华北理工大学材料力学刘文增第五版第5章 弯曲应力
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刘鸿文《材料力学》(第5版)课后习题(弯曲应力)【圣才出品】
图 5-10 解：对横梁进行受力分析，作出其受力简图，如图 5-11 所示。
图 5-11
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由梁结构和载荷的对称性可知，最大弯矩发生在梁跨中截面，且
。
抗弯截面系数：
由强度条件
则有 故许可顶压力：
，可得： 。
5.10 割刀在切割工件时，受到 F＝1 kN 的切削力作用。割刀尺寸如图 5-12 所示。 试求割刀内的最大弯曲应力。
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图 5-8
解：根据梁的受力简图，由平衡条件可得支座反力： 由梁结构和载荷的对称性可知，梁上最大受的最大轧制力：
，可得： 907.4 kN。
5.8 压板的尺寸和载荷情况如图 5-9 所示。材料为 45 钢，σs＝380 MPa，取安全因 数 n＝1.5。试校核压板的强度。
图 5-9
解：由许用应力定义可知，该压板的许用应力：
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分析可知，压板上的最大弯矩发生在 m-m 截面，且：
m-m 截面的抗弯截面系数：
故最大正应力： 因此压板强度满足要求，是安全的。
5.9 拆卸工具如图 5-10 所示。若 l＝250 mm，a＝30 mm，h＝60 mm，c＝16 mm，d＝58 mm，[σ]＝160 MPa，试按横梁中央截面的强度确定许可的顶压力 F。
图 5-12 解：分析可知，最危险截面可能发生在 m-m 截面或 n-n 截面。 （1）m-m 截面：弯矩值 则该截面上正应力：
（2）n-n 截面：弯矩值 则该截面上正应力：
材料力学04弯曲内力(刘鸿文第5版) [兼容模式]
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第章弯曲内力44.1 弯曲的概念和实例414.2 受弯杆件的简化4.3 剪力和弯矩（重点）4.4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程剪力弯矩4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系（重点）454.6 平面曲杆的弯曲内力（了解）4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念一、弯曲的概念1. 工程实例起重机大梁火车轮轴阳台挑梁火轮2. 弯曲的概念FB⑴受力特点：杆件所受外力均垂直于轴线。
⑵变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件。
二、平面弯曲的概念课本四、五、六章中所讨论的弯曲限制在如下范围内：1. 杆的横截面至少有一根对称轴。
1杆的横截面至少有一根对称轴——一个纵向对称面对称轴对称轴对称轴对称轴2.杆件所受外力均垂直于轴线，且位于梁的纵向对称面内。
——受力特点3.杆件轴线由直线变为一条纵向对称面内的曲线。
3杆件轴线由直线变为条纵向对称面内的曲线——变形特点一、梁的简化 4.2 受弯杆件的简化对于平面弯曲的直梁，外力为作用在纵对称面内的平面力系故在计算简图中通常用梁的来代表梁、梁的简化力系，故在计算简图中通常用梁的轴线来代表梁。
二、支座的简化1. 固定铰支座A AAA 2. 滚动铰支座F AyFAx3AAAF Ay 3. 固定端支座AM A F AyF Ax三、载荷的简化1FM q1.集中载荷F 2. 分布载荷q e3. 集中力偶M e 四、静定梁的基本形式F RF R静的本式1. 悬臂梁一端固定端支座一端自由AB2一端固定铰支座2.简支梁端固定铰一端滚动铰支座3. 外伸梁简支梁的一端或两端伸出支座外l⑴起重机大梁简化实例：AF⑶阳台挑梁⑵火车轮轴qBA4.3剪力和弯矩一、梁的内力试求图示简支梁m -m 截面mFF 的内力。
mx1∑l AB解：1. 求支反力研究整体，受力如图。
Fa0 0xAx F F ==，00A =−=A B0 BAy M Fa F l ∑，0 0yAy B FF F F =+−=∑，F AyF AxF BF A x 以后可省略不求Ay Fa F =()B F l a F −=llA Fa F =()B F l a F −=l2. 截面法求内力截面左段受力如图lmmS 0 0yA FF F =−=∑，研究m -m 截面左段，受力如图。
材料力学刘鸿文第5章第2次课
t
[σc ] =60M ,试校核梁的强度。 Pa 试校核梁的强度。
材料力 学
52
第五章 弯曲应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
第五章 材料力 弯曲正应力强度条件 学
σmax
弯曲应力
M y = σ ≤[ ] I z max
1.弯矩最大的截面上 1.弯矩最大的截面上
危险点
2.离中性轴最远处 2.离中性轴 I z
脆性材料抗拉和抗压性能不同， 脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 σ c , max ≤ [σ c ] σ t , max ≤ [σ t ]
由此得F≤19200 N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
(
)
第五章 弯曲应力 材料力 趣味题：我国营造法中， 趣味题：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 学 。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁， h:b=3:2。 h:b=3:2 试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，
M
ql / 8 = 67.5kN⋅ m
(+)
x
bh3 120×1803 IZ = = =5.832×107 m 4 m 12 12
材料力 学 M ⋅y
σK =
第五章 弯曲应力
[σc ] =60M ,试校核梁的强度。 Pa 试校核梁的强度。
材料力 学
52
第五章 弯曲应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
第五章 材料力 弯曲正应力强度条件 学
σmax
弯曲应力
M y = σ ≤[ ] I z max
1.弯矩最大的截面上 1.弯矩最大的截面上
危险点
2.离中性轴最远处 2.离中性轴 I z
脆性材料抗拉和抗压性能不同， 脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 σ c , max ≤ [σ c ] σ t , max ≤ [σ t ]
