2019届河北省省级示范性高中高三下学期4月联考数学(理)试题(解析版)
精品解析：【省级联考】河北省示范性高中2019届高三4月联考数学(理)试题(解析版)
1.若集合
，
，
，则 的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】
【详解】因为
，
或
，
，所以
，解得
.
故选： C 【点睛】 本题考查并集及集合间的关系，二次不等式的解法，不等式的性质等知识，考查运算求解，是基 础题．
2.已知
，复数
A.
【答案】 A 【解析】 【分析】
把
，
， B.
，且
为实数，则 C. 3
（） D. -3
代入
，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用虚部为
0 求得 m 值．
【详解】因为
为实数，所以
故选： A 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
，解得
.
3.设等比数列
的前 项和为 ，若
，
，则
（）
A. 61 【答案】 C
B. 62
C. 63
【解析】
分析：利用等比数列的性质求
B. 4000
C. 3500
D. 3000
【答案】 A
【解析】
【分析】
根据题意求出对应区域的面积比，得出对应的概率值，再计算对应的频数值．
【详解】 试验包含的所有事件对应的集合
Q＝ { （ x，y）|0 ≤ x≤2，0≤ y≤1} ，
则 ＝2×1＝ 2，
的点的个数为
，
画出函数的图象，如图所示；
故落入区域 M 内的概率为 P
，
A.
B.
【答案】 D
，且 在 方向上的投影是 C. 2
，则实数 D.
（）
【解析】
河北省示范性高中2019届高三4月联考理科综合试题word版含答案
注意事项：
理科综合
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室 号和座位号。用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
A ．大米、玉米小麦中的淀粉经水解可变成乙醇
B．利用二氧化碳制造全降解塑料，可以缓解温室效应
C．测定氢氧化钠的熔点时，可以将氢氧化钠固体放入石英坩埚中高温加热
D ．海洋中含有丰富的矿产资源，仅利用物理方法可以获得
NaCl 、 Br 2和 Mg
8．香天竺葵醇和异香天竺葵醇可用于精油的制作，其结构简式如图，下列叙述正确的是
Y 形成的离子
D．常温下， X 、 Y 、 Z 三种元素形成的化合物的水溶液的 pH 小于 7 11．利用废蚀刻液（含 FeCl2、 CuCl 2 及 FeCl3）制备碱性蚀刻液［ Cu(NH 3)4Cl 4 溶液］和
FeCl3·6H 2O 的主要步骤：用 H2O2 氧化废蚀刻刻液，制备氨气，制备碱性蚀刻液
第Ⅰ卷（选择题共 126 分） 一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分。在每小题始出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1．下列关于细胞的结构和功能的叙述，正确的是 A ．黑藻和蓝藻的细胞都不含叶绿体，但都含有能进行光合作用的色素 B．核孔是细胞核内外物质运输的通道，处于分裂期的细胞的核孔数量较多 C．人浆细胞的高尔基体膜成分的更新速率比红细胞的慢 D ．人的肌细胞既有识别肾上腺素的受体，也有识别甲状腺激素的受体 2．关于真核细胞的基因表达，下列叙述不正确的是 A ．在细胞的生命历程中， mRNA 的种类会不断发生变化 B．基因翻译时，一种 tRNA 只能识别并转运一种氨基酸 C．蛋白质与 DNA 结合形成染色质会阻碍 RNA 聚合与 DNA 结合 D．一个 DNA 分子上的全部基因转录后可合成多个 mRNA 分子 3．某科研小组为探究酵母菌的细胞呼吸方式，进行了如图所示实验（假设细胞呼吸产生的 热量不会使瓶中气压升高） ，开始时溴香草酚蓝水溶液的颜色基本不变，反应一段时间后溶 液颜色由蓝逐新变黄，下列有关分析正确的是
2019届河北省衡水市高三四月大联考数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水市高三四月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，若，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．-2【答案】A【解析】由题意先求出复数，再根据复数相等得到，进而可得所求．【详解】∵，∴，又，∴，，∴．故选A．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的概念，解题的关键是熟记运算法则和相关概念，属于基础题．2．已知集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得到集合，根据函数定义域的求法得到集合，于是可得．【详解】由题意得，，∴．故选B．【点睛】本题以不等式的解法和函数定义域的求法为载体考查集合的交集运算，属于基础题．3．已知等差数列的前项和为，且，，则公差的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由及等差数列下标和的性质可得，再由可得，进而可得公差的值．【详解】∵等差数列中，，∴．又，∴，∴公差．故选C．【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．4．2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图.现给出如下信息：①10月份人均月收入增长率为；②11月份人均月收入约为1442元；③12月份人均月收入有所下降；④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高.其中正确的信息个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】结合统计图中的信息，对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确信息的个数．【详解】对于①，由图（一）可得10月份人均月收入增长率为，故①正确；对于②，11月份人均月收入为元，故②正确；对于③，由图（一），图（二）均可得出收入下降，故③正确；对于④，从图中易知该地人均月收入8，9月一样，故④错误．综合可知信息①②③正确，所以正确信息的个数为3个．故选C．【点睛】解答本题的关键是读懂图中的信息，观察统计图时，首先要分清图标，弄清图的横轴、纵轴分别表示的含义，然后再从图中得到解题的信息和数据，考查识图和用图的能力．5．如图所示的几何图形中，为菱形，为的中点，，，，，现在几何图形中任取一点，则该点取自的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意求出和，然后根据面积型的几何概型概率公式求解即可得到结论．∵，，，∴．又由题可知，，∴，，由几何概型概率公式可得，所求概率为，即该点取自的概率为．故选D．【点睛】解题的关键是求出表示所有基本事件的点构成的区域的面积和所求概率的事件对应的点构成的区域的面积，考查转化和计算能力，属于基础题．6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆的一个交点为，右焦点关于直线的对称点为，若为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正三角形的面积为可得其边长为，然后根据椭圆的定义可得，于是，进而可得离心率的值．【详解】设正的边长为，则，∴．又由椭圆的定义可知，∴，解得，又由题可知，∴，∴．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是分析题意、从题中的特殊几何图形中得到所需的数据，同时合理利用椭圆的定义解题也是解答本题的关键，属于基础题．7．如图所示的中，点，分别在边，上，，，，，，则向量（）A．9 B．4 C．-3 D．-6【答案】D【解析】方法一：选取为平面的基底，由题意得，然后根据数量积的定义求解即可．方法二：由题意得，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标可得所求数量积．【详解】方法一：取为平面的一组基底，则，所以．故选D．法二：在中，由余弦定理得，则，所以，以为原点，建立如图直角坐标系：则，，，所以，，所以．故选D．【点睛】计算平面向量数量积的方法有两个：一是利用数量积的定义进行计算，解题的关键是求出向量的模和夹角；二是建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．解题时可根据题意合理选择求解的方法，以达到解题过程的优化．8．设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由定义在上的偶函数满足可得函数是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．【详解】因为为上的偶函数，所以，所以，所以函数是周期为4的函数，所以，，．又当时，，所以，所以当时，单调递减，所以，即．故选B．【点睛】解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．9．某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则该剩下几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【解析】由三视图得到几何体的直观图，然后再结合图中的数据求出几何体的体积即可．【详解】由三视图可知该剩下几何体是由底面是边长为2的正方形、高为4的长方体截取得到的，为如图所示的几何体，其中底面是边长为2的正方形，四条侧棱长分别为4，3，2，1．方法一：由三视图可知，因为四边形是平面截原几何体所得的截面，所以为平行四边形．设，交于点，，交于点，则可得既为梯形的中位线，也为梯形的中位线，且．将所剩的几何体补成底面是边长为2的正方形、高为的长方体，则所求的几何体的体积为．故选A．方法二：由题意得，所剩几何体的体积为．故选A．【点睛】由三视图还原几何体的直观图时要综合三个视图进行分析，直观图的底面一般由俯视图确定，直观图的侧面要结合正视图和侧视图进行分析．求不规则的几何体体积时，常用的方法是分割法和补形法，解题时要灵活选择解题方法．考查空间想象力和计算能力，属于基础题．10．已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数图象的特征和图象变换得到，然后求出函数的单调递增区间，再根据是增区间的子集可得所求范围．【详解】由题意得，所以，因此，所以．从而，由，，得，．要使的图象在区间上单调递增，则需满足，即，解得，，当，可得，符合条件．故选B．【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，如题中的“一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离”即为四分之一个周期，“函数的图象在区间上单调递增”则说明区间是函数增区间的子集等．本题综合考查三角函数的性质，具有综合性，属于中档题．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，点在直线上的射影为，且当取最小值5时，的最大值为（）A．B．C．D．10【答案】A【解析】首先由双曲线的定义及条件得到（定值），然后可采用几何法、代数法两种方法得到，最后再根据基本不定式求解即可．【详解】由双曲线的定义可知，所以，当，，三点共线时，最小，所以，所以．由题意得．方法一：由的面积是（为原点）的面积的2倍，，，得，所以的面积为．又由知，因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以最大为．故选A．方法二：因为直线为双曲线的一条渐近线，所以方程为．过左焦点与渐近线垂直的直线方程为，由，解得，所以，所以．又由知，因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以最大为．故选A．【点睛】解答解析几何中的最值（范围）问题时，一般先把所求最值（范围）的量表示为某一参数的表达式，然后再根据函数知识或基本不等式求出最值（范围）．利用基本不等式求最值时要注意使用不等式的条件，即“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可．12．已知，，函数，，设的最大值为，且对任意的实数，恒有成立，则实数的最大值为（）A．4 B．2 C．D．【答案】D【解析】当时，．设，，根据导数可得，于是，又根据绝对值的三角不等式可得．于是可得，故得实数的最大值为．【详解】由题可知对任意的实数，恒有成立，只需．