新课标备战中考强化突破训练专题函数的应用二精修订

新课标备战中考强化突破训练专题函数的应用

二

SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

函数的应用（二）

班级 姓名 学号

学习目标

1、体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，进一步感受数学模型思想和数学应用价值。

2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。

学习难点

用二次函数的性质和图象解决实际问题。

教学过程

【课前热身】

1. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式

为 ．

2. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到

了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是

（ ）

A ．y ＝x 2＋a

B ．y ＝ a （x －1）2

C ．y ＝a （1－x ）2

D ．y ＝a （l ＋

x ）2

3．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2

24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.

⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 点, 当x = 时，y 有最

值是 ；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 点, 当x = 时，y 有最

值是 ．

【典例精析】

例1．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面3

21米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。

解：根据题意，建立直角坐标系，如图

可知抛物线经过(0,3

5)和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意， 设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0≤x ≤10)

将(0,35)和(10, 0)代入解析式，得⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=+03)10(35322h a ah 解出h 1=-20, h 2=4

当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合0≤x ≤10的要求，舍去。

当h=4时，a=-121，抛物线的解析式为y=-12

1 (x-4)2+3 即y=-12

1x 2+32x+35 (0≤x ≤10)。 【评析】这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。

例2 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x ≤4）

易知CN=4-x ，EM=4-y ．且有NP BC BF CN AF

-=（作辅助线构造相似三角形），即34y x --=12，∴y=-12

x+5，S=xy=-12

x 2+5x （2≤x ≤4）， 此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5，

∴当x ≤5时，•函数的值是随x 的增大而增大，

对2≤x ≤4来说，当x=4时，S 有最大值S 最大=-12

×42+5×4=12． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间

例3. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y x （元） 15 20 30 …

y （件） 25 20 10 …

若日销售量y （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元

解:（1）设此一次函数表达式为y=kx+b ．则⎩⎨⎧=+=+20

202515b k b k 解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元

w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【评析】本题是一次函数和二次函数在实际生活中的综合运用，学生关键要理解商品经济中的进价(成本价)，售价，单位利润(每件商品的利润)，销售数量，总利润，销售额的概念及其关系.单位利润＝售价－进价，总利润＝单位利润×销售数量，销售额＝售价×销售数量.

例4.如图,在△ABC 中,BC=6,AC=24 ,∠C=45°,P 为边BC 上一动点,过P 作PD ∥AB 交AC 于点D,连结AP,若设BP=x ,△APD 的面积为S.

(1)求S 与x 之间的函数关系式;

(2)当P 点位于BC 上何处时,△APD 的面积最大最大面积是多少

【评析】本题是一道函数与几何图形相关联的综合题，学生通过读题、读图。从题目已知和图像中获取有价值的信息，是问题求解的关键。

解：过点A ，D 分别作AE ⊥BC,DF ⊥BC

∠C=45°，AC=24

∴ AE=4

设BP=x ，则PC=6-x 易证△ABC ∽△DPC

∴PC BC DF AE = ∴DF=)6(32x - DPC APC S S S ∆∆-==x x x x x 23

1)6(32)6(214)6(212+-=-⋅--⋅- （2）3)3(3

123122+--=+-=x x x S ∴当3=x 时，即点P 为BC 中点时，△APD 的面积最大，最大面积为3

例5 . 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒． (1)P 点的坐标为( ， )(用含x 的代数式表示)； (2)试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最

大值及相应的x 值； (3)当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形简要说明理由．

【评析】求P 点坐标，由图可知，就是要求线段

OM ，PM ，由△APM ∽△ACO 可得；求△NPC 的面积的关键是用x 的代数式表示边CN 上的高PQ ；△NPC 是

等腰三角形有三种情形，不能遗漏.

解:(1)由题意可知，(03)C ，，(0)(43)M x N x -，，，，P ∴点坐标为()x x 3，3-4

． (2)设NPC △的面积为S ，在NPC △中，4NC x =-，NC 边上的高为34

x ，其中04x ≤≤． 221333(4)(4)(2)2882S x x x x x 3∴=-⨯=-+=--+4S ∴

的最大值为32

，此时2x =．