由此得F≤19200 N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
(
)
第五章 弯曲应力 材料力 趣味题：我国营造法中， 趣味题：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 学 。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁， h:b=3:2。 h:b=3:2 试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，
M
ql / 8 = 67.5kN⋅ m
(+)
x
bh3 120×1803 IZ = = =5.832×107 m 4 m 12 12
材料力 学 M ⋅y
σK =
第五章 弯曲应力
弯曲应力
x Fa/2
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2、确定截面尺寸
σ max
Mபைடு நூலகம்max 6 M max = = Wz bh 2 6 M max = ≤ [σ ] 2 b (2b)
3M max 3 3 ×12 ×106 b≥ 3 = = 122mm 2[σ ] 2 × 10
h = 2b = 244mm
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第五章 弯曲应力
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§5.1 纯弯曲
一、纯弯曲和横力弯曲
剪力 FS 弯矩 M 切应力τ 正应力σ
A a
F
F
F
C
F a
B D
FS
F x F
CD 段：纯弯曲 AC、DB 段：横力（剪切）弯曲 、 横力（剪切）
y
A
ρ∫
yzdA =
2
E
ρ
E
I yz ≡ 0 Iz
ρ∫
A
y dA =
ρ
M = ρ EI z
1
M σ= y Iz
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M σ= y Iz
M = ρ EI z
1
将用于研究梁的变形问题 称之为抗弯刚度 称之为抗弯刚度
记忆启示： 记忆启示：
拉伸
FN σ= 1 A
T τ = ρ Ip
3F F C A FRA a Fa a E FRB a Fa a B F
h b z y
解： 1、画弯矩图
FRA = FRB 5 = F 2
MC = M D = 0 M A = Fa M B = Fa
ch5弯曲应力-2007
作者：zhang chunxiao 本讲义仅供重交大05级水利1,2,3,4班教学之用, 作者声明保留本讲义之一切版权。
材料力学 Mechanics of Materials (Strength of Materials )第五章 弯曲应力Stresses in Bending§5-1 引言 Introduction由上一章我们知弯曲变形的内力为Q 和M 。
因内力是截面上分布内力的合力。
而截面上一般存在两种分布内力的集度——剪应力τ(面内应力)和正应力σ(法向应力)。
由理力知识我们知: Q n dA F d⊥⋅=σ，故正应力的合力不可能产生Q 向分量。
(即σ不能在面内合成Q )。
同理,因为τ在截面内恒通过截面形心（面内水平轴）。
故不能产生绕此面内水平轴的合力矩M 。
因此, Q dA M dA ⇒⇒τσ;。
若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为常量,则该段梁的弯曲就称为•②纵向直线（ab ）和（cd ）弯成圆yx z(中性轴）mm 弧线(曲线)。
故凹面纤维(如弧ab )缩短而凸面纤维(如弧cd )伸长。
因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维为中性层(neutral surface)。
中性层⊥纵向对称面(外力的作用面),故纤维的变形和它在梁的宽度上的位置无关。
中性层与横截面的交线称为中性轴(neutral axis)•③梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑比有关的(横向)拉伸与压缩的现象。
由以上的特点可抽象如下的假设:①平面假设(Plane section assumption):②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关(即:0=∂∂zσ;σ依横截面的高度y 改变)③各纵向纤维间没有挤压。
•梁弯曲的平面假设:梁在受力弯曲后,其原来的横截面仍为平面,它绕其上的中性轴旋转了一个角度,且仍垂直于梁变形后的轴线.••••••••••I 的物理意义:梁按其截面的形状和尺寸具有的抵抗弯曲(变形)的能力.中性轴(z)通过横截面形心,垂直于外力作用平面(oxy).故oxyz 构成一直角坐标系.如果我们不计M 的正负和y 的正负,可得求б大小的公式)....(25-I=Myσ 由此式求出б的大小后,根据M 的正负很容易求知б的正负应为: 拉应力or 压应力(M >0时:上压下拉; M <0时:上拉下压)讨论:① 式(5—2)表明б∝y;б在中性轴为0;在上、下边沿б最大.假如中性轴z 为对称轴；(凸边受拉 ,凹边受压)a .线弹性材料：бmax ≤бpb .纯弯曲梁的弹性力学解表明平面假设在纯弯曲梁中成立。
华北理工大学材料力学刘文增第五版第5章 弯曲应力解析
dA
A1
(M dM ) y1dA
A1
Iz
M dM
Iz
A1 y1dA
令S
* z
ydA
A1
则：FN 2
(M
dM )Sz* Iz
同理：
FN 1
MS
* z
Iz
顶面rp上力系合力：
由 X 0得：
代入上式得：
M
M+dM
FS
FS
dx
dFS' 'bdx
FN 2 FN1 dFS' 0
(M
第5章 弯曲应力
§5—1 纯弯曲
一、弯曲按内力性质分类
1、纯弯曲：
梁横截面只有弯矩的弯曲称为纯弯 曲。
2、横力弯曲:
梁横截面既有剪力又有弯矩的弯曲 称为横力弯曲或称为剪切弯曲。 二、对称纯弯曲的变形规律
1、试验现象：
2、变形推断：
•平面假设：横截面变形 之前为平面变形之后仍为 形状尺寸相同的平面，且 仍然垂直于轴线。 •纵向纤维间无挤压。 •存在中性层及中性轴。
三、对称纯弯曲应力分布规律推断
•横截面只有正应力。
•横截面正应力沿宽度均匀分布。
§5—2 纯弯曲时的正应力
一、公式推导
1、变形几何关系
b'b y d
bb dx OO O 'O ' d
( y)d d y
d
2、物理关系
由： E
得： E y
(b)
3、静力关系
内力关系：
M
ydA
A
yE y dA E
A
A
y2dA
E
Iz
得： 1 M
(5.1)
工程力学c材料力学部分第五章 弯曲应力
π D4 π D2
119 D4 π = 9216
梁的纯弯曲
横力弯曲： y a
P
P a
x
F ≠0 , M ≠0 s
