2 第二章_解析函数(修定)

对充分小的 ∆z = ∆x + i∆y > 0，有
⇒ f ( z + ∆z ) − f ( z ) = f ′( z )∆z + ρ (∆z )∆z , 其中 lim ρ (∆z ) = 0
∆z →0
设f ( z + ∆z ) − f ( z ) = ∆u + i∆v，f ′( z ) = a + ib, ρ ( ∆z ) = ρ1 + i ρ 2
(1)如果函数f ( z )在z0 及z0的某一邻域内处处可导，那么称f ( z )在z0处解析;
(2)如果函数f ( z )在区域D内每一点都解析，那么称f ( z )在D内解析， 或称f ( z )是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).
(3)若f ( z )在z0处不解析，那么称z0为函数f ( z )的奇点.
∆z → 0
⇒ f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = f ′( z0 ) ∆z + ρ (∆z )∆z
所以 lim f ( z0 + ∆z ) = f ( z0 )
∆z → 0
即函数f ( z )在点z0处连续.
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3．求导法则 (p32) ．
(1) (C )′ = 0, （其中C为常数）
(6) { f [ g ( z )]}′ = f ′( w) g ′( z ), w = g ( z )
(7) f ′( z ) = 1 , w = f ( z )与z = ϕ ( w)是互为反函数且单值函数，ϕ ′( w) ≠ 0. ′( w) ϕ
结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数 在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中去．
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第二章
解析函数
2.1 解析函数的概念 2.2 解析函数和调和函数的关系（不讲） 解析函数和调和函数的关系（不讲） 2.3 初等函数 本章小结 思考题30) ．
解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
定义1.设函数w = f ( z )在点z0的某邻域内有定义， 0 + ∆z是该邻域内任意一点， z f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 函数的增量∆w = f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 )， 如果极限 lim 存在， ∆z → 0 ∆z 则称函数f ( z )在z0处可导，此极限值称为f ( z )在z0处的导数，
沿平行于虚轴方向： ∂v = lim ∆v = a ∂y ∆x =0,∆y →0 ∆y
从而 ∂u ∂v ∂u ∂v = ， 同理 =− . ∂x ∂y ∂y ∂x
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充分性
由于f ( z + ∆z ) − f ( z ) = u ( x + ∆x, y + ∆y ) − v ( x, y ) + i[v ( x + ∆x, y + ∆y ) − v ( x, y )]
h( z ) =| z |2 在z0 = 0可导，而其它点却不可导，
函数在复平面上处处不解析.（见例 ） 见例3）
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2．函数解析的条件 ． 定理1：(p33） 函数f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )定义在区域D内，则 定理1 (p33）
f ( z )在D内一点z = x + iy处可导的充分必要条件是：
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2．可导与连续关系（介绍） ．可导与连续关系（介绍）
函数 从例2从可以看出： f ( z ) = z = x − iy处处连续，但处处不可导，反之可导必连续.
结论：函数w = f ( z )在z0可导，则在z0处必连续，反之不成立. 由导数的定义可知 f ′( z0 ) = lim 证明： ∆z → 0
f ( z + ∆z ) − f ( z 0 ) 存在 ⇔ ∆z f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0,当0 < ∆z < δ 时，都有 − f ′( z0 ) < ε ∆z f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) 令ρ (∆z ) = − f ′( z0 ) ∆z 那么 lim ρ (∆z ) = 0
与z0 + ∆z → z0的方式无关；
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f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) − f ′( z0 ) < ε ∆z
(3)若f ( z )在D内处处可导，就说f ( z )在区域D内可导.