因为时，由，得，设，，则有，令，得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故，，又，，所以，从而①，又．②．当时，①②同时取等号，故恒成立，所以实数的最大值为．故选D．【点睛】本题难度较大，解题的关键是通过适当的变形得到的最大值为，同时还应注意不等式放缩的技巧，考查变形应用和计算能力．二、填空题13．已知，则的值为__________．【答案】【解析】由得，然后根据倍角公式将用表示后可得所求结果．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查利用三角变换求值，解题时注意变换公式的灵活运用，属于基础题．14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_______种.（用数字作答）【答案】8【解析】先安排甲，有种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有种方法，最后根据分步乘法计数原理可得所求结果．【详解】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．故答案为：8．【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．15．若变量，满足，则的取值范围为_____．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，由于，然后根据其几何意义进行求解即可得到所求范围．【详解】画出不等式组表示的平面区域（如图示的阴影部分），由题意得，而表示阴影区域内点与定点两点连线的距离的平方，结合图形可得最小，最大，由，解得，∴由，解得，∴．∴的最大值为，的最小值为，∴所求的取值范围为．故答案为：．【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题几乎每年都要考查，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．16．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．【答案】3【解析】由题意得到数列，然后根据数列的周期性可求得结果．【详解】记“兔子数列”为，则数列每个数被4整除后的余数构成一个新的数列为，可得数列构成一周期为6的数列，由题意得数列为，观察数列可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以．故答案为：3．【点睛】本题以数列为载体考查合情推理的运用，解题的关键是正确理解题意，并从中得到解题的信息，考查阅读理解能力和应用意识，属于中档题．三、解答题17．中，，，点在边上，且.（1）求的长；（2）若于，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中由条件及余弦定理可得，于是得到．然后在中由余弦定理得．（2）在直角中，可得，然后在直角中，可得．【详解】（1）在中，，，由余弦定理得，∴，∴．∵，∴，∴在中，，，，由余弦定理得，即，∴．（2）由（1）知，∴在直角中，，∴在直角中，．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题的关键是将所给条件转为为某一三角形的边或角，然后再利用正余弦定理或三角函数等知识求解，考查转化、运用能力，属于基础题．18．如图，三棱锥中，是的中点，为正三角形，，，，平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）由条件可得，再根据平面平面，得到平面，于是可证得．（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，根据两向量夹角的余弦值可得所求正弦值．【详解】（1）∵，，，∴，∴．∵平面平面，且平面平面，∴平面．又平面．∴．（2）取中点，连接，∵为正三角形．∴，又平面平面，且平面平面，∴平面．由，知．过点作，则，分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，∵是的中点，∴，∴，，．设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】用向量法求空间角的关键是建立空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标．求线面角时，注意直线的方向向量和平面法向量夹角与所求线面角间的关系，解题时注意线面角的正弦值与两向量夹角的余弦值的绝对值相等这一结论．19．按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8（1）计算上述10件产品的误差的平均数及标准差；（2）①利用（1）中求的平均数，标准差，估计这批产品的合格率能否达到；②如果产品的误差服从正态分布，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少.（附：若随机变量服从正态分布，则，，.用0.6277，用0.9743分别代替计算）【答案】（1），（2）①见解析；②【解析】（1）由题中的数据和平均数、方差的计算公式可得所求．（2）①由（1）中计算得，，可得，进而可得合格率不能达到．②根据条件求出每件产品为合格品的概率是，由对立事件的概率可得有不合格产品的概率为．【详解】（1）．，所以．（2）①由（1）中计算得，，所以．因为在内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品，而，所以这批抽查的产品的合格率不能达到．（2）因为产品重量的误差服从正态分布，所以，，又即为，所以每件产品合格的概率为，所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为．【点睛】本题主要考查概率、统计中的计算问题和正态分布的应用，考查应用所学知识解决实际问题的能力，解题的关键是正确理解题意，并将实际问题转化为概率问题求解．解答本题时由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性．20．已知为坐标原点，抛物线：与直线：交于点，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）线段的中点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若直线，分别与直线交于，两点，当时，求斜率的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据数量积求出参数的值即可得到所求方程．（2）求出点的坐标为，然后再求出点，的坐标，进而得到直线，的方程，于是得到的坐标，最后根据可求出斜率的值．【详解】（1）由消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得或（舍去）．设，，则，∴，∵，∴，解得，符合题意．∴抛物线方程为：．（2）由（1）得，∴，，∴，∴，中点为．设过点斜率为的直线方程为，即，由消去整理得，其中，故．设，，则，，直线的方程为，令，得，∴，同理得，∴，解得，满足题意．∴斜率的值为．【点睛】本题主要考查用代数方法解决解析几何问题，由于解题过程会涉及到大量的计算，所以要合理运用“设而不求”、“整体代换”、“同理得”等方法的运用，同时也要充分利用曲线方程的特点进行代换，以减少变量的个数，起到简化运算、提高解题效率的作用．21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求．【详解】（1）由，得，①当时，令，得，所以，或，即或，解得或．令，得，所以或，即或，解得或．所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．②当时，令，得，由①可知；令，得，由①可知或．所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．综上可得，当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上所以，所以不等式有解等价于有解，即有解，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值也是最小值，且最小值为，从而，所以实数的取值范围为．【点睛】（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏．（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；（2）设直线与圆交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】（1）先解出交点的直角坐标，再转化成极坐标；由题直线过点，倾斜角为，直线的参数方程为（为参数）（2）将的参数方程代入圆的普通方程，结合韦达定理与参数的几何意义求解。
高三4月联考数学(理)试题-Word版含答案
普通高中2019年第二学期高三年级教学质量检测卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|316,}xA x x N =<∈，2{|540}B x x x =-+<，则()R AC B 的真子集个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．72．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2()z z z i =+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 3．若61(2)x x+展开式的常数项为（ ）A ．120B ．160C ．200D ． 2404．若101()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >>5．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+．97+． 105+ D ．109+6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（ ）A ． 0B ． 25C ． 50D ．757．将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C ． 2π D ．6π 8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ． 2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ）A ．12 B ．1 C ． 32D ．4 10．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径2R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．C ．D．11．已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ：22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A ．2 BC ．D ．112．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212()()||2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，'|()|2017f x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为3π，则实数m 的值为 ． 14．已知1sin()33πα-=(0)2πα<<，则sin()6πα+= ． 15．在区间[0,1]上随机地取两个数,x y ，则事件“5y x ≤”发生的概率为 ． 16．已知在平面四边形ABCD中，AB =2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，则四边形ABCD面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若*11(1)()nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19． 如图1，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．20． 