纯弯曲： 纯弯曲：
Fs
P －P
F =0 , M ≠ 0 s
梁横截面上的应力
Pa 剪应力 —— 与剪力对应 正应力 —— 与弯矩对应
M
§5-2 梁纯弯曲时的正应力
几何关系: 通过实验观察， 1. 几何关系: 通过实验观察，可以总结出
I yz = ∫ yzdA
A
y o
ρ
z z
量纲: [长度]4； 符号：可正、可负(可为零)。 特点：图形关于对称轴的惯性积为零。 特点：图形关于对称轴的惯性积为零。
平行移轴公式
y yc z c a o
注意： 注意：
zc A
dA yc y zc z
I z = ∫ y 2 dA =
A
∫A
( yc + a )2 dA
y
y 2 dA 惯性矩 ∫A
1
---- (6)
M
(中性轴) 中性轴)
z x y z σdA
EIz——抗弯刚度 ——抗弯刚度
M σ= y Iz
---- (7)
y (对称轴) 对称轴)
h/2
h/ 2
y dy y z
bh3 I z = ∫ y 2 dA = ∫ by 2 dy = A −h / 2 12
dA = hdz
b/ 2
h/2 b/2 b/2 y z dz
同理对y轴 同理对 轴
hb 3 I y = ∫ z 2 dA = ∫ hz 2 dz = A −b / 2 12
矩形截面惯性矩: 矩形截面惯性矩:
材料力学 第五章 弯曲应力课件
力状态。
sx
sx
s x E x
（三）静力学关系：
Ey
ydA
......(2)
N sdA
x A
Ey
A
dA
E
ESz
A
0
S z 0 z (中性)轴过形心
9
M
M
1
y
(sdA) z
A
Eyz
A
Ey2
dA
E
A
yzdA
EI yz
1
第五章
§5–1 引言
弯曲应力
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
2
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力FS 内力 剪应力t
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
120 y
z
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
60kNm
12
M1 Mmax
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：
tmax
FS Af
; Af —腹板的面积。
t min t max
材料力学刘鸿文第5章第3次课
τ max
Fs max 1.5 × 5400 = 1.5 = A 120 × 180 = 0.375MPa < 0.9MPa = [τ ]
10:42
材料力学
第五章 弯曲应力
例题5 例题5-4-2 一简易起重设备如图所 示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 起重量(包含电葫芦自重) kN. 跨长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a 跨长l 吊车大梁AB由 工字钢制成. 工字钢制成.其许用弯曲正应力 [σ]=170MPa,许用弯曲切应力[τ]= ]=170MPa,许用弯曲切应力 许用弯曲切应力[ 100MPa ，试校核梁的强度. 试校核梁的强度. 解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在 此吊车梁可简化为简支梁， 梁中间位置时有最大正应力 .
b=
h=
据此校核梁的切应力强度
+
= F Smax = 24.9MPa < [τ ] τ max bh
10:42
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的. 以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
材料力学
第五章 弯曲应力
例题5 例题5-4-3 简支梁AB如图所示. l＝2m，a＝0.2m. 梁上的载荷为 简支梁AB如图所示 如图所示. 2m， q为10kN/m，F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa，[τ]＝ 10kN/m， 200kN.材料的许用应力为 ]=160MPa， 材料的许用应力为[ a F a q F 100MPa，试选择工字钢型号. 100MPa，试选择工字钢型号. FRA （2）根据最大弯矩选择工字钢型号 解：（1）计算支反力做内力图. ：（1 计算支反力做内力图.
第五章 弯曲应力
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 在计算最大切应力时，应取荷载F 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 处所示，因为此时该支座的支反力最大，
刘鸿文《材料力学》(第5版)章节题库(弯曲内力)【圣才出品】
MG＝25×1．25－ ×20×1．252＝15．625kN·m 结果如下图示：
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图 4-2
2．试作图 4-3（a）所示曲杆的内力图。
图 4-3 解：列曲杆的内力方程时，一般取极坐标比较方便，因此取极坐标如图 4-3（b）所示， 曲杆任一 θ 截面处的内力有轴力、剪力和弯矩。内力数值从曲杆的曲率中心画出的射线量 取。 内力方程：
6．简支梁的荷载情况及尺寸如图 4-7 所示，试求梁的下边缘的总伸长。
图 4-7 解：距离 A 端为 x 的截面的弯矩为
又矩形截面的弯曲截面系数为
（0为
根据胡克定律，得任意 x 截面下边缘的纵向线应变为
由线应变的定义
得梁的下边缘的总伸长为
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7．图 4-8 所示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面 尺寸为 b、h，长度为 l。试证：
（1）在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素 τdA 的合力等于该截面上的剪力， 而法向内力元素 σdA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
CD 段：剪力图为一直线，弯矩图为一斜直线，在 D 面有一突然变化，变化值为
M＝80kN·m；
DE 段的弯矩图为下凸的抛物线，F 面剪力为零，弯矩 M 有极值，为
MF＝75×3．5－120×2．5－80＋ ×30×1．52＝－83．75kN·m EB 段的弯矩图为上凸的抛物线；G 面上剪力为零，弯矩 M 有极值，为
4．欲使图 4-5 所示外伸梁的跨度中点处的正弯矩值等于支点处的负弯矩值，则支座 到端点的距离 a 与梁长 l 之比 a/l 等于多少?
