完美系统时域分析

二阶系统分析大中小一、二阶系统的传递函数由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为：（4-5）其传递函数为：（4-6）式中—系统的输入；—系统的输出；—常系数。

为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即：（4-7）若系数a1和a2的符号相同，（4-7）式可改写成如下形式：（4-8）式中—二阶系统的无阻尼自然振荡频率—二阶系统的阻尼比—放大系数式（4-8）称为二阶系统传递函数的通用形式。

式（4-8）的特征方程式为（4-9）方程的特征根为：（4-10）由式（4-10）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。

阻尼比的变化可分成五种情况（即<0； =0；0< <1； =1； >1）。

当 <0时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是不稳定的，对这种情况不作讨论。

下面就其它四种的取值情况进行讨论。

二、二阶系统的单位阶跃响应1、无阻尼情况（ =0）=0时，式（4-10）为：即特征方程的两个根位于虚轴上，见表4-1。

其传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时：取C(s)的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：（4-11）这是振幅为K的等幅振荡，其单位阶跃响应曲线如图4-1中曲线①所示。

图中横坐标用刻度,纵坐标用c(t)/c( )刻度，曲线只是的函数。

等幅振荡（阻尼比 =0）的振荡频率为，因而被称为无阻尼自然振荡频率。

２、欠阻尼情况（0< <1）0< <1时，二阶系统特征方程式的两个根为共轭复根，即式中—特征根实部之模值，称为衰减系数，具有角频率量纲，—阻尼振荡频率，。

见表4-1所示。

系统的传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时，取C(s)的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：（4-12）由式（4-12）可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，稳态响应值（即c(?)）等于K，也就是说，稳态（即）时，输入信号与输出信号c(?)之间不存在稳态误差。

瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，振荡频率为，称为阻尼振荡频率。

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图4-2所示。

整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为（4-13）它是时间常数为（即）的指数曲线。

瞬态响应的幅值是按这条指数曲线的时间常数进行衰减的。

根的负实部数值越大，瞬态响应衰减得就越快，因此，称为衰减系数。

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线的振荡频率为阻尼振荡频率（即特征根的虚部），,因而振荡周期：。

当一定时，阻尼系数越大，振荡周期就越长。

如果，响应过程成为非周期，将不复存在，系统的响应不再振荡。

但为了便于分析和叙述，和的符号和名称在时，仍将沿用下去。

３、临界阻尼情况（）时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根：见表4-1所示。

系统的传递函数为当输入为单位阶跃信号时：（4-14）其响应曲线如图4-1上曲线⑥所示，响应是稳态值为K的非周期过程。

４、过阻尼情况（）时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：见表4-1所示。

系统的传递函数为当输入为单位阶跃信号时取的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：（4-15）单位阶跃响应曲线如图4-3所示，它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应（4-16）和两条衰减的指数曲线组成。

由式（4-15）知，、的方程分别为：（4-17）( 4-18)图4-3 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线在一定的情况下，如果越大，两个负实根的数值就相差得越多。

这时衰减得快的指数项c11(t)的衰减速度更加快，而衰减得慢的指数项的衰减速度则更加慢。

当远大于1时，c11(t)比c12(t)的衰减要快得多，这个快速衰减的指数项c11(t)对动态过程的影响可忽略不计。

系统的阶跃响应特性类似于一阶惯性环节的响应特性了。

从图4-1可看出，当欠阻尼系统的值在0.5～0.8之间时，响应曲线比临界阻尼或过阻尼情况下的响应曲线更快到达稳态值。

在非周期响应系统中，临界阻尼系统的响应速度最快，过阻尼系统对输入的响应比较缓慢。

二阶系统的单位阶跃响应情况综合于表4-1所示。

二阶系统的传递函数除了式（4-8）的形式外，还可能有（4-19）（4-20）式（4-19）、（4-20）所表示的二阶系统，只是传递函数的分子部分不相同，而分母部分是一样的，也就是说，它们的特征方程式相同，所以，它们的阶跃响应特性的基本形式是一样的，即当?时是非周期的，0 1时，是衰减振荡的。

三、二阶系统的时域性能指标实际调节系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程。

为了分析调节系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些性能指标,除第一章介绍的超调量Mp、衰减率Ψ、调节时间ts和静态偏差e（∞）（或称稳态误差）外，还有两个指标：(1) 上升时间tr：响应从其稳态值的10%上升到90%所需的时间。

上升时间是系统响应速度的一种度量。

显然，上升时间越小，响应越快。

(2) 峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。

上述性能指标基本上可以体现过渡过程的特征。

其中，上升时间tr和峰值时间tp是系统在初始阶段响应速度的一种度量；调节时间ts表示了系统过渡过程的持续时间，反映了系统的快速性；超调量MP和衰减率Ψ反映了系统过渡过程的稳定性；稳态误差e（∞）反映了系统的准确性。

