9.5隐函数求导

z
z
F1 1 z
z y ( x2 ) F2 ( y2 ) F1
z z
z F2 1
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x F2d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz
解 设F(x, y)x2y21,则 Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.
由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数 yf(x). F dy dy dy Fxx Fx x x dy dy x dy 0 00 dx F y dx xx dx dx Fyy Fy y y dx dx00x 0
例6. 设
是由方程 所确定的函数 , 求 (99考研)
和
解 分别在 dx
x f f x f Fy Fx x f 1
Fy Fz
( f x f ) Fy x f Fx Fy x f Fz
( Fy x f Fz 0)
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv 定理证明略.仅 v Fu Fy 1 1 ( F , G ) 推导偏导数公式 y J ( u , y ) Fu Fv G G y u 如下： Gu Gv
§9.4内容回顾
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2. 全微分形式不变性
2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
第九章
§9.5 隐函数的求导公式
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; (偏连) ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0 (非空)
(非零) (关于因变量)
并有连续
则方程 导数
的某邻域内可惟一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 一个方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 给出方程(组)能确定隐函数的条件 及连续性、可微性．
及求导公式的推导.
Fx dy (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并 求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.
F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
两边对 x 求导得
u 这是关于 , x
系数行列式 J
u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x
Fx dy ex y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x

( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
22 22 y d dy y 2 y y y yxy 1 1 1d d y d 2 y x xy d 1 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 dx 2 2 dx dx y y y y y y dx dx0 0x 0 dx x x
例如,方程 xu-yv=0 和 yuxv=1 可以确定两个二元函数 y v 2 x 2 u 2 2 x y x y
定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
u u v v , , , . 例5. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u x x u v u v , 练习: 求 y x v y y x x 答案: x y 设 J x2 y2 0 u y u xv y x 2 2 y x y xu yv u v xu yv 2 2 2 x x y 2 y x y 故有 xv yu v 2 x x y2
例2. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
解: 令 F ( x, y ) sin y e x x y 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0,0) 1 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
x x Fx z z 2 2 z （下同） x Fz
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3

2z x ( ) 2 x 2 z x
例4. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x) x F1 y F2 x F1 ( 2 F2 ( 2 )
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
2z 2 2 2 例3. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导
z z 2x 2z 4 0 x x
2z x ( ) 2 x 2 z x
z x x 2 z
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
解法2
设
利用公式
F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z
则
Fx 2x , Fz 2z 4
Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
二元线性方程组解的公式
a11x a12 y d1 a21x a22 y d 2
解: x
1 a11 a12 a21 a22
d1 d2
a12 a22
y
1 a11 a12 a21 a22
a11 d1 a21 d 2
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理 条件：１、偏连；2、非空； 3非零. 2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 利用微分形式不变性 ;
方法3. 代公式
作业
习题9-５
3 , 7 , 9 , 10(1); (3)
③J
( F , G) P (u, v)
0
P
( 关于u,v )
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可惟一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 如
u u ( x, y ) v v ( x, y ) ( F , G ) Fu Fv 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J Gu Gv (u, v) 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. ( 关于u,v ) F ( x, y , u , v ) 0 G ( x, y, u, v) 0
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域内可惟一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y F1 d( ) F2 d( ) 0 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) F2 ( )0 2 2 z z F1d x F2 d y xF1 y F2 dz z z2 z dz (F1d x F2 d y) x F1 y F2