第5章(弯曲切应力2-2) 2
h z
b
max
3 FSmax 3 10000 0.94MPa [] 2.0 MPa 2 bh 2 0.08 0.2
故由正应力强度条件所确定的h=200mm能满足切应力强 度条件。
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第五章 弯曲应力
例6. 一受载外伸梁及截面形状如图。若材料为铸铁。[σt] = 35 Mpa，[σc] = 150 Mpa。试求F的容许值。
yc = 95 mm
F
C 2m 2m
F/2
B 0.5m
0.25F
-
0.25F
-
+
0.75F （b）
20 10 60 10 20
（a）
Iz = 1/12×120 ×203 +120 ×20 ×352 + 2 ×（1/12 ×10 ×1203 + 120×10 ×352 ） = 884 ×104 mm4
dA
*
dx dF 2
其中 S z ——面积δ×u 对中性轴的面积矩。
1 S* u (h ) z 2
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第五章 弯曲应力
三、 圆形截面梁
τ
FS S max I zb
* z
A
FS
2d 8 3 d 4 64 d
dx
n
y’——σ作用点距中性轴的距离。
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第五章 弯曲应力
FN 2 FN 1 dF ' b dx
FN1
第五章 弯曲应力(材料力学)PPT课件
n
作如下假设： (1) 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形
后的轴线，即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向
受拉或受压状态。
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第五章 弯曲应力
bb 变形前的长度等于中性层
中性层长度不变, 所以:
bbO 1 O 2 O1O 2 d
纵向线bb变形后的长度为:
纯弯曲和横力弯曲的概念
F
F
在 AC 和 DB 段 ， 梁 的 横 截 面既有弯矩，又有剪力，这 种情况称为横力弯曲（剪切 弯曲）。 在 CD 段 内 ， 梁 的 横 截 面
A C
a
F
+
B
D
a
上剪力为零，而弯矩为常量， 这种情况称为纯弯曲。
+
F. a
F
梁在纯弯曲变形时，横截面
+
上只有与弯矩有关的正应力。
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材料力学
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
четверг, 3 декабря 2020 г.
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
§5-4 弯曲切应力
§5-5* 关于弯曲理论的基本假设
§5-6 提高弯曲强度的措施
即：
FN
dA0,
A
My
zdA0,
A
Mz
ydAM
A
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 弯曲应力
FN
dA0
A
AdAEAydA0
AydASz 0
z 轴通过形心
材料力学习题册答案-第5章弯曲应力.doc
第五章弯曲应力一、是非判断题1、 没某段梁承受正弯妬的作用，则靠近顶而和靠近底而的纵叫纤维分别是仲K ：的和缩短的。
（X ）2、 中性轴是梁的横截而与巾性层的交线。
梁发生平而巧曲吋，其横截而绕中性轴旋转。
（7 ）3、 在非均质材料的等截而梁屮，最人正应力|cr|max 不一定出现在|M|max 的截而上。
（X ）4、 等截而梁产生纯弯曲时，变形前后横截而保持为平而，且其形状、大小均保持不变。
（7 ）5、 梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。
（X ）6、 控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。
（X ） 7、 横力穹曲时，横截而上的最大切应力不一定发生在截而的中性轴上。
（V ）二、填空题1、 应用公式s =$■＞，时，必须满足的两个条件是_满足平而假设和线弹性 。
2、 跨度较短的T 字形截而梁，在横力弯曲条什下，危险点可能发生在翼缘外边缘、翼缘腹板交接处和腹板中心处o4、梁的三种截而形状和尺寸如阁所不，贝IJ 其抗弯截而系数分别为76//2-7/?//2、 6 6Bh 3 6H3 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为/2、宽为6、长为/，则在艽中性层的水平剪力bh 3F s3F 2bh6H三、选择题1、如图所示，铸铁梁宥A, B, C 和D 四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采川(C 图的截面形状较合珂。
2、如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷凡则当厂增人时，破坏的情况是 (CA 同时破坏；B (a)梁先坏；C (b)梁先坏3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁屮配置钢筋。
若矩形截血梁的弯矩图如图所示， 则梁内钢筋(罔中虚线所示)配置敁合理的是(0 )MABCDMA B C D四、计算题1、长为/的矩形截曲‘梁，在自由端作用一巢中力凡已知h = 0.18m ，/? = 0.12/71, y = 0.06m ,a = 2m ，F = IkN ,求C*截面上#点的正应力。
材料力学第五章知识点总结(刘鸿文主编)
3
bh 2 WZ = 6
b0 h0 bh 3 WZ = ( − ) /(h0 / 2) 12 12
3
材料力学
§5-3
横力弯曲时的正应力
在横力弯曲情况下： ¾ 横截面上既有正应力，又 有切应力 ¾ 横截面将发生翘曲，不再 保持为平面
F
实验和弹性力学理论的研究 都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯 曲正应力公式对于横力弯曲近似 成立。
例3 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m， [σ]=160MPa ， E=210GPa ，在梁的下边缘 C 点沿轴 向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ε c = 400 ×10 −6 ， 求F并校核梁正应力强度。
l/2
F
A
a
C
B
z
No.16
l
材料力学