设点M 到坐标原点的距离和它到直线:(0)l x m m =->的距离之比是一个常数2． （1）求点M 的轨迹；（2）若1m =时得到的曲线是C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线E ，过点(2,0)P -的直线1l 与曲线E 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，过(1,0)F 的直线,AF BF 分别交曲线E 于点,D Q ，设AF FD α=，BF FQ β=，,R αβ∈，求αβ+的取值范围．21． 设函数()ln(1)(2)f x x x a x =---．（1）若2017a =，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （2）若当2x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．试卷答案1.B 【解析】因为316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，2540B x x x =-+<={}14x x <<， 故{}14B x x x =≤≥R 或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B. 2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i⋅=+，()()22221a b a b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为3344461052S =⨯+⨯+⨯⨯= C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50, a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25. 7. D 【解析】()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ==R 2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5AP CQPB QB==，所以//PQ AC ，而DP PQ ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D.12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()20170g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.【解析】由cos ,||||⋅<>=a b a b a b，得1cos 32π，从而解得m或m =.14.3【解析】因为1c o s ()c o s [()]s i n ()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+【解析】设,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-，从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅，化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=-3)θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值317.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. 18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===，故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===，()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形， 则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ， 所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ，1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC ⋅==，解得h =A 点坐标为1(2A . 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,251202u DA u DA u DA===，因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --的余弦值为5. 20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MHx m ==+，又||||OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. 可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212x y +=.设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-.当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=，整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-.设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10).21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171xf x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即20154030x y +-=.（Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. 注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--，所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上， 所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞.22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为== ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为.23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =.（Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-,则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.。
2019届河北省示范性高中高三下学期4月联考数学(文)试题(解析版)
2019届河北省示范性高中高三下学期4月联考数学（文）试题一、单选题1．若集合，，，则的子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．6个【答案】C【解析】根据交集的运算，先得到集合，再得到其子集个数.【详解】因为，所以的子集共有个.故选C项.【点睛】本题考查集合交集运算，有限集子集个数，属于简单题.2．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．3 D．-3【答案】D【解析】根据纯虚数的定义，得到关于的方程，解出的值.【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选D项【点睛】本题考查纯虚数的定义，属于简单题.3．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】将，进行转化，然后将得到的式子进行化简，求得值.【详解】因为，，所以，两个方程左右两边分别相除，得，又所以.故选A项.【点睛】本题考查等比数列的简单性质，属于基础题.4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺.问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（）A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺【答案】B【解析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长为.因为，所以，所以（立方尺）.故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.5．已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数（）A．B．C．2 D．【答案】D【解析】先得到的坐标，然后表示出在方向上的投影，得到关于的方程，得到答案.【详解】向量，满足，，所以，，，所以，即，解得.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量投影的表示，属于简单题.6．若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【解析】A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【详解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，则，分别是平面，的法线，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故选C项.【点睛】本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，属于简单题.7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件得到时，的解析式，然后利用导数求出在处的切线斜率，再得到切线方程.【详解】若，则，所以.又函数是定义在上的奇函数，所以，此时，，，所以切线方程为，即.故选A项.【点睛】本题考查通过函数的奇偶性求函数解析式，通过导数求函数图像上在一点的切线，属于中档题.8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240 B．264 C．274 D．282【答案】B【解析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积.故选B项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题9．函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．函数为偶函数C．函数的图象的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为【答案】D【解析】根据图像，求出解析式，再得到的解析式，再分别验证四个选项，得到答案.【详解】由函数（其中，）的部分图象.可知由，得所以代入点得解得，取，得可得，将函数的图象向左平移个单位长度得的图象，由函数解析式可以验证只有的单调递增区间为正确.故选D项.【点睛】本题考查由正弦型函数部分图像求解析式，三角函数图像的平移变换，正弦型函数的奇偶性，对称轴和单调区间，属于中档题.10．某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为，、、四个等级，其中分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是（）A．80.25 B．80.45C．80.5 D．80.65【答案】C【解析】根据折线图，得到每组的频率，利用每组的中点值计算出平均数.【详解】由折线图可知，等级分数在频率为等级分数在频率为等级分数在频率为等级分数在频率为平均数为.故选C项.【点睛】本题可考查通过折线图计算数据的平均数，属于简单题11．已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则（）A．3 B．-3 C．-2 D．2【答案】D【解析】由得周期为，将转化为，再由偶函数得，代入解析式，得到答案.【详解】由，得，所以是周期为8的周期函数，所以，又是偶函数，所以.故选D项.【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，属于中档题.12．