABC ，
所以 DC1 ，DA，DB 两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系 D xyz ，
（16）（本小题 14 分）
在 ABC 中， c 1， A 2π ，且 ABC 的面积为 3 ．
3
2
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）若 D 为 BC 上一点，且
，求 sin ADB 的值．
从①
AD
1
，②
CAD
π 6
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（17）（本小题 14 分） 为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构 M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m
在区间 [0，π]
上有且仅
有两个不相等的实根，则 的最大整数值为
（A） 3
（B） 4
（C） 5
（D） 6
（10）如图，假定两点 P ， Q 以相同的初速度运动．点 Q 沿直线 CD 作匀速运动， CQ x ；
点 P 沿线段 AB （长度为107 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距
由已知 X ～B(2, 0.1) ，
……2 分
则 P( X 0) C20 (1 0.1)2 0.81 ， P( X 1) C21 0.1(1 0.1) 0.18 ， P( X 2) C22 0.12 0.01 . 所以 X 的分布列为
……5 分
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
求出 E 的坐标，若不存在，说明理由。
（19）（本小题 14 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
1 2
，且经过点 (2,0) ，一条直线 l
与椭圆
C
交于 P ， Q 两点，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）求证： 1 1 为定值． | OP |2 | OQ |2
P( X 2) C22 0.12 0.01 .
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
……5 分 ……6 分
所以 EX =0 0.81+1 0.18 2 0.01 0.2 . 方法 2：由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.0110=0.1 ，
……7 分 ……1 分
离( PB y )．令 P 与 Q 同时分别从 A ， C 出发，那么，定义 x 为 y 的纳皮尔对数，用
现在的数学符号表示x与y的对应关系就是
y
107
(
1
x
)107
，其中e为自然对数的底．当点
P
e
从线段 AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为
（A） ln 2
（B） ln 3
（C）
ln
3 2
（D）
理由：机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构 N，样本更有代
表性，所以，能较好反映了总体的分布。
……4 分
②没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理．
……3 分
理由：尽管机构 N 的样本量比机构 M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好
的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理。 ……4 分
所以 CDEP 为平行四边形
所以 CP // DE .
……2 分
又因为 DE 平面 ACC1A1 ， .……3 分
CP ⊂平面 ACC1A1 ，
所以 DE // 平面 ACC1A1 .
……4 分
（Ⅱ）连结 C1D、AD ，
因为 ΔABC 是等边三角形， D 是 BC 的中点，
所以 AD BC ，
（13） (，2] （或{a | a ≤ 2}
（14）1； 4 （第一个空 3 分，第二个空 2 分）
（15）①③ （不选或有错选得 0 分，只选对 1 个得 3 分，全部选对得 5 分．）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分） 解：（Ⅰ） 由于 c 1， A 2π ，
2019~2020 学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
答案 D
D
B
C
A
B
C
8
9 10
D
BD
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 2
（12）答案不唯一，只要
0
m
≤
π 2
（20）（本小题 15 分）
已知函数
f
(x)
ln
x
ax x 1
．
（Ⅰ）若 a 1，求曲线 y f (x) 在点 (1，f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：函数 f (x) 有且只有一个零点.
（21）（本小题 14 分） 已知数列 a1 ，a2 ，，a10 满足：对任意的 i，j {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} ，若 i j ，则 ai aj ，
（18）（共 14 分）
（Ⅰ）证明：取 A1C1 中点为 P ，连结 CP，EP ，
在 ΔA1B1C1 中，因为 E、P 为 A1B1、A1C1 的中点，
所以
EP
//
B1C1
且
EP
=
1 2
B1C1
.……1
分
又因为 D 是 BC 的中点， CD 1 BC ， 2
所以 EP // BC 且 EP = CD ，
（18）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC BC AA1 ， BCC1 60 ，
平面ABC 平面BCC1B1 ， D 是 BC 的中点，E 是棱 A1B1 上一动点. （Ⅰ）若 E 是棱 A1B1 的中点，证明： DE / /平面ACC1A1 ； （Ⅱ）求二面角 C1 CA B 的余弦值； （Ⅲ）是否存在点 E，使得 DE BC1 ，若存在，
y2 b2
1（ a
0，b
0
）的离心率 e 2 ，其渐近线
与圆 x2 ( y 2)2 4 交 x 轴上方于 A，B 两点，有下列三个结论：
① | OA OB || OA OB | ；
② | OA OB | 存在最大值；
③ | OA OB | 6 ．
则正确结论的序号为
三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
数学
2020.4