解： 1)σ C = Eε C = 210 ×103 × 400 ×10 −6 = 84MPa ⎧M C = FB (l − a) = 0.25 F ⎪ Q⎨ M C 0.25 F 0.25 F ⎪σ C = W = W = 141×10 −6 z z ⎩ ∴ F = 47.4 ×103 N = 47.4kN
B截面：
σ max =
Fa 62.5 × 267 × 32 = 3 πd1 π × 0.16 3 WzB 32 = 41.5 × 10 6 Pa = 41.5MPa ≤ [σ ] MB =
C截面：
Fb Fa
σ max =
MC WzC
=
Fb 62.5 ×160 × 32 6 = = 46 . 4 × 10 Pa = 46.4MPa ≤ [σ ] 3 3 πd 2 π × 0.13 32
bh 2 WZ = 6
b0 h0 bh 3 WZ = ( − ) /(h0 / 2) 12 12
3
材料力学
§5-3
横力弯曲时的正应力
在横力弯曲情况下： ¾ 横截面上既有正应力，又 有切应力 ¾ 横截面将发生翘曲，不再 保持为平面
F
实验和弹性力学理论的研究 都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯 曲正应力公式对于横力弯曲近似 成立。
例3 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m， [σ]=160MPa ， E=210GPa ，在梁的下边缘 C 点沿轴 向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ε c = 400 ×10 −6 ， 求F并校核梁正应力强度。
l/2
F
A
a
C
B
z
No.16
l
材料力学
解： 1)σ C = Eε C = 210 ×103 × 400 ×10 −6 = 84MPa ⎧M C = FB (l − a) = 0.25 F ⎪ Q⎨ M C 0.25 F 0.25 F ⎪σ C = W = W = 141×10 −6 z z ⎩ ∴ F = 47.4 ×103 N = 47.4kN
B截面：
σ max =
Fa 62.5 × 267 × 32 = 3 πd1 π × 0.16 3 WzB 32 = 41.5 × 10 6 Pa = 41.5MPa ≤ [σ ] MB =
C截面：
Fb Fa
σ max =
MC WzC
=
Fb 62.5 ×160 × 32 6 = = 46 . 4 × 10 Pa = 46.4MPa ≤ [σ ] 3 3 πd 2 π × 0.13 32
材料力学刘鸿文第五版课件第五章弯曲应力.
8
纯弯曲时梁的正应力
横截面对称轴为y 轴，向下为正
中性轴为z轴，位 置待定 x轴暂时认为是通 过原点的横截面的 法线
讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形
9
m a o b m
n a o b y
dx
n
中性层曲率半径
纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
10
二、物理关系：
由胡克定律及
E
任意纵向纤维的正应力与
动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线 变形后仍正交。
7
设想梁是由无数层 纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不 变－－中性层 中间层与横截面的交 线－－中性轴
推 论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
空心圆截面
IZ
矩形截面
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
16
空心矩形截面
b0 h0 bh IZ 12 12
3
3
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
横力弯曲正应力
距离成正比； 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
•
•
中性轴上，正应力等于零
Mymax max IZ
IZ WZ ymax
max
M WZ
15
抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
IZ WZ y max
纯弯曲时梁的正应力
横截面对称轴为y 轴，向下为正
中性轴为z轴，位 置待定 x轴暂时认为是通 过原点的横截面的 法线
讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形
9
m a o b m
n a o b y
dx
n
中性层曲率半径
纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
10
二、物理关系：
由胡克定律及
E
任意纵向纤维的正应力与
动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线 变形后仍正交。
7
设想梁是由无数层 纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不 变－－中性层 中间层与横截面的交 线－－中性轴
推 论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
空心圆截面
IZ
矩形截面
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
16
空心矩形截面
b0 h0 bh IZ 12 12
3
3
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
横力弯曲正应力
距离成正比； 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
•
•
中性轴上，正应力等于零
Mymax max IZ
IZ WZ ymax
max
M WZ
15
抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
IZ WZ y max
材料力学 第五版 第五章
b2
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
πd 4 Ip 2 d A A 32
d
o y
z
dA
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip 2 d A y2 d A z2 d A I z I y A A A 32
梁横截面上的正应力公式。
My Iz
M为截面的弯矩，y为欲求应力点至 中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的 惯性矩。 σ
x