已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】表示出直线的方程，与双曲线联立，得到，由，得到，得到关于的方程，结合，得到离心率.【详解】由题意得直线的方程为，不妨取，则，且.将代入，得.设，，则，.由，得，所以，得，解得，所以，故该双曲线的离心率为.【点睛】本题考查直线与双曲线的交点，设而不求的方法得到交点之间的关系，构造的等式，求双曲线离心率，属于中档题.二、填空题13．已知函数，则__________．【答案】2【解析】先把代入，计算出的值，再代入计算出的值. 【详解】因为，所以.【点睛】本题考查函数的求值，二倍角公式，特殊角三角函数值，属于简单题.14．已知实数，满足，则目标函数的最大值为__________．【答案】6【解析】根据限制条件画出可行域，将目标函数转化成斜截式，然后找到最优解，得到答案.【详解】根据条件画出可行域，如图所示，将目标函数转化为的形式，为斜率是的一簇平行线，是其在轴的纵截距.由图可知，当直线过点时，截距最大解得，即所以的最大值为.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.15．数列满足，且对于任意的都有，则__________．【答案】820【解析】根据条件中的递推关系，利用累加法，求出数列的通项公式，然后计算的值.【详解】因为，所以，，，…，，上面个式子左右两边分别相加得，即，所以.【点睛】本题考查累加法求数列通项，求数列中的项.属于中档题.16．已知抛物线经过点，直线与抛物线交于相异两点，，若的内切圆圆心为，则直线的斜率为__________．【答案】-1【解析】先求出抛物线方程，然后直线与抛物线联立，得到，点和圆心横坐标相同，根据几何关系可知直线和直线斜率相反，将所得的代入，得到直线的斜率.【详解】将点代入，可得，所以抛物线方程为，由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入，得，设，，则，，又由的内切圆心为，可得，整理得，解得，从而的方程为，所以直线的斜率为-1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，设而不求的方法表示交点间的关系，属于中档题.三、解答题17．在中，角，，所对的边分别是，,，且.（1）求角的大小；（2）若，，求边长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.【详解】（1）因为，，所以，，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．某省确定从2021年开始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.附：，其中.【答案】（1），；（2）有的把握认为选择科目与性别有关；（3）. 【解析】（1）根据分层抽样的特点，求出的值和抽取到的女生的人数.（2）补全列联表，然后将相应的值代入到公式中，得到结果，然后做出判断.（3）将所有情况列出，然后找到符合要求的情况，根据古典概型公式，求出概率.【详解】（1）因为，所以，女生人数为.（2）列联表为：的观测值，所以有的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为，，，；2名女生记为，.抽取2人所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有、、、、、、、、，共9种，故所求概率为.【点睛】本题考查分层抽样，填写列联表和求值，古典概型，属于基础题.19．在四棱柱中，，且，平面，.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）通过证明，得到，根据线面垂直得到，从而证明平面，再得到.（2）先证明平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离，从而求出四棱锥的体积.【详解】（1）证明：由，，，所以，.又，所以.因为平面，平面所以，而平面,所以平面，又平面，所以.（2）解：因为，平面,平面所以平面.所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又已知，，根据（1）的结论知点到平面的距离为，在中，所以的面积，所以三棱锥的体积.【点睛】本题考查通过线面垂直证明异面直线垂直，通过线面平行进行三棱锥的等体积转化，属于中档题.20．已知椭圆：的离心率为，椭圆：经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于，两个相异点，证明：面积为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出. （2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.【详解】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.①将点代入，整理得.②联立①②，得，，故椭圆的标准方程为.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以.②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，，则，，所以. 设，，，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以，综上，的面积为定值.【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆相切和相交，设而不求的方法表示弦长和三角形面积等，涉及知识点较多，对计算要求较高，属于难题.21．已知函数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）设的极大值为，极小值为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意转化为的最小值小于等于9，二次函数根据轴与区间的关系进行分类讨论，得到答案.（2）利用导数求出的极小值和极大值，并且得到的关系，以及与的关系，表示出消去，然后令，将转化成关于的函数，注意的取值范围，从而求出的范围.【详解】（1）因为，所以函数的最小值小于等于9.（i）函数的对称轴为，当，即时，由，得，因为，所以；（ii）当，即时，由，得.综上，实数的取值范围为.（2）因为，所以.设，因为，所以函数有两个不同的零点，不妨设为，，且，则，.当时，，函数为单调递减函数；当时，，函数为单调递增函数；当时，，函数为单调递减函数.所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，所以，又，，所以.将代入，得，设，则，所以.设，，则，所以函数在上为单调减函数，从而，又，当时，，所以，即.故的取值范围为.【点睛】本题考查二次函数通过分类讨论求最小值，利用导数求函数的极大值和极小值，构造函数求取值范围，属于难题.22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）设曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求三条曲线，，所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用直角坐标和极坐标转化的关系，得到答案.（2）判断出三条曲线围成的图形为一个三角形和一个扇形，然后分别求出其面积，相加后得到答案.【详解】（1）由条件得圆的直角坐标方程为，得，将，代入，得，即，则，所以圆的极坐标方程为.（2）由条件知曲线和是过原点的两条射线，设和分别与圆交于异于点的点和，将代入圆的极坐标方程，得，所以；将代入圆的极坐标方程，得，所以.由（1）得圆的圆心为，其极坐标为，故射线经过圆心，所以，.所以，扇形的面积为,故三条曲线，，所围成图形的面积为.【点睛】本题考查直角坐标系转化为极坐标，求曲线围成的不规则图形的面积，属于中档题. 23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，，在恒成立，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，由，得，即，或，即，或，即，综上：或，所以不等式的解集为.（2），，因为，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，，解得.所以，解得，结合，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。
2019届河北沧州市高三4月调研数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河北沧州市高三4月调研数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，，，则集合可表示为（）A．B．C．D．2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则（）A．___________ B．2___________ C． _________ D．13. 某地区有大型超市个，中型超市个，小型超市个，，为了掌握该地区超市的营业情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则抽取的中型超市的个数为（）A．2___________ B．5___________ C．10___________ D．184. 焦点为（0,6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为（）A．B．C．D．5. 执行如图的程序框图，如果输出的结果为2，则输入的（）A．0___________ B．2___________ C．0或4___________ D．46. 已知球的半径为2 ，圆和圆是球的互相垂直的两个截面，圆和圆的面积分别为和，则（）A．1___________ B．___________ C．2___________ D．7. 在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．-2016___________ B．-2015___________ C．2016___________ D．20158. 某几何体三视图如图所示，此几何体的体积为（）A．4 B．6 C．8 D．99. 在的展开式中，含项的系数为（）A．162___________ B．163___________ C．164___________ D．16510. 已知函数，，设函数若函数的最大值为2，则（）A．0 B．1 C．2 D．311. 抛物线的焦点为，抛物线的弦经过点，并且以为直径的圆与直线相切于点，则线段的长为（） A．12___________ B．16___________ C．18___________ D．2412. 已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为（）A．0___________ B．1___________ C．2___________ D．3二、填空题13. 已知向量满足，， .则___________ 。
精品解析：【校级联考】河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考理科综合化学试题(解析版)
河北省高三阶段性调研考试理科综合可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Mn-55Fe-56 Co-59一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题始出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 化学与生产生活、环境保护、资源利用等密切相关，下列说法正确的是 A. 大米、玉米、小麦中的淀粉经水解可变成乙醇 B. 利用二氧化碳制造全降解塑料，可以缓解温室效应C. 测定氢氧化钠的熔点时，可以将氢氧化钠固体放入石英坩埚中高温加热D. 海洋中含有丰富的矿产资源，仅利用物理方法可以获得2NaCl Br 、和Mg 【答案】B 【解析】 【分析】【详解】A 项，淀粉水解的最终产物是葡萄糖，葡萄糖在酒化酶的作用下分解得到乙醇和二氧化碳，故A 项错误；B 项，二氧化碳是导致温室效应的罪魁祸首，将二氧化碳用于制造全降解塑料，可以有效减少环境中的二氧化碳，从而减缓温室效应，故B 项正确；C 项，石英坩埚主要成分是二氧化硅，加热条件下二氧化硅可与氢氧化钠反应生成硅酸钠，导致坩埚炸裂，故C 项错误；D 项，要从海水中提取镁和溴，需要经过化学反应，故D 项错误。