本试卷共 6 页，满分 150 分．考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目
解得 m 200 . （Ⅱ）方法 1：
由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.0110=0.1 ，
……3 分 ……1 分
由已知， X 的所有可能取值为 0，1，2 ，
……2 分
则 P( X 0) C20 (1 0.1)2 0.81 ，
P( X 1) C21 0.1(1 0.1) 0.18 ，
名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90)，[90,100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于 60 分为体质不达 标。已知本次测试中不达标学生共有 20 人． （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）现从 A 校全体同学中随机抽取 2 人，以频率作为概
是
；
（13）若对任意
x
0
，关于
x
的不等式
a
≤
1 x
x
恒成立，则实数
a
的范围是
；
（14）已知 A(a，r)，B(b，s) 为函数 y log2 x 图象上两点，其中 a b ．已知直线 AB 的斜率
等于 2，且 | AB | 5 ，则 a b
；a
；
b
（15）在直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
所以 sin ADB sin B ， 即 sin ADB 21 ．
7
……2分 ……3分 ……5分 ……6分
……2 分
……4 分 ……6 分 ……7分 ……8分
②当 CAD 30 时，
在 ABC 中，由余弦定理知，
cos B AB2 BC 2 AC 2 7 1 4 2 7 ．
2AB BC
2 7 1 7
因为 A 120 ，所以 DAB 90 ，
所以 B ADB π ， 2
所以 sin ADB cos B ，
……3 分 ……4 分 ……5 分 ……7分
即 sin ADB 2 7 ． 7
……8分
（17）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知， m (0.002 0.002 0.006) 10 20 ， ……2 分
且 ai {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} ，设集合 A {ai ai1 ai2 | i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} ，集合 A 中元素 最小值记为 m( A) ，集合 A 中元素最大值记为 n( A) . （Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4 ，写出集合 A 及 m(A)，n(A) ； （Ⅱ）求证： m( A) 不可能为 18； （Ⅲ）求 m( A) 的最大值以及 n( A) 的最小值．
要求的一项．
（1）在复平面内，
1
2
i
对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（2）已知集合 A {x | x 2k，k Z}， B {x | 2 ≤ x ≤ 2} ，则 A B
（A） [1，1]
（B） [2，2]
（C） {0，2}
（D） {2，0 ，2}
（3）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， a2 0 ， a4 1，则 S4 等于
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1 ，那么该几何体的最
长棱的棱长为
（A）3
（B） 10
（C） 13
（D） 17
（9）已知函数
f
(x)
sin( x
π) 6
(
0)
．若关于
x
的方程
f
(x)
1
率，记 X 表示成绩不低于 90 分的人数，求 X 的分 布列及数学期望； （Ⅲ）另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试， 并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学生，经测试 有 20 名学生成绩低于 60 分．计算两家机构测试成 绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生 体质不达标率的估计较为合理，说明理由。
ln
4 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
（11）已知向量 a (1，1) ， b (2，t) ， 若 a ∥ b ，则 t
；
（ 12 ） 若 函 数 f (x) cos2 x sin2 x 在 区 间 [0，m] 上 单 调 减 区 间 ， 则 m 的 一 个 值 可 以
则 A( 3，0，0) ， C( 0，1，0) ， C1(0，0， 3) ，
Fra Baidu bibliotek
（B） 24 （D） 4
（6）若抛物线 y2 4x 上一点 M 到其焦点的距离等于 2，则 M 到其顶点 O 的距离等于
（A） 3
（B） 2
（C） 5
（D） 3
（7）已知数列 {an} 是等比数列，它的前 n 项和为 Sn ，则“对任意 n N* ， an 0 ”是“数
列{Sn} 为递增数列”的
（A） 1 2
（B）1
（C） 2
（D） 3
（4）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增且存在零点的是
（A） y ex
（B） y x 1
（C） y log1 x 2
（D） y (x 1)2
（5）在 (x 2)n 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x 项的系数等于
（A） 32 （C） 8
3
SABC
1 bc sin 2
A
，
所以 b 2 ．
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，
解得 a 7 ． （Ⅱ）①当 AD 1 时，
在
ABC
中，由正弦定理
b sin
B
sin
BC BAC
，
2 即 sin B
7 3 ，所以 sin B
21 ． 7
2
因为 AD AB 1，所以 ADB B ．
……6 分
所以 EX =2 0.1 0.2 . （Ⅲ）机构 M 抽测的不达标率为 20 0.1 ，
200
机构 N 抽测的不达标率为 20 0.2 ． 100
（以下答案不唯一，只要写出理由即可）
……7 分 ……1 分
……2 分
①用机构 M 测试的不达标率 0.1 估计 A 校不达标率较为合理。 ……3 分
因为 BC = AA1 = CC1 ，∠ BCC1 = 60 ，
所以 C1D BC . 因为 平面ABC 平面BCC1B1 ， 平面ABC 平面BCC1B1 BC ， C1D 平面 BCC1B1 ， 所以 C1D 平面 ABC ，