注意： 1.当弯矩为正时，梁下部产 生拉应力；上部产生压应力； 弯矩为负时，则相反。一般用 计算正应力时，M与y均取正值， 而正应力的拉、压由观察判断。
M
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
max
式中，[]为材料的许用弯曲正应力。
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作
M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材 料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性 轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和
2.公式是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向 弯曲(即剪力、弯矩均不为零的情形)，也可以足 够精确地用来计算正应力。 3. 公式虽然是针对梁横截面有对称轴的情形 推出的，但对于不对称截面，公式的适用范围推 广到不对称截面梁,且外力作用面通过一个形心 主轴的情形。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.所有的纵线都弯曲 成曲线。靠近底面的 纵线伸长，靠近顶面 的纵线缩短。而位于 中间的某一条纵线O-O ，其长度不变。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
πd 4 Ip 2 d A A 32
d
o y
z
dA
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip 2 d A y2 d A z2 d A I z I y A A A 32
梁横截面上的正应力公式。
My Iz
M为截面的弯矩，y为欲求应力点至 中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的 惯性矩。 σ
x
注意： 1.当弯矩为正时，梁下部产 生拉应力；上部产生压应力； 弯矩为负时，则相反。一般用 计算正应力时，M与y均取正值， 而正应力的拉、压由观察判断。
M
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
max
式中，[]为材料的许用弯曲正应力。
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作
M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材 料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性 轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和
2.公式是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向 弯曲(即剪力、弯矩均不为零的情形)，也可以足 够精确地用来计算正应力。 3. 公式虽然是针对梁横截面有对称轴的情形 推出的，但对于不对称截面，公式的适用范围推 广到不对称截面梁,且外力作用面通过一个形心 主轴的情形。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.所有的纵线都弯曲 成曲线。靠近底面的 纵线伸长，靠近顶面 的纵线缩短。而位于 中间的某一条纵线O-O ，其长度不变。
材料力学课件 第五章弯曲应力
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
M B = 2.5kNm M C = −4kNm
9kN
A 2.5kN B
8kN/m
C D 88
80 b
20 z 120 20
I z = 763 × 106 mm 4
M B = 2.5kNm
1m
1m
14.5kN
1m
a
M C = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算 C截面a点 C截面b点 B截面a点
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
梁满足强度条件 ☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
A M 50 B M
问题分析 边缘点
σ max M 单向应力 = Wz
Δl = ε max l AB
σ t max ≤ [σ t ] σ c max ≤ [σ c ]
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FS bh2 h02 y 0, max b b0 I z b0 8 8
FS （3）切应力近似计算： b0 h0
max min
(5.11)
2、翼缘切应力
（1）竖向切应力：数值很小不必计算。 （2）水平切应力：较小，计算方法同腹板，分布如图。
* * 得： 1 dMS z 1 Fs S z q 2 dxI z 2 Iz
解：1）作剪力图和弯矩图 2）由弯曲正应力强度条件确定 工字钢型号。 （1）危险点在跨中截面的上下缘。
M max 45kN m
（2）强度条件计算
Wz
M max
45103 N m 160106 Pa 281106 m3 281 cm3
（3）查表选用22a工字钢，WZ=309cm3。
3）弯曲切应力强度校核
（1）危险点在A截面的中性轴上。
FS max 210kN
（2）强度条件计算 有表查得： I z 18.9cm, d 0.75cm
FS maxS z 210103 N 6 max 148 10 Pa 2 2 I zb (18.9 10 m)(0.7510 m)
•方向与FS平行； •沿宽度均匀分布； 3 FS h •沿高度抛物线分布：y , 0; y 0, max 2 bh 2
（二）工字形截面梁
1、腹板切应力
（1）切应力公式 •假设切应力沿宽度均 布方向与剪力平行。
F S •推导公式： s z b0 I z
翼缘 腹板
由于y为截面的对称轴，必有Izy=0。 •由关系式三得:
M ydA yE
A A
y
dA
E
A
y 2 dA
E
Iz
得： 1 M EI z
(5.1)
将（5.1）式代入（b)式得:
My Iz
(5.2)
二、公式应用
1、公式适用范围：
•弹性变形（即：σ<σp ）
•有纵向对称面的梁。
Sz
不满足强度条件，选择25b工字钢试算。
210103 N 6 max 98 . 6 10 Pa 2 2 (21.3 10 m)(110 m)
4）选择25b工字钢。
Iz 由表查得： 21.3cm, d 1cm Sz
§5.6
提高弯曲强度的措施
•提高构件强度：指在不增加材料的前提下，使构件承受 更大的载荷而不发生强度失效。 •梁的主要强度条件: M