综上所述，本题正确答案为B 。
2. 香天竺葵醇和异香天竺葵醇可用于精油的制作，其结构简式如图，下列叙述正确的是A. 香天竺葵醇属于脂肪醇，异香天竺葵醇属于芳香醇B. 两者都能发生加成反应，但不能发生取代反应C. 异香天竺醇分子中的所有碳原子不可能处于同一平面D. 两者都能使酸性高锰钾溶液褪色，但不能使溴的四氯化碳溶液褪色【答案】C【解析】【分析】由结构可知香天竺葵醇和异香天竺葵醇分子中都含碳碳双键、-OH，结合烯烃、醇的性质来解答。
【详解】A. 脂肪是高级脂肪酸的甘油酯，芳香醇是指分子里碳链上连接有苯环的醇，故A错误；B. 含碳碳双键，能发生加成反应，含-OH能发生取代反应，故B错误；C. 异香天竺醇分子中含有饱和碳原子，与之相连的碳原子具有甲烷四面体的结构，一定不会共面，所以该分子中的所有碳原子不可能都处在同一平面上，故C正确；D. 含碳碳双键，与溴发生加成反应，与高锰酸钾发生氧化反应，所以两者都能使酸性高锰钾溶液褪色，也能使溴的四氯化碳溶液褪色，故D错误。
河北廊坊2019高考数学4月考模拟试题(理科)(解析版)
河北廊坊2019年高三4月考模拟数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|2}B x x =<，则()(R A B =ð )A ．{|23}x x <<B ．{|0}x x …C ．{|02}x x <<D ．{|20}x x -<…2．（5分）已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数4z a =的模等于( )A B C D 3．（5分）同时掷两枚骰子，则向上的点数和是9的概率为( ) A ．136B ．112 C ．19D ．164．（5分）如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的受一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是( )A ．(2π+B ．(2π+C ．(4πD ．(4π+5．（5分）某数学教师为了解A 、B 两个班级学生的数学竞骞成绩，将两个班级各10名参加竞赛选拔考试的成绩绘成茎叶图如图所示．设A 、B 两班的平均成绩分别为,A B x x ，中位数分别为A m 、B m ，则( )A ．,AB A B x x m m >>B ．,A B A B x x m m <>C ．,A B A B x x m m ><D ．,A B A B x x m m <<6．（5分）若函数sin()y x ϕ=+的一个对称中心为(,0)6π，则函数cos()y x ϕ=+的一条对称轴为( )A ．3x π=-B ．6x π=C ．4x π=D ．3x π=7．（5分）数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．318．（5分）等边ABC ∆的边长为1，D ，E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE 等于( )A ．1318B ．34 C ．13D 9．（5分）函数2sin ()2||xf x x x x=+-的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．10．（5分）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为( )A B C D ．211．（5分）在三棱锥A BCD -中，BC BD ⊥，AB AD BD ===6BC =，平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球体积为( ) A ．36πB ．2563πC ．5003πD ．288π12．（5分）若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A ．12B ．2C ．1eD ．e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x 、y 满足26020x x y y x ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则16y z x +=-的最大值为 ．14．（5分）若函数()x x f x e e -=-，则不等式(21)(2)0f x f x ++->的解集为 ．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于A 、B 两点，交C 的准线于点M ，若F 为AM 的中点，则||AB = ．16．（5分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别边a 、b 、c ，若224a b ab ++=，2c =，则2a b +的取值范围是 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{}n a 满足1111,(1)1(2,)21n n a n a n n N na -=+=-∈+…． （1）求2a 、3a ；（2）求证：数列1(1)n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（12分）在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有73人更爱看综艺类节目，另外27人更爱看体育类节目；男同学中有42人更爱看综艺类节目，另外58人更爱看体育类节目． （1）根据以上数据填好如下22⨯列联表：（2）试判断是否有99.9%的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”． 参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB BC ⊥，//AD BC ，PB AE ⊥，E 为CD 中点，AB =22BC AD ==． （1）证明：平面PAE ⊥平面PBD ；（2）若2PB PD ==，求三棱锥P ADE -的体积．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，过点(4,0)M 且斜率为k 的直线交椭圆2214x y +=于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）当0k ≠时，若点A 关于x 轴的对称点为P ，直线BP 交x 轴于N ，证明：||ON 为定值． 21．（12分）已知函数()(1)1()f x ax x lnx x a R =+-+∈． （1）当2a =时，求()f x 在(1，f （1）)处的切线方程； （2）当[1x ∈，)+∞时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将椭圆2214y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=． （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点(1,3)M ，且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求11||||MA MB +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||23|f x x x =+-． （1）解不等式()5f x …；（2）若0[1x ∃∈，)+∞，使0003()f x m x x ++…成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的）【解答】解：{|03}A x x =<<； {|0R A x x ∴=…ð，或3}x …； (){|0}R A B x x ∴=…ð．故选：B ． 【解答】解：由222(2)()212()()11i i a i a a i a i a i a i a a ----+==-++-++为纯虚数， 得210a -=，即12a =．∴42z a ==，则||z故选：C ．【解答】解：同时掷两枚骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数和是9包含的基本事件有： (3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，共4个，则向上的点数和是9的概率41369p ==． 故选：C ．【解答】解：由三视图得到该几何体是上、下两个圆锥与中间圆柱体的组合体， 如图所示；其中底面圆的半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，∴组合体的表面积为212124S πππ=⨯⨯⨯⨯=+．故选：D ．【解答】解：由茎叶图可知：1(51576263747681848698)73.210A x =+++++++++=，7674752A m +==， 1(58646971717583859192)75.910B x =+++++++++=，中位数分别7175732B m +==， 可得：,A B A B x x m m <>， 故选：B ．【解答】解：函数sin()y x ϕ=+的对称中心和cos()y x ϕ=+的对称轴在一条直线上的， ∴若sin()y x ϕ=+的对称中心为(,0)6π，则函数cos()y x ϕ=+的一条对称轴为6x π=．故选：B ．【解答】解：数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，5511(1)11113121248161612S ⨯-∴=++++==-． 故选：A ．【解答】解：等边ABC ∆的边长为1，D ，E 是边BC 的两个三等分点， 2133AD AB AC =+，1233AE AB AC =+， 则22252251213999992918AD AE AB AB AC AC =++=+⨯+=．故选：A ．【解答】解：f （1）sin112sin110=+-=-<，排除，B ，C ， 当0x →时，sin 1xx→，则()101f x →+=，排除A ， 故选：D ．【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =，可得圆心到渐近线的距离为d =，则2=223a b =，c e a ===故选：B ．【解答】解：平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC BD ⊥，BC ⊂平面BCD ，BC ∴⊥平面ABD ，AB AD BD ===ABD ∆是边长为的等边三角形，由正弦定理得ABD ∆的外接圆的直径为28sin3AB r π==，所以，该球的直径为210R ，则5R =，因此，三棱锥A BCD -的外接球体积为33445005333V R πππ==⨯=．故选：C ．【解答】解：函数的定义域为(1,)+∞， 若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点， 等价为2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->=恰有一个根，即2(1)ln x ax x-+=只有一个根， 即函数2(1)y ln x x =-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数2(1)y ln x x=-+的切线设2()(1)g x ln x x=-+，切点为(,)m n ， 则2(1)ln m n m-+=， 函数的导数212()1g x x x '=--，即切线斜率212()1k g m a m m ='=-=-， 则切线方程为212()()1y n x m m m-=---， 即2221212122()()()()(1)111y x m n x m ln m m m m m m m m=--+=---+-+---， 切线过原点， 2122()(1)01m ln m m m m∴--+-+=-， 即224(1)(1)011m m ln m ln m m m m m m -+-+=-+-=--， 得2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选：A ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 【解答】解：16y z x +=-的几何意义是区域内的点到定点(6,1)D -的斜率， 作出不等式组对应的平面区域，由图象知AD 的斜率最大，BD 的斜率最小， 由220x y x =⎧⎨-=⎩解得(2,1)A ，此时111262z +==--， 故答案为：12-．