2012年高考理科数学一轮复习学案椭圆

2012年高考理科数学一轮复习学案——《椭圆》

【自主学习室】

考点集结

一、椭圆的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之 等于常数 ( )的点的集合叫作椭圆，这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的 ，焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的 ．

思考感悟：

在椭圆的定义中，若2a=|F 1F 2|或2a ＜|F 1F 2|动点P 的轨迹如何？

二、椭圆的标准方程及其几何意义

先锋行动

1.若椭圆m y x 2

2

2 ＝1的离心率为2

1，则实数m ＝（ ） A.3823或 B.23 C.83 D.3

283或 2．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P(x ，y)满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a(a ＞0)，则动点P 的轨迹是 ( )

A ．椭圆

B ．线段

C ．椭圆或线段或不存在

D ．不存在

3.已知椭圆 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

4．椭圆 的焦点坐标为________．

5.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．

【考点精讲坛】

考点一：椭圆的定义及标准方程

求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用特定系数法求椭圆方程的一般步骤是：

(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．

(2)设方程：根据上述判断设方程 (a ＞b ＞0) 或122

22=+a

y b x (a ＞b ＞0)． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组．

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

【注意】 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设

(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞ 0且A ≠B)，在已知椭圆上两点时，这种形式在解题时更简便．

例1：已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

即时突破：

1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过

两点，求椭圆的方程．

考点二：椭圆的几何性质

1．椭圆性质的挖掘

(1)设椭圆 (a ＞b ＞0)上任意一点P(x ，y)，则当x ＝0时，|OP|有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP|有最大值a ，这时P 在长轴端点处．

(2)椭圆上任意一点P(x ，y)(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c)．

(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.

(4)过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a.

2．离心率 在求法中要有整体求值思想或变形为

例2：(2009·重庆高考)已知椭圆 （ a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，

F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使 则该椭圆的离心率的取值范围

为________．

【即时突破】

2．(2010·茂名一模)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三有形，则这个椭圆的离心率是 ( )

3．(2010·枣庄一模)设椭圆 (m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为________．

考点三：直线与椭圆的位置关系

1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．

2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．

3．直线y ＝kx ＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)两点，则()212212212411AB x x x x k x x k -+∙

+=-+= ()21221221241111AB y y y y k y y k --∙+=-+=

例3：(2010·厦门模拟)已知椭圆C 的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形．若直线l 与y 轴交于点P(0，m)，与椭圆C 交于不同的两点

A 、

B ，且

(1)求椭圆C 的方程；(2)求实数m 的取值范围．

4．(2010·广州模拟)已知椭圆C ： (a ＞b ＞0)的 离心率为 ，且经过

P(1，)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【考题交流网】

椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是各地高考考查的重点，多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义，几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力.

推荐高考题

(2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆

(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

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