M B 4kN m
2）拉应力强度计算 （1）危险截面为B，C截面。 （2）危险点为B截面上缘，C截面下缘。 （3）强度条件计算 B截面：
tB max
27 106 Pa t M B y1 (4 103 N m)(52103 m) IZ 763(10 2 m) 4
•圆形截面：
bh3 Iz bh2 12 W h ymax 6 2 4 d d 3 64 W d 32 2
4、等截面梁最大弯曲正应力
max
或：
M max ymax Iz
(5.3)
max
M max W
(5.5)
二、弯曲正应力强度计算
1、正应力强度条件
一般梁：
max
(5.6)
等截面梁： max M max W
2、计算问题类型
•强度校核 •截面设计（选择） •确定许可载荷
3、计算步骤
•确定危险截面及其弯矩值。 （一般由弯矩图判断确定） •确定危险点。（由正应力分布规律判断确定） •对危险点进行强度条件计算。 • 结论
解：1）计算简图 2）作弯矩图 M B Fa 3）危险截面为B截面。 M max M B Fa 4）危险点为B截面上缘和下缘。 5）强度条件计算
胶合面
例5.4 由木板胶合而成的梁如图5.13a所示。试求胶合面上沿x 轴单位长度内的剪力。 胶合面 解： 1）取dx段pqsr水平木板为 研究对象。 2）由平衡条件求qτ
M * FN 1 Sz Iz M dM * FN 2 Sz Iz
由：Fx=0得：
FN1 FN 2 2q dx 0
1max
2 max 截面2—2：
截面3—3： 3 max
M3 4.64103 N m 69.4 106 Pa W3 (88103 m) 3 32
6）轴满足强度条件。
解： 1）作内力图 FRA 2.5kN FRB 10.5kN M C 2.5kN m
1 h0 h h0 h0 1 h h0 h0 S b b0 y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b h b 2 2 2 0 0 h h0 y 8 2 4
（三）圆形截面梁
1、切应力分布假设： 2、公式推导：
FS bIz
3、最大切应力
s z
•出现位置：中性轴上。 •计算式： max
4 FS 3 R2
(5.12)
二、弯曲切应力强度计算
1、强度条件
•一般梁：
max
•等截面梁： max
2、问题类型：
•强度校核；
Z
F 于是： S I z b0
2 b 2 b h 2 2 0 0 h h0 y 2 4 8
(5.10)
（2）应力分布规律 •方向与FS平行。 •沿宽度均匀分布。 •沿高度抛物线分布。
h0 FS bh 2 bh02 y , min I z b0 8 8 2
第5 章
一、弯曲按内力性质分类
弯曲应力
§5—1 纯弯曲
1、纯弯曲：
梁横截面只有弯矩的弯曲称为纯弯 曲。
2、横力弯曲:
梁横截面既有剪力又有弯矩的弯曲 称为横力弯曲或称为剪切弯曲。 二、对称纯弯曲的变形规律
1、试验现象：
2、变形推断：
•平面假设：横截面变形 之前为平面变形之后仍为 形状尺寸相同的平面，且 仍然垂直于轴线。 •纵向纤维间无挤压。 •存在中性层及中性轴。 三、对称纯弯曲应力分布规律推断 •横截面只有正应力。 •横截面正应力沿宽度均匀分布。
4）危险点为各截面的上下缘。
5）强度条件计算 截面1—1：
M1 4.72 103 N m W1 (95 103 m)3 32 56 106 Pa
M2 3.42103 N m 56.7 106 Pa W2 (85103 m)3 32
A
0,
A
zdA M iy 0 ,
A
ydA M iz M
•由关系式一得:
dA E
A A
y
dA
E
A
ydA 0 得： ydA S z 0
A
得：Z轴过形心。 •由关系式二得:
A
zdA zE
A
y
dA
E
A
zydA 0 得： A zydA I zy 0
6）最大压紧力为3kN。
解： 1）计算简图 2）作弯矩图
FRB 27kN
FRA 23.6kN
M1 23.6 0.2 4ห้องสมุดไป่ตู้72kN m
M 4 27 0.115 3.11kN m
3）危险截面为1，2，3截面。 0.11 M 2 23.6 (0.2 ) 3.42 kN m 2 0.11 0.11 M 3 23.6 (0.2 ) 25.3 4.64kN m 2 2
(3cm)(2cm)3 (1.4cm)(2cm)3 Iz 1.07cm4 12 12 4 I 1.07cm W z 1.07cm3 ymax 1cm M Fa 由： max W W
W 1.07 (102 ) 4 m3 140106 N / m 2 3 103 N 得：F a 0.05m
FS max S I zb
z
胶合面
•截面设计（选择）； •确定许可载荷。
3、计算步骤
•确定危险截面及其剪力值。 （一般由剪力图判断确定） •确定危险点。 （中性轴上的点及结合面上的点） •对危险点进行强度条件计算。 （一般采取校核计算） • 结论
4、工程中剪切强度计算特点
1）一般载荷下的细长梁弯曲切应力不是控制因素。 2）弯曲切应力强度必须计算情况： （1）梁的弯矩较小，剪力较大。 （2）厚度与高度的比值小于型钢的组合截面梁。 （3）组合截面梁的焊缝、铆钉和胶结等连接的结合面。
max
max
W
•提高弯曲强度的途径： 1、降低Mmax的数值。 2、提高W的数值 一、合理安排梁的受力情况
1、合理布置支座：
2、合理布置载荷
二、梁的合理截面
① τ方向平行于FS。
②τ沿截面宽度均匀分布。
2、推导公式
FN 2 dA
A1
( M dM ) y1 dA A1 Iz M dM y1dA A 1 Iz
A1
M
M+dM
令S z* ydA
( M dM) S z* 则：FN 2 Iz
FS
FS dx
MSz* 同理： FN 1 Iz
2、工程中横力弯曲正应力计算
•对L/h＜4的深梁，一般采用弹性力学方法计算。
My •对L/h＞4的细长梁，近似使用 Iz
（工程中的梁一般为细长梁，此公式的计算误差在工程允 许范围内）
FS （3）切应力近似计算： b0 h0
max min
(5.11)
2、翼缘切应力
（1）竖向切应力：数值很小不必计算。 （2）水平切应力：较小，计算方法同腹板，分布如图。
* * 得： 1 dMS z 1 Fs S z q 2 dxI z 2 Iz
解：1）作剪力图和弯矩图 2）由弯曲正应力强度条件确定 工字钢型号。 （1）危险点在跨中截面的上下缘。
M max 45kN m
（2）强度条件计算
Wz
M max
45103 N m 160106 Pa 281106 m3 281 cm3
（3）查表选用22a工字钢，WZ=309cm3。
3）弯曲切应力强度校核
（1）危险点在A截面的中性轴上。
FS max 210kN
（2）强度条件计算 有表查得： I z 18.9cm, d 0.75cm
FS maxS z 210103 N 6 max 148 10 Pa 2 2 I zb (18.9 10 m)(0.7510 m)