【解答】解：()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 在定义域R 上，()f x 是增函数，则不等式(21)(2)0f x f x ++->等价为(21)(2)(2)f x f x f x +>--=-+， 则212x x +>-+， 即13x >， 即不等式的解集为1(3，)+∞，故答案为：1(3，)+∞【解答】解：如图，由抛物线2:8C y x =，得4p =，F 为AM 的中点，228AE FG p ∴===，则862A px =-=．由244A B p x x ==，得4263B x ==，∴282233B p BF x =+=+=．832||||||833AB AF BF ∴=+=+=． 故答案为：323． 【解答】解：224a b ab ++=，2c =， 222a b ab c ∴++=，∴222122a b c ab +-=-，1cos 2C ∴=-，又0C π<<， 23C π∴=，sin sin 22sin )sin sin c A c B a b A B C C +=⨯+=+sin())3A A π=+- 4sin()6A π=+03A π<<，∴662A πππ<+<，∴1sin()126A π<+<， 224a b <+<故答案为(2,4)．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 【解答】解：（1）2113121a a =-+，216a ∴=， 3214131a a =-+，3112a ∴=； （2）1111(1)111n n n n na n a na na ---+=-=++，∴1111111(1)n n n n na n a na na ---+==++，∴1111(1)n n n a na --=+，∴数列1(1)n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列；（3）由（2）知：1(1)nn n a =+，111(1)1n a n n n n ∴==-++， 111111(1)()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++． 【解答】解：（1）根据题目中的数据填写22⨯列联表，如下；（2）估计表中数据，计算2200(73582742)19.6610.82811585100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.9%的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．【解答】（1）证明：由AB BC ⊥，//AD BC ，AB =，22BC AD ==，可得2DC =，3BCD π∠=，2BD =． 从而BCD ∆是等边三角形，3BDC π∠=，BD 平分ADC ∠．E 为CD 中点，1D A D E ==，BD AE ∴⊥，又PB AE ⊥，PB BD B =，AE ∴⊥平面PBD ．AE ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面PBD ；（2）解：由（1）知，AE ⊥平面PBD ，则平面PBD ⊥平面ABCD ， 取BD 中点O ，连接PO ，则PO BD ⊥．平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD =， PO ∴⊥平面ABCD ．2PB PD BD ===，PO ∴又111sin1202ADE S ∆=⨯⨯⨯︒=．∴1134P ADE V -=．【解答】解：（1）过点(4,0)M 且斜率为k 的直线为：(4)y k x =- 代入椭圆2214x y +=得：22221()816104k x k x k +-+-=， 若直线与椭圆有两个交点， 则△22221(8)4()(161)04k k k =--+->，解得：(k ∈（2）设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，1(P x ，1)y -、由（1）得：由2122814k x x k +=+，212216114k x x k -=+， 直线BP 的方程为：112121x x y y x x y y -+=-+ 令0y =，则N 点的横坐标为：121121()y x x x y y -++， 故22221122112122112212112216182()4()112()4()44|||()|||18()8()814k k k k k k y x y x y k x x k x x ON x x x k y y y y k x x k k k k --+++-+=-+====+++--+ 即||ON 为定值1．【解答】解：（1）2a =时，()2(1)1f x x x lnx x =+-+， ()2(21)21f x x lnx x '=+++，故f （1）0=，f '（1）3=，故切线方程是：3(1)y x =-，即330x y --=；（2）当[1x ∈，)+∞时，()0f x …恒成立，即(1)1ax x lnx x +-…， 1x =时，显然成立，1x >时，只需1(1)x a x x lnx-+…在(1,)+∞恒成立， 令1()(1)x h x x x lnx-=+，(1)x >， 则22222(21)1()()x x lnx x h x x x ln x-++-+'=+， 令22()(21)1m x x x lnx x =-++-+，(1)x >， 则1()2(1)320m x x lnx x x '=--++<， 故()m x 在(1,)+∞递减，故()m x m <（1）0=，故()0h x '<在(1,)+∞恒成立， 故()h x 在(1,)+∞递减， 而11111lim lim (1)(21)12x x x x x lnx x lnx x →→-==++++， 故12a …． [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（1）将椭圆2214y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C ． 得到圆221x y +=的图象， 故曲线C 的普通方程为221x y +=； 直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=． 故直线l 的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=；（2）直线过点(1,3)M 且倾斜角为4π， 故直线l的参数方程为：1(3x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．代入方程221x y +=．化为：2100t ++=，12t t +=-1210t t =． 根据t的几何意义可得：121211||||t t MA MB t t ++== [选修4-5：不等式选讲] 【解答】解：（1）0()52325x f x x x <⎧⇔⎨-+-⎩……或3022325x x x ⎧⎪⎨⎪+-⎩剟…或322235x x x ⎧>⎪⎨⎪+-⎩… 解得122x -剟 不等式()5f x …的解集为1[2-，2] （2）由0003()f x m x x ++…得0003|23|0x x m x +--+… 令00000000003333,23()|23|333,12x x x g x x x x x x x ⎧--⎪⎪=+--=⎨⎪--<⎪⎩……， 则0()1min g x =-， 10m ∴-+…，1m …。
河北省示范性高中2019届高三理数4月联考试卷
河北省示范性高中2019届高三理数4月联考试卷一、单选题1．若集合A={x|x≥3−2a}，B={x|(x−a+1)(x−a)≥0}，A∪B=R，则a的取值范围为（）A．[2,+∞)B．(−∞,43]C．[43,+∞)D．(−∞,2]2．已知m∈R，复数z1=1+3i，z2=m+2i，且z1⋅z̅2为实数，则m=（）A．23B．−23C．3D．-33．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S4=15，则S6=（）A．61B．62C．63D．754．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺。
问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。
问它的体积是（）？”（注：1丈=10尺，取π=3）A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺5．已知向量a⇀，b⇀满足2a⇀+b⇀=(1,2m)，b⇀=(1,m)，且a⇀在b⇀方向上的投影是2√55，则实数m=（）A．√5B．±√5C．2D．±26．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240B．264C．274D．2827．函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0）的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到y=g(x)的图象，则下列说法正确的是（）A．函数g(x)为奇函数B．函数g(x)为偶函数C．函数g(x)的图象的对称轴为直线x=kπ+π6(k∈Z)D．函数g(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)8．某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B、C、D四个等级，其中分数在[60,70)为D等级；分数在[70,80)为C等级；分数在[80,90)为B等级；分数在[90,100]为A等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是（）A．80.25B．80.45C．80.5D．80.659．定义min{a,b}={a,a≤bb,a>b，由集合{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}确定的区域记作Ω，由曲线C：y=min{x,−2x+3}和x轴围成的封闭区域记作M，向区域Ω内投掷12000个点，则落入区域M的点的个数为（）A．4500B．4000C．3500D．300010．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+5)=f(x−3)，如果当x∈[0,4)时，f(x)= log2(x+2)，则f(766)=（）A．3B．-3C．-2D．211．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若AF⇀=3FB⇀，则该双曲线的离心率为（）A．√62B．√52C．2√33D．√312．已知函数f(x)=x2−3x+5，g(x)=ax−lnx，若对∀x∈(0,e)，∃x1,x2∈(0,e)且x1≠x2，使得f(x)=g(x i)(i=1,2)，则实数a的取值范围是（）A．(1e ,6e)B．[1e,e74)C．[6e ,e74)D．(0,1e]∪[6e,e74)二、填空题13．已知m∈Z，二项式(m+x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m=．14．已知实数x，y满足{y≤xx−4y−3≤02x+y−6≤0，则目标函数z=x+2y−1的最小值为．15．已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2)，直线l与抛物线交于相异两点A，B，若ΔMAB的内切圆圆心为(1,t)，则直线l的斜率为．16．数列{a n}满足a1=3，且对于任意的n∈N∗都有a n+1=a1+a n+n−1，则1a1+1a2+...+1a985=．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b, c，且2sin2(B+C)−3cosA= 0.（1）求角A的大小；（2）若B=π4，a=2√3，求边长c.18．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的n(n∈N∗)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.（1）当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当n=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.19．在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=60°且AD=CD，BB1⊥平面ABCD，BB1=2AB=2.（1）证明：AC⊥B1D.