请参见图（4-4）。

图4-4 二阶系统时域性能指标示意图下面讨论欠阻尼二阶系统的峰值时间tp、超调量MP、衰减率Ψ和调节时间ts的计算。

要指出的是，所得公式仅适用于以式（4-8）[即]所描述的二阶系统。

如果传递函数的分子只有S的一次项或S的一次项加常数项，则计算公式要另行讨论。

具体推导公式以前，有必要阐明欠阻尼二阶系统特征参量σ、ζ、ωn和ωd之间的相互关系，见图（4-5）。

由图可见，衰减系数σ?是系统特征根到虚轴之间的距离；阻尼振荡频率ωd是特征根到实轴之间的距离；自然振荡频率ωn是特征根到坐标原点之间的距离；若令OS1直线与负实轴夹角为β?，则有：?ζ=cosβ?图4-5 欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系1. 峰值时间tP根据式（4-12），将c(t)对时间微分，并令其为零，有因为峰值时间定义为：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间，所以应取，因此峰值时间计算公式为（4-22）上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期TK的一半。

2. 超调量MP因为超调量发生在峰值时间上，所以将式（4-21）代入式（4-12），得输出量的最大值（4-23）图4-6表示了超调量Mp与阻尼比的关系，超调量是随着阻尼比ζ的增大而减小的。

图4-6 二阶系统超调量（Mp）、衰减率(?)、衰减指数(m)与阻尼比(?)的关系3. 衰减率ψ?（4-24）式中 M(tp)—第一个波幅幅值，这时t=tpM(tp+Tk)—第二个正向波幅幅值（图中4-4中的M2），这时t=tp+Tk根据（4-21）式，n=3所对应的时间，为第二个波幅出现的时间，即因此根据式（4-24），得衰减率ψ的计算公式（4-25）可见，欠阻尼二阶系统的衰减率ψ与超调量Mp一样，只与阻尼比ζ有单位关系，见图4-6中的ψ曲线。

衰减率ψ随ζ的增大而增大。

在式（4-23）和式（4-25）的指数中都含有比值，这个比值是欠阻尼二阶系统特征根的实部绝对值与虚部绝对值之比，称为二阶系统的衰减指数，用m表示，其关系为（4 -26）衰减指数m也是阻尼比ζ的单值函数。

见图4-6中的曲线m。

m值随ζ的增大而增大。

这样，描述欠阻尼二阶系统振荡过程衰减情况的有m、ψ和ζ三种参数。

所不同的是，衰减指数m是由特征方程根的实部与虚部之比来定义的；衰减率ψ是由振荡过程曲线中相邻两个振幅的衰减百分比来定义的；而阻尼系数ζ是用特征方程式各项系数来表示的。

它们之间的关系为(4 -27)另外，超调量Mp与衰减率ψ之间也存在着一定的关系，即（4-28）四个参数之间存在着一一对应的关系，表4-2中列出了一些具体的数值，在分析和整定热工过程自动调节系统时，常用到这些关系。

表4-2 二阶系统?、Mp、m和?值的对应关系在一般的热工自动调节系统中，通常选择衰减率ψ=0.75?0.9。

4. 调节时间ts从前述调节时间ts的定义知，调节时间ts应满足：其中Δ是稳态值的5%（或2%），即Δ=0.05c(?)[或Δ=0.02c(?)]。

为了计算方便，通常采用图4-4上阶跃响应曲线的一对包络线表示衰减振荡曲线的衰减程度，其包络线的方程为：（4-29）调节时间ts的定义修改为：响应曲线的包络线与稳态值的偏差减小到允许范围Δ所需的时间。

因此，ts满足（4-30）取Δ=0.02c(?)[或Δ=0.05c(?)]，将式（4-29）代入式（4-30），并且由于c(?)=K，则有分析可以得出，在足够宽的ζ值范围内，如0.1<ζ<0.9，的值变化不大，对于Δ=0.02c(?)，其值为3.92~4.74，用4近似；对于Δ=0.05c(?)，其值为3.0~3.83，用3近似，从而式（4-32）可简化为（采用2%的误差带）（4-31）（采用5%的误差带）（4-32）上式表明，调节时间ts与特征根的实部数值成反比，特征根的实部数值越大，即离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。

或者说，调节时间与系统阻尼比和自然振荡频率的乘积反比。

由于阻尼比ζ主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然振荡频率ωn决定。

若保持阻尼比值不变而加大自然振荡频率值，则可以在不影响超调量的情况下缩短调节时间。

例4-1 闭环系统如图4-7所示，试求系统单位阶跃响应的性能指标：tp、Mp、ψ、ts和稳态误差e(∞)。

图4-7 例4-1闭环系统框图解：系统的闭环传递函数为（4-33）二阶系统传递函数的通用形式为（4-34）式（4-33）与式（4-34）相比较，可得放大系数 K=1无阻尼自然振荡频率 ? ωn=5 （rad/s）阻尼比 ?ζ=0.6由此可以求得：例4-2 设图4-8(a)所示调节系统的单位阶跃响应曲线如图4-8(b)所示，试确定参数K1、K2和a 的数值。

图4-8 例题4-2图解：调节系统传递函数为（4-35）由图可得阶跃响应的性能指标：稳态值 c( )=2超调量峰值时间因为所以 K1=2式（4-35）与二阶系统传递函数的通用形式相比较，可得（4-36）利用超调量及峰值时间公式解得由式（4-38），可求出K2=24.46a=6.01。