•方向与FS平行； •沿宽度均匀分布； 3 FS h •沿高度抛物线分布：y , 0; y 0, max 2 bh 2
（二）工字形截面梁
1、腹板切应力
（1）切应力公式 •假设切应力沿宽度均 布方向与剪力平行。
F S •推导公式： s z b0 I z
翼缘 腹板
由于y为截面的对称轴，必有Izy=0。 •由关系式三得:
M ydA yE
A A
y
dA
E
A
y 2 dA
E
Iz
得： 1 M EI z
(5.1)
将（5.1）式代入（b)式得:
My Iz
(5.2)
二、公式应用
1、公式适用范围：
•弹性变形（即：σ<σp ）
•有纵向对称面的梁。
Sz
不满足强度条件，选择25b工字钢试算。
210103 N 6 max 98 . 6 10 Pa 2 2 (21.3 10 m)(110 m)
4）选择25b工字钢。
Iz 由表查得： 21.3cm, d 1cm Sz
§5.6
提高弯曲强度的措施
•提高构件强度：指在不增加材料的前提下，使构件承受 更大的载荷而不发生强度失效。 •梁的主要强度条件: M
M B 4kN m
2）拉应力强度计算 （1）危险截面为B，C截面。 （2）危险点为B截面上缘，C截面下缘。 （3）强度条件计算 B截面：
tB max
27 106 Pa t M B y1 (4 103 N m)(52103 m) IZ 763(10 2 m) 4
•圆形截面：
bh3 Iz bh2 12 W h ymax 6 2 4 d d 3 64 W d 32 2
4、等截面梁最大弯曲正应力
max
或：
M max ymax Iz
(5.3)
max
M max W
(5.5)
二、弯曲正应力强度计算
1、正应力强度条件
一般梁：
max
(5.6)
等截面梁： max M max W
2、计算问题类型
•强度校核 •截面设计（选择） •确定许可载荷
3、计算步骤
•确定危险截面及其弯矩值。 （一般由弯矩图判断确定） •确定危险点。（由正应力分布规律判断确定） •对危险点进行强度条件计算。 • 结论
解：1）计算简图 2）作弯矩图 M B Fa 3）危险截面为B截面。 M max M B Fa 4）危险点为B截面上缘和下缘。 5）强度条件计算
胶合面
例5.4 由木板胶合而成的梁如图5.13a所示。试求胶合面上沿x 轴单位长度内的剪力。 胶合面 解： 1）取dx段pqsr水平木板为 研究对象。 2）由平衡条件求qτ
M * FN 1 Sz Iz M dM * FN 2 Sz Iz
由：Fx=0得：
FN1 FN 2 2q dx 0
1max
2 max 截面2—2：
截面3—3： 3 max
M3 4.64103 N m 69.4 106 Pa W3 (88103 m) 3 32
6）轴满足强度条件。
解： 1）作内力图 FRA 2.5kN FRB 10.5kN M C 2.5kN m
1 h0 h h0 h0 1 h h0 h0 S b b0 y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b h b 2 2 2 0 0 h h0 y 8 2 4
（三）圆形截面梁
1、切应力分布假设： 2、公式推导：
FS bIz
3、最大切应力
s z
•出现位置：中性轴上。 •计算式： max
4 FS 3 R2
(5.12)
二、弯曲切应力强度计算
1、强度条件
•一般梁：
max
•等截面梁： max
2、问题类型：
•强度校核；
Z
F 于是： S I z b0
2 b 2 b h 2 2 0 0 h h0 y 2 4 8
(5.10)
（2）应力分布规律 •方向与FS平行。 •沿宽度均匀分布。 •沿高度抛物线分布。
h0 FS bh 2 bh02 y , min I z b0 8 8 2
第5 章
一、弯曲按内力性质分类
弯曲应力
§5—1 纯弯曲
1、纯弯曲：
梁横截面只有弯矩的弯曲称为纯弯 曲。
2、横力弯曲:
梁横截面既有剪力又有弯矩的弯曲 称为横力弯曲或称为剪切弯曲。 二、对称纯弯曲的变形规律
1、试验现象：
2、变形推断：
•平面假设：横截面变形 之前为平面变形之后仍为 形状尺寸相同的平面，且 仍然垂直于轴线。 •纵向纤维间无挤压。 •存在中性层及中性轴。 三、对称纯弯曲应力分布规律推断 •横截面只有正应力。 •横截面正应力沿宽度均匀分布。
4）危险点为各截面的上下缘。
5）强度条件计算 截面1—1：
M1 4.72 103 N m W1 (95 103 m)3 32 56 106 Pa
M2 3.42103 N m 56.7 106 Pa W2 (85103 m)3 32
A
0,
A
zdA M iy 0 ,
A
ydA M iz M
•由关系式一得:
dA E
A A
y
dA
E
A
ydA 0 得： ydA S z 0
A
得：Z轴过形心。 •由关系式二得:
A
zdA zE
A
y
dA
E
A
zydA 0 得： A zydA I zy 0
6）最大压紧力为3kN。
解： 1）计算简图 2）作弯矩图
FRB 27kN
FRA 23.6kN
M1 23.6 0.2 4ห้องสมุดไป่ตู้72kN m
M 4 27 0.115 3.11kN m
3）危险截面为1，2，3截面。 0.11 M 2 23.6 (0.2 ) 3.42 kN m 2 0.11 0.11 M 3 23.6 (0.2 ) 25.3 4.64kN m 2 2
(3cm)(2cm)3 (1.4cm)(2cm)3 Iz 1.07cm4 12 12 4 I 1.07cm W z 1.07cm3 ymax 1cm M Fa 由： max W W
W 1.07 (102 ) 4 m3 140106 N / m 2 3 103 N 得：F a 0.05m
FS max S I zb
z
胶合面
•截面设计（选择）； •确定许可载荷。
3、计算步骤
•确定危险截面及其剪力值。 （一般由剪力图判断确定） •确定危险点。 （中性轴上的点及结合面上的点） •对危险点进行强度条件计算。 （一般采取校核计算） • 结论
4、工程中剪切强度计算特点
1）一般载荷下的细长梁弯曲切应力不是控制因素。 2）弯曲切应力强度必须计算情况： （1）梁的弯矩较小，剪力较大。 （2）厚度与高度的比值小于型钢的组合截面梁。 （3）组合截面梁的焊缝、铆钉和胶结等连接的结合面。
max
max
W
•提高弯曲强度的途径： 1、降低Mmax的数值。 2、提高W的数值 一、合理安排梁的受力情况
1、合理布置支座：
2、合理布置载荷
二、梁的合理截面
① τ方向平行于FS。
②τ沿截面宽度均匀分布。
2、推导公式
FN 2 dA
A1
( M dM ) y1 dA A1 Iz M dM y1dA A 1 Iz
A1
M
M+dM
令S z* ydA
( M dM) S z* 则：FN 2 Iz
FS
FS dx
MSz* 同理： FN 1 Iz
2、工程中横力弯曲正应力计算
•对L/h＜4的深梁，一般采用弹性力学方法计算。
My •对L/h＞4的细长梁，近似使用 Iz
（工程中的梁一般为细长梁，此公式的计算误差在工程允 许范围内）