（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值.20．已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，椭圆C2：x23a2+y23b2=1(a>b>0)经过点(√32,√32).（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l 与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：ΔNAB面积为定值.21．已知函数f(x)=lnx,g(x)=2a3x3+2(1−a)x2−8x+8a+7.（1）若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程是y=ax−1，求函数g(x)在[0,3]上的值域；（2）当x>0时，记函数ℎ(x)={f(x),f(x)<g(x)g(x),f(x)⩾g(x)，若函数y=ℎ(x)有三个零点，求实数a的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα（α为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）设曲线l1的极坐标方程为θ=π6(ρ≥0)，曲线l2的极坐标方程为θ=π3(ρ≥0)，求三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积.23．已知函数f(x)=|x+a|+|2x−5|(a>0).（1）当a=2时，解不等式f(x)≥5；（2）当x∈[a,2a−2]时，不等式f(x)≤|x+4|恒成立，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为A={x|x≥3−2a}，B={x|x≥a或x≤a−1}，A∪B=R，所以3−2a≤a−1，解得a≥43.故答案为：C【分析】通过解不等式求出集合A和B，结合集合的关系，求出参数的取值范围即可.2．【答案】A【解析】【解答】因为z1⋅z2̅̅̅=(1+3i)(m−2i)=(m+6)+(3m−2)i为实数，所以3m−2=0，解得m=23.故答案为：A【分析】根据复数的乘法运算，求出相应的复数，并令虚部为0即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题得S2,S4−S2,S6−S4成等比数列，所以3,12，S6−15成等比数列，所以122=3×(S6−15),∴S6=63.故答案为：C【分析】根据等比中项，解方程求出S6即可.4．【答案】B【解析】【解答】设圆柱体底面圆半径为r，高为ℎ，周长为C.因为C=2πr，所以r=C2π，所以V=πr2ℎ=π×C 24π2×ℎ=C2ℎ4π=482×1112=2112（立方尺）.故答案为：B.【分析】求出圆柱的底面积和高，结合体积公式，求出相应的体积即可. 5．【答案】D【解析】【解答】向量a⇀，b⇀满足2a⇀+b⇀=(1,2m)，b⇀=(1,m)，所以a⇀=(0,m2)，a⇀⋅b⇀=m22，|b⇀|(|a⇀|cosθ)=√1+m22√55=m22，所以5m4−16m2−16=0，即(5m2+4)(m2−4)=0，解得m=±2.故答案为：D【分析】根据投影的定义，结合平面向量的数量积运算，解方程，即可求出m的值. 6．【答案】B【解析】【解答】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长BE交DF于A点，其中AB=AD=DD1=6，AE=3，AF=4，所以表面积S=(36×5+3×6)+3×42×2+4×6+30=264.故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体法结构特征，即可求出相应几何体的表面积.7．【答案】D【解析】【解答】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0）的部分图象. 可知A=3由34T=5π12−(−π3)=3π4，得T=π所以ω=2πT =2ππ=2代入点(5π12,3)得3=3sin(2×5π12+φ)解得φ=2kπ−π3，取k=0，得φ=−π3可得f(x)=3sin(2x−π3 )，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度得y=g(x)=3sin[2(x+π3)−π3]=3sin(2x+π3)的图象，由函数解析式可以验证只有g(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)正确.故答案为：D.【分析】根据函数的最值求出A，结合函数的周期求出ω，代入特殊点即可求出f（x）的表达式，结合正弦函数的单调性、奇偶性和对称性进行求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】由折线图可知，A等级分数在[90,100]频率为0.025×10=0.25B等级分数在[80,90)频率为0.020×10=0.20C等级分数在[70,80)频率为0.040×10=0.40D等级分数在[60,70)频率为0.015×10=0.15平均数为65×0.15+75×0.40+85×0.20+95×0.25=80.5.故答案为：C.【分析】根据频率分布折线图，求出各范围内的频率，即可求出相应的平均数.9．【答案】A【解析】【解答】试验包含的所有事件对应的集合Q＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}，则SΩ＝2×1＝2，y=min{x,−2x+3}={x，0≤x≤1−2x+3，1<x≤32，画出函数的图象，如图所示；S M=12×32×1=34故落入区域M内的概率为P =12×32×11×2=38，所以落入区域M的点的个数为12000 ×38=4500（个）．故答案为：A．【分析】求出平面区域的面积，结合几何概型，即可求出相应法概率.10．【答案】D【解析】【解答】由f(x+5)=f(x−3)，得f(x+8)=f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，所以f(766)=f(96×8−2)=f(−2)，又f(x)是偶函数，所以f(−2)=f(2)=log24=2.故答案为：D.【分析】根据f(x+5)=f(x−3)，确定函数的周期，结合周期性及奇偶性，即可求出相应的值. 11．【答案】B【解析】【解答】由题意得直线l的方程为x=bay+c，不妨取a=1，则x=by+c，且b2=c2−1.将x=by+c代入x2−y2b2=1，得(b4−1)y2+2b3cy+b4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−2b3cb4−1，y1y2=b4b4−1.由 AF ⇀=3FB ⇀ ，得 y 1=−3y 2 ， 所以 { −2y 2=−2b 3cb 4−1−3y 22=b 4b 4−1， 得 3b 2c 2=1−b 4 ，解得 b 2=14，所以 c =√b 2+1=√54=√52 ，故该双曲线的离心率为 e =c a =√52.故答案为：B【分析】设出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，结合平面向量的线性运算，即可求出双曲线的离心率.12．【答案】C【解析】【解答】当 x ∈(0,e) 时，函数 f(x) 的值域为 [114,5) .由 g′(x)=a −1x =ax−1x 可知：当 a ≤0 时， g′(x)<0 ，与题意不符，故 a >0 .令 g′(x)=0 ，得 x =1a ，则 1a ∈(0,e) ，所以 g(x)min =g(1a)=1+lna ，作出函数 g(x) 在 (0,e) 上的大致图象如图所示，观察可知 {1+lna <114g(e)=ae −1≥5,，解得 6e≤a <e 74 .故答案为：C【分析】求导数，利用导数确定函数的单调性，作出函数的图象，数形结合，即可求出实数a 的取值范围.13．【答案】2【解析】【解答】由 C 42m 2−C 43m =16 ，得 3m 2−2m −8=0 ，解得 m =2 或 m =−43 ，因为m ∈Z ，所以 m =2 .故答案为2【分析】根据二项式展开式的系数，解方程，求出m的值即可. 14．【答案】-4【解析】【解答】作出实数x，y满足{y≤xx−4y−3≤02x+y−6≤0对应的平面区域如图阴影所示；由z＝x+2y﹣1，得y =−12x +z2+12，平移直线y =−12x +z2+12，由图象可知当直线y =−12x +z2+12经过点A时，直线y =−12x +z2+12的纵截距最小，此时z最小．由{y=xx−4y−3=0，得A（﹣1，﹣1），此时z的最小值为z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最小值. 15．【答案】-1【解析】【解答】将点M(1,2)代入y2=2px，可得p=2，所以抛物线方程为y2=4x，由题意知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my+n(m≠0)，代入y2=4x，得y2−4my−4n=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4n，又由ΔMAB的内切圆心为(1,t)，可得k MA+k MB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=y1−2y124−1+y2−2y224−1=0，整理得y1+y2+4=4m+4=0，解得m=−1，从而l的方程为y=−x+n，所以直线l的斜率为-1.【分析】将点的坐标代入，求出p，得到抛物线方程，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，表示直线的斜率，解方程，即可求出直线斜率.16．【答案】985987【解析】【解答】由题a n+1＝a n+n+2，∴a n+1−a n=n+2，所以a2−a1=3，a3−a2= 4，a4−a3=5，…，a n−a n−1=n+1(n≥2)，上式n−1个式子左右两边分别相加得a n−a1=(n+4)(n−1)2，即a n=(n+1)(n+2)2，当n=1时，满足题意，所以1an=2(1n+1−1n+2)，从而1a1+1a2+...+1a985=212−13+13−14+⋯+1986−1987=985987.故答案为985987【分析】根据数列的递推公式，结合等式的性质及裂项相消求和法，即可求出相应式子的值. 17．【答案】（1）解：因为A+B+C=π，2sin2(B+C)−3cosA=0，所以2sin2A−3cosA=0，2(1−cos2A)−3cosA=0，所以2cos2A+3cosA−2=0，即(2cosA−1)(cosA+2)=0.因为cosA∈(−1,1)，所以cosA=12，因为A∈(0,π)，所以A=π3 .（2）解：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×√22+12×√22=√6+√24.在ΔABC中，由正弦定理得csinC=asinA，所以c6+24=2√332，解得c=√6+√2【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，采用换元法，解一元二次方程，求出cosA ，即可得到角A ；（2）根据两角和的正弦公式，结合余弦定理，即可求出边c.18．【答案】（1）解：对一个坑而言，要补播种的概率 P =C 30(12)3+C 31(12)3=12 ， 有3个坑要补播种的概率为 C n 3(12)n . 欲使 C n 3(12)n最大，只需{C n 3(12)n≥C n−13(12)n−1C n 3(12)n≥C n+13(12)n+1 ，解得 5≤n ≤6 ，因为 n ∈N ∗ ，所以 n =5,6,当 n =5 时， C 53(12)5=516 ； 当 n =6 时， C 63(12)6=516； 所以当 n =5 或 n =6 时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为 516（2）解：由已知， X 的可能取值为0，1，2，3，4. X ∼B(4,12) ，所以 X 的分布列为X 的数学期望 EX =4×12=2 .【解析】【分析】（1）表示相应的概率，解不等式组，求出n 的值，即可求出最大概率；（2）求出随机变量X 的可能取值和相应的概率，即可得到分布列和数学期望.19．