所以 DC1 ，DA，DB 两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系 D xyz ，
（16）（本小题 14 分）
在 ABC 中， c 1， A 2π ，且 ABC 的面积为 3 ．
3
2
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）若 D 为 BC 上一点，且
，求 sin ADB 的值．
从①
AD
1
，②
CAD
π 6
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（17）（本小题 14 分） 为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构 M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m
在区间 [0，π]
上有且仅
有两个不相等的实根，则 的最大整数值为
（A） 3
（B） 4
（C） 5
（D） 6
（10）如图，假定两点 P ， Q 以相同的初速度运动．点 Q 沿直线 CD 作匀速运动， CQ x ；
点 P 沿线段 AB （长度为107 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距
由已知 X ～B(2, 0.1) ，
……2 分
则 P( X 0) C20 (1 0.1)2 0.81 ， P( X 1) C21 0.1(1 0.1) 0.18 ， P( X 2) C22 0.12 0.01 . 所以 X 的分布列为
……5 分
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
求出 E 的坐标，若不存在，说明理由。
（19）（本小题 14 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
1 2
，且经过点 (2,0) ，一条直线 l
与椭圆
C
交于 P ， Q 两点，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）求证： 1 1 为定值． | OP |2 | OQ |2
P( X 2) C22 0.12 0.01 .
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
……5 分 ……6 分
所以 EX =0 0.81+1 0.18 2 0.01 0.2 . 方法 2：由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.0110=0.1 ，
……7 分 ……1 分
离( PB y )．令 P 与 Q 同时分别从 A ， C 出发，那么，定义 x 为 y 的纳皮尔对数，用
现在的数学符号表示x与y的对应关系就是
y
107
(
1
x
)107
，其中e为自然对数的底．当点
P
e
从线段 AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为
（A） ln 2
（B） ln 3
（C）
ln
3 2
（D）
理由：机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构 N，样本更有代
表性，所以，能较好反映了总体的分布。
……4 分
②没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理．
……3 分
理由：尽管机构 N 的样本量比机构 M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好
的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理。 ……4 分
所以 CDEP 为平行四边形
所以 CP // DE .
……2 分
又因为 DE 平面 ACC1A1 ， .……3 分
CP ⊂平面 ACC1A1 ，
所以 DE // 平面 ACC1A1 .
……4 分
（Ⅱ）连结 C1D、AD ，
因为 ΔABC 是等边三角形， D 是 BC 的中点，
所以 AD BC ，
（13） (，2] （或{a | a ≤ 2}
（14）1； 4 （第一个空 3 分，第二个空 2 分）
（15）①③ （不选或有错选得 0 分，只选对 1 个得 3 分，全部选对得 5 分．）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分） 解：（Ⅰ） 由于 c 1， A 2π ，
2019~2020 学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
答案 D
D
B
C
A
B
C
8
9 10
D
BD
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 2
（12）答案不唯一，只要
0
m
≤
π 2
（20）（本小题 15 分）
已知函数
f
(x)
ln
x
ax x 1
．
（Ⅰ）若 a 1，求曲线 y f (x) 在点 (1，f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：函数 f (x) 有且只有一个零点.
（21）（本小题 14 分） 已知数列 a1 ，a2 ，，a10 满足：对任意的 i，j {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} ，若 i j ，则 ai aj ，
（18）（共 14 分）
（Ⅰ）证明：取 A1C1 中点为 P ，连结 CP，EP ，
在 ΔA1B1C1 中，因为 E、P 为 A1B1、A1C1 的中点，
所以
EP
//
B1C1
且
EP
=
1 2
B1C1
.……1
分
又因为 D 是 BC 的中点， CD 1 BC ， 2
所以 EP // BC 且 EP = CD ，
（18）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC BC AA1 ， BCC1 60 ，
平面ABC 平面BCC1B1 ， D 是 BC 的中点，E 是棱 A1B1 上一动点. （Ⅰ）若 E 是棱 A1B1 的中点，证明： DE / /平面ACC1A1 ； （Ⅱ）求二面角 C1 CA B 的余弦值； （Ⅲ）是否存在点 E，使得 DE BC1 ，若存在，
y2 b2
1（ a
0，b
0
）的离心率 e 2 ，其渐近线
与圆 x2 ( y 2)2 4 交 x 轴上方于 A，B 两点，有下列三个结论：
① | OA OB || OA OB | ；
② | OA OB | 存在最大值；
③ | OA OB | 6 ．
则正确结论的序号为
三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．