•
求函数f ( z ) = z 2的导数. 例1．
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim = lim (2 z + ∆z ) = 2 z 解：lim0 ∆z → ∆z → 0 ∆z → 0 ∆z ∆z
∆z → 0
因此 ρ (∆z )∆z 是 ∆z 的高阶无穷小量
⇒ ∆w = f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = f ′( z0 ) ∆z + o ∆z , ∆z → 0
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二、解析函数
在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在 区域D内内处处可导的函数，即解析函数． 1．解析函数的概念 ．
∆ x − i∆ y ∆ x + i∆ y
（1）若z + ∆z沿平行于实轴方向趋向于z，即∆y = 0，而∆x → 0，
则有 lim
∆z → 0
（2）若z + ∆z沿平行于虚轴方向趋向于z， ∆x = 0，而∆y → 0， 即
则有 lim
∆z → 0
故f ( z ) = z = x − iy不可导.
(1)u ( x, y)与v( x, y)在点( x, y)可微；
∂u ∂v ∂u ∂v (2)在该点满足柯西——黎曼方程 (C − R方程 )： = , =− . ∂x ∂y ∂y ∂x 证明： 必要性 f ( z + ∆z ) − f ( z ) ′( z ) = lim f ( z )在z = x + iy处可导， f ⇒ 存在 ∆z → 0 ∆z
(2) ( z n )′ = nz n −1（其中n为正整数） ,
(3) [ f ( z ) ± g ( z )]′ = f ′( z ) ± g ′( z )
(4) [ f ( z) ⋅ g ( z)]′ = f ′( z) ⋅ g ( z) + f ( z) ⋅ g ′( z)
f ( z ) ′ 1 (5) = [ g ( z )]2 [ f ′( z ) ⋅ g ( z ) − f ( z ) ⋅ g ′( z )], g ( z ) ≠ 0 g ( z)
所以f ′( z ) = 2 z.
例2(p31)
证明: 函数f ( z ) = Re z 在全平面内处处没有导数。
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• 例3．(p31)
证明: 函数f ( z ) =| z |2
在 z = 0 点可导，且导数等于零，而在其余的点不可导。
z + ∆z − z 0 h ( z 0 + ∆z ) − h ( z 0 ) 任取z0，由于 lim = lim 0 ∆z →0 ∆z →0 ∆z ∆z
即：f ′( z0 ) =
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) dw |z = z0 = lim , ∆z → 0 dz ∆z
说明： ε − δ 语言描述：∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0,当0 < ∆z < δ 时， (1)
都有
(2)定义中z0 +∆z → z0 (即∆z →0)的方式是任意的，定义中极限值存在的要求
所以∆u + i∆v = (a + ib)(∆x + i∆y ) + ( ρ1 + i ρ 2 )(∆x + i∆y )
= (a∆x − b∆y + ρ1∆x − ρ 2 ∆y ) + i (b∆x + a∆y + ρ 2 ∆x + ρ1∆y )
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从而∆u = a∆x − b∆y + ρ1∆x − ρ 2 ∆y，∆v = b∆x + a∆y + ρ 2 ∆x + ρ1∆y
解：f ( z + ∆z ) − f ( z ) = z + ∆z − z = z + ∆z − z = ∆z =
∆z ∆z ∆z ∆z
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆x − i∆y = lim =1 ∆x → 0, ∆y = 0 ∆x + i ∆y ∆z f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆x − i∆y = lim = −1 ∆y → 0, ∆x = 0 ∆x + i ∆y ∆z
⇒ ∆u = a∆x − b∆y + o( ( ∆x) 2 + ( ∆y ) 2 ), ∆v = b∆x + a∆y + o( (∆x) 2 + ( ∆y ) 2 )
于是u ( x, y ), v( x, y )在( x, y)处可微.
∂u ∆u = lim =a 且沿平行于实轴方向： ∂x ∆x →0,∆y = 0 ∆x
2 2
= lim
= lim ( z0 + ∆z + z0
∆z ∆z ) = z0 + z0 lim , 当z0 = 0时，f ′(0) = 0； ∆z → 0 ∆z → 0 ∆ z ∆z 当z0 ≠ 0时，让z0 + ∆z沿直线y − y0 = k ( x − x0 )趋向于z0，
∆y i ∆z ∆x − i∆y ∆x = 1 − ki 随着k的变化而变化， = = ∆z ∆x + i∆y 1 + ∆y i 1 + ki ∆x 1−