【答案】（1）证明：∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ，又∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴AB ＝AC ， ∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∴△AOD ≌△COD ，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°， ∴AC ⊥BD ，又因为 BB 1⊥ 平面 ABCD ，所以 AC ⊥BB 1 ，又 BB 1∩BD =B, 所以 AC ⊥ 平面 BB 1D ，因为 B 1D ⊂ 平面 BB 1D ，所以 AC ⊥B 1D .（2）解：以 AC ， BD 的交点 O 为原点，过O 作平行于 AA 1 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O −xyz ，由（1）及 BB 1=2AB =2 ，知 B(12,0,0) ， B 1(12,0,2) ， C 1(0,√32,2) ， D(−32,0,0) ，所以 BC 1⇀=(−12,√32,2) ， B 1C 1⇀=(−12,√32,0) ， B 1D ⇀=(−2,0,−2) . 设平面 B 1C 1D 的法向量为 n ⇀=(x,y,z) ，由 {B 1C 1⇀⋅n ⇀=0B 1D ⇀⋅n ⇀=0，得 {−12x +√32y =0−2x −2z =0 ， 所以 {x =√3y x =−z，令 z =−1 ，得 n ⇀=(1,√33,−1) .设 BC 1 与平面 B 1C 1D 所成的角为 θ ，则 sinθ=|cos〈n⇀,BC 1⇀〉|=|−12+√32×√33−2|√73=2√10535 . 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线性垂直；（2）建立空间直角坐标系，表示点的坐标和相应的向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出线面角的正弦值.20．【答案】（1）解：因为 C 1 的离心率为 √63，所以 69=1−b 2a 2 ，解得 a 2=3b 2 .①将点 (√32,√32) 代入 x 23a 2+y 23b2=1 ，整理得 14a 2+14b 2=1 .②联立①②，得 a 2=1 ， b 2=13 ，故椭圆 C 1 的标准方程为x 2+y 213=1 .（2）证明：①当直线 l 的斜率不存在时，点 M 为 (1,0) 或 (−1,0) ，由对称性不妨取 M(1,0) ， 由（1）知椭圆 C 2 的方程为 x 23+y 2=1 ，所以有 N(−√3,0) .将 x =1 代入椭圆 C 2 的方程得 y =±√63，所以 S ΔNAB =12|MN|⋅|AB|=12(√3+1)2√63 =√2+√63.②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y =kx +m ， 将 y =kx +m 代入椭圆 C 1 的方程 得 (1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−1=0 ，由题意得 Δ=(6km)2−4(1+3k 2)(3m 2−1)=0 ， 整理得 3m 2=1+3k 2 .将 y =kx +m 代入椭圆 C 2 的方程， 得 (1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−3=0 . 设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，则 x 1+x 2=−6km1+3k 2 ， x 1x 2=3m2−31+3k2 ， 所以 |AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2×2√3×√3k 2+1−m 23k 2+1=2√6√1+k 23|m|.设 M(x 0,y 0) ， N(x 3,y 3) ， ON ⇀=λMO ⇀ ，则可得 x 3=−λx 0 ， y 3=−λy 0. 因为 {x 02+3y 02=1x 323+y 32=1 ，所以 {x 02+3y 02=1λ2(x 023+y 02)=1 ， 解得 λ=√3 （ λ=−√3 舍去），所以 ON⇀=√3MO ⇀ ，从而 |NM|=(√3+1)|OM| . 又因为点 O 到直线 l 的距离为 d =√1+k ，所以点 N 到直线 l 的距离为 (√3+1)d =(√3+1)⋅|m|√1+k ，所以 S ΔNAB=12(√3+1)d ⋅|AB|=12(√3+1)⋅|m|√1+k⋅2√6√1+k 23|m| =√2+√63 ，综上， ΔNAB 的面积为定值 √2+√63.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，解方程，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，表示交点坐标，结合韦达定理及弦长公式，根据点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积.21．【答案】（1）解：因为 g(x)=2a 3x 3+2(1−a)x 2−8x +8a +7 ， 所以 g′(x)=2ax 2+4(1−a)x −8 ，所以 g′(2)=0 ，所以a=0，即g(x)=2x2−8x+7=2(x−2)2−1.g(0)=7，g(3)=1，g(2)=−1，所以g(x)在[0,3]上的值域为[−1,7] .（2）解：（i）当a=0时，g(x)=2x2−8x+7，由g(x)=0，得x=2±√22∈(1,+∞)，此时函数y=ℎ(x)有三个零点，符合题意.（ii）当a>0时，g′(x)=2ax2+4(1−a)x−8=2a(x−2)(x+2a).由g′(x)=0，得x=2.当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0 .若函数y=ℎ(x)有三个零点，则需满足g(1)>0且g(2)<0，解得0<a<316.（iii）当a<0时，g′(x)=2ax2+4(1−a)x−8=2a(x−2)(x+2a).由g′(x)=0，得x1=2，x2=−2a.①当−2a <2，即a<−1时，因为g(x)极大值=g(2)=163a−1<0，此时函数y=ℎ(x)至多有一个零点，不符合题意；②当−2a=2，即a=−1时，因为g′(x)≤0，此时函数y=ℎ(x)至多有两个零点，不符合题意；③当−2a>2，即−1<a<0时，若g(1)<0，函数y=ℎ(x)至多有两个零点，不符题意；若g(1)=0，得a=−320，因为g(−2a)=1a2(8a3+7a2+8a+83)，所以g(−2a)>0，此时函数y=ℎ(x)有三个零点，符合题意；若g(1)>0，得−320<a<0，由g(−2a)=1a2(8a3+7a2+8a+83)，记φ(a)=8a3+7a2+8a+83，则φ′(a)=24a2+14a+8>0，所以φ(a)>φ(−320)>0，此时函数y=ℎ(x)有四个零点，不符合题意.综上所述：满足条件的实数a∈{−320}∪[0,316)【解析】【分析】（1）求导数，根据导函数的值求出a，即可结合导数求出函数的值域；（2）对a的取值分类讨论，结合导数确定函数的单调性，根据单调性确定函数的取值情况，即可求出实数a的取值范围.22．【答案】（1）解：由条件得圆C的直角坐标方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，得x2+y2−2√3x−2y=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ2−2√3ρcosθ−2ρsinθ=0，即ρ=2√3cosθ+2sinθ，则ρ=4sin(θ+π3 )，所以圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π3 ).（2）解：由条件知曲线l1和l2是过原点O的两条射线，设l1和l2分别与圆C交于异于点O的点A和B，将θ=π6代入圆C的极坐标方程，得A(4,π6)，所以OA=4；将θ=π3代入圆C的极坐标方程，得B(2√3,π3)，所以OB=2√3.由（1）得圆C的圆心为C(√3,1)，其极坐标为C(2,π6)，故射线l1经过圆心C，所以∠COB=π3−π6=π6，∠ACB=2∠COB=π3.所以SΔCOB=12⋅OC⋅OB⋅sin∠COB=14⋅OA⋅OB⋅sinπ6=√3，扇形CAB的面积为S CAB=12⋅π3⋅22=2π3,故三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积为SΔCOB+S CAB=√3+2π3【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程写出普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）求出交点坐标，表示三角形的面积及扇形面积，即可求出所围图形的面积.23．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=|x+2|+|2x−5|={3−3x,x<−27−x,−2≤x≤5 23x−3,x>52，由f(x)≥5，得{x<−23−3x≥5，即{x<−2x≤−23，x<−2或{−2≤x≤5 27−x≥5，即{−2≤x≤52x≤2，−2≤x≤2或{x>5 23x−3≥5，即{x>52x≥83，x≥83综上：x≤2或x≥83，所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤2或x≥83} .（2）解：f(x)≤|x+4|，f(x)=|x+a|+|2x−5|≤|x+4|，因为x∈[a,2a−2]，2a−2>a，所以a>2，又x∈[a,2a−2]，x+a>0，x+4>0，得x+a+|2x−5|≤x+4.不等式恒成立，即|2x−5|≤4−a在x∈[a,2a−2]时恒成立，不等式恒成立必须a≤4，a−4≤2x−5≤4−a，解得a+1≤2x≤9−a.所以{2a≥a+14a−4≤9−a，解得1≤a≤135，结合2<a≤4，所以2<a≤135，即a的取值范围为(2,135].【解析】【分析】（1）将a=2代入，对x的取值分类讨论，写出分段函数的形式，解不等式组，即可求出相应的解集；（2）根据绝对值三角不等式，将不等式恒成立问题进行转化，解不等式，即可求出实数a的取值范围.。
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绝密★启用前
河北省省级示范性高中
2019届高三毕业班下学期4月大联考
数学（理）试题
（解析版）
考生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2. 请将各题答案填写在答题卡上.
3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,,则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为,或,,所以,解得
.
故选：C
【点睛】本题考查并集及集合间的关系,二次不等式的解法,不等式的性质等知识,考查运算求解,是基础题．
2.已知,复数,,且为实数,则（）
A. B. C. 3 D. -3 【答案】A
【解析】
【分析】
把,代入,再由复数代数形式的乘除运算化简,利用虚部为0求得m值．
【详解】因为为实数,
所以,
解得.
故选：A
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题．
3.设等比数列的前项和为,若,,则（）
A. 61
B. 62
C. 63
D. 75 【答案】C
【解析】
分析：利用等比数列的性质求. 详解：由题得成等比数列,所以3,12,成等比数列, 所以点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质,意在考查学生对等比数列的性质的掌握能力.(2)等比数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等比数列,即成等比数列.本题利用这个性质解答比较简洁,如果直接代等比数列前n项和公式,计算量有点大.
4.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,它有如下问题：“今有圆堡我（cōng）,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡,底面周长为4丈8尺,高1丈1尺.问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺,取）（）
A. 704立方尺
B. 2112立方尺
C. 2115立方尺
D. 2118立方尺
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,由底面圆周长,得到底面圆半径,再由体积公式求出其体积.
【详解】设圆柱体底面圆半径为,高为,周长为.
因,所以,。